2018版高考数学一轮复习 第十二章 推理证明、算法、复数试题 理（打包5套）.zip

1第十二章 推理证明、算法、复数第 1 讲 合情推理与演绎推理一、选择题1．如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )．解析 该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是 A.答案 A2．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )A．① B．②C．③ D．①和②解析 由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．答案 B3．给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数，R 为实数集，C 为复数集)：①“若 a， b∈R，则 a－ b＝0⇒ a＝ b”类比推出“ a， c∈C，则 a－ c＝0⇒ a＝ c”；②“若 a， b， c， d∈R，则复数 a＋ bi＝ c＋ di⇒a＝ c， b＝ d”类比推出“a， b， c， d∈Q，则 a＋ b ＝ c＋ d ⇒a＝ c， b＝ d”；2 2③“若 a， b∈R，则 a－ b0⇒ab”类比推出“若 a， b∈C，则 a－ b0⇒ab”；④“若 x∈R，则| x|1⇒－1 x1”类比推出“若 z∈C，则| z|1⇒－1 z1”．其中类比结论正确的个数有 ( )．A．1 B．2 C．3 D．4解析 类比结论正确的只有①②.答案 B4．观察下列各式：5 5＝3 125,5 6＝15 625,5 7＝78 125，…，则 52 011的末四位数字为( )．A．3 125 B．5 625 C．0 625 D．8 125解析 ∵5 5＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，5 9＝1 953 125,510＝9 765 2625，…∴5 n(n∈Z，且 n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为 4，记 5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字为 f(n)，则 f(2 011)＝ f(501×4＋7)＝ f(7)∴5 2 011与 57的末四位数字相同，均为 8 125.故选 D.答案 D5．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为 a0a1a2， ai∈{0,1}( i＝0,1,2)，信息为 h0a0a1a2h1，其中h0＝ a0⊕ a1， h1＝ h0⊕ a2，⊕运算规则为：0⊕0＝0，0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.例如原信息为 111，则传输信息为 01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是( )．A．11010 B．01100 C．10111 D．00011解析 对于选项 C，传输信息是 10111，对应的原信息是 011，由题目中运算规则知h0＝0⊕1＝1，而 h1＝ h0⊕ a2＝1⊕1＝0，故传输信息应是 10110.答案 C6．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图 1 中的 1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 2 中的 1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( )．A．289 B．1 024C．1 225 D．1 378解析 观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{ an}，则a1＝1， a2＝ a1＋2， a3＝ a2＋3，…， an＝ an－1 ＋ n.