2019届高考数学大一轮复习 第七章 不等式学案（打包4套）理 北师大版.zip

1§7.1 不等关系与不等式最新考纲 考情考向分析1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系．2.了解不等式(组)的实际背景.以理解不等式的性质为主，本节在高考中主要以客观题形式考查不等式的性质；以主观题形式考查不等式与其他知识的综合.1．两个实数比较大小的方法(1)作差法Error! ( a， b∈R)(2)作商法Error! ( a∈R， b0)2．不等式的基本性质性质 性质内容 特别提醒对称性 ab⇔bb， bc⇒ac ⇒可加性 ab⇔a＋ cb＋ c ⇔Error!⇒acbc可乘性Error!⇒acb＋ d ⇒同向同正可乘性 Error!⇒acbd⇒可乘方性 ab0⇒anbn(n∈N， n≥1)可开方性 ab0⇒ (n∈N， n≥2)nanba， b 同为正数3.不等式的一些常用性质(1)倒数的性质① ab， ab0⇒ b0,0 .acbd④0b0， m0，则① (b－ m0)．bab＋ ma＋ m bab－ ma－ m② ； 0)．aba＋ mb＋ m aba－ mb－ m题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数 a， b 之间，有且只有 ab， a＝ b， a1，则 ab.( × )ab(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( × )(4)ab0， cd0⇒ .( √ )adbc(5)若 ab0，则 ab⇔ 0”是“ a2－ b20”的( )a bA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案 A解析 － 0⇒ a b a b⇒ab⇒a2b2，但由 a2－ b20⇏ － 0.a b3．若 01 且 2a1－ ＝ ，12 12即 a2＋ b2 ，12a2＋ b2－ b＝(1－ b)2＋ b2－ b＝(2 b－1)( b－1)，又 2b－10， b－1b0， c0 B. － D. ac，又∵ cd0，∴ ，即 .bdcdaccd bcad5．设 a， b∈R，则“ a2 且 b1”是“ a＋ b3 且 ab2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案 A解析 若 a2 且 b1，则由不等式的同向可加性可得 a＋ b2＋1＝3，由不等式的同向同正4可乘性可得 ab2×1＝2.即“ a2 且 b1”是“ a＋ b3 且 ab2”的充分条件；反之，若“a＋ b3 且 ab2”，则“ a2 且 b1”不一定成立，如 a＝6， b＝ .所以“ a2 且 b1”是12“a＋ b3 且 ab2”的充分不必要条件．故选 A.6．若－ a B． ac≥ bC． cba D． acb答案 A解析 ∵ c－ b＝4－4 a＋ a2＝( a－2) 2≥0，∴ c≥ b.又 b＋ c＝6－4 a＋3 a2，∴2 b＝2＋2 a2，∴ b＝ a2＋1，∴ b－ a＝ a2－ a＋1＝ 2＋ 0，(a－12) 34∴ ba，∴ c≥ ba.2．若 a＝ ， b＝ ， c＝ ，则( )ln 33 ln 44 ln 55A． ab；＝ ＝log 6251 0241，bc 5ln 44ln 5所以 bc.即 ce 时，函数 f(x)是减少的．因为 ef(4)f(5)，即 cac B． c(b－ a)0答案 A解析 由 c0.由 bc，得 abac 一定成立．(2)设 ab1， c ；② acloga(b－ c)．cacb其中所有正确结论的序号是( )A．① B．①②C．②③ D．①②③答案 D解析 由不等式性质及 ab1，知 ，①正确；cacb构造函数 y＝ xc，∵ cb1，∴ acb1， cb－ c1，∴log b(a－ c)loga(a－ c)loga(b－ c)，③正确．6思维升华 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．跟踪训练 若 0；③ a－ b－ ；④ln a2ln b2.1a＋ b1ab 1a 1b其中正确的不等式是( )A．①④ B．②③C．①③ D．②④答案 C解析 方法一 因为 0，所以④错误．综上所述，可排除 A，B，D.方法二 由 0，所以 0.1a＋ b 1ab故有 － a0.故－ b|a|，即| a|＋ b－ 0，1a1b 1a 1b所以 a－ b－ ，故③正确；1a 1b7④中，因为 ba20，而 y＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以 ln b2ln a2，故④错误．由以上分析，知①③正确．