广东省佛山市普通高中学校2018届高三数学4月月考模拟试题（打包5套）.zip

- 1 -广东省佛山市普通高中学校 2018 届高三数学 4 月月考模拟试题满分150分，时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 1,23A， 3BA， 1,2345，则集合 B的子集的个数为A．6 个 B．7 个 C．8 个 D．9 个2.命题“ 2,0xR”的否定是A.  B. 2,0xRC. 2,x D.3.已知 表示两个不同的平面， l为 内的一条直线，则“ A”是“ l”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.函数 ()2sinfxx的零点个数为A.1 B.2 C.3 D.45.不等式 216ab对任意 ,(0)a恒成立，则实数 x的取值范围是A. (,0) B.(,2) C. 4,2 D.(,4)(2,)6.如右图所示，程序框图输出的所有实数对 ),(yx所对应的点都在函数A.y＝x＋1 的图象上 B.y＝2x 的图象上C.y＝ 2的图象上 D.y＝ 12x的图象上7.在区间 0,上随机取一个数 x，则事件 sinco1x“”发生的概率为A. 14 B. 13 C. 2 D. 238.定义：函数 ()fx的定义域为 D，如果对于任意的 1xD，存在唯一的 2xD，使得12(fc（其中 为常数）成立，则称函数 ()f在 D 上的几何均值为 c. 则下列函数在其定义域上的“几何均值”可以为 2 的是开始 1,xy结束输出 (,)xy4?x是12否- 2 -A. 21yx B. sin3yx C. xye( 为自然对数的底) D. lnyx9.已知抛物线 240p()与双曲线210a,b)有相同的焦点 F，点 A 是两曲线的一个交点，且 AF y轴，则双曲线的离心率为A． 512 B． 21 C． 31 D． 2110. 设 ,xy满足约束条件360,xy，若目标函数 zaxby （ 0， b）的最大值为 8，点 P为曲线 21(0)3yx上动点，则点 P到点 (,)的最小距离为A． 713 B．0 C． 71326 D．1 第Ⅱ卷（非选择题，共 100 分）二、填空题: 本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11.若 53sin， 为第二象限角，则 tan() . 12.设复数 1aiz，其中 为实数，若 z的实部为 2，则 z的虚部为 .13.已知正方形 ABCD的边长为 1，则 BDA .14.某行业从 2013 年开始实施绩效工资改革，为了解该行业职工工资收入情况，调查了 1000名该行业的职工，并由所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，由图可知中位数为________. 现要从这 1000 人中再用分层抽样的方法抽出 100 人作进一步调查， 则月收入在 [350,4)（元）内应抽出 人.15. 某三棱锥 PABC的正视图为如图所示边长为 2 的正三角形，俯视图为等腰直角三角 2000 2500 3000 3500 4000 50004500 月收入（元）频率/组距0.00010.00020.00040.00050.0003第 14 题图A BPC俯视图主视图第 15 题图- 3 -形， 则三棱锥的表面积是 . 16. 挪威数学家阿贝尔，曾经根据阶梯形图形的两种不同分割（如下图） ，利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式---阿贝尔公式： 1231223341()()()()n nnababLbbLbL 则其中：（Ⅰ） 3L______________；（Ⅱ） nL______________.17.若直线 1xmy与圆 2: 0Cxymp交于 A、 B两点，且 、 两点关于直线 对称，则实数 p的取值范围为________________.三、解答题：本大题共 5 小题，共 65 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18.（本题满分 12 分）已知向量 (3sin2,cos)x， (1,2cos)nx，设函数 ()fxmn.（Ⅰ）求 )f的最小正周期与单调递增区间；（Ⅱ）在 ABC中， ,ab分别是角 ,ABC的对边，若 3a， 4)Af，求bc的最大值.19. （本题满分 12 分）如图，在四棱柱 1D中，已知平面 C1平面ABCD，且 3CA, 1D.