1、17.1 不等关系与不等式最新考纲 考情考向分析1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系2.了解不等式(组)的实际背景.以理解不等式的性质为主，本节在高考中主要以客观题形式考查不等式的性质；以主观题形式考查不等式与其他知识的综合.1两个实数比较大小的方法(1)作差法Error! ( a， bR)(2)作商法Error! ( aR， b0)2不等式的基本性质性质 性质内容 特别提醒对称性 abbb， bcac 可加性 aba cb c Error!acbc可乘性Error!acb d 同向同正可乘性 Error!acbd可乘方性 ab0anbn(nN， n1)可开方性 ab0 (nN，
2、n2)nanba， b 同为正数3.不等式的一些常用性质(1)倒数的性质 ab， ab0 b0,0 .acbd0b0， m0，则 (b m0)bab ma m bab ma m ； 0)aba mb m aba mb m题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两个实数 a， b 之间，有且只有 ab， a b， a1，则 ab.( )ab(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变( )(4)ab0， cd0 .( )adbc(5)若 ab0，则 ab 0”是“ a2 b20”的( )a bA充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必
3、要条件答案 A解析 0 a b a baba2b2，但由 a2 b20 0.a b3若 01 且 2a1 ，12 12即 a2 b2 ，12a2 b2 b(1 b)2 b2 b(2 b1)( b1)，又 2b10， b1b0， c0 B. D. ac，又 cd0， ，即 .bdcdaccd bcad5设 a， bR，则“ a2 且 b1”是“ a b3 且 ab2”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件答案 A解析 若 a2 且 b1，则由不等式的同向可加性可得 a b213，由不等式的同向同正4可乘性可得 ab212.即“ a2 且 b1”是“ a b3 且
4、 ab2”的充分条件；反之，若“a b3 且 ab2”，则“ a2 且 b1”不一定成立，如 a6， b .所以“ a2 且 b1”是12“a b3 且 ab2”的充分不必要条件故选 A.6若 a B ac bC cba D acb答案 A解析 c b44 a a2( a2) 20， c b.又 b c64 a3 a2，2 b22 a2， b a21， b a a2 a1 2 0，(a12) 34 ba， c ba.2若 a ， b ， c ，则( )ln 33 ln 44 ln 55A ab； log 6251 0241，bc 5ln 44ln 5所以 bc.即 ce 时，函数 f(x)是减
5、少的因为 ef(4)f(5)，即 cac B c(b a)0答案 A解析 由 c0.由 bc，得 abac 一定成立(2)设 ab1， c ； acloga(b c)cacb其中所有正确结论的序号是( )A BC D答案 D解析 由不等式性质及 ab1，知 ，正确；cacb构造函数 y xc， cb1， acb1， cb c1，log b(a c)loga(a c)loga(b c)，正确6思维升华 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件跟踪训练 若 0； a b ；ln a2ln b2.1
6、a b1ab 1a 1b其中正确的不等式是( )A BC D答案 C解析 方法一 因为 0，所以错误综上所述，可排除 A，B，D.方法二 由 0，所以 0.1a b 1ab故有 a0.故 b|a|，即| a| b 0，1a1b 1a 1b所以 a b ，故正确；1a 1b7中，因为 ba20，而 yln x 在定义域(0，)上为增函数，所以 ln b2ln a2，故错误由以上分析，知正确题型三 不等式性质的应用命题点 1 应用性质判断不等式是否成立典例 已知 ab0，给出下列四个不等式： a2b2；2 a2b1 ； ； a3 b32a2b.a b a b其中一定成立的不等式为( )A B C
7、D答案 A解析 方法一 由 ab0 可得 a2b2，成立；由 ab0 可得 ab1，而函数 f(x)2 x在 R 上是增函数， f(a)f(b1)，即 2a2b1 ，成立； ab0， ，a b( )2( )2a b a b2 2 b2 ( )0，ab b a b ，成立；a b a b若 a3， b2，则 a3 b335,2 a2b36，a3 b3b2，2 a2b1 ， 均成立，而 a3 b32a2b 不成立，故选 A.a b a b8命题点 2 求代数式的取值范围典例 已知1 B a2bn|b|a|b| 1|a| 1答案 C解析 (特值法)取 a2， b1，逐个检验，可知 A，B，D 项均不