∴ a1＋ a2＋…＋ an＝( a1＋ a2＋…＋ an－1 )＋(1＋2＋3＋…＋ n)⇒an＝1＋2＋3＋…＋ n＝ ，观察正方形数：n n＋ 121,4,9,16，…，记该数列为{ bn}，则 bn＝ n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得 n 都为正整数的只有 1 225.3答案 C二、填空题7．在 Rt△ ABC 中，若∠ C＝90°， AC＝ b， BC＝ a，则△ ABC 外接圆半径 r＝ .运用类a2＋ b22比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为 a， b， c，则其外接球的半径R＝________.解析 (构造法)通过类比可得 R＝ .证明：作一个在同一个顶点处棱长分别a2＋ b2＋ c22为 a， b， c 的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是 ，故这个长方体a2＋ b2＋ c2的外接球的半径是 ，这也是所求的三棱锥的外接球的半径．a2＋ b2＋ c22答案 a2＋ b2＋ c228．用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图所示的规律拼成若干个图形，则按此规律，第100 个图形中有白色地砖________块；现将一粒豆子随机撒在第 100 个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是________．解析 按拼图的规律，第 1 个图有白色地砖 3×3－1(块)，第 2 个图有白色地砖3×5－2(块)，第 3 个图有白色地砖 3×7－3(块)，…，则第 100 个图中有白色地砖3×201－100＝503(块)．第 100 个图中黑白地砖共有 603 块，则将一粒豆子随机撒在第100 个图中，豆子落在白色地砖上的概率是 .503603答案 503 5036039．对一个边长为 1 的正方形进行如下操作；第一步，将它分割成 3×3 方格，接着用中心和四个角的 5 个小正方形，构成如图 1 所示的几何图形，其面积 S1＝ ；第二步，将图591 的 5 个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图 2；依此类推，到第 n 步，所得图形的面积 Sn＝ n.若将以上操作类比推广到棱长为 1 的正方体中，则(59)到第 n 步，所得几何体的体积 Vn＝________.4解析 对一个棱长为 1 的正方体进行如下操作：第一步，将它分割成 3×3×3 个小正方体，接着用中心和 8 个角的 9 个小正方体，构成新 1 几何体，其体积 V1＝ ＝ ；第二927 13步，将新 1 几何体的 9 个小正方体中的每个小正方体都进行与第一步相同的操作，得到新 2 几何体，其体积 V2＝ 2；…，依此类推，到第 n 步，所得新 n 几何体的体积 Vn＝(13)n.(13)答案 n(13)10．设 N＝2 n(n∈N *， n≥2)，将 N 个数 x1， x2，…， xN依次放入编号为 1,2，…， N 的 N 个位置，得到排列 P0＝ x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前 和后 个位置，得到排列 P1＝ x1x3…xN－1 x2x4…xN，将此操作称N2 N2为 C 变换．将 P1分成两段，每段 个数，并对每段作 C 变换，得到 P2；当 2≤ i≤ n－2N2时，将 Pi分成 2i段，每段 个数，并对每段作 C 变换，得到 Pi＋1 .例如，当 N＝8 时，N2iP2＝ x1x5x3x7x2x6x4x8，此时 x7位于 P2中的第 4 个位置．(1)当 N＝16 时， x7位于 P2中的第________个位置；(2)当 N＝2 n(n≥8)时， x173位于 P4中的第________个位置．解析 (1)当 N＝16 时， P1＝ x1x3x5x7x9…x16，此时 x7在第一段内，再把这段变换 x7位于偶数位的第 2 个位置，故在 P2中， x7位于后半段的第 2 个位置，即在 P2中 x7位于第6 个位置．