1、8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积高考文数 ( 课标专用 )考点一 空间几何体的三视图1.(2018课标全国 ,9,5分 )某圆柱的高为 2,底面周长为 16,其三视图如图 .圆柱表面上的点 M在正视图上的对应点为 A,圆柱表面上的点 N在左视图上的对应点为 B,则在此圆柱侧面上 ,从 M到N的路径中 ,最短路径的长度为 ( )A.2 B.2 C.3 D.2A组 统一命题 课标卷题组五年高考答案 B 本题主要考查空间几何体的三视图、直观图以及最短路径问题 .由圆柱的三视图及已知条件可知点 M与点 N的位置如图 1所示 ,设 ME与 FN为圆柱的两条母线 ,沿 FN将圆柱侧面展开 ,如图
2、2所示 ,MN即为从 M到 N的最短路径 ,由题知 ,ME=2,EN=4, MN=2 .故选 B.图 1图 2方法点拨 1.由三视图还原直观图需遵循以下三步 :(1)看视图明关系 ;(2)分部分想整体 ;(3)合起来定整体 .2.解决空间几何体表面上两点间的最短路径问题的常用方法 :把立体图形展为平面图形 ,利用两点之间线段最短进行求解 .2.(2018课标全国 ,3,5分 )中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来 .构件的凸出部分叫榫头 ,凹进部分叫卯眼 ,图中木构件右边的小长方体是榫头 .若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体 ,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 ( )答案 A
3、 本题考查空间几何体的三视图 .两木构件咬合成长方体时 ,榫头完全进入卯眼 ,易知咬合时带卯眼的木构件的俯视图为 A.故选 A.考点二 空间几何体的表面积1.(2018课标全国 ,5,5分 )已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1,O2,过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8的正方形 ,则该圆柱的表面积为 ( )A.12 B.12 C.8 D.10答案 B 本题主要考查圆柱的表面积及圆柱的轴截面 .设圆柱的底面半径为 r,高为 h,由题意可知 2r=h=2 , 圆柱的表面积 S=2r2+2rh=4+8=12.故选 B.解题关键 正确理解圆柱的轴截面及熟记圆柱的表面积公式是解决本题
4、的关键 .2.(2016课标全国 ,4,5分 )体积为 8的正方体的顶点都在同一球面上 ,则该球的表面积为 ( )A.12 B. C.8 D.4答案 A 设正方体的棱长为 a,则 a3=8,解得 a=2.设球的半径为 R,则 2R= a,即 R= ,所以球的表面积 S=4R2=12.故选 A.方法点拨 对于正方体与长方体 ,其体对角线为其外接球的直径 ,即外接球的半径等于体对角线的一半 .3.(2016课标全国 ,7,5分 )下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图 ,则该几何体的表面积为 ( )A.20 B.24C.28 D.32答案 C 由三视图知圆锥的高为 2 ,底面半径为 2,则圆锥
5、的母线长为 4,所以圆锥的侧面积为 44=8.圆柱的底面积为 4,圆柱的侧面积为 44=16,从而该几何体的表面积为 8+16+4=28,故选 C.4.(2016课标全国 ,7,5分 )如图 ,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径 .若该几何体的体积是 ,则它的表面积是 ( )A.17 B.18 C.20 D.28答案 A 由三视图知该几何体为球去掉了 所剩的几何体 (如图 ),设球的半径为 R,则 R3= ,故 R=2,从而它的表面积 S= 4R2+ R2=17.故选 A.解后反思 球的表面积公式和体积公式要记准、记牢 ;在计算表面积时 “不重不漏 ”是关键所在 .