题型三 不等式性质的应用命题点 1 应用性质判断不等式是否成立典例 已知 ab0，给出下列四个不等式：① a2b2；②2 a2b－1 ；③ － ；④ a3＋ b32a2b.a－ b a b其中一定成立的不等式为( )A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④答案 A解析 方法一 由 ab0 可得 a2b2，①成立；由 ab0 可得 ab－1，而函数 f(x)＝2 x在 R 上是增函数，∴ f(a)f(b－1)，即 2a2b－1 ，②成立；∵ ab0，∴ ，a b∴( )2－( － )2a－ b a b＝2 －2 b＝2 ( － )0，ab b a b∴ － ，③成立；a－ b a b若 a＝3， b＝2，则 a3＋ b3＝35,2 a2b＝36，a3＋ b3b2，②2 a2b－1 ，③ － 均成立，而④ a3＋ b32a2b 不成立，故选 A.a－ b a b8命题点 2 求代数式的取值范围典例 已知－1 B． a2bn|b||a||b|＋ 1|a|＋ 1答案 C解析 (特值法)取 a＝－2， b＝－1，逐个检验，可知 A，B，D 项均不正确；C 项， 0，且 x＋ y0，则 x 与 y 之间的不等关系是( )A． x＝ y B． xyC． x0，可知 y0，可知 x0，所以 xy.2．若 f(x)＝3 x2－ x＋1， g(x)＝2 x2＋ x－1，则 f(x)， g(x)的大小关系是( )A． f(x)＝ g(x) B． f(x)g(x)C． f(x)0，则 f(x)g(x)．3．若 a， b∈R，且 a＋| b|0 B． a3＋ b30C． a2－ b2|b|，当 b≥0 时， a＋ bb0，则下列不等式中一定成立的是( )A． a＋ b＋ B. 1b 1a bab＋ 1a＋ 112C． a－ b－ D. 1b 1a 2a＋ ba＋ 2bab答案 A解析 取 a＝2， b＝1，排除 B 与 D；另外，函数 f(x)＝ x－ 是(0，＋∞)上的增函数，但1x函数 g(x)＝ x＋ 在(0,1]上是减少的，在[1，＋∞)上是增加的，所以，当 ab0 时， f(a)1xf(b)必定成立，即 a－ b－ ⇔a＋ b＋ ，但 g(a)g(b)未必成立，故选 A.1a 1b 1b 1a9．已知 a1≤ a2， b1≥ b2，则 a1b1＋ a2b2与 a1b2＋ a2b1的大小关系是__________________．答案 a1b1＋ a2b2≤ a1b2＋ a2b1解析 a1b1＋ a2b2－( a1b2＋ a2b1)＝( a1－ a2)(b1－ b2)，因为 a1≤ a2， b1≥ b2，所以a1－ a2≤0， b1－ b2≥0，于是( a1－ a2)(b1－ b2)≤0，故 a1b1＋ a2b2≤ a1b2＋ a2b1.10．已知 a， b， c， d 均为实数，有下列命题：①若 ab0， bc－ ad0，则 － 0；ca db②若 ab0， － 0，则 bc－ ad0；ca db③若 bc－ ad0， － 0，则 ab0.ca db其中正确的命题是________．(填序号)答案 ①②③解析 ∵ ab0， bc－ ad0，∴ － ＝ 0，∴①正确；ca db bc－ adab∵ ab0，又 － 0，即 0，ca db bc－ adab∴ bc－ ad0，∴②正确；∵ bc－ ad0，又 － 0，即 0，ca db bc－ adab∴ ab0，∴③正确．故①②③都正确．11．(2018·青岛调研)设abc0， x＝ ， y＝ ， z＝ ，则 x， y， z 的大小关系a2＋ b＋ c2 b2＋ c＋ a2 c2＋ a＋ b2是________．(用“”连接)答案 zyx解析 方法一 y2－ x2＝2 c(a－ b)0，∴ yx.同理， zy，∴ zyx.13方法二 令 a＝3， b＝2， c＝1，则 x＝ ， y＝ ，18 20z＝ ，故 zyx.2612．已知－12 且 y2B． x2 且 0y， ab，则在① a－ xb－ y；② a＋ xb＋ y；③ axby；④ x－ by－ a；⑤ 这五aybx个式子中，恒成立的不等式的序号是________．答案 ②④解析 令 x＝－2， y＝－3， a＝3， b＝2.符合题设条件 xy， ab.∵ a－ x＝3－(－2)＝5， b－ y＝2－(－3)＝5.14∴ a－ x＝ b－ y，因此①不成立．∵ ax＝－6， by＝－6，∴ ax＝ by，因此③不成立．∵ ＝ ＝－1， ＝ ＝－1，ay 3－ 3 bx 2－ 2∴ ＝ ，因此⑤不成立．ay bx由不等式的性质可推出②④成立．15．(2018·江门模拟)设 a， b∈R，定义运算“⊗”和“ ”如下：a⊗b＝Error! ab＝Error!若 m⊗n≥2， pq≤2，则( )A． mn≥4 且 p＋ q≤4 B． m＋ n≥4 且 pq≤4C． mn≤4 且 p＋ q≥4 D． m＋ n≤4 且 pq≤4答案 A解析 结合定义及 m⊗n≥2 可得Error!或Error!即 n≥ m≥2 或 mn≥2，所以 mn≥4；结合定义及 pq≤2，可得Error!或Error!即 qp≤2或 p≤ q≤2，所以 p＋ q≤4.16．