(2)在 P1中， x173位于两段中第一段的第 87 个位置，位于奇数位置上，此时在 P2中 x173位于四段中第一段的第 44 个位置上，再作变换得 P3时， x173位于八段中第二段的第 22个位置上，再作变换时， x173位于十六段中的第四段的第 11 个位置上，也就是位于 P4中的第(3×2 n－4 ＋11)个位置上．答案 6 3×2 n－4 ＋11三、解答题11．给出下面的数表序列：5…表 1 表 2 表 31 1 3 1 3 54 4 812其中表 n(n＝1,2,3，…)有 n 行，第 1 行的 n 个数是 1,3,5，…，2 n－1，从第 2 行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表 4，验证表 4 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表 n(n≥3)(不要求证明)．解 表 4 为 1 3 5 74 8 1212 2032它的第 1,2,3,4 行中的数的平均数分别是 4,8,16,32，它们构成首项为 4，公比为 2 的等比数列．将这一结论推广到表 n(n≥3)，即表 n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为 n，公比为 2 的等比数列．12．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解 (1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－ sin 30°＝1－ ＝ .12 14 34(2)三角恒等式为 sin2α ＋cos 2(30°－ α )－sin α cos(30°－ α )＝ .34证明如下：sin2α ＋cos 2(30°－ α )－sin α cos(30°－ α )＝sin 2α ＋(cos 30°cos α ＋sin 30°sin α )2－sin α ·(cos 30°cos α ＋sin 30°sin α )＝sin 2α ＋ cos2α ＋ sin α cos α ＋ sin2α － sin α cos 34 32 14 32α － sin2α ＝ sin2α ＋ cos2α ＝ .12 34 34 34613．观察下表：1，2,34,5,6,7，8,9,10,11,12,13,14,15，…问：(1)此表第 n 行的最后一个数是多少？(2)此表第 n 行的各个数之和是多少？(3)2 013 是第几行的第几个数？解 (1)∵第 n＋1 行的第 1 个数是 2n，∴第 n 行的最后一个数是 2n－1.(2)2n－1 ＋(2 n－1 ＋1)＋(2 n－1 ＋2)＋…＋(2 n－1)＝ ＝3·2 2n－3 －2 n－2 . 2n－ 1＋ 2n－ 1 ·2n－ 12(3)∵2 10＝1 024,2 11＝2 048,1 0242 0132 048，∴2 013 在第 11 行，该行第 1 个数是 210＝1 024，由 2 013－1 024＋1＝990，知 2 013 是第 11 行的第 990 个数．14．将各项均为正数的数列{ an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成数表，如图所示．记表中各行的第一个数 a1， a2， a4， a7，…，构成数列{ bn}，各行的最后一个数 a1， a3， a6， a10，…，构成数列{ cn}，第 n 行所有数的和为 Sn(n＝1,2,3,4，…)．已知数列{ bn}是公差为 d 的等差数列，从第二行起，每一行中的数按照从左到右的顺序每一个数与它前面一个数的比是常数 q，且 a1＝ a13＝1， a31＝ .53(1)求数列{ cn}，{ Sn}的通项公式；(2)求数列{ cn}的前 n 项和 Tn的表达式．解 (1) bn＝ dn－ d＋1，前 n 行共有 1＋2＋3＋…＋ n＝ 个数，因为 13＝n n＋ 12＋3，所以 a13＝ b5×q2，4×52即(4 d＋1) q2＝1，又因为 31＝ ＋3，所以 a31＝ b8×q2，7×827即(7 d＋1) q2＝ ，解得 d＝2， q＝ ，53 13所以 bn＝2 n－1， cn＝ bn n－1 ＝ ，(13) 2n－ 13n－ 1Sn＝ ＝ (2n－1)· . 