（Ⅰ）求证： 1；（Ⅱ）若四边形 是菱形,且 601AC，求四棱柱 1DCBA的体积.20． （本题满分 13 分）数列 na是公比为 2的等比数列，且 21a是 1与31的等比中项，前 n项和为 nS；数列 nb是等差数列， 18b，前 项和 T满足 1nnb（ 为常数，且 1）.（Ⅰ）求等比数列 n的通项公式及 的值；1ACDBA1B第 19 题图- 4 -（Ⅱ）比较 1231nTT 与 2S的大小.21． （本题满分 14 分）在矩形 ABCD中， 23， 2AD， E、 F、 G、 H分别为矩形四条边的中点， 以 HF,GE所在直线分别为 x, y轴建立直角坐标系(如图所示). 若 R、 分别在线段 O、 上，且 1RFn.（Ⅰ）求证：直线 与 的交点 P在椭圆： 132yx上；（Ⅱ）若 M、 N为曲线 上两点，且直线 GM与直线 G的斜率之积为 3，求证：直线 N过定点.22.（本题满分 14 分）已知函数 Raxaxf()(23且 0）. （Ⅰ）若函数 f在 1,和 ,3上是增函数，在 31,上是减函数，求 a的值；（Ⅱ）讨论函数 ()lnfxga的单调递减区间；（Ⅲ）如果存在 ,1a，使函数 ()'(),1,()hxfxb，在1x处取得最小值，试求 b的最大值. - 5 -参考答案一、选择题：CDAAC DCCBA二、填空题：11. 34； 12. 1； 13. 0 14. 3400，25； 15. 36； 16.（Ⅰ） 23a； （Ⅱ） 123naa 17. 2p 18. 解：（Ⅰ） ()sincosicosfxmxxxAsin)6………………………3 分∴ ()f的最小正周期 2T…………………… 4 分由 2,kxkZ得 ,36kxkZ∴ ()f的单调递增区间为 ()36 ……………………6 分（Ⅱ）由 4A得 462sinA， 21sinA∵ 0 ∴ 1 ∴ 652 , 3……………8 分∴ 1BC法一：又 sinisinabcAB ∴ )0si((2)(2Bcb 303∴当 60时， bc最大为 ……………12 分法二： Aaos22即 222 )(3)()( cbbc3,1)(2cbc。当且仅当 时等号成立。 ……………12 分19.解：（Ⅰ）在四边形 ABCD中，因为 ABC， D，所以 BAC ………2 分又平面 1平面 ，且平面 1平面 B平面 ，所以 平面 ………………4 分又因为 1A平面 1C，所以 1BDA．……6 分（Ⅱ）过点 E作 于点 E，∵平面 1平面 ∴ A1平面 BCD，1ACDBA1DB1C第 19 题图E- 6 -即 EA1为四棱柱的一条高 ……8 分又∵四边形 1C是菱形,且 601AC，∴ 四棱柱 DB的高为 3sin2hE …………9 分 又∵ 四棱柱 1A的底面面积 113()2ABCDSA,…………………10 分∴ 四棱柱 1DCB的体积为 32VA …………………12 分20、解：（Ⅰ）由题意 )()(32a，即 )14()1(a解得 1a，∴ n …………………2 分又 32bT，即 )28(6d …………………4 分解得 81d或 0（舍）∴ 1 …………………6 分（Ⅱ）由（Ⅰ）知 nnS)2( …………………7 分∴ 41)(21n ① …………………9 分又 T4， )1(4)(nnT…………………11 分∴ 41)(4)312112  nn ②…12 分由①②可知 nSTT21 …………………13 分21、解：（Ⅰ）∵ 1ORCFn，∴ 3(,0)R， 1(,)n …………1 分又 (0,1)G 则直线 的方程为 yx ① …………2 分又 ,E 则直线 E的方程为 13n ② …………3 分 由①②得231(,)nP…………4 分 - 7 -∵2223()14(1)()nn…………5 分 ∴直线 ER与 G的交点 P在椭圆 2:3xy上 …………6 分（Ⅱ）① 当直线 MN的斜率不存在时，设 (3)MNtt则22(,1),(1)33tt∴ 1Gk ,不合题意 …………8 分 ② 当直线 的斜率存在时，设 :yxb 12(,)(,)yNx联立方程 213ykxb得 22(3)630k则 21()0kb,，212123,3bxxkkA………10 分 又 1212121  bkyxGNM即 221(3)3()3()0kkbxb将212126,xkA代入上式得 3 …………13 分 ∴直线过定点 (0,3)T …………14 分 22.