8、正确；C 项， 0，且 x y0，则 x 与 y 之间的不等关系是( )A x y B xyC x0，可知 y0，可知 x0，所以 xy.2若 f(x)3 x2 x1， g(x)2 x2 x1，则 f(x)， g(x)的大小关系是( )A f(x) g(x) B f(x)g(x)C f(x)0，则 f(x)g(x)3若 a， bR，且 a| b|0 B a3 b30C a2 b2|b|，当 b0 时， a bb0，则下列不等式中一定成立的是( )A a b B. 1b 1a bab 1a 112C a b D. 1b 1a 2a ba 2bab答案 A解析 取 a2， b1，排除 B 与 D；
9、另外，函数 f(x) x 是(0，)上的增函数，但1x函数 g(x) x 在(0,1上是减少的，在1，)上是增加的，所以，当 ab0 时， f(a)1xf(b)必定成立，即 a b a b ，但 g(a)g(b)未必成立，故选 A.1a 1b 1b 1a9已知 a1 a2， b1 b2，则 a1b1 a2b2与 a1b2 a2b1的大小关系是_答案 a1b1 a2b2 a1b2 a2b1解析 a1b1 a2b2( a1b2 a2b1)( a1 a2)(b1 b2)，因为 a1 a2， b1 b2，所以a1 a20， b1 b20，于是( a1 a2)(b1 b2)0，故 a1b1 a2b2 a
10、1b2 a2b1.10已知 a， b， c， d 均为实数，有下列命题：若 ab0， bc ad0，则 0；ca db若 ab0， 0，则 bc ad0；ca db若 bc ad0， 0，则 ab0.ca db其中正确的命题是_(填序号)答案 解析 ab0， bc ad0， 0，正确；ca db bc adab ab0，又 0，即 0，ca db bc adab bc ad0，正确； bc ad0，又 0，即 0，ca db bc adab ab0，正确故都正确11(2018青岛调研)设abc0， x ， y ， z ，则 x， y， z 的大小关系a2 b c2 b2 c a2 c2 a b
11、2是_(用“”连接)答案 zyx解析 方法一 y2 x22 c(a b)0， yx.同理， zy， zyx.13方法二 令 a3， b2， c1，则 x ， y ，18 20z ，故 zyx.2612已知12 且 y2B x2 且 0y， ab，则在 a xb y； a xb y； axby； x by a； 这五aybx个式子中，恒成立的不等式的序号是_答案 解析 令 x2， y3， a3， b2.符合题设条件 xy， ab. a x3(2)5， b y2(3)5.14 a x b y，因此不成立 ax6， by6， ax by，因此不成立 1， 1，ay 3 3 bx 2 2 ，因此不成立
12、ay bx由不等式的性质可推出成立15(2018江门模拟)设 a， bR，定义运算“”和“ ”如下：abError! abError!若 mn2， pq2，则( )A mn4 且 p q4 B m n4 且 pq4C mn4 且 p q4 D m n4 且 pq4答案 A解析 结合定义及 mn2 可得Error!或Error!即 n m2 或 mn2，所以 mn4；结合定义及 pq2，可得Error!或Error!即 qp2或 p q2，所以 p q4.16(2017合肥质检)已知 ABC 的三边长分别为 a， b， c，且满足 b c3 a，则 的取值ca范围为( )A(1，) B(0,2)
13、C(1,3) D(0,3)答案 B解析 由已知及三角形三边关系得Error!Error!Error!两式相加，得 02 4，ca 的取值范围为(0,2)ca17.2 一元二次不等式及其解法最新考纲 考情考向分析1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识本节内容在高考中常以选择题的形式考查，属于
14、低档题，若在导数的应用中考查，难度较高.1 “三个二次”的关系判别式 b24 ac 0 0 0)的图像一元二次方程ax2 bx c0( a0)的根有两相异实根x1， x2(x10 (a0)的解集x|xx2 Error! x|xR一元二次不等式ax2 bx c0)的解集x|x10 或( x a)(x b)b(x a)(x b)0x|xb x|x a x|xa(x a)(x b)0(0(0.( )(2)若不等式 ax2 bx c0 的解集是(， x1)( x2，)，则方程 ax2 bx c0 的两个根是 x1和 x2.( )(3)若方程 ax2 bx c0( a0)没有实数根，则不等式 ax2 b