2n－ 1 (1－ 13n)1－ 13 32 3n－ 13n(2)Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ， ①11 33 532 2n－ 13n－ 1Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ . ②13 13 332 533 2n－ 13n①②两式相减，得Tn＝1＋2 －23 (13＋ 132＋ …＋ 13n－ 1) 2n－ 13n＝1＋2× － ＝2－ ，13－ 13n1－ 13 2n－ 13n 2n＋ 23n所以 Tn＝3－ . n＋ 13n－ 11第 2 讲 直接证明与间接证明一、选择题1.“所有 9 的倍数都是 3 的倍数，某奇数是 9 的倍数，故该奇数是 3 的倍数.”上述推理( )A 小前提错 B 结论错C 正确 D 大前提错解析 大前提，小前提都正确，推理正确，故选 C.答案 C2．对于平面 α 和共面的直线 m， n，下列命题中真命题是( )．A．若 m⊥ α ， m⊥ n，则 n∥ αB．若 m∥ α ， n∥ α ，则 m∥ nC．若 m⊂α ， n∥ α ，则 m∥ nD．若 m， n 与 α 所成的角相等，则 m∥ n解析 对于平面 α 和共面的直线 m， n，真命题是“若 m⊂α ， n∥ α ，则 m∥ n”．答案 C3．要证： a2＋ b2－1－ a2b2≤0，只要证明 ( )．A．2 ab－1－ a2b2≤0 B． a2＋ b2－1－ ≤0a4＋ b42C. －1－ a2b2≤0 D．( a2－1)( b2－1)≥0 a＋ b 22解析 因为 a2＋ b2－1－ a2b2≤0⇔( a2－1)( b2－1)≥0，故选 D.答案 D4．命题“如果数列{ an}的前 n 项和 Sn＝2 n2－3 n，那么数列{ an}一定是等差数列”是否成立( )．A．不成立 B．成立 C．不能断定 D．能断定解析 ∵ Sn＝2 n2－3 n，∴ Sn－1 ＝2( n－1) 2－3( n－1)( n≥2)，∴ an＝ Sn－ Sn－1 ＝4 n－5( n＝1 时， a1＝ S1＝－1 符合上式)．又∵ an＋1 － an＝4( n≥1)，∴{ an}是等差数列．答案 B5．设 a， b， c 均为正实数，则三个数 a＋ ， b＋ ， c＋ ( )． 1b 1c 1aA．都大于 2 B．都小于 2C．至少有一个不大于 2 D．至少有一个不小于 22解析 ∵ a＞0， b＞0， c＞0，∴ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋(a＋1b) (b＋ 1c) (c＋ 1a) (a＋ 1a) (b＋ 1b)≥6，当且仅当 a＝ b＝ c 时， “＝”成立，故三者不能都小于 2，即至少有一个不(c＋1c)小于 2.答案 D6．定义一种运算“*”：对于自然数 n 满足以下运算性质：( n＋1)*1＝ n*1＋1，则 n*1＝ ( )．A． n B． n＋1 C． n－1 D． n2解析 由( n＋1)*1＝ n*1＋1，得 n*1＝( n－1)*1＋1＝( n－2)*1＋2＝…＝n.答案 A二、填空题7．要证明“ ＋ ＜2 ”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是________(填序号)3 7 5．①反证法，②分析法，③综合法．答案 ②8．设 ab0， m＝ － ， n＝ ，则 m， n 的大小关系是________．a b a－ b解析 取 a＝2， b＝1，得 m0，显然成立．a b a－ b a b a－ b b a－ b b a－ b答案 mb 与 ab 及 a＝ b 中至少有一个成立；③ a≠ c， b≠ c， a≠ b 不能同时成立．其中判断正确的是_______．解析 ①②正确；③中 a≠ c， b≠ c， a≠ b 可能同时成立，3如 a＝1， b＝2， c＝3.选 C.答案 ①②三、解答题11．已知非零向量 a， b，且 a⊥ b，求证： ≤ .|a|＋ |b||a＋ b| 2证明 a⊥ b⇔a·b＝0，要证 ≤ .