2018版高考数学一轮总复习 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 文（课件+习题）（打包12套）.zip

12018版高考数学一轮总复习 第 4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.1 平面向量的概念及其线性运算模拟演练 文[A级 基础达标](时间：40 分钟)1．如图所示， D， E， F分别是△ ABC的边 AB， BC， CA的中点，则 － 等于( )AF→ DB→ A． B．FD→ FC→ C． D．FE→ BE→ 答案 D解析 由题图，知 ＝ ，则 － ＝ － ＝ .由三角形中位线定理，知 ＝ .故DB→ AD→ AF→ DB→ AF→ AD→ DF→ DF→ BE→ 选 D.2．[2017·嘉兴模拟]已知向量 a与 b不共线，且 ＝ λ a＋ b， ＝ a＋ μ b，则点AB→ AC→ A， B， C三点共线应满足 ( )A． λ ＋ μ ＝2 B． λ － μ ＝1C． λμ ＝－1 D． λμ ＝1答案 D解析 若 A， B， C三点共线，则 ＝ k ，即 λ a＋ b＝ k(a＋ μ b)，所以AB→ AC→ λ a＋ b＝ ka＋ μk b，所以 λ ＝ k,1＝ μk ，故 λμ ＝1.3．已知 A、 B、 C三点不共线，且点 O满足 ＋ ＋ ＝0，则下列结论正确的是( )OA→ OB→ OC→ A． ＝ ＋ B． ＝ ＋OA→ 13AB→ 23BC→ OA→ 23AB→ 13BC→ C． ＝ － D． ＝－ －OA→ 13AB→ 23BC→ OA→ 23AB→ 13BC→ 答案 D解析 ∵ ＋ ＋ ＝0，∴ O为△ ABC的重心，∴ ＝－ × ( ＋ )＝－ ( ＋ )OA→ OB→ OC→ OA→ 23 12AB→ AC→ 13AB→ AC→ 2＝－ ( ＋ ＋ )＝－ (2 ＋ )＝－ － .13AB→ AB→ BC→ 13 AB→ BC→ 23AB→ 13BC→ 4．[2017·安徽六校联考]在平行四边形 ABCD中， ＝ a， ＝ b， ＝2 ，则 ＝( )AB→ AC→ DE→ EC→ BE→ A． b－ a B． b－ a13 23C． b－ a D． b＋ a43 13答案 C解析 因为 ＝ － ＝ ＋ － ，所以BE→ AE→ AB→ AD→ DE→ AB→ ＝ ＋ － ＝ － ＋ － ＝ b－ a，故选 C.BE→ BC→ 23AB→ AB→ AC→ AB→ 23AB→ AB→ 435．如图，在△ ABC中，| |＝| |，延长 CB到 D，使 ⊥ ，若 ＝ λ ＋ μ ，则BA→ BC→ AC→ AD→ AD→ AB→ AC→ λ － μ 的值是( )A．1 B．2C．3 D．4答案 C解析 由题意可知， B是 DC的中点，故 ＝ ( ＋ )，即 ＝2 － ，所以AB→ 12AC→ AD→ AD→ AB→ AC→ λ ＝2， μ ＝－1，则 λ － μ ＝3.6．在△ ABC中， D为边 AB上一点，若 ＝2 ， ＝ ＋ λ ，则 λ ＝________.AD→ DB→ CD→ 13CA→ CB→ 答案 23解析 因为 ＝2 ，所以 ＝ ＝ ( － )．在△ ACD中，因为AD→ DB→ AD→ 23AB→ 23CB→ CA→ ＝ ＋ ＝ ＋ ( － )＝ ＋ ，所以 λ ＝ .CD→ CA→ AD→ CA→ 23CB→ CA→ 13CA→ 23CB→ 2337．设点 M是线段 BC的中点，点 A在直线 BC外， 2＝16，| ＋ |＝| － |，则|BC→ AB→ AC→ AB→ AC→ |＝________.AM→ 答案 2解析 由| ＋ |＝| － |可知， ⊥ ，AB→ AC→ AB→ AC→ AB→ AC→ 则 AM为 Rt△ ABC斜边 BC上的中线，因此，| |＝ | |＝2.AM→ 12BC→ 8．