15、x c0 的解集为 R.( )(4)不等式 ax2 bx c0 在 R 上恒成立的条件是 a0，令 3x22 x20，得 x1 ， x2 ，1 73 1 733 x22 x20 的解集为 .( ，1 73 ) (1 73 ， )题组三 易错自纠4不等式 x23 x40 的解集为_(用区间表示)答案 (4,1)解析 由 x23 x40 可知，( x4)( x1)0 的解集是 ，则 a b_.(12， 13)答案 14解析 x1 ， x2 是方程 ax2 bx20 的两个根，12 13Error! 解得Error! a b14.6已知关于 x 的不等式( a24) x2( a2) x10 的解集为
16、空集，则实数 a 的取值范围为_答案 2，65)解析 当 a240 时， a2.若 a2，不等式可化为10，显然无解，满足题意；若 a2，不等式的解集不是空集，所以不满足题意；当 a2 时，要使不等式的解集为空集，则Error! 解得20，解方程 2x2 x30，得 x11， x2 ，32不等式 2x2 x30 的解集为(，1) ，(32， )即原不等式的解集为(，1) .(32， )命题点 2 含参不等式典例 解关于 x 的不等式 ax222 x ax(aR)解 原不等式可化为 ax2( a2) x20.当 a0 时，原不等式化为 x10，解得 x1.当 a0 时，原不等式化为 (x1)0，
17、(x2a)解得 x 或 x1.2a当 a1，即 a0 时，不等式的解集为Error!；当20，则 a 的取值范围是( )A(0,4) B0,4)C(0，) D(，4)答案 B解析 对于任意 xR， ax2 ax10，则必有Error! 或 a0，0 a0 时， g(x)在1,3上是增函数，所以 g(x)max g(3)，即 7m60，(x12) 34又因为 m(x2 x1)63.故当 x 的取值范围为(，1)(3，)时，对任意的 m1,1，函数 f(x)的值恒大于零思维升华 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在 x 轴上方，恒小于 0 就
18、是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在 x 轴下方另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数跟踪训练 函数 f(x) x2 ax3.(1)当 xR 时， f(x) a 恒成立，求实数 a 的取值范围；(2)当 x2,2时， f(x) a 恒成立，求实数 a 的取值范围；(3)当 a4,6时， f(x)0 恒成立，求实数 x 的取值范围解 (1)当 xR 时， x2 ax3 a0 恒成立，需 a24(3 a)0，即 a24 a120，实数 a 的取值范围是6,2(2)当 x2,2时
19、，设 g(x) x2 ax3 a0，分如下三种情况讨论(如图所示)：如图，当 g(x)的图像恒在 x 轴上方且满足条件时，有 a24(3 a)0，即6 a2.如图， g(x)的图像与 x 轴有交点，但当 x2，)时， g(x)0，即Error!即Error! 可得Error!解得 a.如图， g(x)的图像与 x 轴有交点，但当 x(，2时， g(x)0.即Error!即Error! 可得Error!7 a6，综上，实数 a 的取值范围是7,28(3)令 h(a) xa x23.当 a4,6时， h(a)0 恒成立只需Error! 即Error!解得 x3 或 x3 .6 6实数 x 的取值范
20、围是(，3 3 ，)6 6题型三 一元二次不等式的应用典例 甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1 x10)，每小时可获得的利润是 100 元(5x 13x)(1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元，求 x 的取值范围；(2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润解 (1)根据题意，得 200 3 000，(5x 13x)整理得 5x14 0，即 5x214 x30，3x又 1 x10，可解得 3 x10.即要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元， x 的取值范围是3,10(2)设利
21、润为 y 元，则y 100900x (5x 1 3x)910 4(51x 3x2)910 4 ， 3(1x 16)2 6112故当 x6 时， ymax457 500 元即甲厂以 6 千克/小时的生产速度生产 900 千克该产品时获得的利润最大，最大利润为 457 500 元9思维升华 求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系(2)引 进 数 学 符 号 ， 将 文 字 信 息 转 化 为 符 号 语 言 ， 用 不 等 式 表 示 不 等 关 系 ， 建 立 相 应 的 数 学 模型(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义(4