|a|＋ |b||a＋ b| 2只需证| a|＋| b|≤ |a＋ b|，2只需证| a|2＋2| a||b|＋| b|2≤2( a2＋2 a·b＋ b2)，只需证| a|2＋2| a||b|＋| b|2≤2 a2＋2 b2，只需证| a|2＋| b|2－2| a||b|≥0，即(| a|－| b|)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．12．设数列{ an}是公比为 q 的等比数列， Sn是它的前 n 项和．(1)求证：数列{ Sn}不是等比数列；(2)数列{ Sn}是等差数列吗？为什么？(1)证明 假设数列{ Sn}是等比数列，则 S ＝ S1S3，2即 a (1＋ q)2＝ a1·a1·(1＋ q＋ q2)，21因为 a1≠0，所以(1＋ q)2＝1＋ q＋ q2，即 q＝0，这与公比 q≠0 矛盾，所以数列{ Sn}不是等比数列．(2)解 当 q＝1 时， Sn＝ na1，故{ Sn}是等差数列；当 q≠1 时，{ Sn}不是等差数列，否则 2S2＝ S1＋ S3，即 2a1(1＋ q)＝ a1＋ a1(1＋ q＋ q2)，得 q＝0，这与公比 q≠0 矛盾．13．已知 f(x)＝ x2＋ ax＋ b.(1)求： f(1)＋ f(3)－2 f(2)；(2)求证：| f(1)|，| f(2)|，| f(3)|中至少有一个不小于 .12(1)解 ∵ f(1)＝ a＋ b＋1， f(2)＝2 a＋ b＋4， f(3)＝3 a＋ b＋9，∴ f(1)＋ f(3)－2 f(2)＝2.(2)证明 假设| f(1)|，| f(2)|，| f(3)|都小于 .124则－ f(1) ，－ f(2) ，－ f(3) ，12 12 12 12 12 12∴－1－2 f(2)1，－1 f(1)＋ f(3)1.∴－2 f(1)＋ f(3)－2 f(2)2，这与 f(1)＋ f(3)－2 f(2)＝2 矛盾．∴假设错误，即所证结论成立．14．已知二次函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a＞0)的图象与 x 轴有两个不同的交点，若 f(c)＝0，且 0＜ x＜ c 时， f(x)＞0.(1)证明： 是 f(x)＝0 的一个根；1a(2)试比较 与 c 的大小；1a(3)证明：－2＜ b＜－1.解 (1)证明 ∵ f(x)的图象与 x 轴有两个不同的交点，∴ f(x)＝0 有两个不等实根 x1， x2，∵ f(c)＝0，∴ x1＝ c 是 f(x)＝0 的根，又 x1x2＝ ，∴ x2＝ ，ca 1a(1a≠ c)∴ 是 f(x)＝0 的一个根．1a(2)假设 ＜ c，又 ＞0，1a 1a由 0＜ x＜ c 时， f(x)＞0，知 f ＞0 与 f ＝0 矛盾，∴ ≥ c，(1a) (1a) 1a又∵ ≠ c，∴ ＞ c.1a 1a(3)证明 由 f(c)＝0，得 ac＋ b＋1＝0，∴ b＝－1－ ac.又 a＞0， c＞0，∴ b＜－1.二次函数 f(x)的图象的对称轴方程为x＝－ ＝ ＜ ＝ x2＝ ，b2a x1＋ x22 x2＋ x22 1a即－ ＜ .又 a＞0，b2a 1a∴ b＞－2，∴－2＜ b＜－1.1第 3 讲 数学归纳法一、选择题 1. 利用数学归纳法证明“1＋a＋a 2＋…＋a n＋1 ＝ (a≠1，n∈N *)”时，在验证1－ an＋ 21－ an＝1 成立时，左边应该是( )A 1 B 1＋aC 1＋a＋a 2 D 1＋a＋a 2＋a 3解析 当 n＝1 时，左边＝1＋a＋a 2，故选 C.答案 C2．用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时， xn＋ yn能被 x＋ y 整除” ，在第二步时，正确的证法是 ( )．A．假设 n＝ k(k∈N ＋ )，证明 n＝ k＋1 命题成立B．假设 n＝ k(k 是正奇数)，证明 n＝ k＋1 命题成立C．假设 n＝2 k＋1( k∈N ＋ )，证明 n＝ k＋1 命题成立D．假设 n＝ k(k 是正奇数)，证明 n＝ k＋2 命题成立解析 A、B、C 中， k＋1 不一定表示奇数，只有 D 中 k 为奇数， k＋2 为奇数．答案 D3．