解：（Ⅰ） 2'()fxax …………………1分函数 ()f在 1,和 ,3上是增函数，在 31,上是减函数，∴ 1,3为 ()fx的两个极值点，∴'(1)0'3f即203a…………………3 分解得： a …………………4 分（Ⅱ） 2()lngxax， ()g的定义域为 0,，- 8 -2213()33'()21axaxagxa…………………5 分当 0时，由 '()0g解得 (,)， (g的单调减区间为 1(0,) …………7 分当 时，由 'x解得 2a， )x的单调减区间为 3,)2a……9 分（Ⅲ） 3()(1)()ha，据题意知 (1)h在区间 b上恒成立，即 2130xx① …………………10 分当 时，不等式 ①成立；当 b时，不等式①可化为 2(1)(3)0axa② ………………11 分令 2()(1)(3)xax，由于二次函数 的图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间上的最小值必在端点处取得，又 ()4，所以不等式②恒成立的充要条件是 ()0b，即 2()10aba …………………12 分即231，因为这个关于 的不等式在区间 ,1上有解，所以2max177()122bb…………………13 分又 ，故 b， max1 …………………14 分- 1 -广东省佛山市普通高中学校 2018 届高三数学 4 月月考模拟试题满分 150 分。时间 120 分钟。第Ⅰ卷 选择题部分（共 50 分）一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集 U＝R，集合 }2{xyxA集合 },2{RxyB，则BACR)(A.2x B. 01x C.  D． 02．设复数 ),()1*Nniizn 是 虚 数 单 位其 中 ，若 Rz，则 n的最小值为（ ）A．3 B．4 C．5 D．63. 已知 Ra，则“ 2”是“ ax”恒成立”的 （ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．下列命题中，错误的是 （ ）A.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B.如果平面 垂直平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 C.如果平面 不垂直平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面D.若直线 l不平行平面 ，则在平面 内不存在与 l平行的直线5. 已知数列 na中， nan11,，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第 10 项，则判断框内的条件是 ( ) A． ≤8? B． ≤9? C． ≤10? D.n≤1?。- 2 -6．将函数 )32cos(xy的图象向左平移 6个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得函数图象的一条对称轴是 （ ）A． 3x B. 6 C． x D. 2x7.若不等式组120xy表示的平面区域经过四个象限，则实数 的取值范围是（ ）A． (,) B． [1,] C． [1,2) D． [1,)8．从 87654321这 个数字中任取 3个不同的数字构成一个 3维数组 ),(3zyxA，若 zyx是 的倍数，则满足条件的数组 3A共有 （ ）A． 组B． 21组C． 120组D． 20组9．已知双曲线 )0,(2ba的左右焦点为 21,F，P 是双曲线上异于实轴端点的点，满足 121tntnFPFc，则双曲线的离心率 e 的取值范围是（ ）A. )3,1( B. ),( C. ),( D. )21,(10.定义在全集 X上的特征函数 ACxfXA,10,那么，对于 XB,,下列命题中正确的是 ( )A. xffBABA),( B. xffAAX ,1)(C. xf)( D. XxBB)(第 II 卷 非选择题部分(共 100 分)二、填空题（本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分）11．设 2sin)co(sinf ，则 )31f的值为_______ _____.12．二项式6xm的展开式中 x的系数为 60，则实数 m等于 ．13.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 _ .- 3 -14．设实数 }12,0{ba ，且满足不等式 013ba.若 ,ba则 E ____.15.已知数列 201*3* ,)7(6,542:)( NnNnnn 则且满 足 。16. 