2019届高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量练习（打包8套）理 北师大版.zip

1第 1 讲 简单几何体的结构、三视图和直观图一、选择题1.关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是( )A.棱柱的侧棱长都相等B.棱锥的侧棱长都相等C.三棱台的上、下底面是相似三角形D.有的棱台的侧棱长都相等解析 根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等.答案 B2.如图所示的几何体是棱柱的有( )A.②③⑤ B.③④⑤C.③⑤ D.①③解析 由棱柱的定义知③⑤两个几何体是棱柱.答案 C3.(2017·衡水中学月考)将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为( )解析 易知左视图的投影面为矩形，又 AF 的投影线为虚线，即为左下角到右上角的对角线，∴该几何体的左视图为选项 D.答案 D4.如图是一几何体的直观图、主视图和俯视图，该几何体的左视图为( )2解析 由直观图和主视图、俯视图可知，该几何体的左视图应为面 PAD，且 EC 投影在面PAD 上且为实线，点 E 的投影点为 PA 的中点，故 B 正确.答案 B5.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A.6 B.42 2C.6 D.4解析 如图，设辅助正方体的棱长为 4，三视图对应的多面体为三棱锥 A－ BCD，最长的棱为 AD＝ ＝6.（ 42） 2＋ 22答案 C6.某几何体的主视图和左视图均为如图所示的图形，则在下图的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是( )A.①③ B.①④ C.②④ D.①②③④解析 由主视图和左视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故①③3正确.答案 A7.(2015·全国Ⅱ卷) 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A. B. C. D.18 17 16 15解析 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥.设正方体的棱长为 1，则三棱锥的体积为 V1＝ × ×1×1×1＝ .剩余部分的体积 V2＝1 3－ ＝ .因此，13 12 16 16 56＝ .V1V2 15答案 D8.(2017·西安质检)一个三棱锥的主视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的左视图可能为( )解析 由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面 ACD⊥平面 BCD.所以该三棱锥的左视图可能为选项 D.答案 D二、填空题9.(2017·福建龙岩联考)一水平放置的平面四边形 OABC，用斜二测画法画出它的直观图 O′ A′ B′ C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为 1 的正方形，则原平面四边形 OABC 面积为________.解析 因为直观图的面积是原图形面积的 倍，且直观图的面积24为 1，所以原图形的面积为 2 .24答案 2 210.(2017·兰州模拟)已知正方体的棱长为 1，其俯视图是一个面积为 1 的正方形，左视图是一个面积为 的矩形，则该正方体的主视图的面积等于________.2解析 由题知此正方体的主视图与左视图是一样的，主视图的面积与左视图的面积相等为 .2答案 211.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________.解析 由题中三视图可知，三棱锥的直观图如图所示，其中 PA⊥平面 ABC， M 为 AC 的中点，且 BM⊥ AC.故该三棱锥的最长棱为 PC.在Rt△ PAC 中， PC＝ ＝ ＝2 .PA2＋ AC2 22＋ 22 2答案 2 212.如图，在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中，点 P 是上底面 A1B1C1D1内一动点，则三棱锥 P－ ABC 的主视图与左视图的面积的比值为________.解析 三棱锥 P－ ABC 的主视图与左视图为底边和高均相等的三角形，故它们的面积相等，面积比值为 1.答案 113.