(2017·合肥质检)已知△ ABC 的三边长分别为 a， b， c，且满足 b＋ c≤3 a，则 的取值ca范围为( )A．(1，＋∞) B．(0,2)C．(1,3) D．(0,3)答案 B解析 由已知及三角形三边关系得Error!∴Error!∴Error!两式相加，得 02× 4，ca∴ 的取值范围为(0,2)．ca1§7.2 一元二次不等式及其解法最新考纲 考情考向分析1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．本节内容在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高.1． “三个二次”的关系判别式 Δ ＝ b2－4 ac Δ 0 Δ ＝0 Δ 0)的图像一元二次方程ax2＋ bx＋ c＝0( a0)的根有两相异实根x1， x2(x10 (a0)的解集{x|xx2} Error! {x|x∈R}一元二次不等式ax2＋ bx＋ c0)的解集{x|x10 或( x－ a)(x－ b)b(x－ a)·(x－ b)0{x|xb} {x|x≠ a} {x|xa}(x－ a)·(x－ b)0(0(0.( √ )(2)若不等式 ax2＋ bx＋ c0 的解集是(－∞， x1)∪( x2，＋∞)，则方程 ax2＋ bx＋ c＝0 的两个根是 x1和 x2.( √ )(3)若方程 ax2＋ bx＋ c＝0( a≠0)没有实数根，则不等式 ax2＋ bx＋ c0 的解集为 R.( × )(4)不等式 ax2＋ bx＋ c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a0，令 3x2－2 x－2＝0，得 x1＝ ， x2＝ ，1－ 73 1＋ 73∴3 x2－2 x－20 的解集为∪ .(－ ∞ ，1－ 73 ) (1＋ 73 ， ＋ ∞ )题组三 易错自纠4．不等式－ x2－3 x＋40 的解集为________．(用区间表示)答案 (－4,1)解析 由－ x2－3 x＋40 可知，( x＋4)( x－1)0 的解集是 ，则 a＋ b＝________.(－12， 13)答案 －14解析 ∵ x1＝－ ， x2＝ 是方程 ax2＋ bx＋2＝0 的两个根，12 13∴Error! 解得Error!∴ a＋ b＝－14.6．已知关于 x 的不等式( a2－4) x2＋( a＋2) x－1≥0 的解集为空集，则实数 a 的取值范围为____________．答案 [－ 2，65)解析 当 a2－4＝0 时， a＝±2.若 a＝－2，不等式可化为－1≥0，显然无解，满足题意；若 a＝2，不等式的解集不是空集，所以不满足题意；当 a≠±2 时，要使不等式的解集为空集，则Error! 解得－20，解方程 2x2－ x－3＝0，得 x1＝－1， x2＝ ，32∴不等式 2x2－ x－30 的解集为(－∞，－1)∪ ，(32， ＋ ∞ )即原不等式的解集为(－∞，－1)∪ .(32， ＋ ∞ )命题点 2 含参不等式典例 解关于 x 的不等式 ax2－2≥2 x－ ax(a∈R)．解 原不等式可化为 ax2＋( a－2) x－2≥0.①当 a＝0 时，原不等式化为 x＋1≤0，解得 x≤－1.②当 a0 时，原不等式化为 (x＋1)≥0，(x－2a)解得 x≥ 或 x≤－1.2a③当 a－1，即 a0 时，不等式的解集为Error!；当－20，则 a 的取值范围是( )A．(0,4) B．[0,4)C．(0，＋∞) D．(－∞，4)答案 B解析 对于任意 x∈R， ax2＋ ax＋10，则必有Error! 或 a＝0，∴0≤ a0 时， g(x)在[1,3]上是增函数，所以 g(x)max＝ g(3)，即 7m－60，(x－12) 34又因为 m(x2－ x＋1)－63.故当 x 的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的 m∈[－1,1]，函数 f(x)的值恒大于零．思维升华 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在 x 轴上方，恒小于 0 就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在 x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．跟踪训练 函数 f(x)＝ x2＋ ax＋3.(1)当 x∈R 时， f(x)≥ a 恒成立，求实数 a 的取值范围；(2)当 x∈[－2,2]时， f(x)≥ a 恒成立，求实数 a 的取值范围；(3)当 a∈[4,6]时， f(x)≥0 恒成立，求实数 x 的取值范围．解 (1)∵当 x∈R 时， x2＋ ax＋3－ a≥0 恒成立，需 Δ ＝ a2－4(3－ a)≤0，即 a2＋4 a－12≤0，∴实数 a 的取值范围是[－6,2]．