[2017·泉州四校联考]设 e1， e2是不共线的向量，若 ＝ e1－ λ e2， ＝2 e1＋ e2，AB→ CB→ ＝3 e1－ e2，且 A， B， D三点共线，则 λ 的值为________．CD→ 答案 2解析 ∵ ＝2 e1＋ e2， ＝3 e1－ e2，CB→ CD→ ∴ ＝ － ＝(3 e1－ e2)－(2 e1＋ e2)＝ e1－2 e2，若 A， B， D三点共线，则 与 共线，BD→ CD→ CB→ AB→ BD→ 存在 μ ∈R 使得 ＝ μ ，即 e1－ λ e2＝ μ (e1－2 e2)，由 e1， e2是不共线的向量，得Error!AB→ BD→ 解得 λ ＝2.9．[2017·合肥模拟]已知向量 a， b不共线，且 c＝ λ a＋ b， d＝ a＋(2 λ －1) b，若 c与 d反向共线，求实数 λ 的值．解 由于 c与 d反向共线，则存在实数 k使 c＝ kd(k0)，于是 λ a＋ b＝ k[a＋(2 λ －1)b]，整理得 λ a＋ b＝ ka＋(2 λk － k)b.由于 a， b不共线，所以有Error!整理得 2λ 2－ λ －1＝0，解得 λ ＝1 或 λ ＝－ .12又因为 k0，所以 λ 0, 故 λ ＝－ .1210．已知| |＝1，| |＝ ，∠ AOB＝90°，点 C在∠ AOB内，且∠ AOC＝30°.设OA→ OB→ 3＝ m ＋ n (m， n∈R)，求 的值．OC→ OA→ OB→ mn4解 如图所示，因为 OB⊥ OA，不妨设| |＝2，过点 C作 CD⊥ OA于点 D， CE⊥ OB于点 E，所以四边形 ODCE是矩形，OC→ ＝ ＋ ＝ ＋ .OC→ OD→ DC→ OD→ OE→ 因为| |＝2，∠ COD＝30°，所以| |＝1，| |＝ .OC→ DC→ OD→ 3又因为| |＝ ，| |＝1，OB→ 3 OA→ 所以 ＝ ， ＝ ， ＝ ＋ ，OD→ 3OA→ OE→ 33OB→ OC→ 3OA→ 33OB→ 此时 m＝ ， n＝ ，所以 ＝ ＝3.333 mn 333[B级 知能提升](时间：20 分钟)11．如图所示，在平行四边形 ABCD中， O是对角线 AC， BD的交点， N是线段 OD的中点，AN的延长线与 CD交于点 E，则下列说法错误的是( )A． ＝ ＋ B． ＝ －AC→ AB→ AD→ BD→ AD→ AB→ C． ＝ ＋ D． ＝ ＋AO→ 12AB→ 12AD→ AE→ 53AB→ AD→ 答案 D解析 由向量的加法和减法，知道 A、B 正确；由中点公式知道 C正确，而△ DNE∽△BNA，所以 ＝ ＝ ，所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ，故 D错误．DEBA DNNB 13 AE→ AD→ DE→ AD→ 13AB→ 12．[2014·福建高考]设 M为平行四边形 ABCD对角线的交点， O为平行四边形 ABCD所在平面内任意一点，则 ＋ ＋ ＋ 等于( )OA→ OB→ OC→ OD→ 5A． B．2OM→ OM→ C．3 D．4OM→ OM→ 答案 D解析 ＋ ＋ ＋ ＝( ＋ )＋( ＋ )＝2 ＋2 ＝4 .故选 D.OA→ OB→ OC→ OD→ OA→ OC→ OB→ OD→ OM→ OM→ OM→ 13. 如图，平面内有三个向量 ， ， ，其中 与 的夹角为 120°， 与 的夹角为OA→ OB→ OC→ OA→ OB→ OA→ OC→ 30°，且| |＝| |＝1，| |＝2 .