22、)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果跟踪训练 某商品每件成本价为 80 元，售价为 100 元，每天售出 100 件若售价降低 x 成(1成10%)，售出商品数量就增加 x 成要求售价不能低于成本价85(1)设该商店一天的营业额为 y，试求 y 与 x 之间的函数关系式 y f(x)，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为 10 260 元，求 x 的取值范围解 (1)由题意，得 y100 100 .(1x10) (1 850x)因为售价不能低于成本价，所以 100 800.(1x10)所以 y f(x)40(10 x)(254 x)，定义域为 x0,2(2)由题意得 4
23、0(10 x)(254 x)10 260，化简得 8x230 x130，解得 x .12 134所以 x 的取值范围是 .12， 2转化与化归思想在不等式中的应用典例 (1)已知函数 f(x) x2 ax b(a， bR)的值域为0，)，若关于 x 的不等式 f(x)0 恒成立，则实数 a 的取值x2 2x ax范围是_思想方法指导 函数的值域和不等式的解集转化为 a， b 满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题解析 (1)由题意知 f(x) x2 ax b 2 b .(xa2) a24 f(x)的值域为0，)， b 0，即 b .a24 a2410 f(x) 2.(xa2)
24、又 f(x)0 恒成立，x2 2x ax即 x22 x a0 恒成立即当 x1 时， a( x22 x)恒成立令 g(x)( x22 x)，则 g(x)( x22 x)( x1) 21 在1，)上是减少的， g(x)max g(1)3，故 a3.实数 a 的取值范围是 a|a3答案 (1)9 (2) a|a31不等式( x1)(2 x)0 的解集为( )A x|1 x2 B x|x1 或 x2C x|12答案 A解析 由( x1)(2 x)0 可知，( x2)( x1)0，所以不等式的解集为 x|1 x22(2018河北省三市联考)若集合 A x|32 x x20，集合 B x|2x0 时，
25、x2 x2，0320，即 x228 x1921 时，不等式的解集为1， a，此时只要 a3 即可，即 10 的解集是_(x1a)答案 Error!解析 原不等式即( x a) 0(e 是自然对数的底数)的解集是_答案 x|ln 20，可得 0 的解集；13(2)若 a0，且 00，即 a(x1)( x2)0.当 a0 时，不等式 F(x)0 的解集为 x|x2；当 a0 的解集为 x|10，且 00. f(x) m0 的解集解 因为( a b)x2 a3 b0，等价于 bx2(4 b2) x3 b20，即 x2 x3 0 在区间1,5上有解，则实数 a 的取值范围是_答案 (235， )解析
26、方法一 x2 ax20 在 x1,5上有解，令 f(x) x2 ax2，14 f(0)20，即 255 a20，解得 a .235方法二 由 x2 ax20 在 x1,5上有解，可得 a x 在 x1,5上有解2 x2x 2x又 f(x) x 在 x1,5上是减函数，2x min ，只需 a .(2x x) 235 23514不等式 a28 b2 b (a b)对于任意的 a， bR 恒成立，则实数 的取值范围为_答案 8,4解析 因为 a28 b2 b (a b)对于任意的 a， bR 恒成立，所以 a28 b2 b (a b)0对于任意的 a， bR 恒成立，即 a2 ba (8 )b20
27、 恒成立，由一元二次不等式的性质可知， 2b24( 8) b2 b2( 24 32)0，所以( 8)( 4)0，解得8 4.15(2018郑州质检)已知函数 f(x)Error! 若关于 x 的不等式 f(x)2 af(x) b20 恰有 1 个整数解，则实数 a 的最大值是( )A2 B3C5 D8答案 D解析 作出函数 f(x)的图像如图实线部分所示，由 f(x)2 af(x) b20，得 f(x) a a2 4b22 ， a a2 4b22若 b 0， 则 f(x) 0 满 足 不 等 式 ， 即 不 等 式 有 2 个 整 数 解 ， 不 满 足 题 意 ， 所 以 b 0， 所 以1