(2)当 x∈[－2,2]时，设 g(x)＝ x2＋ ax＋3－ a≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：①如图①，当 g(x)的图像恒在 x 轴上方且满足条件时，有 Δ ＝ a2－4(3－ a)≤0，即－6≤ a≤2.②如图②， g(x)的图像与 x 轴有交点，但当 x∈[－2，＋∞)时， g(x)≥0，即Error!即Error! 可得Error!解得 a∈∅.③如图③， g(x)的图像与 x 轴有交点，但当 x∈(－∞，2]时， g(x)≥0.即Error!即Error! 可得Error!∴－7≤ a≤－6，综上，实数 a 的取值范围是[－7,2]．8(3)令 h(a)＝ xa＋ x2＋3.当 a∈[4,6]时， h(a)≥0 恒成立．只需Error! 即Error!解得 x≤－3－ 或 x≥－3＋ .6 6∴实数 x 的取值范围是(－∞，－3－ ]∪[－3＋ ，＋∞)．6 6题型三 一元二次不等式的应用典例 甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1≤ x≤10)，每小时可获得的利润是 100· 元．(5x＋ 1－3x)(1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元，求 x 的取值范围；(2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解 (1)根据题意，得 200 ≥3 000，(5x＋ 1－3x)整理得 5x－14－ ≥0，即 5x2－14 x－3≥0，3x又 1≤ x≤10，可解得 3≤ x≤10.即要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元， x 的取值范围是[3,10]．(2)设利润为 y 元，则y＝ ·100900x (5x＋ 1－ 3x)＝9×10 4(5＋1x－ 3x2)＝9×10 4 ，[－ 3(1x－ 16)2＋ 6112]故当 x＝6 时， ymax＝457 500 元．即甲厂以 6 千克/小时的生产速度生产 900 千克该产品时获得的利润最大，最大利润为 457 500 元．9思维升华 求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引 进 数 学 符 号 ， 将 文 字 信 息 转 化 为 符 号 语 言 ， 用 不 等 式 表 示 不 等 关 系 ， 建 立 相 应 的 数 学 模型．(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义．(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．跟踪训练 某商品每件成本价为 80 元，售价为 100 元，每天售出 100 件．若售价降低 x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加 x 成．要求售价不能低于成本价．85(1)设该商店一天的营业额为 y，试求 y 与 x 之间的函数关系式 y＝ f(x)，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为 10 260 元，求 x 的取值范围．解 (1)由题意，得 y＝100 ·100 .(1－x10) (1＋ 850x)因为售价不能低于成本价，所以 100 －80≥0.(1－x10)所以 y＝ f(x)＝40(10－ x)(25＋4 x)，定义域为 x∈[0,2]．(2)由题意得 40(10－ x)(25＋4 x)≥10 260，化简得 8x2－30 x＋13≤0，解得 ≤ x≤ .12 134所以 x 的取值范围是 .[12， 2]转化与化归思想在不等式中的应用典例 (1)已知函数 f(x)＝ x2＋ ax＋ b(a， b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于 x 的不等式 f(x)0 恒成立，则实数 a 的取值x2＋ 2x＋ ax范围是________．思想方法指导 函数的值域和不等式的解集转化为 a， b 满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题．解析 (1)由题意知 f(x)＝ x2＋ ax＋ b＝ 2＋ b－ .(x＋a2) a24∵ f(x)的值域为[0，＋∞)，∴ b－ ＝0，即 b＝ .a24 a2410∴ f(x)＝ 2.(x＋a2)又∵ f(x)0 恒成立，x2＋ 2x＋ ax即 x2＋2 x＋ a0 恒成立．即当 x≥1 时， a－( x2＋2 x)恒成立．令 g(x)＝－( x2＋2 x)，则 g(x)＝－( x2＋2 x)＝－( x＋1) 2＋1 在[1，＋∞)上是减少的，∴ g(x)max＝ g(1)＝－3，故 a－3.∴实数 a 的取值范围是{ a|a－3}．答案 (1)9 (2){ a|a－3}1．