在如图所示的空间直角坐标系 O－ xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)，给出编号①②③④的四个图，则该四面体的主视图和俯视图分别为( )5A.①和② B.③和①C.④和③ D.④和②解析 如图，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的主视图为④，俯视图为②.答案 D14.如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是( )A.4 B.5C.3 D.32 3解析 由三视图知几何体的直观图如图所示，计算可知线段 AF 最长，且 AF＝ ＝3 .BF2＋ AB2 3答案 D15.(2017·黄山中学月考)已知△ ABC 的平面直观图△ A′ B′ C′是边长为 a 的正三角形，那么原△ ABC 的面积为________.解析 如图，过 C′作 y′轴的平行线 C′ D′，与 x′轴交于点 D′.则 C′ D′＝ ＝ a.32asin 45° 626又 C′ D′是原△ ABC 的高 CD 的直观图，所以 CD＝ a.6故 S△ ABC＝ AB·CD＝ a2.12 62答案 a26216.(2016·北京卷)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________.解析 由题中三视图可画出长为 2、宽为 1、高为 1 的长方体，将该几何体还原到长方体中，如图所示，该几何体为四棱柱ABCD－ A′ B′ C′ D′.故该四棱柱的体积 V＝ Sh＝ ×(1＋2)×1×1＝ .12 32答案 321第 4 讲 平行关系一、选择题1.(2017·榆林模拟)有下列命题：①若直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线，则直线 l∥ α ；②若直线 a 在平面 α 外，则 a∥ α ；③若直线 a∥ b， b∥ α ，则 a∥ α ；④若直线 a∥ b， b∥ α ，则 a 平行于平面 α 内的无数条直线.其中真命题的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4解析 命题① l 可以在平面 α 内，不正确；命题②直线 a 与平面 α 可以是相交关系，不正确；命题③ a 可以在平面 α 内，不正确；命题④正确.答案 A2.设 m， n 是不同的直线， α ， β 是不同的平面，且 m， n α ，则“ α ∥ β ”是“ m∥ β且 n∥ β ”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析 若 m， n α ， α ∥ β ，则 m∥ β 且 n∥ β ；反之若 m， n α ， m∥ β 且 n∥ β ，则 α 与 β 相交或平行，即“ α ∥ β ”是“ m∥ β 且 n∥ β ”的充分不必要条件.答案 A3.(2017·长郡中学质检)如图所示的三棱柱 ABC－ A1B1C1中，过 A1B1的平面与平面 ABC 交于 DE，则 DE 与 AB 的位置关系是( )A.异面 B.平行C.相交 D.以上均有可能解析 在三棱柱 ABC－ A1B1C1中， AB∥ A1B1，∵ AB 平面 ABC， A1B1⊄平面 ABC，∴ A1B1∥平面 ABC，∵过 A1B1的平面与平面 ABC 交于 DE.∴ DE∥ A1B1，∴ DE∥ AB.答案 B4.下列四个正方体图形中， A， B 为正方体的两个顶点， M， N， P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB∥平面 MNP 的图形的序号是( )2A.①③ B.①④ C.②③ D.②④解析 ①中，易知 NP∥ AA′，MN∥ A′ B，∴平面 MNP∥平面 AA′ B，可得出 AB∥平面 MNP(如图).④中， NP∥ AB，能得出 AB∥平面 MNP.在②③中不能判定 AB∥平面 MNP.答案 B5.已知 m， n 表示两条不同直线， α 表示平面，下列说法正确的是( )A.若 m∥ α ， n∥ α ，则 m∥ n B.若 m⊥ α ， n α ，则 m⊥ nC.若 m⊥ α ， m⊥ n，则 n∥ α D.若 m∥ α ， m⊥ n，则 n⊥ α解析 若 m∥ α ， n∥ α ，则 m， n 平行、相交或异面，A 错；若 m⊥ α ， n α ，则m⊥ n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B 正确；若 m⊥ α ， m⊥ n，则 n∥ α 或 n α ，C 错；若 m∥ α ， m⊥ n，则 n 与 α 可能相交，可能平行，也可能n α ，D 错.答案 B二、填空题6.