用数学归纳法证明 1－ ＋ － ＋…＋ － ＝ ＋ ＋…＋ ，则当 n＝ k＋112 13 14 12n－ 1 12n 1n＋ 1 1n＋ 2 12n时，左端应在 n＝ k 的基础上加上 ( )．A. B．－12k＋ 2 12k＋ 2C. － D. ＋12k＋ 1 12k＋ 2 12k＋ 1 12k＋ 2解析 ∵当 n＝ k 时，左侧＝1－ ＋ － ＋…＋ － ，当 n＝ k＋1 时，12 13 14 12k－ 1 12k左侧＝1－ ＋ － ＋…＋ － ＋ － .12 13 14 12k－ 1 12k 12k＋ 1 12k＋ 2答案 C4．对于不等式 1， n∈N *)，求证： S2n1＋ (n≥2， n∈N *)．12 13 1n n2证明 (1)当 n＝2 时， S2n＝ S4＝1＋ ＋ ＋ ＝ 1＋ ，即 n＝2 时命题成立；12 13 14 2512 22(2)假设当 n＝ k(k≥2， k∈N *)时命题成立，即 S2k＝1＋ ＋ ＋…＋ 1＋ ，12 13 12k k2则当 n＝ k＋1 时，S2k＋1 ＝1＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＋…＋ 1＋ ＋ ＋ ＋…＋ 1＋12 13 12k 12k＋ 1 12k＋ 1 k2 12k＋ 1 12k＋ 2 12k＋ 1 k2＋ ＝1＋ ＋ ＝1＋ ，2k2k＋ 2k k2 12 k＋ 12故当 n＝ k＋1 时，命题成立．由(1)和(2)可知，对 n≥2， n∈N *.不等式 S2n1＋ 都成立．n212．已知数列{ an}： a1＝1， a2＝2， a3＝ r， an＋3 ＝ an＋2( n∈N *)，与数列{ bn}：b1＝1， b2＝0， b3＝－1， b4＝0， bn＋4 ＝ bn(n∈N *)．记 Tn＝ b1a1＋ b2a2＋ b3a3＋…＋ bnan.(1)若 a1＋ a2＋ a3＋…＋ a12＝64，求 r 的值；(2)求证： T12n＝－4 n(n∈N *)．(1)解 a1＋ a2＋ a3＋…＋ a12＝1＋2＋ r＋3＋4＋( r＋2)＋5＋6＋( r＋4)＋7＋8＋( r＋6)＝48＋4 r.∵48＋4 r＝64，∴ r＝4.(2)证明 用数学归纳法证明：当 n∈N *时， T12n＝－4 n.①当 n＝1 时， T12＝ a1－ a3＋ a5－ a7＋ a9－ a11＝－4，故等式成立．②假设 n＝ k 时等式成立，即 T12k＝－4 k，那么当 n＝ k＋1 时，T12(k＋1) ＝ T12k＋ a12k＋1 － a12k＋3 ＋ a12k＋5 － a12k＋7 ＋ a12k＋9 － a12k＋11 ＝－4 k＋(8 k＋1)－(8 k＋ r)＋(8 k＋4)－(8 k＋5)＋(8 k＋ r＋4)－(8 k＋8)＝－4 k－4＝－4( k＋1)，等式也成立．根据①和②可以断定：当 n∈N *时， T12n＝－4 n.513．设数列{ an}满足 a1＝3， an＋1 ＝ a －2 nan＋2， n＝1,2,3，…2n(1)求 a2， a3， a4的值，并猜想数列{ an}的通项公式(不需证明)；(2)记 Sn为数列{ an}的前 n 项和，试求使得 Snn2＋2 n.① n＝6 时，2 662＋2×6，即 6448 成立；②假设 n＝ k(k≥6， k∈N *)时，2 kk2＋2 k 成立，那么 2k＋1 ＝2·2 k2(k2＋2 k)＝ k2＋2 k＋ k2＋2 kk2＋2 k＋3＋2 k＝( k＋1) 2＋2( k＋1)，即 n＝ k＋1 时，不等式成立；由①、②可得，对于所有的 n≥6( n∈N *)都有 2nn2＋2 n 成立．14．数列{ xn}满足 x1＝0， xn＋1 ＝－ x ＋ xn＋ c(n∈N *)．2n(1)证明：{ xn}是递减数列的充分必要条件是 c0，即 xn0，即证 xnxn，即{ xn}是递增数列．2n由①②知，使得数列{ xn}单调递增的 c 的范围是 .(0，14]1第 4讲 程序框图与算法语句一、选择题1．执行如图所示的程序框图，则输出的 S值是 ( )．A．－1 B. C. D．423 32解析 根据程序框图，程序执行的步骤为S＝4， i＝110? B． i20? D． i10？” ，选 A.