若 ＝ λ ＋ μ (λ ， μ ∈R)，则 λ ＋ μ 的值为OA→ OB→ OC→ 3 OC→ OA→ OB→ ________．答案 6解析 以 OC为对角线， ， 的方向为边的方向作平行四边形 ODCE(图略)．OA→ OB→ 由已知，得∠ COD＝ 30°，∠ COE＝∠ OCD＝90°.在 Rt△ OCD中，| |＝2 ，| |＝ ＝4.OC→ 3 OD→ |OC→ |cos30°在 Rt△ OCE中，| |＝| |tan30°＝2.OE→ OC→ ＝4 ， ＝2 .OD→ OA→ OE→ OB→ 因为 ＝ ＋ ＝4 ＋2 ，所以 λ ＝4， μ ＝2.OC→ OD→ OE→ OA→ OB→ 所以 λ ＋ μ ＝6.14．设点 O在△ ABC内部，且有 4 ＋ ＋ ＝0，求△ ABC与△ OBC的面积之比．OA→ OB→ OC→ 6解 取 BC的中点 D，连接 OD，则 ＋ ＝2 ，OB→ OC→ OD→ ∵4 ＋ ＋ ＝0，OA→ OB→ OC→ ∴4 ＝－( ＋ )＝－2 ，OA→ OB→ OC→ OD→ ∴ ＝－ .OA→ 12OD→ ∴ O、 A、 D三点共线，且| |＝2| |，OD→ OA→ ∴ O是中线 AD上靠近 A点的一个三等分点，∴ S△ ABC∶ S△ OBC＝3∶2.板块四 模拟演练 ·提能增分 第 1讲 平面向量的概念及其线性运算第 4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入板块一 知识梳理 ·自主学习板块二 典例探究 ·考向突破12018版高考数学一轮总复习 第 4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.2 平面向量的基本定理及坐标表示模拟演练 文[A级 基础达标](时间：40 分钟)1．[2016· 衡水模拟]已知点 A(－1,1)， B(2， y)，向量 a＝(1,2)，若 ∥ a，则实数AB→ y的值为( )A．5 B．6C．7 D．8答案 C解析 ＝(3， y－1)， a＝(1,2)， ∥ a，则 2×3＝1×( y－1)，解得 y＝7，故选 C.AB→ AB→ 2．[2017·贵阳监测]已知向量 a＝(1,2)， b＝(－2,3)，若 ma－ nb与 2a＋ b共线(其中m， n∈R 且 n≠0)，则 ＝( )mnA．－2 B．2C．－ D．12 12答案 A解析 因为 ma－ nb＝( m＋2 n,2m－3 n)，2 a＋ b＝(0,7)， ma－ nb与 2a＋ b共线，所以m＋2 n＝0，即 ＝－2，故选 A.mn3．已知在▱ ABCD中， ＝(2,8)， ＝(－3,4)，对角线 AC与 BD相交于点 M，则 ＝( )AD→ AB→ AM→ A． B．(－12， － 6) (－ 12， 6)C． D．(12， － 6) (12， 6)答案 B解析 因为在▱ ABCD中，有 ＝ ＋ ， ＝ ，所以 ＝ ( ＋ )＝ ×(－1,12)AC→ AB→ AD→ AM→ 12AC→ AM→ 12AB→ AD→ 12＝ ，故选 B.(－12， 6)4．[2017·广西模拟]若向量 a＝(1,1)， b＝(1，－1)， c＝(－1,2)，则 c＝( )A．－ a＋ b B． a－ b12 32 12 32C． a－ b D．－ a＋ b32 12 32 12答案 B解析 设 c＝ λ 1a＋ λ 2b，则(－1,2)＝ λ 1(1,1)＋ λ 2(1，－1)＝( λ 1＋ λ 2， λ 1－ λ 2)，2∴ λ 1＋ λ 2＝－1， λ 1－ λ 2＝2，解得 λ 1＝ ， λ 2＝－ ，所以 c＝ a－ b.12 32 12 325．已知向量 a， b满足| a|＝1， b＝(2 ，1)，且 λ a＋ b＝0( λ ∈R)，则函数 f(x)2＝3 x＋ (x－1)的最小值为( )|λ |x＋ 1A．