不等式( x－1)(2－ x)≥0 的解集为( )A．{ x|1≤ x≤2} B．{ x|x≤1 或 x≥2}C．{ x|12}答案 A解析 由( x－1)(2－ x)≥0 可知，( x－2)( x－1)≤0，所以不等式的解集为{ x|1≤ x≤2}．2．(2018·河北省三市联考)若集合 A＝{ x|3＋2 x－ x20}，集合 B＝{ x|2x0 时，－ x＋2≥ x2，∴0320，即 x2－28 x＋1921 时，不等式的解集为[1， a]，此时只要 a≤3 即可，即 10 的解集是____________．(x－1a)答案 Error!解析 原不等式即( x－ a) 0(e 是自然对数的底数)的解集是__________．答案 { x|－ln 20，可得 0 的解集；13(2)若 a0，且 00，即 a(x＋1)( x－2)0.当 a0 时，不等式 F(x)0 的解集为{ x|x2}；当 a0 的解集为{ x|－10，且 00.∴ f(x)－ m0 的解集．解 因为( a＋ b)x＋2 a－3 b0，等价于 bx2＋(4 b－2) x＋3 b－20，即 x2＋ x＋3－ 0 在区间[1,5]上有解，则实数 a 的取值范围是____________．答案 (－235， ＋ ∞ )解析 方法一 ∵ x2＋ ax－20 在 x∈[1,5]上有解，令 f(x)＝ x2＋ ax－2，14∵ f(0)＝－20，即 25＋5 a－20，解得 a－ .235方法二 由 x2＋ ax－20 在 x∈[1,5]上有解，可得 a ＝ － x 在 x∈[1,5]上有解．2－ x2x 2x又 f(x)＝ － x 在 x∈[1,5]上是减函数，2x∴ min＝－ ，只需 a－ .(2x－ x) 235 23514．不等式 a2＋8 b2≥ λb (a＋ b)对于任意的 a， b∈R 恒成立，则实数 λ 的取值范围为__________．答案 [－8,4]解析 因为 a2＋8 b2≥ λb (a＋ b)对于任意的 a， b∈R 恒成立，所以 a2＋8 b2－ λb (a＋ b)≥0对于任意的 a， b∈R 恒成立，即 a2－ λba ＋(8－ λ )b2≥0 恒成立，由一元二次不等式的性质可知，Δ ＝ λ 2b2＋4( λ －8) b2＝ b2(λ 2＋4 λ －32)≤0，所以( λ ＋8)( λ －4)≤0，解得－8≤ λ ≤4.15．(2018·郑州质检)已知函数 f(x)＝Error! 若关于 x 的不等式[ f(x)]2＋ af(x)－ b20 恰有 1 个整数解，则实数 a 的最大值是( )A．2 B．3C．5 D．8答案 D解析 作出函数 f(x)的图像如图实线部分所示，由[ f(x)]2＋ af(x)－ b20，得 f(x)－ a－ a2＋ 4b22 ，－ a＋ a2＋ 4b22若 b≠ 0， 则 f(x)＝ 0 满 足 不 等 式 ， 即 不 等 式 有 2 个 整 数 解 ， 不 满 足 题 意 ， 所 以 b＝ 0， 所 以15－ af(x)0，且整数解 x 只能是 3，当 2x4 时，－8 f(x)0，所以－8≤－ a－3，即 a 的最大值为 8，故选 D.16．(2017·宿州模拟)若关于 x 的不等式 4x－2 x＋1 － a≥0 在[1,2]上恒成立，则实数 a 的取值范围为__________．答案 (－∞，0]解析 因为不等式 4x－2 x＋1 － a≥0 在[1,2]上恒成立，所以 4x－2 x＋1 ≥ a 在[1,2]上恒成立．令 y＝4 x－2 x＋1 ＝(2 x)2－2×2 x＋1－1＝(2 x－1) 2－1.因为 1≤ x≤2，所以 2≤2 x≤4.由二次函数的性质可知，当 2x＝2，即 x＝1 时， y 取得最小值 0，所以实数 a 的取值范围为(－∞，0]．1§7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题最新考纲 考情考向分析1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元一次线性规划问题，并能加以解决.以画二元一次不等式(组)表示的平面区域、目标函数最值的求法为主，兼顾由最优解(可行域)情况确定参数的范围，以及简单线性规划问题的实际应用，加强转化与化归和数形结合思想的应用意识．本节内容在高考中以选择、填空题的形式进行考查，难度中低档.1．二元一次不等式表示的平面区域一般地，直线 l： ax＋ by＋ c＝0 把直角坐标平面分成了三个部分：(1)直线 l 上的点( x， y)的坐标满足 ax＋ by＋ c＝0；(2)直线 l 一侧的平面区域内的点( x， y)的坐标满足 ax＋ by＋ c0；(3)直线 l 另一侧的平面区域内的点( x， y)的坐标满足 ax＋ by＋ c0 或 Ax＋ By＋ C0 时，区域为直线 Ax＋ By＋ C＝0 的上方；(2)当 B(Ax＋ By＋ C)0 表示的平面区域一定在直线 Ax＋ By＋ C＝0 的上方．