28、5 af(x)0，且整数解 x 只能是 3，当 2x4 时，8 f(x)0，所以8 a3，即 a 的最大值为 8，故选 D.16(2017宿州模拟)若关于 x 的不等式 4x2 x1 a0 在1,2上恒成立，则实数 a 的取值范围为_答案 (，0解析 因为不等式 4x2 x1 a0 在1,2上恒成立，所以 4x2 x1 a 在1,2上恒成立令 y4 x2 x1 (2 x)222 x11(2 x1) 21.因为 1 x2，所以 22 x4.由二次函数的性质可知，当 2x2，即 x1 时， y 取得最小值 0，所以实数 a 的取值范围为(，017.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题最新考
29、纲 考情考向分析1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元一次线性规划问题，并能加以解决.以画二元一次不等式(组)表示的平面区域、目标函数最值的求法为主，兼顾由最优解(可行域)情况确定参数的范围，以及简单线性规划问题的实际应用，加强转化与化归和数形结合思想的应用意识本节内容在高考中以选择、填空题的形式进行考查，难度中低档.1二元一次不等式表示的平面区域一般地，直线 l： ax by c0 把直角坐标平面分成了三个部分：(1)直线 l 上的点( x， y)的坐标满足 ax by c0；(2)直线
30、 l 一侧的平面区域内的点( x， y)的坐标满足 ax by c0；(3)直线 l 另一侧的平面区域内的点( x， y)的坐标满足 ax by c0 或 Ax By C0 时，区域为直线 Ax By C0 的上方；(2)当 B(Ax By C)0 表示的平面区域一定在直线 Ax By C0 的上方( )(3)点( x1， y1)，( x2， y2)在直线 Ax By C0 同侧的充要条件是( Ax1 By1 C)(Ax2 By2 C)0，异侧的充要条件是( Ax1 By1 C)(Ax2 By2 C)1，即 a1 时，由图形可知此时最优解为点(2,0)，此时z2 a04，得 a2.题型三 线性
31、规划的实际应用问题典例 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 100 个，生产一个卫兵需 5 分钟，生产一个骑兵需 7 分钟，生产一个伞兵需 4 分钟，已知总生产时间不超过 10 小时 若 生 产 一 个 卫 兵 可 获 利 润 5 元 ， 生 产 一 个 骑 兵 可 获 利 润 6 元 ， 生 产 一 个 伞 兵 可 获 利 润 3元(1)试用每天生产的卫兵个数 x 与骑兵个数 y 表示每天的利润 (元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为 100 x y，所以利润 5 x6 y3(100 x y)2 x3 y3
32、00.(2)约束条件为Error!整理得Error!目标函数为 2 x3 y300，作出可行域，如图阴影部分所示，10作初始直线 l0：2 x3 y0，平移 l0，当 l0经过点 A 时， 有最大值，由Error!得Error!最优解为 A(50,50)，此时 max550 元故每天生产卫兵 50 个，骑兵 50 个，伞兵 0 个时利润最大，且最大利润为 550 元思维升华 解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量 x， y，并列出相应的不等式组和目
33、标函数(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)(5)检验：根据结果，检验反馈跟踪训练 (2016全国)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料0.5 kg，乙材料 0.3 kg，用 3 个工时生产一件产品 A 的利润为 2 100 元，生产一件产品B 的利润为 900 元该企业现有甲材料 150 kg，乙材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为_元答案 216
34、000解析 设生产 A 产品 x 件， B 产品 y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为Error!目标函数 z2 100 x900 y.作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值， zmax2 10060900100216 000(元)11线性规划问题考点分析 线性规划是高考重点考查的一个知识点这类问题一般有三类：目标函数是线性的；目标函数是非线性的；已知最优解求参数，处理时要注意搞清是哪种类型，利用数形结合解决问题典例 (2016天津)设变量 x， y 满足约束条件Er
