1、4.2 三角恒等变换高考文数 ( 课标专用 )1.(2018课标全国 ,4,5分 )若 sin = ,则 cos 2= ( )A. B. C.- D.- A组 统一命题 课标卷题组五年高考答案 B 本题考查三角恒等变换 .因为 sin = ,cos 2=1-2sin2,所以 cos 2=1-2 =1- = .故选 B.2.(2016课标全国 ,6,5分 )若 tan =- ,则 cos 2= ( )A.- B.- C. D. 答案 D cos 2=cos2-sin2= = ,把 tan =- 代入 ,原式 = .故选 D.评析 本题考查化归与转化的能力 .属中档题 .3.(2018课标全国 ,
2、15,5分 )已知 tan = ,则 tan = .答案 解析 本题主要考查两角差的正切公式 .tan = = = ,解得 tan = .4.(2017课标全国 ,15,5分 )已知 ,tan =2,则 cos = .答案 解析 因为 ,且 tan = =2,所以 sin =2cos ,又 sin2+cos2=1,所以 sin = ,cos = ,则 cos =cos cos +sin sin = + = .易错警示 在求三角函数值时 ,常用到 sin2+cos2=1和 tan = ,同时要注意角的范围 ,以确定三角函数值的正负 .5.(2016课标全国 ,14,5分 )已知 是第四象限角 ,
3、且 sin = ,则 tan = .答案 - 解析 解法一 : sin = (sin +cos )= , sin +cos = , 2sin cos =- . 是第四象限角 , sin 0, sin -cos =- =- ,由 得 sin =- ,cos = , tan =- , tan = =- .解法二 : + = , sin =cos = ,又 2k- 0),则 A= ,b= .答案 ;1解析 2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x= sin +1,故 A= ,b=1.评析 本题重点考查了三角恒等变换 ,逆用两角和的正弦公式 ,将三角函数式转化为 “一角一函数 ”的形
4、式 .考查了学生三角化简的能力 .5.(2018江苏 ,16,14分 )已知 ,为锐角 ,tan = ,cos(+)=- .(1)求 cos 2的值 ;(2)求 tan(-)的值 .解析 本小题主要考查同角三角函数关系、两角差及二倍角的三角函数 ,考查运算求解能力 .(1)因为 tan = ,tan = ,所以 sin = cos .因为 sin2+cos2=1,所以 cos2= ,所以 cos 2=2cos2-1=- .(2)因为 ,为锐角 ,所以 + (0,).又因为 cos(+)=- ,所以 sin(+)= = ,因此 tan(+)=-2.因为 tan = ,所以 tan 2= =- .
5、因此 tan(-)=tan2-(+)= =- .6.(2015广东 ,16,12分 )已知 tan =2.(1)求 tan 的值 ;(2)求 的值 .解析 (1)因为 tan =2,所以 tan = = =-3.(2)因为 tan =2,所以= = = =1.7.(2014广东 ,16,12分 )已知函数 f(x)=Asin ,x R,且 f = .(1)求 A的值 ;(2)若 f()-f(-)= , ,求 f .解析 (1)由 f = ,得 Asin = Asin = A= A=3.(2)由 f()-f(-)= ,得 3sin -3sin = ,即 3sin +3sin = ,化简整理得 6
6、sin cos = , 3sin = , sin = . , cos = , f =3sin =3sin =3cos = .C组 教师专用题组1.(2013课标 ,6,5分 ,0.479)已知 sin 2= ,则 cos2 = ( )A. B. C. D. 答案 A 解法一 :cos2 = = ,把 sin 2= 代入 ,原式 = .选 A.解法二 : sin 2= ,cos =cos cos -sin sin = (cos -sin ), cos2 = (1-sin 2)= .2.若 cos =- ,是第三象限的角 ,则 sin = ( )A.- B. C.- D. 答案 A 是第三象限的角
7、 , sin =- ,sin = (sin +cos )=- ,故选 A.3.(2015四川 ,19,12分 )已知 A,B,C为 ABC的内角 ,tan A,tan B是关于 x的方程 x2+ px-p+1=0(pR)的两个实根 .(1)求 C的大小 ;(2)若 AB=3,AC= ,求 p的值 .解析 (1)由已知 ,方程 x2+ px-p+1=0的判别式 =( p)2-4(-p+1)=3p2+4p-4 0.所以 p -2,或 p .由根与系数的关系 ,有 tan A+tan B=- p,tan Atan B=1-p.于是 1-tan Atan B=1-(1-p)=p 0,从而 tan(A+
8、B)= =- =- .所以 tan C=-tan(A+B)= ,所以 C=60.评析 本题主要考查和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识 ,考查运算求解能力 ,考查函数与方程、化归与转化等数学思想 .(2)由正弦定理 ,得 sin B= = = ,解得 B=45,或 B=135(舍去 ).于是 A=180-B-C=75.则 tan A=tan 75=tan(45+30)= = =2+ .所以 p=- (tan A+tan B)=- (2+ +1)=-1- .4.(2015湖南 ,17,12分 )设 ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,a=btan A.(1)证明 :sin B=c
9、os A;(2)若 sin C-sin Acos B= ,且 B为钝角 ,求 A,B,C.解析 (1)证明 :由 a=btan A及正弦定理 ,得 = = ,所以 sin B=cos A.(2)因为 sin C-sin Acos B=sin180-(A+B)-sin Acos B=sin(A+B)-sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B-sin Acos B=cos Asin B,所以 cos Asin B= .由 (1)知 sin B=cos A,因此 sin2B= .又 B为钝角 ,所以 sin B= ,故 B=120.由 cos A=sin B= 知 A=30.