在四面体 A－ BCD 中， M， N 分别是△ ACD，△ BCD 的重心，则四面体的四个面中与 MN 平行的是________.解析 如图，取 CD 的中点 E.连接 AE， BE，由于 M， N 分别是△ ACD，△ BCD 的重心，所以 AE， BE分别过 M， N，则 EM∶ MA＝1∶2， EN∶ BN＝1∶2，所以 MN∥ AB.因为 AB 平面 ABD， MN⊄平面 ABD， AB 平面 ABC， MN⊄平面 ABC，所以 MN∥平面 ABD， MN∥平面 ABC.答案 平面 ABD 与平面 ABC7.如图所示，正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， AB＝2，点 E 为 AD 的中点，3点 F 在 CD 上.若 EF∥平面 AB1C，则线段 EF 的长度等于________.解析 在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， AB＝2，∴ AC＝2 .又 E 为 AD 中点， EF∥平面2AB1C， EF 平面 ADC，平面 ADC∩平面 AB1C＝ AC，∴ EF∥ AC，∴ F 为 DC 中点，∴ EF＝ AC＝ .12 2答案 28.(2017·承德模拟)如图所示，在正四棱柱 ABCD－ A1B1C1D1中，E， F， G， H 分别是棱 CC1， C1D1， D1D， DC 的中点， N 是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则 M 只需满足条件________时，就有 MN∥平面 B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析 连接 HN， FH， FN，则 FH∥ DD1， HN∥ BD，∴平面 FHN∥平面 B1BDD1，只需 M∈ FH，则 MN 平面 FHN，∴ MN∥平面 B1BDD1.答案 点 M 在线段 FH 上(或点 M 与点 H 重合)三、解答题9.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母 F， G， H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系，并证明你的结论.解 (1)点 F， G， H 的位置如图所示.(2)平面 BEG∥平面 ACH，证明如下：因为 ABCD－ EFGH 为正方体，所以 BC∥ FG， BC＝ FG，又 FG∥ EH， FG＝ EH，所以 BC∥ EH， BC＝ EH，于是四边形 BCHE 为平行四边形，所以 BE∥ CH.又 CH 平面 ACH， BE⊄平面 ACH，所以 BE∥平面 ACH.同理 BG∥平面 ACH.又 BE∩ BG＝ B，所以平面 BEG∥平面 ACH.10.(2014·全国Ⅱ卷)如图，四棱锥 P－ ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA⊥平面 ABCD， E 为 PD 的中点.(1)证明： PB∥平面 AEC；(2)设 AP＝1， AD＝ ，三棱锥 P－ ABD 的体积 V＝ ，求 A334到平面 PBC 的距离.4(1)证明 设 BD 与 AC 的交点为 O，连接 EO.因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点.又 E 为 PD 的中点，所以 EO∥ PB.又因为 EO 平面 AEC， PB⊄平面 AEC，所以 PB∥平面 AEC.(2)解 V＝ PA·AB·AD＝ AB.16 36由 V＝ ，可得 AB＝ .作 AH⊥ PB 交 PB 于 H.34 32由题设知 AB⊥ BC， PA⊥ BC，且 PA∩ AB＝ A，所以 BC⊥平面PAB.又 AH 平面 PAB，所以 BC⊥ AH，又 PB∩ BC＝ B，故 AH⊥平面 PBC.∵ PB 平面 PBC，∴ AH⊥ PB，在 Rt△ PAB 中，由勾股定理可得 PB＝ ，132所以 AH＝ ＝ .PA·ABPB 31313所以 A 到平面 PBC 的距离为 .3131311.给出下列关于互不相同的直线 l， m， n 和平面 α ， β ， γ 的三个命题：①若 l 与 m为异面直线， l α ， m β ，则 α ∥ β ；②若 α ∥ β ， l α ， m β ，则 l∥ m；③若 α ∩ β ＝ l， β ∩ γ ＝ m， γ ∩ α ＝ n， l∥ γ ，则 m∥ n.其中真命题的个数为( )A.3 B.2 C.1 D.0解析 ①中当 α 与 β 不平行时，也可能存在符合题意的 l， m；②中 l 与 m 也可能异面；③中Error!⇒ l∥ n，同理， l∥ m，则 m∥ n，正确.答案 C12.