35、ror!则目标函数 z2 x5 y 的最小值为( )A4 B6 C10 D17答案 B解析 由约束条件作出可行域如图(阴影部分)所示，目标函数可化为 y x z，25 15在图中画出直线 y x，25平移该直线，易知经过点 A 时 z 最小又知点 A 的坐标为(3,0)， zmin23506.故选 B.1下列二元一次不等式组可表示图中阴影部分平面区域的是( )A.Error! B.Error!C.Error! D.Error!12答案 C解析 将原点坐标(0,0)代入 2x y2，得 20，于是 2x y20 所表示的平面区域在直线 2x y20 的右下方，结合所给图形可知 C 正确2 (20
36、17天 津 )设 变 量 x， y 满 足 约 束 条 件 Error!则 目 标 函 数 z x y 的 最 大 值 为 ( )A. B1 C. D323 32答案 D解析 画出可行域，如图中阴影所示由目标函数 z x y，结合图像易知 y x z 过(0,3)点时 z 取得最大值，即 zmax033.故选 D.3直线 2x y100 与不等式组Error!表示的平面区域的公共点有( )A0 个 B1 个 C2 个 D无数个答案 B解析 由不等式组画出可行域的平面区域如图阴影部分所示直线 2x y100 恰过点A(5,0)，且其斜率 k2 kAB ，即直线 2x y100 与平面区域仅有一个
37、公共点43A(5,0)4 若 不 等 式 组 Error!表 示 的 平 面 区 域 为 三 角 形 ， 且 其 面 积 等 于 ， 则 m 的 值 为 ( )43A3 B1 C. D343答案 B解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分，则图中 A 点纵坐标 yA1 m， B 点纵坐标yB ，2m 2313C 点横坐标 xC2 m， S ABD S ACD S BCD (22 m)(1 m) (22 m) ，12 12 2m 23 m 123 43 m1 或 m3，又当 m3 时，不满足题意，应舍去， m1.5某公司生产甲、乙两种桶装产品已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、 B
38、原料 2 千克；生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、 B 原料 1 千克每桶甲产品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 A、 B 原料都不超过 12 千克通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A1 800 元 B2 400 元 C2 800 元 D3 100 元答案 C解析 设每天生产甲种产品 x 桶，乙种产品 y 桶，则根据题意得 x， y 满足的约束条件为Error!设获利 z 元，则 z300 x400 y.画出可行域如图阴影部分画出直线 l：300 x400 y0，即 3x4
39、y0.平移直线 l，从图中可知，当直线 l 过点 M 时，目标函数取得最大值由Error! 解得Error! 即 M 的坐标为(4,4)， zmax300440042 800(元)故选 C.6(2018枣庄模拟)已知实数 x， y 满足约束条件Error!则 的最小值是( )y 1xA2 B2 C1 D1答案 D14解析 作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示， 的几何意义是区域内的点 P(x， y)与定点 A(0，1)所在直线的斜率，由图像可知y 1x当 P 位于点 D(1,0)时，直线 AP 的斜率最小，此时 的最小值为 1.故选 D.y 1x 1 00 17(2017开封一模)若 x
40、， y 满足约束条件Error!且目标函数 z ax2 y 仅在点(1,0)处取得最小值，则 a 的取值范围是( )A4,2 B(4,2) C4,1 D(4,1)答案 B解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，直线 z ax2 y 的斜率为k ，从图中可看出，当1 2，即4 a2 时，仅在点(1,0)处取得最小值，故选 B.a2 a28(2017河北“五个一名校联盟”质检)已知点 P 的坐标( x， y)满足Error!过点 P 的直线l 与圆 C： x2 y214 相交于 A， B 两点，则| AB|的最小值是_答案 4解析 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点 P
41、到圆心的距离为 d，则求最短弦长，等价于求到圆心的距离 d 最大的点，即为图中的 P 点，其坐标为(1,3)，则 d ，12 32 10此时| AB|min2 4.14 109(2017全国)若 x， y 满足约束条件Error!则 z3 x4 y 的最小值为_答案 115解析 不等式组Error!表示的可行域如图阴影部分所示由 z3 x4 y，得 y x z.34 14平移直线 y x，易知经过点 A 时，直线在 y 轴上的截距最大， z 有最小值34由Error! 得Error! A(1,1) zmin341.10(2018滕州模拟)已知 O 是坐标原点，点 M 的坐标为(2,1)，若点