6、5.(2016课标全国 ,10,5分 )如图 ,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图 ,则该多面体的表面积为 ( )A.18+36 B.54+18 C.90 D.81答案 B 由三视图可知 ,该几何体是底面为正方形 (边长为 3),高为 6,侧棱长为 3 的斜四棱柱 .其表面积 S=232+233 +236=54+18 .故选 B.易错警示 学生易因空间想象能力较差而误认为侧棱长为 6,或漏算了两底面的面积而致错 .6.(2015课标 ,10,5分 ,0.459)已知 A,B是球 O的球面上两点 , AOB=90,C为该球面上的动点 .若三棱锥 O-ABC体积的最大值为
7、 36,则球 O的表面积为 ( )A.36 B.64 C.144 D.256答案 C AOB的面积为定值 ,当 OC垂直于平面 AOB时 ,三棱锥 O-ABC的体积取得最大值 .由R3=36得 R=6.从而球 O的表面积 S=4R2=144.故选 C.思路分析 VO-ABC=VC-AOB.当 OC垂直于平面 AOB时 ,三棱锥 C-AOB,即三棱锥 O-ABC的体积最大 ,此时可求出球 O的半径 ,从而求出球 O的表面积 .7.(2015课标 ,11,5分 ,0.629)圆柱被一个平面截去一部分后与半球 (半径为 r)组成一个几何体 ,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示 .若该几何体的表
8、面积为 16+20,则 r= ( )A.1 B.2 C.4 D.8答案 B 由已知条件可知 ,该几何体由圆柱的一半和半球组成 ,其表面积为 2r2+r2+4r2+2r2=5r2+4r2.由 5r2+4r2=16+20得 r=2.故选 B.8.(2017课标全国 ,15,5分 )长方体的长 ,宽 ,高分别为 3,2,1,其顶点都在球 O的球面上 ,则球 O的表面积为 .答案 14解析 本题考查长方体和球的性质 ,考查了球的表面积公式 .由题意知长方体的体对角线为球 O的直径 ,设球 O的半径为 R,则 (2R)2=32+22+12=14,得 R2= ,所以球 O的表面积为 4R2=14.疑难突破
9、 明确长方体的体对角线为球 O的直径是求解的关键 .易错警示 易因用错球的表面积公式而致错 .9.(2017课标全国 ,16,5分 )已知三棱锥 S-ABC的所有顶点都在球 O的球面上 ,SC是球 O的直径 .若平面 SCA 平面 SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥 S-ABC的体积为 9,则球 O的表面积为 .答案 36解析 解法一 :由题意作出图形 ,如图 .设球 O的半径为 R,由题意知 SB BC,SA AC,又 SB=BC,SA=AC,则 SB=BC=SA=AC= R.连接OA,OB,则 OA SC,OB SC,因为平面 SCA 平面 SCB,平面 SCA 平面 SCB=SC,所
10、以 OA 平面 SCB,所以OA OB,则 AB= R,所以 ABC是边长为 R的等边三角形 ,设 ABC的中心为 O1,连接 OO1,CO1.则 OO1 平面 ABC,CO1= R= R,则 OO1= = R,则 VS-ABC=2VO-ABC=2 ( R)2 R= R3=9,所以 R=3.所以球 O的表面积 S=4R2=36.解法二 :由题意得 AO SC,BO SC,所以 AOB是平面 SCA与平面 SCB所成二面角的平面角 ,又因为 AO BO=O,所以 SC 平面 ABO.因为平面 SCA 平面 SCB,所以 AOB=90,所以 VS-ABC=VS-ABO+VC-ABO= SC=9.由
11、于 OA=OB= SC,从而球 O的半径 R=OA=OB=3,故球 O的表面积 S=4R2=36.考点三 空间几何体的体积1.(2018课标全国 ,10,5分 )在长方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,AB=BC=2,AC1与平面 BB1C1C所成的角为 30,则该长方体的体积为 ( )A.8 B.6 C.8 D.8 答案 C 本题主要考查长方体的体积及直线与平面所成的角 .如图 ,由长方体的性质可得 AB 平面 BCC1B1, BC1为直线 AC1在平面 BCC1B1内的射影 , AC1B为直线 AC1与平面 BCC1B1所成的角 ,即 AC1B=30,在 Rt ABC1中 ,AB=2,