( × )(3)点( x1， y1)，( x2， y2)在直线 Ax＋ By＋ C＝0 同侧的充要条件是( Ax1＋ By1＋ C)(Ax2＋ By2＋ C)0，异侧的充要条件是( Ax1＋ By1＋ C)(Ax2＋ By2＋ C)1，即 a1 时，由图形可知此时最优解为点(2,0)，此时z＝2 a＋0＝4，得 a＝2.题型三 线性规划的实际应用问题典例 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 100 个，生产一个卫兵需 5 分钟，生产一个骑兵需 7 分钟，生产一个伞兵需 4 分钟，已知总生产时间不超过 10 小时 ． 若 生 产 一 个 卫 兵 可 获 利 润 5 元 ， 生 产 一 个 骑 兵 可 获 利 润 6 元 ， 生 产 一 个 伞 兵 可 获 利 润 3元．(1)试用每天生产的卫兵个数 x 与骑兵个数 y 表示每天的利润 ω (元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为 100－ x－ y，所以利润 ω ＝5 x＋6 y＋3(100－ x－ y)＝2 x＋3 y＋300.(2)约束条件为Error!整理得Error!目标函数为 ω ＝2 x＋3 y＋300，作出可行域，如图阴影部分所示，10作初始直线 l0：2 x＋3 y＝0，平移 l0，当 l0经过点 A 时， ω 有最大值，由Error!得Error!∴最优解为 A(50,50)，此时 ω max＝550 元．故每天生产卫兵 50 个，骑兵 50 个，伞兵 0 个时利润最大，且最大利润为 550 元．思维升华 解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量 x， y，并列出相应的不等式组和目标函数．(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)．(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)．(5)检验：根据结果，检验反馈．跟踪训练 (2016·全国Ⅰ)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料0.5 kg，乙材料 0.3 kg，用 3 个工时．生产一件产品 A 的利润为 2 100 元，生产一件产品B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150 kg，乙材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为________元．答案 216 000解析 设生产 A 产品 x 件， B 产品 y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为Error!目标函数 z＝2 100 x＋900 y.作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值， zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．11线性规划问题考点分析 线性规划是高考重点考查的一个知识点．这类问题一般有三类：①目标函数是线性的；②目标函数是非线性的；③已知最优解求参数，处理时要注意搞清是哪种类型，利用数形结合解决问题．典例 (2016·天津)设变量 x， y 满足约束条件Error!则目标函数 z＝2 x＋5 y 的最小值为( )A．－4 B．6 C．10 D．17答案 B解析 由约束条件作出可行域如图(阴影部分)所示，目标函数可化为 y＝－ x＋ z，25 15在图中画出直线 y＝－ x，25平移该直线，易知经过点 A 时 z 最小．又知点 A 的坐标为(3,0)，∴ zmin＝2×3＋5×0＝6.故选 B.1．下列二元一次不等式组可表示图中阴影部分平面区域的是( )A.Error! B.Error!C.Error! D.Error!12答案 C解析 将原点坐标(0,0)代入 2x－ y＋2，得 20，于是 2x－ y＋2≥0 所表示的平面区域在直线 2x－ y＋2＝0 的右下方，结合所给图形可知 C 正确．2． (2017·天 津 )设 变 量 x， y 满 足 约 束 条 件 Error!则 目 标 函 数 z＝ x＋ y 的 最 大 值 为 ( )A. B．1 C. D．323 32答案 D解析 画出可行域，如图中阴影所示．由目标函数 z＝ x＋ y，结合图像易知 y＝－ x＋ z 过(0,3)点时 z 取得最大值，即 zmax＝0＋3＝3.故选 D.3．直线 2x＋ y－10＝0 与不等式组Error!表示的平面区域的公共点有( )A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．无数个答案 B解析 由不等式组画出可行域的平面区域如图阴影部分所示．