10 B．9C．6 D．3答案 D 解析 ∵ λ a＋ b＝0，∴ λ a＝－ b，∴| λ |＝ ＝ ＝3. f(x)|b||a| 31＝3 x＋ ＝3( x＋1)＋ －3≥2 －3＝6－3＝3，当且仅当 3(x＋1)＝3x＋ 1 3x＋ 1 3 x＋ 1 ·3x＋ 1，即 x＝0 时等号成立，∴函数 f(x)的最小值为 3，故选 D.3x＋ 16．若三点 A(1，－5)， B(a，－2)， C(－2，－1)共线，则实数 a的值为________．答案 －54解析 ＝( a－1,3)， ＝(－3,4)，AB→ AC→ 据题意知 ∥ ，∴4( a－1)＝3×(－3)，即 4a＝－5，AB→ AC→ ∴ a＝－ .547．已知点 A(7,1)， B(1,4)，若直线 y＝ ax与线段 AB交于点 C，且 ＝2 ，则实数AC→ CB→ a＝________.答案 1解析 设 C(x0， ax0)，则 ＝( x0－7， ax0－1)， ＝(1－ x0,4－ ax0)．因为 ＝2 ，AC→ CB→ AC→ CB→ 所以Error! 解得Error!8．[2017·大同模拟]在平面直角坐标系 xOy中，已知 A(1,0)， B(0,1)， C为第一象限内一点且∠ AOC＝ ，| OC|＝2，若 ＝ λ ＋ μ ，则 λ ＋ μ ＝________.π4 OC→ OA→ OB→ 答案 2 2解析 因为| OC|＝2，∠ AOC＝ ，所以 C( ， )，又 ＝ λ ＋ μ ，所以( ， )π4 2 2 OC→ OA→ OB→ 2 2＝ λ (1,0)＋ μ (0,1)＝( λ ， μ )，所以 λ ＝ μ ＝ ， λ ＋ μ ＝2 .2 29．已知三点 A(a,0)， B(0， b)， C(2,2)，其中 a0， b0.(1)若 O是坐标原点，且四边形 OACB是平行四边形，试求 a， b的值；(2)若 A， B， C三点共线，试求 a＋ b的最小值．解 (1)因为四边形 OACB是平行四边形，所以 ＝ ，即( a,0)＝(2,2－ b)，OA→ BC→ 3Error!解得 Error!故 a＝2， b＝2.(2)因为 ＝(－ a， b)， ＝(2,2－ b)，AB→ BC→ 由 A， B， C三点共线，得 ∥ ，AB→ BC→ 所以－ a(2－ b)－2 b＝0，即 2(a＋ b)＝ ab，因为 a0， b0，所以 2(a＋ b)＝ ab≤ 2，(a＋ b2 )即( a＋ b)2－8( a＋ b)≥0，解得 a＋ b≥8 或 a＋ b≤0.因为 a0， b0，所以 a＋ b≥8，即 a＋ b的最小值是 8.当且仅当 a＝ b＝4 时， “＝”成立．10．[2017·南宁模拟]如图，已知△ OCB中， A是 CB的中点， D是将 分成 2∶1 的一OB→ 个三等分点， DC和 OA交于点 E，设 ＝ a， ＝ b.OA→ OB→ (1)用 a和 b表示向量 ， ；OC→ DC→ (2)若 ＝ λ ，求实数 λ 的值．OE→ OA→ 解 (1)由题意知， A是 BC的中点，且 ＝ ，由平行四边形法则，得 ＋ ＝2 ，OD→ 23OB→ OB→ OC→ OA→ 所以 ＝2 － ＝2 a－ b，OC→ OA→ OB→ ＝ － ＝(2 a－ b)－ b＝2 a－ b.DC→ OC→ OD→ 23 53(2)由题意知， ∥ ， 故设 ＝ x .EC→ DC→ EC→ DC→ 因为 ＝ － ＝(2 a－ b)－ λ a＝(2－ λ )a－ b， ＝2 a－ b，所以(2－ λ )a－ b＝ xEC→ OC→ OE→ DC→ 53.(2a－53b)因为 a与 b不共线，由平面向量基本定理，得Error! 解得Error!