12、AC1B=30, BC1=2 ,在 Rt BCC1中 ,CC1= = =2 , 该长方体的体积 V=222 =8 ,故选 C.易错警示 不能准确理解线面角的定义 ,无法找出直线与平面所成的角 ,从而导致失分 .方法总结 用定义法求线面角的步骤 :(1)找出斜线上的某一点在平面内的射影 ;(2)连接该射影与直线和平面的交点即可得出线面角 ;(3)构建直角三角形 ,求解得出结论 .2.(2018课标全国 ,12,5分 )设 A,B,C,D是同一个半径为 4的球的球面上四点 , ABC为等边三角形且其面积为 9 ,则三棱锥 D-ABC体积的最大值为 ( )A.12 B.18 C.24 D.54 答案
13、 B 本题考查空间几何体的体积及与球有关的切接问题 .设等边 ABC的边长为 a,则有 S ABC= aasin 60=9 ,解得 a=6.设 ABC外接圆的半径为 r,则 2r= ,解得 r=2 ,则球心到平面 ABC的距离为 =2,所以点 D到平面 ABC的最大距离为 2+4=6,所以三棱锥 D-ABC体积的最大值为 9 6=18 ,故选 B.方法总结 解决与球有关的切、接问题的策略 :(1)“接 ”的处理 : 构造正 (长 )方体 ,转化为正 (长 )方体的外接球问题 . 空间问题平面化 ,把平面问题转化到直角三角形中 ,作出适当截面 (过球心 ,接点等 ). 利用球心与截面圆心的连线垂
14、直于截面定球心所在直线 .(2)“切 ”的处理 : 体积分割法求内切球半径 . 作出合适的截面 (过球心 ,切点等 ),在平面上求解 . 多球相切问题 ,连接各球球心 ,转化为处理多面体问题 .3.(2017课标全国 ,6,5分 )如图 ,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图 ,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得 ,则该几何体的体积为 ( )A.90 B.63 C.42 D.36答案 B 本题考查三视图和空间几何体的体积 .由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为 6,高为 14的圆柱 ,所以该几何体的体积 V= 3214=63.故选 B.方法总结 当所
15、给的几何体不规则时 ,可利用割补法求其体积 .4.(2015课标 ,6,5分 ,0.451)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著 ,书中有如下问题 :“今有委米依垣内角 ,下周八尺 ,高五尺 .问 :积及为米几何 ?”其意思为 :“在屋内墙角处堆放米 (如图 ,米堆为一个圆锥的四分之一 ),米堆底部的弧长为 8尺 ,米堆的高为 5尺 ,问米堆的体积和堆放的米各为多少 ?”已知 1斛米的体积约为 1.62立方尺 ,圆周率约为 3,估算出堆放的米约有( )A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛答案 B 设圆锥底面的半径为 R尺 ,由 2R=8得 R= ,从而米堆的体积 V= R25=(
16、立方尺 ),因此堆放的米约有 22(斛 ).故选 B.5.(2015课标 ,6,5分 ,0.426)一个正方体被一个平面截去一部分后 ,剩余部分的三视图如下图 ,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ( )A. B. C. D. 答案 D 如图 ,由已知条件可知 ,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,截去三棱锥 A-A1B1D1后剩余的部分即为题中三视图对应的几何体 ,设该正方体的棱长为 a,则截去部分的体积为 a3,剩余部分的体积为 a3- a3= a3.它们的体积之比为 .故选 D.6.(2014课标 ,7,5分 ,0.495)正三棱柱 ABC-A1B1C1的底面边长为 2,侧棱长为