直线 2x＋ y－10＝0 恰过点A(5,0)，且其斜率 k＝－2 kAB＝－ ，即直线 2x＋ y－10＝0 与平面区域仅有一个公共点43A(5,0)．4． 若 不 等 式 组 Error!表 示 的 平 面 区 域 为 三 角 形 ， 且 其 面 积 等 于 ， 则 m 的 值 为 ( )43A．－3 B．1 C. D．343答案 B解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分，则图中 A 点纵坐标 yA＝1＋ m， B 点纵坐标yB＝ ，2m＋ 2313C 点横坐标 xC＝－2 m，∴ S△ ABD＝ S△ ACD－ S△ BCD＝ ×(2＋2 m)×(1＋ m)－ ×(2＋2 m)× ＝ ＝ ，12 12 2m＋ 23 m＋ 123 43∴ m＝1 或 m＝－3，又∵当 m＝－3 时，不满足题意，应舍去，∴ m＝1.5．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、 B 原料 2 千克；生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、 B 原料 1 千克．每桶甲产品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 A、 B 原料都不超过 12 千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A．1 800 元 B．2 400 元 C．2 800 元 D．3 100 元答案 C解析 设每天生产甲种产品 x 桶，乙种产品 y 桶，则根据题意得 x， y 满足的约束条件为Error!设获利 z 元，则 z＝300 x＋400 y.画出可行域如图阴影部分．画出直线 l：300 x＋400 y＝0，即 3x＋4 y＝0.平移直线 l，从图中可知，当直线 l 过点 M 时，目标函数取得最大值．由Error! 解得Error! 即 M 的坐标为(4,4)，∴ zmax＝300×4＋400×4＝2 800(元)．故选 C.6．(2018·枣庄模拟)已知实数 x， y 满足约束条件Error!则 ω ＝ 的最小值是( )y＋ 1xA．－2 B．2 C．－1 D．1答案 D14解析 作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示，ω ＝ 的几何意义是区域内的点 P(x， y)与定点 A(0，－1)所在直线的斜率，由图像可知y＋ 1x当 P 位于点 D(1,0)时，直线 AP 的斜率最小，此时 ω ＝ 的最小值为 ＝1.故选 D.y＋ 1x － 1－ 00－ 17．(2017·开封一模)若 x， y 满足约束条件Error!且目标函数 z＝ ax＋2 y 仅在点(1,0)处取得最小值，则 a 的取值范围是( )A．[－4,2] B．(－4,2) C．[－4,1] D．(－4,1)答案 B解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，直线 z＝ ax＋2 y 的斜率为k＝－ ，从图中可看出，当－1－ 2，即－4 a2 时，仅在点(1,0)处取得最小值，故选 B.a2 a28．(2017·河北“五个一名校联盟”质检)已知点 P 的坐标( x， y)满足Error!过点 P 的直线l 与圆 C： x2＋ y2＝14 相交于 A， B 两点，则| AB|的最小值是________．答案 4解析 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点 P 到圆心的距离为 d，则求最短弦长，等价于求到圆心的距离 d 最大的点，即为图中的 P 点，其坐标为(1,3)，则 d＝ ＝ ，12＋ 32 10此时| AB|min＝2 ＝4.14－ 109．(2017·全国Ⅲ)若 x， y 满足约束条件Error!则 z＝3 x－4 y 的最小值为________．答案 －115解析 不等式组Error!表示的可行域如图阴影部分所示．由 z＝3 x－4 y，得 y＝ x－ z.34 14平移直线 y＝ x，易知经过点 A 时，直线在 y 轴上的截距最大， z 有最小值．34由Error! 得Error!∴ A(1,1)．∴ zmin＝3－4＝－1.10．(2018·滕州模拟)已知 O 是坐标原点，点 M 的坐标为(2,1)，若点 N(x， y)为平面区域Error!上的一个动点，则 · 的最大值是________．OM→ ON→ 答案 3解析 依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，其中 A ，(12， 12)B ， C(1,1)．(12， 32)设 z＝ · ＝2 x＋ y，当目标函数 z＝2 x＋ y 过点 C(1，1)时， z＝2 x＋ y 取得最大值 3.OM→ ON→ 11．(2017·衡水中学月考)若直线 y＝2 x 上存在点( x， y)满足约束条件Error!