如图，线段 AB长度为 2，点 ,AB分别在 x非负半轴和 y非负半轴上滑动，以线段 为一边，在第一象限内作矩形 CD， B， O为坐标原点，则 ODC的取值范围是 .17．已知函数 ,13)(Rxxf， }1|{tx，}||{B集合 BA只含有一个元素，则实数 t 的取值范围是 三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18． （本题满分 14 分）在 AC中，角 A、 B、 C 的对边分别为 ,abc，且满足 (2).acBACcA（1）求角 B 的大小；（2）若 ||6，求 面积的最大值．19． （本小题满分 14 分）已知数列 },{na对于任意 2，在 1na与 之间插入 n个数，构成的新数列 }{nb成等差数列，并记在 1与 n之间插入的这 个数均值为 1C.（1）若 )83(2an，求 321,C；（2）求出所有的满足条件的数列 }{na.20． (本小题满分 14 分)如图所示， ABD是边长为 a的正方形， ABP是以角 为直角的等腰三角形.（Ⅰ） H为 BD上一点，且 H平面 P，求证：平面 CD平面 ；（Ⅱ）若 aPC3，求二面角 的余弦值. HBPA第 20题- 4 -21． (本小题满分 15 分)．已知 1F、 2分别为椭圆 1C： )0(12baxy的 上、下焦点，其中 1F也是抛物线 2C： yx4的焦点，点 M是 与 在第二象限的交点，且351M。（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点 P（1，3）和圆 O： 22byx，过点 P 的动直线 l与圆O相交于不同的两点 A，B，在线段 AB 取一点 Q，满足： 0AB，0AQ（ 且 1） 。求证：点 Q 总在某定直线上。22． (本小题满分 15 分) 已知函数 )0(ln)(2axf（Ⅰ）若 2'(1fx对任意的 0x恒成立，求实数 的取值范围；（Ⅱ）当 a时，设函数 fg)(，若 1),1(,22xex，求证4212)(xx- 5 -参考答案一、选择题 1-5 ABCDB; 6-10 CDCBB二、填空题11． 98 12. 2 13. 3 14. 2 15. 5 16. ]3,1[ 17. )13,0( 三、解答题18．解：（1）条件可化为 (2)cosaBbC根据正弦定理有 sinincsA --------------------------------- 3 分∴ 2sincosi()BC，即 2siosiAB因为 0A，所以 co，即 4．------------------------------------- 6 分（2）因为 ||6B所以 |CA，即 2b， -------------------------------------------8 分根据余弦定理 22cosaB，可得 6c --------------------------------------------- 10 分有基本不等式可知 262(2)acacac即 3(2)ac， ------------------------------------------------------ 12 分故△ ABC 的面积 123(1)sin4SacBac即当 a =c= 36时，△ ABC 的面积的最大值为 2)1(． -------------------------14 分 - 6 -19.解：（1）由题意 ,10,5,12431 aa——————————————2 分在 1a与 2之间插入-1,0， 21C；在 2与 3之间插入 2、3、4， 32C；在 3与 4之间插入 6、7、8、9， 53；所以， 1， 2， 153——6 分（2）由题意满足条件的数列 },{na应满足 1nan，——————8 分∴ 121nan，累乘得： )2(3121n————————10 分再累加得 112)4()(6aan（ ）——————————12 分又∵ 1时也满足条件，∴ 112)4(6ann  ),(2R————14 分20.