答案 A3 某客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为：不超过 25 kg按 0.5元/kg 收费，超过 25 kg的部分按 0.8元/kg 收费，计算收费的程序框图如图所示，则①②处应填 ( )．A． y＝0.8 x y＝0.5 xB． y＝0.5 x y＝0.8 xC． y＝25×0.5＋( x－25)×0.8 y＝0.5 xD． y＝25×0.5＋0.8 x y＝0.8 x解析 设行李的重量为 x kg，则所需费用为 y＝Error!所以选 C.答案 C4．阅读如图所示的程序框图，输出的 S值为 ( )．A．0 B．1＋ 2C．1＋ D. －122 2解析 程序框图的功能是计算 sin ＋sin ＋sin ＋sin ＋sin ＋sin π4 2π4 3π4 4π4 5π43＋sin ＋sin ＋sin ＋sin ＋sin 的值．而 sin ＋sin 6π4 7π4 8π4 9π4 10π4 11π4 π4＋sin ＋sin ＋sin ＋sin ＋sin ＋sin ＝0，sin ＋sin 2π4 3π4 4π4 5π4 6π4 7π4 8π4 9π4＋sin ＝1＋ .10π4 11π4 2答案 B5．运行右图所示的程序框图，若输出结果为 ，则判断框137中应该填的条件是( )．A． k5 B． k6C． k7 D． k8解析 据题意令S＝1＋ ＋ ＋…＋ ＝1＋1－ ＋ － ＋…＋ － ＝2－11×2 12×3 1k× k＋ 1 12 12 13 1k 1k＋ 1 1k＋ 1，令 S＝2－ ＝ ，解得 k＝6，故判断框应填入 k6.1k＋ 1 137答案 B6．执行下面的程序框图，如果输入 a＝4，那么输出的 n的值为( )．A．2 B．3C．4 D．5解析 当 a＝4 时，第一次 P＝0＋4 0＝1， Q＝3， n＝1，第二次 P＝1＋4 1＝5， Q＝7， n＝2，第三次 P＝5＋4 2＝21， Q＝15， n＝3，4此时 P≤ Q不成立，输出 n＝3，选 B.答案 B7．执行如图所示的程序框图，则输出的 λ 是 ( )．A．－4 B．－2 C．0 D．－2 或 0解析 依题意，若 λ a＋ b与 b垂直，则有( λ a＋ b)·b＝4( λ ＋4)－2(－3 λ －2)＝0，解得 λ ＝－2；若 λ a＋ b与 b平行，则有－2( λ ＋4)＝4(－3 λ －2)，解得 λ ＝0.结合题中的程序框图，输出的 λ 是－2，选 B.答案 B8．按如图所示的算法框图运算，若输出 k＝2，则输入 x的取值范围是( )．A．19≤ x30.算法中的变量 p实质是表示参与求和的各个数，由于它也是变化的，且满足第 i个数比其前一个数大 i－1，第 i＋1 个数比其前一个数大 i，故应有 p＝ p＋ i.故(1)处应填 i30；(2)处应填 p＝ p＋ i.答案 (1) i30 (2) p＝ p＋ i14．右图是一个算法框图，则输出的 k的值是________．解析 由 k2－5 k＋40 得 k4，所以 k＝5.答案 515．对任意非零实数 a， b，若 a⊗b的运算原理如下程序框图所示，则 3⊗2＝________.7解析 ∵ a＝3， b＝2，则 ab，∴输出 ＝ ＝2.a＋ 1b 3＋ 12答案 216．如图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图甲中从左向右第一组的频数为 4 000.在样本中记月收入在 [1 000,1 500)，[1 500,2 000)，[2 000,2 500)，[2 500,3 000)，[3 000,3 500)，[3 500,4 000]的人数依次为 A1、 A2、…、 A6.图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的程序框图，则样本的容量 n＝________；图乙输出的 S＝________.(用数字作答)图甲图乙解析 ∵月收入在[1 000,1 500)的频率为 0.000 8×500＝0.4，且有 4 000人，∴样8本的容量 n＝ ＝10 000，由题图乙知输出的 S＝ A2＋ A3＋…＋ A6＝4 0000.410 000－4 000＝6 000.