则实数 m 的最大值为____________．答案 1解析 约束条件Error!表示的可行域如图中阴影部分所示．16当直线 x＝ m 从如图所示的实线位置运动到过 A 点的虚线位置时， m 取最大值．解方程组Error!得 A 点坐标为(1,2)．∴ m 的最大值为 1.12．若点(1,1)在不等式组Error!表示的平面区域内，则 m2＋ n2的取值范围是__________．答案 [1,4]解析 由点(1,1)在不等式组Error!表示的平面区域内可得Error!画出不等 式 组 表 示 的 平 面区 域 (如 图 阴 影 部 分 所 示 )， 则 m2＋ n2表 示 区 域 上 的 点 到 原 点 的 距 离 的 平 方，所以 1≤ m2＋ n2≤4.13．(2017·石家庄二模)在平面直角坐标系中，不等式组Error!( r 为常数)表示的平面区域的面积为 π，若 x， y 满足上述约束条件，则 z＝ 的最小值为( )x＋ y＋ 1x＋ 3A．－1 B．－52＋ 17C. D．－13 75答案 D解析 作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，由题意，知 π r2＝π，解得14r＝2.z＝ ＝1＋ ，易知 表示可行域内的点( x， y)与点 P(－3,2)的连线的斜率，x＋ y＋ 1x＋ 3 y－ 2x＋ 3 y－ 2x＋ 3由图可知，当点( x， y)与点 P 的连线与圆 x2＋ y2＝ r2相切时斜率最小．设切线方程为y－2＝ k(x＋3)，即 kx－ y＋3 k＋2＝0，则有 ＝2，解得 k＝－ 或 k＝0(舍)，所以|3k＋ 2|k2＋ 1 125zmin＝1－ ＝－ ，故选 D.125 7514．(2018·吉林质检)设 P 是不等式组Error!表示的平面区域内的任意一点，向量 m＝(1,1)，17n＝(2,1)，若 ＝ λ m＋ μ n，则 2λ ＋ μ 的最大值为________．OP→ 答案 5解析 首先根据已知约束条件画出其所在的平面区域，如图阴影部分所示．设点 P(x， y)，然后由 m＝(1,1)， n＝(2,1)，且 ＝ λ m＋ μ n，得Error!OP→ 所以Error! 所以令 z＝2 λ ＋ μ ＝(－ x＋2 y)×2＋( x－ y)＝－ x＋3 y，最后根据图形可得在点B 处取得最大值，由Error!得 B(1,2)，即 zmax＝(2 λ ＋ μ )max＝－1＋3×2＝5.15．(2018·河北衡水中学模拟)已知点 P(x， y)的坐标满足约束条件Error!则 的取x＋ yx2＋ y2值范围为______．答案 (－ ，1]2解 析 方 法 一 作 出 不 等 式 组 Error!表 示 的 平 面 区 域 ， 如 图 中 阴 影 部 分 所 示 ， 其 中 B(－ 1，－1)，C(0,1)．设 A(1,1)，向量 ， 的夹角为 θ ，OA→ OP→ ∵ · ＝ x＋ y，| |＝ ，OA→ OP→ OP→ x2＋ y2∴cos θ ＝ ＝ ＝ × ，OA→ ·OP→ |OA→ ||OP→ | x＋ y2×x2＋ y2 22 x＋ yx2＋ y2由图可知∠ AOC≤ θ ∠ AOB，即 ≤ θ π，∴－1cos θ ≤ ，π 4 22即－1 × ≤ ，22 x＋ yx2＋ y2 2218∴－ ≤1.2x＋ yx2＋ y2方法二 作出不等式组Error!表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中 B(－1，－1)， C(0,1)，设 θ ＝∠ POx，则 ＝cos θ ， ＝sin θ .xx2＋ y2 yx2＋ y2θ ∈ ，[π 2， 54π )∴ ＝cos θ ＋sin θ ＝ sin .x＋ yx2＋ y2 2 (θ ＋ π 4)∵ θ ∈ ，∴ θ ＋ ∈ ，[π 2， 54π ) π 4 [34π ， 32π )∴sin ∈ .(θ ＋π 4) (－ 1， 22]∴ ∈(－ ，1]．x＋ yx2＋ y2 216．(2017·湖北七市联考)已知实数 x， y 满足Error!则 的最小值为________．yx答案 13解析 不等式组Error!表示的平面区域如图中阴影部分所示，表示可行域内的点( x， y)与原点连线的斜率，设 k＝ ，由可行域可知， k 取得最小值时曲yx yx19线 y＝ x4＋ 与直线 y＝ kx 相切，设此时切点为 P(x0， y0)，112 14由 y＝ x4＋ ，可得 y′＝ x3，所以切线方程为 y－ y0＝ x (x－ x0)，又 y0＝ x ＋ ，所112 14 13 1330 11240 14以切线方程可化为 y＝ x x－ x ＋ x ＋ ，即 y＝ x x－ x ＋ ，又该切线过原点 O(0,0)，1330 1340 11240 14 1330 1440 14所以 x ＝1，40所以 x0＝1，切线的斜率为 x ＝ ，则 min＝ .1330 13 (yx) 13