故 λ ＝ .454[B级 知能提升](时间：20 分钟)11．已知 O为坐标原点，且点 A(1， )，则与 同向的单位向量的坐标为( )3 OA→ A． B．(12， 32) (－ 12， 32)C． D．(12， － 32) (－ 12， － 32)答案 A解析 与 同向的单位向量 a＝ ，又| |＝ ＝2，故 a＝ (1， )＝OA→ OA→ |OA→ | OA→ 1＋  3 2 12 3，故选 A.(12， 32)12．[2017·安徽模拟]在平面直角坐标系中， O(0,0)， P(6,8)，将向量 按逆时针旋转OP→ 后，得向量 ，则点 Q的坐标是( )3π4 OQ→ A．(－7 ，－ ) B．(－7 ， )2 2 2 2C．(－4 ，－2) D．(－4 ，2)6 6答案 A解析 解法一：设 ＝(10cos θ ，10sin θ )，其中 cosθ ＝ ，sin θ ＝ ，则 ＝OP→ 35 45 OQ→ ＝(－7 ，－ )．(10cos(θ ＋3π4)， 10sin(θ ＋ 3π4)) 2 2解法二：将向量 ＝(6,8)按逆时针旋转 后得 ＝(8，－6)，则 ＝－ ( ＋ )OP→ 3π2 OM→ OQ→ 12OP→ OM→ ＝(－7 ，－ )．2 213．[2017·枣庄模拟]在平面直角坐标系中， O为坐标原点，且满足 ＝ ＋ ，则OC→ 23OA→ 13OB→ ＝________.|AC→ ||AB→ |答案 13解析 由已知得，3 ＝2 ＋ ，OC→ OA→ OB→ 5即 － ＝2( － )，OC→ OB→ OA→ OC→ 即 ＝2 ，如图所示，BC→ CA→ 故 C为 BA的靠近 A点的三等分点，因而 ＝ .|AC→ ||AB→ | 1314．如图，在平行四边形 ABCD中， O是对角线 AC， BD的交点， N是线段 OD的中点， AN的延长线与 CD交于点 E，若 ＝ m ＋ ，求实数 m的值．AE→ AB→ AD→ 解 由 N是 OD的中点，得 ＝ ＋ ＝ ＋ ( ＋ )＝ ＋ ，AN→ 12AD→ 12AO→ 12AD→ 14AD→ AB→ 34AD→ 14AB→ 又因为 A， N， E三点共线，故 ＝ λ ，AE→ AN→ 即 m ＋ ＝ λ ，AB→ AD→ (34AD→ ＋ 14AB→ )所以Error! 解得Error! 故实数 m＝ .13板块四 模拟演练 ·提能增分 第 2讲 平面向量的基本定理及坐标表示第 4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入板块一 知识梳理 ·自主学习板块二 典例探究 ·考向突破12018版高考数学一轮总复习 第 4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.3 平面向量的数量积及应用模拟演练 文[A级 基础达标](时间：40 分钟)1．[2016·北京高考]设 a， b是向量．则“| a|＝| b|”是“| a＋ b|＝| a－ b|”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案 D解析 当| a|＝| b|＝0 时，| a|＝| b|⇔|a＋ b|＝| a－ b|.当| a|＝| b|≠0 时，| a＋ b|＝| a－ b|⇔(a＋ b)2＝( a－ b)2⇔a·b＝0⇔ a⊥ b，推不出|a|＝| b|.同样，由| a|＝| b|也不能推出 a⊥ b.故选 D.2．已知向量 a与 b的夹角是 ，且| a|＝1，| b|＝4，若(3 a＋ λ b)⊥ a，则实数 λ ＝( )π3A．－ B．32 32C．－2 D．2答案 A解析 因为(3 a＋ λ b)⊥ a，所以(3 a＋ λ b)·a＝3 a2＋ λ a·b＝3＋2 λ ＝0，解得λ ＝－ .323．