10、从而 C=180-(A+B)=30.综上所述 ,A=30,B=120,C=30.评析 本题考查了正弦定理 ,三角恒等变换 ,考查了运算求解能力 ,熟练、准确地应用公式是求解关键 .5.(2014天津 ,16,13分 )在 ABC中 ,内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c.已知 a-c= b,sin B= sinC.(1)求 cos A的值 ;(2)求 cos 的值 .解析 (1)在 ABC中 ,由 = ,及 sin B= sin C,可得 b= c.又由 a-c= b,有 a=2c.所以 ,cos A= = = .(2)在 ABC中 ,由 cos A= ,可得 sin A= .于是 co
11、s 2A=2cos2A-1=- ,sin 2A=2sin Acos A= .所以 cos =cos 2Acos +sin 2Asin = .评析 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式、两角差的余弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识 .考查运算求解能力 .6.(2014江西 ,16,12分 )已知函数 f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+)为奇函数 ,且 f =0,其中 a R, (0,).(1)求 a,的值 ;(2)若 f =- , ,求 sin 的值 .解析 (1)因为 f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+)是奇函数 ,而 y1=a+2cos2x为偶函
12、数 ,所以 y2=cos(2x+)为奇函数 ,又 (0,),则 = ,所以 f(x)=-sin 2x(a+2cos2x),由 f =0得 -(a+1)=0,即 a=-1.(2)由 (1)得 , f(x)=- sin 4x,因为 f =- sin =- ,即 sin = ,又 ,从而 cos =- ,所以有 sin =sin cos +cos sin = .考点 三角函数的求值和化简1.(2018山东济南第一次模拟 ,5)若 sin = ,A ,则 sin A的值为 ( )A. B. C. 或 D. 三年模拟A组 2016201 8年 高考模拟 基础题 组答案 B A , A+ , cos 0,
13、且 cos =- =- , sin A=sin =sin cos -cos sin = ,故选 B.2.(2018山西第一次模拟 ,3)已知 tan =3,则 = ( )A.-3 B.- C. D.3答案 D tan =3, = =tan =3.故选 D.3.(2017山西长治二中等五校第四次联考 ,3)若 cos = ,为第四象限角 ,则 cos 的值为 ( )A. B. C. D. 答案 B 因为 cos = ,为第四象限角 ,则 sin =- ,故 cos = cos - sin = = ,故选 B.4.(2017河北冀州第二次阶段考试 ,8)(1+tan 18)(1+tan 27)的值
14、是 ( )A. B. C.2 D. 答案 C (1+tan 18)(1+tan 27)=1+tan 18+tan 27+tan 18tan 27=1+tan 45(1-tan 18tan 27)+tan 18tan 27=2.5.(2018湖南三湘名校教育联盟第三次联考 ,13)已知 cos = ,则 cos = .答案 解析 因为 cos =sin =sin = ,所以 cos =1-2sin2 = .故答案为 .6.(2017湖南长沙一模 ,15)化简 : = .答案 2sin 解析 = = =2sin .B组 20162018 年高考模拟 综合题组(时间 :30分钟 分值 :40分 )一
15、、选择题 (每小题 5分 ,共 25分 )1.(2018安徽江淮十校第三次 (4月 )联考 ,7)已知 tan = ,则 sin2 = ( )A. B. C. D. 答案 B 由题意得 tan = = ,解得 tan =- ,则 sin2 = = += + = ,选 B.方法总结 已知 tan =m,求解关于 sin ,cos 的齐次式问题 ,必须注意以下几点 : 一定是关于sin ,cos 的齐次式 (或能化为齐次式 )的三角函数式 . 因为 cos 0,所以可以用 cosn(n N*)除之 ,这样可以将被求式化为关于 tan 的表达式 ,可把 tan =m代入 ,从而完成被求式的求值运算
16、. 注意 1=sin2+cos2的运用 .2.(2017陕西榆林二模 ,8)若 cos = ,则 cos 的值为 ( )A. B.- C. D.- 答案 A cos = , cos =2cos2 -1=2 -1=- , cos =cos =-cos = .故选 A.3.(2017广东七校 12月联考 ,7)锐角 ,满足 cos = ,cos(2+)= ,那么 sin(+)= ( )A. B. C. D. 答案 D 由于 ,均为锐角 ,cos(2+)= ,cos = ,所以 sin = ,sin(2+)= ,所以 sin(+)=sin(2+)-=sin(2+)cos -cos(2+)sin =
17、- = ,故选 D.方法总结 三角函数恒等变换的 “四大策略 ”.(1)常值代换 :特别是 “1”的代换 ,1=sin2+cos2=tan 45等 ;(2)项的分拆与角的配凑 :如 sin2+2cos2=(sin2+cos2)+cos2,=(+)-,=-(-), =- 等 ;(3)降次与升次 :正用二倍角公式升次 ,逆用二倍角公式降次 ;(4)弦、切互化 :一般是切化弦 .4.(2017湖南邵阳二模 ,9)若 tan cos =sin -msin ,则实数 m的值为 ( )A.2 B. C.2 D.3答案 A 由 tan cos =sin -msin ,可得 sin cos =cos sin -msin cos ,即 sin cos =cos sin -msin cos ,即 sin2 =cos2 - sin ,亦即 sin =cos , = , m=2 ,故选 A.5.(2016河北名师俱乐部 3月模拟 ,8)已知 ,sin -cos =- ,则 = ( )A. B. C. D. 答案 D 解法一 :由 sin -cos =- 得 sin = , , 0 - , cos = .故 = = = = =2cos = .解法二 :由 sin -cos =- ,sin2+cos2=1,且 ,解得 sin = ,cos = , = (sin +cos )= = .故选 D.