在四面体 ABCD 中，截面 PQMN 是正方形，则在下列结论中，错误的是( )A.AC⊥ BDB.AC∥截面 PQMNC.AC＝ BDD.异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45°解析 因为截面 PQMN 是正方形，所以 MN∥ QP，又 PQ 平面 ABC， MN⊄平面 ABC，则 MN∥平面 ABC，由线面平行的性质知 MN∥ AC，又 MN 平面 PQMN， AC⊄平面 PQMN，则 AC∥截5面 PQMN，同理可得 MQ∥ BD，又 MN⊥ QM，则 AC⊥ BD，故 A，B 正确.又因为 BD∥ MQ，所以异面直线 PM 与 BD 所成的角等于 PM 与 QM 所成的角，即为 45°，故 D 正确.答案 C13.如图所示，棱柱 ABC－ A1B1C1的侧面 BCC1B1是菱形，设 D 是 A1C1上的点且 A1B∥平面B1CD，则 A1D∶ DC1的值为________.解析 设 BC1∩ B1C＝ O，连接 OD.∵ A1B∥平面 B1CD 且平面 A1BC1∩平面 B1CD＝ OD，∴ A1B∥ OD，∵四边形 BCC1B1是菱形，∴ O 为 BC1的中点，∴ D 为 A1C1的中点，则 A1D∶ DC1＝1.答案 114.(2015·江苏卷)如图，在直三棱柱 ABC－ A1B1C1中，已知AC⊥ BC， BC＝ CC1.设 AB1的中点为 D， B1C∩ BC1＝ E.求证：(1)DE∥平面 AA1C1C；(2)BC1⊥ AB1.证明 (1)由题意知， E 为 B1C 的中点，又 D 为 AB1的中点，因此DE∥ AC.又因为 DE⊄平面 AA1C1C， AC 平面 AA1C1C，所以 DE∥平面 AA1C1C.(2)因为棱柱 ABC－ A1B1C1是直三棱柱，所以 CC1⊥平面 ABC.因为 AC 平面 ABC，所以 AC⊥ CC1.又因为 AC⊥ BC， CC1 平面 BCC1B1，BC 平面 BCC1B1， BC∩ CC1＝ C，所以 AC⊥平面 BCC1B1.又因为 BC1 平面 BCC1B1，所以 BC1⊥ AC.因为 BC＝ CC1，所以矩形 BCC1B1是正方形，因此 BC1⊥ B1C.因为 AC， B1C 平面 B1AC， AC∩ B1C＝ C，所以 BC1⊥平面 B1AC.又因为 AB1 平面 B1AC，所以 BC1⊥ AB1.1第 5 讲 垂直关系一、选择题1.(2015·浙江卷)设 α ， β 是两个不同的平面， l， m 是两条不同的直线，且l α ， m β ( )A.若 l⊥ β ，则 α ⊥ β B.若 α ⊥ β ，则 l⊥ mC.若 l∥ β ，则 α ∥ β D.若 α ∥ β ，则 l∥ m解析 由面面垂直的判定定理，可知 A 选项正确；B 选项中， l 与 m 可能平行；C 选项中，α 与 β 可能相交；D 选项中， l 与 m 可能异面.答案 A2.(2017·深圳四校联考)若平面 α ， β 满足 α ⊥ β ， α ∩ β ＝ l， P∈ α ， P∉l，则下列命题中是假命题的为( )A.过点 P 垂直于平面 α 的直线平行于平面 βB.过点 P 垂直于直线 l 的直线在平面 α 内C.过点 P 垂直于平面 β 的直线在平面 α 内D.过点 P 且在平面 α 内垂直于 l 的直线必垂直于平面 β解析 由于过点 P 垂直于平面 α 的直线必平行于平面 β 内垂直于交线的直线，因此也平行于平面 β ，因此 A 正确.过点 P 垂直于直线 l 的直线有可能垂直于平面 α ，不一定在平面 α 内，因此 B 不正确.根据面面垂直的性质定理知，选项 C，D 正确.答案 B3.如图，在正四面体 P－ ABC 中， D， E， F 分别是 AB， BC， CA 的中点，下面四个结论不成立的是( )A.BC∥平面 PDFB.DF⊥平面 PAEC.平面 PDF⊥平面 PAED.平面 PDE⊥平面 ABC解析 因为 BC∥ DF， DF 平面 PDF，BC⊄平面 PDF，所以 BC∥平面 PDF，故选项 A 正确.在正四面体中， AE⊥ BC， PE⊥ BC， AE∩ PE＝ E，∴ BC⊥平面 PAE， DF∥ BC，则 DF⊥平面 PAE，又 DF 平面 PDF，从而平面 PDF⊥平面 PAE.因此选项 B，C 均正确.答案 D4.(2017·西安调研)设 l 是直线， α ， β 是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )A.若 l∥ α ， l∥ β ，则 α ∥ β B.若 l∥ α ， l⊥ β ，则 α ⊥ β2C.若 α ⊥ β ， l⊥ α ，则 l∥ β D.