解：（Ⅰ） AH平面 ,PBD平面 PBPB， ……3 分又 ,平面 C, …………6 分而 平面 A平面 BD平面 P. …………7 分（Ⅱ）解法一： /,BCDPB又 平面 2a过 作 E于 ，过 作 F于 ,过 E作 /GF交 BD于 ，连结 AG则 AG是二面角 的平面角. ……………… 9 分在 DP中， 1cos2A, 7sin2AP由面积相等得 74Ea， 5P， ………………10 分同理可得 ,2aBFDEFHBCPA第 20题- 7 -DEG∽ FB35EGDF， aDGaE523,207 …11 分在 A中， 2cos4HAH1 ………… 12 分在 EG中，22cos 7EG， 即二面角 APDB的余弦值为 17 . ……………………14 分（Ⅱ）解法二：如图，以 A为 x轴， BP为 y轴，以过 B,且垂直于平面 ABP的直线为z轴建立空间直角坐标系 yz，易得 (0,)(0)(,)Aa ………8 分由 ,,C知 平面 C, …………9 分又由 ,3BPa， 12CBP° ……………10 分可得 (0,),(,)22CDa …11 分则平面 PB的法向量为 3,0n………12 分平面 A的法向量为 (1)m…13 分 故 1cos,7n即二面角 PDB的余弦值为 7. ………14 分21． （本小题满分 15 分）（Ⅰ）由 2C： yx4知 1F（0，1） ，设 )0(,0xyM ，因 M 在抛物线 2C上，故0 ① 又 35，则 351 ②，由①②解得 2,600yx ………………4 分椭圆 1C的两个焦点 1F（0，1） ， )1,(2，点 M 在椭圆上，有椭圆定义可得 212MayzxHBDCPA- 8 -22)13()06( 22)13()06(4∴ ,a又 c，∴ 22cab，椭圆 1C的方程为： 134xy。 ……………7 分（Ⅱ）设 ),(,(),(21QBxA， 由 0P可得： )3,1(,121yxyx，即 )(321yx ……………10 分由 0AQB可得： ),(),( 21yxyx，即 yyx)1(21 ⑤×⑦得： x)(22⑥×⑧得： 321y ………………12 分两式相加得 )3(1)()( 22yxyxx ………………13 分又点 A，B 在圆 2上，且 ，所以 321yx， 32yx即 ，所以点 Q 总在定直线 3yx上 ………………15 分22． （本小题满分 15 分）（Ⅰ） xaxf)ln(2)(' ………………2 分2' 1，即 xa1ln2在 0上恒成立设 xaxuln)(2,01' ， 时，单调减， 2x单调增，所以 2x时， )(xu有最大- 9 -值 )2(u………………4 分21ln,0a，所以 20ea………………6 分（Ⅱ）当 时， xfxgln)(,exg,0ln1)(,所以在 ),1(e上 (xg是增函数， )1,0(e上是减函数……………7 分因为 121xe，所以 11212121 ln)(ln()()( xgxxg 即 )ln(ln211x同理 )l(l 2121xx………………9 分所以 )ln()2()ln()(ln 2121112211 xxx又因为 ,421x当且仅当“ 21”时，取等号………………10 分又 ),(,221ex， 0)ln(21x………………12 分所以 l4)l(21212x所以 )ln(ln211x所以： 42x…………15 分- 1 -广东省佛山市普通高中学校 2018 届高三数学 4 月月考模拟试题第Ⅰ卷（共 5 0 分）一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合 12xA， xB，则 BAA． 0 B． 0 C． 1x D． 1x 2．设 zi（ 是虚数单位） ，则 2+3zA． 1 B． 1i C． 2i D． 2i 3．设等比数列 {}na的公比 2q，前 n项和为 nS，则 4a A． 1 B． 8 C． 15 D． 16 4．已知 ,是两个不同的平面， m,是两条不同的直线，则下列命题不正确的是A．若 m/， 则 / B．若 m,， 则 C．若 n,，则 n D．若 ， 则 /5．椭圆 142yx的焦点到直线 02yx的距离为A． B． 3 C． 1 D． 2 6．已知 a与 b均为单位向量，其夹角为 ，则命题 p： ba，是命题 q：5,2的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知数列 na中， 1， nan，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10 项的值 S，则判断框内的条件是A． 8 B． 9 C． 10 D． 1- 2 -8．若实数 x， y 满足不等式组 0,725yx，若 x、 y为整数，则 34xy 的最小值为A．14 B．16 C．17 D．199．函数 )(xf= )sin (R) )2,的部分图像如图所示，如果 3,6,21，且 ()1xff，则 )(21xfA．1 B． C． 2 D． 310．已知双曲线2:xyCab的左、右焦点分别是 12,F，正三角形12F的一边 1与双曲线左支交于点 B，且 4A，则双曲线 C的离心率的值是A． 