答案 10 000 6 0001第 5 讲 复 数一、选择题1．复数 的共轭复数是( )．2＋ i1－ 2iA．－ i B. i C．－i D．i35 35解析 ＝ ＝i，∴ 的共轭复数为－i.2＋ i1－ 2i i － 2i＋ 11－ 2i 2＋ i1－ 2i答案 C2．复数 ＝( )．i－ 21＋ 2iA．i B．－iC．－ － i D．－ ＋ i45 35 45 35解析 因为 ＝ ＝ ＝i，故选择 A.i－ 21＋ 2i  i－ 2  1－ 2i 1＋ 2i  1－ 2i 5i5答案 A3.在复平面内，设 z＝1＋i(i 是虚数单位)，则复数 ＋ z2对应的点位于 2z( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析 由题知， ＋ z2＝ ＋(1＋i) 2＝1－i＋2i＝1＋i，2z 21＋ i所以复数 ＋ z2对应的点为(1,1)，其位于第一象限．2z答案 A4．复数 z1＝ a＋2i， z2＝－2＋i，如果| z1|1C． a0 D． a1解析 | z1|＝ ，| z2|＝ ，∴ 01＋ ai1＋ i  1＋ ai  1－ i 1＋ i  1－ i a＋ 12 a－ 12 a＋ 12 a－ 12时， a∈∅，所以 z 对应的点不可能在第二象限，故选 B.答案 B9．在复数集 C 上的函数 f(x)满足 f(x)＝Error!则 f(1＋i)等于( )．A．2＋i B．－2 C．0 D．2解析 ∵1＋i∉R，∴ f(1＋i) ＝(1－i)(1＋i)＝2.答案 D10．已知 i 为虚数单位， a 为实数，复数 z＝(1－2i)( a＋i)在复平面内对应的点为 M，则“a ”是“点 M 在第四象限”的 ( )．12A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析 z＝(1－2i)( a＋i)＝( a＋2)＋(1－2 a)i，若其对应的点在第四象限，则3a＋20，且 1－2 a .即“ a ”是“点 M 在第四象限”的充要条件．12 12答案 C二、填空题11．设 i 为虚数单位，则(1＋i) 5的虚部为________．解析 因为(1＋i) 5＝(1＋i) 4(1＋i)＝(2i) 2(1＋i)＝－4(1＋i)＝－4－4i，所以它的虚部为－4.答案 －412．已知复数 z 满足(2－i) z＝1＋i，i 为虚数单位，则复数 z＝________.解析 ∵(2－i) z＝1＋i，∴ z＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i.1＋ i2－ i  1＋ i  2＋ i 2－ i  2＋ i 1＋ 3i5 15 35答案 ＋ i15 3513．设复数 z 满足 i(z＋1)＝－3＋2i，则 z 的实部是________．解析 由 i(z＋1)＝－3＋2i，得 z＋1＝ ＝2＋3i，即 z＝1＋3i.－ 3＋ 2ii答案 114．若复数(1＋ ai)2(i 为虚数单位， a∈R)是纯虚数， 则复数 1＋ ai 的模是________．解析 因为(1＋ ai)2＝1－ a2＋2 ai 是纯虚数，所以 1－ a2＝0， a2＝1，复数 1＋ ai 的模为＝ .1＋ a2 2答案 15．设复数 z1＝1－i， z2＝ a＋2i，若 的虚部是实部的 2 倍，则实数 a 的值为________．z2z1解析 ∵ a∈R， z1＝1－i， z2＝ a＋2i，∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i，依题意z2z1 a＋ 2i1－ i  a＋ 2i  1＋ i 1－ i  1＋ i a－ 2＋  a＋ 2 i2 a－ 22 a＋ 22＝2× ，解得 a＝6.a＋ 22 a－ 22答案 616．若 ＝1－ bi，其中 a， b 都是实数，i 是虚数单位，则| a＋ bi|＝________.a1－ i解析 ∵ a， b∈R，且 ＝1－ bi，a1－ i则 a＝(1－ bi)(1－i)＝(1－ b)－(1＋ b)i，∴Error! ∴Error!∴| a＋ bi|＝|2－i|＝ ＝ .22＋  － 1 2 5答案 54