42、N(x， y)为平面区域Error!上的一个动点，则 的最大值是_OM ON 答案 3解析 依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，其中 A ，(12， 12)B ， C(1,1)(12， 32)设 z 2 x y，当目标函数 z2 x y 过点 C(1，1)时， z2 x y 取得最大值 3.OM ON 11(2017衡水中学月考)若直线 y2 x 上存在点( x， y)满足约束条件Error!则实数 m 的最大值为_答案 1解析 约束条件Error!表示的可行域如图中阴影部分所示16当直线 x m 从如图所示的实线位置运动到过 A 点的虚线位置时， m 取最大值解方程组Erro
43、r!得 A 点坐标为(1,2) m 的最大值为 1.12若点(1,1)在不等式组Error!表示的平面区域内，则 m2 n2的取值范围是_答案 1,4解析 由点(1,1)在不等式组Error!表示的平面区域内可得Error!画出不等 式 组 表 示 的 平 面区 域 (如 图 阴 影 部 分 所 示 )， 则 m2 n2表 示 区 域 上 的 点 到 原 点 的 距 离 的 平 方，所以 1 m2 n24.13(2017石家庄二模)在平面直角坐标系中，不等式组Error!( r 为常数)表示的平面区域的面积为 ，若 x， y 满足上述约束条件，则 z 的最小值为( )x y 1x 3A1 B5
44、2 17C. D13 75答案 D解析 作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，由题意，知 r2，解得14r2.z 1 ，易知 表示可行域内的点( x， y)与点 P(3,2)的连线的斜率，x y 1x 3 y 2x 3 y 2x 3由图可知，当点( x， y)与点 P 的连线与圆 x2 y2 r2相切时斜率最小设切线方程为y2 k(x3)，即 kx y3 k20，则有 2，解得 k 或 k0(舍)，所以|3k 2|k2 1 125zmin1 ，故选 D.125 7514(2018吉林质检)设 P 是不等式组Error!表示的平面区域内的任意一点，向量 m(1,1)，17n(2,1)，若
45、 m n，则 2 的最大值为_OP 答案 5解析 首先根据已知约束条件画出其所在的平面区域，如图阴影部分所示设点 P(x， y)，然后由 m(1,1)， n(2,1)，且 m n，得Error!OP 所以Error! 所以令 z2 ( x2 y)2( x y) x3 y，最后根据图形可得在点B 处取得最大值，由Error!得 B(1,2)，即 zmax(2 )max1325.15(2018河北衡水中学模拟)已知点 P(x， y)的坐标满足约束条件Error!则 的取x yx2 y2值范围为_答案 ( ，12解 析 方 法 一 作 出 不 等 式 组 Error!表 示 的 平 面 区 域 ，
46、如 图 中 阴 影 部 分 所 示 ， 其 中 B( 1，1)，C(0,1)设 A(1,1)，向量 ， 的夹角为 ，OA OP x y，| | ，OA OP OP x2 y2cos ，OA OP |OA |OP | x y2x2 y2 22 x yx2 y2由图可知 AOC AOB，即 ，1cos ， 4 22即1 ，22 x yx2 y2 2218 1.2x yx2 y2方法二 作出不等式组Error!表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中 B(1，1)， C(0,1)，设 POx，则 cos ， sin .xx2 y2 yx2 y2 ， 2， 54 ) cos sin sin .x yx
47、2 y2 2 ( 4) ， ， 2， 54 ) 4 34 ， 32 )sin .( 4) ( 1， 22 ( ，1x yx2 y2 216(2017湖北七市联考)已知实数 x， y 满足Error!则 的最小值为_yx答案 13解析 不等式组Error!表示的平面区域如图中阴影部分所示，表示可行域内的点( x， y)与原点连线的斜率，设 k ，由可行域可知， k 取得最小值时曲yx yx19线 y x4 与直线 y kx 相切，设此时切点为 P(x0， y0)，112 14由 y x4 ，可得 y x3，所以切线方程为 y y0 x (x x0)，又 y0 x ，所112 14 13 1330 11240 14以切线方程可化为 y x x x x ，即 y x x x ，又该切线过原点 O(0,0)，1330 1340 11240 14 1330 1440 14所以 x 1，40所以 x01，切线的斜率为 x ，则 min .1330 13 (yx) 13