3 B． 312 C． 3 D． 13第Ⅱ卷（共 100 分）二、填空题（本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分）11．已知某学校高三年级的①班和②班分别有 m人和 n人，某次学校考试中，两个班学生的数学平均分分别为 ab和 ，则这两个班学生的数学平均分为 ▲ 。12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ▲ 。13．一个不透明的袋中装有 4 个白球、3 个红球（7 个球除颜色外其余完全相同） ，经充分混合后，从袋中随机摸出 2 球，则摸出的 2 球中至少有一个是白球的概率为▲ 。14．设直线 4axy与直线 bxy8关于直线 xy对称，则 ba ▲ 。15．若 ， b均为正实数，且 am恒成立，则 的最小值是 ▲ 。16．若函数  yfxR满足 )()1(xfxf，且 1,时， 21fx，函数xyO631（第 9 题）正视图 侧视图俯视图 （第 12 题）21- 3 -lg 01x，则函数 hxfgx在区间 5,内的零点的个数为 ▲ 。17．在某条件下的汽车测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息：时间 油耗（升/100 公里） 可继续行驶距离（公里）10︰00 9．5 30011︰00 9．6 220注：油耗 加 满 油 后 已 用 油 量 汽 车 剩 余 油 量,可 继 续 行 驶 距 离 =加 满 油 后 已 行 驶 距 离 当 前 油 耗指 定 时 间 内 的 用 油 量平 均 油 耗 指 定 时 间 内 的 行 驶 距 离从以上信息可以推断在 10︰00—11︰00 这一小时内下列中结论正确的有 ▲ 。①行驶了 80 公里； ②行驶不足 80 公里；③平均油耗超过 9.6 升/100 公里； ④平均油耗恰为 9.6 升/100 公里；⑤平均车速超过 80 公里/小时。三、解答题（本大题共 5 小题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）18． （本小题满分 14 分）已知向量 )1,4sin3(xm， )4cos,(2x．记 nmf)((Ⅰ) 若 ,0x，求证：向量 m和 n不可能共线；(Ⅱ) 在 ABC中，角 、 、 C的对边分别是 a、 b、 c，且满足bBcaos)2(， 若 32f()，试判断 AB的形状．19． （本小题满分 14 分）设公差为 d（ 0）的等差数列 na与公比为 q（ 0）的等比数列 nb有如下关系： 21ba， 3ba， 53．（Ⅰ）求 n和 的通项公式；（Ⅱ）记 20321,,A ， 20321,,bB ， BAC，求集合 C中的各元素之和。- 4 -20． （本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 PABCD中，底面为直角梯形， AB∥ DC， =90，且6,2,3PAB， E为 P中点．（I）求证： ；（II）求直线 与平面 BE所成角的正弦值．21． （本小题满分 15 分）已知函数 xfln， xeg．（Ⅰ）若函数 1f，求函数 的单调区间； （Ⅱ）设直线 l为函数 )(x的图象上一点 0,xfA处的切线，证明：在区间 ,1上存在唯一的 0x，使得直线 l 与曲线 gy相切．22．(本小题满分 15 分)如图，已知抛物线 C： pxy2和⊙ M： 4)(2yx，过抛物线 C上一点),(0yxH作两条直线与⊙ 相切于 A、 B两点，分别交抛物线为 E、 F 两点，圆心点 到抛物线准线的距离为 29．(Ⅰ)求抛物线 C的方程；(Ⅱ)当 AHB的角平分线垂直 x轴时，求直线EF的斜率；(Ⅲ)求证：对任意的动点 ，直线 EF恒与⊙ M相（第 20 题）MHAFxO E BACBPED- 5 -切．参考答案 一． 选择题 : 本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 共 50 分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C A C A C B B B D D二、填空题（本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分）11、 nmba 12、6 13、 14、 415、 2 16、 8 17、②③三、解答题：（本大题共 5 小题，共 52 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．