若 α ⊥ β ， l∥ α ，则 l⊥ β解析 A 中， α ∥ β 或 α 与 β 相交，不正确.B 中，过直线 l 作平面 γ ，设α ∩ γ ＝ l′，则 l′∥ l，由 l⊥ β ，知 l′⊥ β ，从而 α ⊥ β ，B 正确.C 中， l∥ β 或l β ，C 不正确.D 中， l 与 β 的位置关系不确定.答案 B5.(2017·天津滨海新区模拟)如图，以等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高 AD 为折痕，把△ ABD 和△ ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：① BD⊥ AC；②△ BAC 是等边三角形；③三棱锥 D－ ABC 是正三棱锥；④平面 ADC⊥平面 ABC.其中正确的是( )A.①②④ B.①②③C.②③④ D.①③④解析 由题意知， BD⊥平面 ADC，且 AC 平面 ADC，故 BD⊥ AC，①正确； AD 为等腰直角三角形斜边 BC 上的高，平面 ABD⊥平面 ACD，所以 AB＝ AC＝ BC，△ BAC 是等边三角形，②正确；易知 DA＝ DB＝ DC，又由②知③正确；由①知④错.答案 B二、填空题6.如图，已知 PA⊥平面 ABC， BC⊥ AC，则图中直角三角形的个数为________.解析 ∵ PA⊥平面 ABC， AB， AC， BC 平面 ABC，∴ PA⊥ AB， PA⊥ AC， PA⊥ BC，则△ PAB，△ PAC 为直角三角形.由 BC⊥ AC，且AC∩ PA＝ A，∴ BC⊥平面 PAC，从而 BC⊥ PC，因此△ ABC，△ PBC 也是直角三角形.答案 47.如图所示，在四棱锥 P－ ABCD 中， PA⊥底面 ABCD，且底面各边都相等， M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足________时，平面 MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可).解析 由定理可知， BD⊥ PC.3∴当 DM⊥ PC(或 BM⊥ PC)时，有 PC⊥平面 MBD.又 PC 平面 PCD，∴平面 MBD⊥平面 PCD.答案 DM⊥ PC(或 BM⊥ PC 等)8.(2016·全国Ⅱ卷) α ， β 是两个平面， m， n 是两条直线，有下列四个命题：①如果 m⊥ n， m⊥ α ， n∥ β ，那么 α ⊥ β ；②如果 m⊥ α ， n∥ α ，那么 m⊥ n；③如果 α ∥ β ， m α ，那么 m∥ β ；④如果 m∥ n， α ∥ β ，那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等.其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号).解析 对于①， α ， β 可以平行，也可以相交但不垂直，故错误.对于②，由线面平行的性质定理知存在直线 l α ， n∥ l， m⊥ α ，所以 m⊥ l，所以m⊥ n，故正确.对于③，因为 α ∥ β ，所以 α ， β 没有公共点.又 m α ，所以 m， β 没有公共点，由线面平行的定义可知 m∥ β ，故正确.对于④，因为 m∥ n，所以 m 与 α 所成的角和 n 与 α 所成的角相等.因为 α ∥ β ，所以n 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等，所以 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等，故正确.答案 ②③④三、解答题9.(2017·南昌质检)如图，△ ABC 和△ BCD 所在平面互相垂直，且AB＝ BC＝ BD＝2，∠ ABC＝∠ DBC＝120°， E， F， G 分别为 AC， DC， AD的中点.(1)求证： EF⊥平面 BCG；(2)求三棱锥 D－ BCG 的体积.(1)证明 由已知得△ ABC≌△ DBC，因此 AC＝ DC.又 G 为 AD 的中点，所以 CG⊥ AD.同理 BG⊥ AD，又 BG∩ CG＝ G，因此 AD⊥平面 BCG.又 EF∥ AD，所以 EF⊥平面 BCG.(2)解 在平面 ABC 内，作 AO⊥ BC，交 CB 的延长线于 O，如图由平面ABC⊥平面 BCD，平面 ABC∩平面 BDC＝ BC， AO 平面 ABC，知 AO⊥平面BDC.又 G 为 AD 中点，因此 G 到平面 BDC 的距离 h 是 AO 长度的一半.在△ AOB 中， AO＝ AB·sin 60°＝ ，34所以 VD－ BCG＝ VG－ BCD＝ S△ DBC·h＝ × BD·BC·13 13 12sin 120°· ＝ .32 1210.(2016·北京卷)如图，在四棱锥 P－ ABCD 中， PC⊥平面ABCD， AB∥ DC， DC⊥ AC.