[2015·广东高考]在平面直角坐标系 xOy中，已知四边形 ABCD是平行四边形，＝(1，－2)， ＝(2,1)，则 · ＝( )AB→ AD→ AD→ AC→ A．5 B．4C．3 D．2答案 A解析 ＝ ＋ ＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，所以 · ＝(2,1)·(3，－1)AC→ AB→ AD→ AD→ AC→ ＝2×3＋1×(－1)＝5.4．在△ ABC中，∠ C＝90°，且 CA＝ CB＝3，点 M满足 ＝2 ，则 · ＝( )BM→ AM→ CM→ CA→ A．18 B．3C．15 D．12答案 A解析 由题意可得△ ABC是等腰直角三角形， AB＝3 ， ＝ ，2 AM→ BA→ 故 · ＝( ＋ )· ＝ 2＋ · ＝9＋( － )· ＝9＋ 2－ · ＝9＋9－0＝1CM→ CA→ CA→ AM→ CA→ CA→ AM→ CA→ CA→ CB→ CA→ CA→ CB→ CA→ 8，故选 A.5．[2014·四川高考]平面向量 a＝(1,2)， b＝(4,2)， c＝ ma＋ b(m∈R)，且 c与 a的夹2角等于 c与 b的夹角，则 m＝( )A．－2 B．－1C．1 D．2答案 D解析 a＝(1,2)， b＝(4,2)，则 c＝ ma＋ b＝( m＋4,2 m＋2)，|a|＝ ，| b|＝2 ，∴ a·c＝5 m＋8， b·c＝8 m＋20.∵ c与 a的夹角等于 c与 b的夹角，5 5∴ ＝ ，c·a|c|·|a| c·b|c|·|b|∴ ＝ ，解得 m＝2.5m＋ 85 8m＋ 20256．[2016·山东高考]已知向量 a＝(1，－1)， b＝(6，－4)．若 a⊥( ta＋ b)，则实数 t的值为________．答案 －5解析 根据已知， a2＝2， a·b＝10.由 a⊥( ta＋ b)，得 a·(ta＋ b)＝ ta2＋ a·b＝2 t＋10＝0，解得 t＝－5.7.已知 a与 b的夹角为 120°，| a|＝3，| a＋ b|＝ ，则| b|＝______.13答案 4解析 因为| a＋ b|＝ ，所以| a＋ b|2＝( a＋ b)132＝ a2＋ b2＋2 a·b＝| a|2＋| b|2＋2| a||b|·cos120°＝13，所以 9＋| b|2－3| b|＝13，解得|b|＝4.8．如下图，在△ ABC中， AB＝3， AC＝2， D是边 BC的中点，则 · ＝________.AD→ BC→ 答案 －52解析 利用向量的加减法法则可知· ＝ ( ＋ )·(－ ＋ )＝ (－ 2＋ 2)＝－ .AD→ BC→ 12AB→ AC→ AB→ AC→ 12 AB→ AC→ 529．设向量 a， b满足| a|＝| b|＝1 及|3 a－2 b|＝ .7(1)求 a， b夹角的大小；(2)求|3 a＋ b|的值．解 (1)设 a与 b夹角为 θ ，(3 a－2 b)2＝7，即 9|a|2＋4| b|2－12 a·b＝7，3而| a|＝| b|＝1，∴ a·b＝ ，12∴| a||b|cosθ ＝ ，即 cosθ ＝ ，12 12又 θ ∈[0，π]，∴ a， b的夹角为 .π3(2)(3a＋ b)2＝9| a|2＋6 a·b＋| b|2＝9＋3＋1＝13，∴|3 a＋ b|＝ .1310．如图所示， A ＝(6,1)， ＝( x， y)， ＝(－2，－3)．B→ BC→ CD→ (1)若 ∥ ，求 x与 y之间的关系式；BC→ DA→ (2)在(1)的条件下，若 ⊥ ，求 x， y的值及四边形 ABCD的面积．AC→ BD→ 解 (1)因为 ＝ ＋ ＋ ＝( x＋4， y－2)，AD→ AB→ BC→ CD→ 又 ∥ ，且 ＝( x， y)，BC→ DA→ BC→ 所以 x(y－2)－ y(x＋4)＝0，即 x＋2 y＝0.