解：（I） （反证法） 。假设 m与 n共线。则 04cos.4sin32xx),(， 40x 04cosx …………3 分则 132si而 )1.(2sin这是不可能的， m和 不可能共线。 ……7 分（Ⅱ） 4cos4sin)( 2xxxf 12i31)6in(………9 分3)6sin()(Af ． AO． 326．2………11 分又由正弦定理得． CBSinCcos.incos)(32sco3B210  因此 A为正三角形 ………14- 6 -分19、解：（I）由已知 5)1(232dbq， 5)12(qd…………2 分032d得 或 …………4 分又 1q q …………6 分na， 21nb…………7 分（Ⅱ） 集合 A中的元素和为： 23019020S 集合 B中的元素和为： )(461)(20 T …………9 分集合 A与集合 的相同元素和为： 30232 …………11 分集合 C中的元素和为： 4620S …………14 分20、 （I）证明： ,PBRtAC中 =9B在平面 D内的射影 O为 的中点，连接 O，则 平面 PD …………3 分在直角梯形 中， ∥ ， 0，6,2,3ABCDABC∽ BAC …………5 分POD平面 P …………7 分（II）设 、 交于 F，则 13,4, 取 E中点 G，连接 、 E，则 1PA∥ PCF与平面 BD所成的角即为 与平面 BDE所成的角 …………10 分,为 中点 AEPA平面 ，即 G平面为 与平面 所成的角 …………12 分在 RtF中， 139,4242PFPCFGBAEDCPO- 7 -1sin3GEF PC与平面 BDE所成角的正弦值为 31． …………14分【注】用空间向量方法解答，相应给分。21、解：解：（Ⅰ） 1()xxflnx，221． …………2 分∵ 0x且 ，∴ 0∴函数 ()的单调递增区间为 ，和 1,． …………6 分（Ⅱ）∵ 1fx ，∴ 01()fx，∴ 切线 l的方程为 0ln)y, 即 00ln1yx, ①…………8分设直线 l与曲线 ()gx相切于点 1(,xe，∵ ()gxe，∴ 10，∴ 0ln． …………10 分∴直线 l也为 0lyx， 即 00ln1xy， ②…………12分由①②得 00ln1lxx， ∴ 0ln1x． …………13分下证：在区间（1，+ ）上 0存在且唯一.由（Ⅰ）可知， ()x1ln在区间 ,+（ ） 上递增．又 12()ln0ee，22213()ln0ee，结合零点存在性定理，说明方程 x必在区间 2(,)上有唯一的根，这个根就是所求的唯一 0x．故结论成立． …………15 分22、解：（Ⅰ） (4,)M到抛物线 C： pxy2的准线 2p的距离为912p 抛物线 C的方程为 2yx ……………………3 分（Ⅱ）法一：∵ AHB的角平分线垂直 x轴，∴ HEFk， (4,)- 8 -设 1(,)Exy， 2(,)F，000102212yyx1204212121EFyykxy…………8 分法二：∵ AHB的角平分线垂直 x轴， (4,)H，∴ 1,k， 当 (4,2)时， :2HAlyx，22 840yx(6,2)E，同理(642,)F24EFk，当 (,2)H时，同理 4EFkEF……………8 分（Ⅲ）法一：由（Ⅱ）解答可知 HAk斜率存在，且直线 0)(2: 2121yyx∴圆 M到 EF 的距离 21)(4|8|d …………10 分同理有： 2)(4|8|||121y0488)(2020yy- 9 -48201y 48201y…………13 分∴ )(2)48(|| 020yyd∴直线 EF与圆 M恒相切。 ………15 分法二：由题意可知 HAk斜率存在， ① 当 B不存在时，易得⊙ 为正 EF的内切圆，命题成立. ………10 分② 当 Hk存在时，原命题即为由⊙ 为 H的内切圆出发，去求解 H的坐标，必不可能有有限个解.10102HEyxy， 0012:()HElyx由 (4,)M到 HEl的距离为 2 可得 220010(4)848y同理 22y20012128,44yy……12 分同理可得 21010228,yy，两式相加得 ………13 分2112212 0 028(4)(46)y yy y12208()()（ ） y12 12200344()yy，代入上式得 01212 20 012 0 02020 848[()]()()861644yy yy y恒成立，- 10 -对任意的动点 H，直线 EF恒与⊙ M相切． ………15 分