(1)求证： DC⊥平面 PAC；(2)求证：平面 PAB⊥平面 PAC；(3)设点 E 为 AB 的中点，在棱 PB 上是否存在点 F，使得 PA∥平面 CEF？说明理由.(1)证明 因为 PC⊥平面 ABCD，所以 PC⊥ DC.又因为 AC⊥ DC，且PC∩ AC＝ C，所以 DC⊥平面 PAC.(2)证明 因为 AB∥ CD， DC⊥ AC，所以 AB⊥ AC.因为 PC⊥平面 ABCD，所以 PC⊥ AB.又因为 PC∩ AC＝ C，所以 AB⊥平面 PAC.又 AB 平面 PAB，所以平面 PAB⊥平面 PAC.(3)解 棱 PB 上存在点 F，使得 PA∥平面 CEF.理由如下：取 PB 的中点 F，连接 EF， CE， CF，又因为 E 为 AB 的中点，所以 EF∥ PA.又因为 PA⊄平面 CEF，且 EF 平面 CEF，所以 PA∥平面 CEF.11.设 m， n 是两条不同的直线， α ， β 是两个不同的平面.则下列说法正确的是( )A.若 m⊥ n， n∥ α ，则 m⊥ αB.若 m∥ β ， β ⊥ α ，则 m⊥ αC.若 m⊥ β ， n⊥ β ， n⊥ α ，则 m⊥ αD.若 m⊥ n， n⊥ β ， β ⊥ α ，则 m⊥ α解析 A 中，由 m⊥ n， n∥ α 可得 m∥ α 或 m 与 α 相交或 m α ，错误；B 中，由m∥ β ， β ⊥ α 可得 m∥ α 或 m 与 α 相交或 m α ，错误；C 中，由 m⊥ β ， n⊥ β 可得m∥ n，又 n⊥ α ，所以 m⊥ α ，正确；D 中，由 m⊥ n， n⊥ β ， β ⊥ α 可得 m∥ α 或 m 与α 相交或 m α ，错误.答案 C12.(2017·合肥模拟)如图，在正方形 ABCD 中， E， F 分别是 BC， CD 的中点，沿AE， AF， EF 把正方形折成一个四面体，使 B， C， D 三点重合，重合后的点记为 P， P 点在△ AEF 内的射影为 O，则下列说法正确的是( )5A.O 是△ AEF 的垂心 B.O 是△ AEF 的内心C.O 是△ AEF 的外心 D.O 是△ AEF 的重心解析 由题意可知 PA， PE， PF 两两垂直，所以 PA⊥平面 PEF，从而 PA⊥ EF，而 PO⊥平面 AEF，则 PO⊥ EF，因为 PO∩ PA＝ P，所以 EF⊥平面 PAO，∴ EF⊥ AO，同理可知 AE⊥ FO， AF⊥ EO，∴ O 为△ AEF 的垂心.答案 A13.如图，已知六棱锥 P－ ABCDEF 的底面是正六边形， PA⊥平面ABC， PA＝2 AB，则下列结论中：① PB⊥ AE；②平面 ABC⊥平面PBC；③直线 BC∥平面 PAE；④∠ PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上).解析 由 PA⊥平面 ABC， AE 平面 ABC，得 PA⊥ AE，又由正六边形的性质得 AE⊥ AB， PA∩ AB＝ A，得 AE⊥平面 PAB，又 PB 平面PAB，∴ AE⊥ PB，①正确；又平面 PAD⊥平面 ABC，∴平面 ABC⊥平面 PBC 不成立，②错；由正六边形的性质得 BC∥ AD，又 AD 平面 PAD， BC⊄平面 PAD，∴ BC∥平面 PAD，∴直线BC∥平面 PAE 也不成立，③错；在 Rt△ PAD 中， PA＝ AD＝2 AB，∴∠ PDA＝45°，∴④正确.答案 ①④14.(2016·四川卷)如图，在四棱锥 P－ ABCD 中，PA⊥ CD， AD∥ BC，∠ ADC＝∠ PAB＝90°， BC＝ CD＝ AD.12(1)在平面 PAD 内找一点 M，使得直线 CM∥平面 PAB，并说明理由.(2)证明：平面 PAB⊥平面 PBD.(1)解 取棱 AD 的中点 M(M∈平面 PAD)，点 M 即为所求的一个点，理由如下：因为 AD∥ BC， BC＝ AD.所以 BC∥ AM，且 BC＝ AM.12所以四边形 AMCB 是平行四边形，从而 CM∥ AB.又 AB 平面 PAB.CM⊄平面 PAB.6所以 CM∥平面 PAB.(说明：取棱 PD 的中点 N，则所找的点可以是直线 MN 上任意一点)(2)证明 由已知， PA⊥ AB， PA⊥ CD.因为 AD∥ BC， BC＝ AD，12所以直线 AB 与 CD 相交，所以 PA⊥平面 ABCD.又 BD 平面 ABCD，从而 PA⊥ BD.因为 AD∥ BC， BC＝ AD，12M 为 AD 的中点，连接 BM，所以 BC∥ MD，且 BC＝ MD.所以四边形 BCDM 是平行四边形，所以 BM＝ CD＝ AD，所以 BD⊥ AB.12又 AB∩ AP＝ A，所以 BD⊥平面 PAB.又 BD 平面 PBD，所以平面 PAB⊥平面 PBD.