①(2)由于 ＝ ＋ ＝( x＋6， y＋1)， ＝ ＋ ＝( x－2， y－3)，AC→ AB→ BC→ BD→ BC→ CD→ 又 ⊥ ，AC→ BD→ 所以 · ＝( x＋6)( x－2)＋( y＋1)( y－3)＝0.②AC→ BD→ 联立①②化简，得 y2－2 y－3＝0，所以 y＝3 或 y＝－1.故当 y＝3 时， x＝－6，此时 ＝(0,4)， ＝(－8,0)，AC→ BD→ 所以 S 四边形 ABCD＝ | |·| |＝16；12AC→ BD→ 当 y＝－1 时， x＝2，此时 ＝(8,0)， ＝(0，－4)，AC→ BD→ 4所以 S 四边形 ABCD＝ | |·| |＝16.12AC→ BD→ [B级 知能提升](时间：20 分钟)11．若| a＋ b|＝| a－ b|＝2| a|，则向量 a－ b与 b的夹角为( )A． B．π6 π3C． D．2π3 5π6答案 D解析 由| a＋ b|＝| a－ b|可得 a·b＝0，由| a－ b|＝2| a|可得 3a2＝ b2，设向量 a－ b与b的夹角为 θ ，则 cosθ ＝ ＝ ＝－ ＝－ ，所以 θ ＝ . a－ b ·b|a－ b||b| － |b|22|a|3|a| 3|a|223|a|2 32 5π612．[2017·金版原创]在 Rt△ ABC中， C＝ ， B＝ ， CA＝2，则|2 － |＝( )π2 π6 AC→ AB→ A．5 B．4C．3 D．2答案 B解析 解法一：由已知可得 AB＝ ＝4， A＝ ，2sinπ6 π3则|2 － AB|＝ ＝AC→  2AC→ － AB→  2＝ ＝4，故选 B.4AC→ 2－ 4AC→ ·AB→ ＋ AB→ 2 16－ 4×2×4×cosπ3＋ 16解法二：如图，以 CA， CB所在直线分别为 x轴， y轴建立直角坐标系，依题意 C(0,0)，A(2,0)， B(0，2 )，∴2 － ＝(－4,0)－(－2，2 )＝(－2，－2 )，3 AC→ AB→ 3 3∴|2 － |＝ ＝4，故选 B.AC→ AB→ 4＋ 1213．[2015·福建高考]已知 ⊥ ，| |＝ ，| |＝ t.若点 P是△ ABC所在平面内的AB→ AC→ AB→ 1t AC→ 5一点，且 ＝ ＋ ，则 · 的最大值等于________．AP→ AB→ |AB→ |4AC→ |AC→ | PB→ PC→ 答案 13解析 ∵ ⊥ ，故以 A为原点， AB， AC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系．AB→ AC→ 不妨设 B ， C(t,0)，则 ＝ ＋ ＝(4,1)，故点 P的坐标为(4,1)．(0，1t) AP→ (0， 1t)1t 4 t， 0t· ＝ ·(t－4，－1)＝－4 t－ ＋17＝－ ＋17≤－2 ＋17＝13.PB→ PC→ (－ 4， 1t－ 1) 1t (4t＋ 1t) 4当且仅当 4t＝ ，即 t＝ 时(负值舍去)取得最大值 13.1t 1214．已知向量 a＝ ， b＝(cos x，－1)．(sinx，32)(1)当 a∥ b时，求 tan2x的值；(2)求函数 f(x)＝( a＋ b)·b在 上的值域．[－π2， 0]解 (1)∵ a∥ b，∴sin x·(－1)－ ·cosx＝0，32即 sinx＋ cosx＝0，tan x＝－ ，32 32∴tan2 x＝ ＝ .2tanx1－ tan2x 125(2)f(x)＝( a＋ b)·b＝ a·b＋ b2＝sin xcosx－ ＋cos 2x＋132＝ sin2x－ ＋ cos2x＋ ＋1＝ sin .12 32 12 12 22 (2x＋ π4)∵－ ≤ x≤0，π2∴－π≤2 x≤0，－ ≤2 x＋ ≤ ，3π4 π4 π4∴－ ≤ sin ≤ ，22 22 (2x＋ π4) 12∴ f(x)在 上的值域为 .