17、 ,D为 BC中点 ,则三棱锥 A-B1DC1的体积为 ( )A.3 B. C.1 D. 答案 C 在正三棱柱 ABC-A1B1C1中 , AD BC,AD BB1,BB1 BC=B, AD 平面 B1DC1, = AD= 2 =1,故选 C.7.(2017课标全国 ,9,5分 )已知圆柱的高为 1,它的两个底面的圆周在直径为 2的同一个球的球面上 ,则该圆柱的体积为 ( )A. B. C. D. 答案 B 设圆柱底面的半径为 r,由题意可得 12+(2r)2=22,解得 r= . 圆柱的体积 V=r21= ,故选 B.8.(2016课标全国 ,11,5分 )在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1
18、C1内有一个体积为 V的球 .若 AB BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则 V的最大值是 ( )A.4 B. C.6 D. 答案 B 易得 AC=10.设底面 ABC的内切圆的半径为 r,则 68= (6+8+10)r,所以 r=2,因为 2r=43,所以最大球的直径 2R=3,即 R= .此时球的体积 V= R3= .故选 B.思路分析 根据题意得出最大球的直径 ,即得出最大球的半径 ,再根据球的体积公式得出答案 .9.(2018课标全国 ,16,5分 )已知圆锥的顶点为 S,母线 SA,SB互相垂直 ,SA与圆锥底面所成角为 30.若 SAB的面积为 8,则该圆锥的体积为 .答案 8
19、解析 本题主要考查圆锥的性质和体积 ,直线与平面所成的角 .设圆锥底面半径为 r,母线长为 l,高为 h,因为母线 SA与底面所成的角为 30,所以 l= r.由 SAB的面积为 8得 l2=8,即 r2=8,所以 r2=12,h= r=2.所以圆锥的体积为 r2h= 122=8.疑难突破 由母线与底面所成的角找到圆锥的底面半径 r与母线长 l、高 h的等量关系是解决本题的突破口 .10.(2018课标全国 ,18,12分 )如图 ,在平行四边形 ABCM中 ,AB=AC=3, ACM=90.以 AC为折痕将 ACM折起 ,使点 M到达点 D的位置 ,且 AB DA.(1)证明 :平面 ACD
20、 平面 ABC;(2)Q为线段 AD上一点 ,P为线段 BC上一点 ,且 BP=DQ= DA,求三棱锥 Q-ABP的体积 .解析 (1)证明 :由已知可得 , BAC=90,BA AC.又 BA AD,所以 AB 平面 ACD.又 AB 平面 ABC,所以平面 ACD 平面 ABC.(2)由已知可得 ,DC=CM=AB=3,DA=3 .又 BP=DQ= DA,所以 BP=2 .作 QE AC,垂足为 E,则 QE DC.由已知及 (1)可得 DC 平面 ABC,所以 QE 平面 ABC,QE=1.因此 ,三棱锥 Q-ABP的体积为VQ-ABP= QES ABP= 1 32 sin 45=1.规
21、律总结 证明空间线面位置关系的一般步骤 :(1)审清题意 :分析条件 ,挖掘题目中平行与垂直的关系 ;(2)明确方向 :确定问题的方向 ,选择证明平行或垂直的方法 ,必要时添加辅助线 ;(3)给出证明 :利用平行、垂直关系的判定或性质给出问题的证明 ;(4)反思回顾 :查看关键点、易漏点 ,检查使用定理时定理成立的条件是否遗漏 ,符号表达是否准确 .解题关键 (1)利用平行关系将 ACM=90转化为 BAC=90是求证第 (1)问的关键 ;(2)利用翻折的性质将 ACM=90转化为 ACD=90,进而利用面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理得出三棱锥 Q-ABP的高是求解第 (2)问的关键 .11.(2015课标 ,19,12分 ,0.235)如图 ,长方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,AB=16,BC=10,AA1=8,点 E,F分别在 A1B1,D1C1上 ,A1E=D1F=4.过点 E,F的平面 与此长方体的面相交 ,交线围成一个正方形 .(1)在图中画出这个正方形 (不必说明画法和理由 );(2)求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值 .