[－π2， 0] [－ 22， 12]板块四 模拟演练 ·提能增分 第 3讲 平面向量的数量积及应用第 4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入板块一 知识梳理 ·自主学习板块二 典例探究 ·考向突破12018版高考数学一轮总复习 第 4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.4 数系的扩充与复数的引入模拟演练 文[A级 基础达标](时间：40 分钟)1．若 a为正实数，i 为虚数单位， ＝2，则 a＝( )|a＋ ii |A．2 B． 3C． D．12答案 B解析 解法一：由已知 ＝2，得 ＝|( a＋i)·(－i)|a＋ ii | |a＋ ii ||＝|1－ ai|＝2.∴ ＝2.∵ a0，∴ a＝ .1＋ a2 3解法二：∵ ＝ ＝| a＋i|＝ ＝2，∴ a＝ .|a＋ ii | |a＋ i||i| a2＋ 1 32．[2016·北京高考]复数 ＝( )1＋ 2i2－ iA．i B．1＋iC．－i D．1－i答案 A解析 ＝ ＝ ＝ ＝i，故选 A.1＋ 2i2－ i  1＋ 2i  2＋ i 2－ i  2＋ i 2＋ i＋ 4i＋ 2i24－ i2 5i53．[2016·全国卷Ⅲ]若 z＝1＋2i，则 ＝( )4izz－ 1A．1 B．－1C．i D．－i答案 C解析 ∵ z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，∴ ＝ ＝i，故选 C.z4izz－ 1 4i44．[2015·湖南高考]已知 ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数 z＝( ) 1－ i 2zA．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i答案 D解析 由 ＝1＋i，得 z＝ ＝ ＝ ＝－1－i. 1－ i 2z  1－ i 21＋ i － 2i1＋ i － 2i 1－ i 1＋ i  1－ i5．[2017·安徽模拟]设 i是虚数单位， 是复数 z的共轭复数．若 z· i＋2＝2 z，则z zz＝( )A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i答案 A解析 设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，则由 z· i＋2＝2 z得( a＋ bi)(a－ bi)i＋2＝2( a＋ bi)，z2即( a2＋ b2)i＋2＝2 a＋2 bi，所以 2a＝2， a2＋ b2＝2 b，所以 a＝1， b＝1，即z＝ a＋ bi＝1＋i.6．[2016·天津高考]i 是虚数单位，复数 z满足(1＋i) z＝2，则 z的实部为________．答案 1解析 ∵ z＝ ＝1－i，∴ z的实部为 1.21＋ i7．若 ＝1－ bi，其中 a， b都是实数，i 是虚数单位，则| a＋ bi|＝________.a1－ i答案 5解析 ∵ a， b∈R，且 ＝1－ bi，则 a＝(1－ bi)(1－i)＝(1－ b)－(1＋ b)a1－ ii，∴Error! ∴ Error!∴| a＋ bi|＝|2－i|＝ ＝ .22＋  － 1 2 58．[2014·湖南高考]满足 ＝i(i 为虚数单位)的复数是________．z＋ iz答案 －12 i2解析 由已知得 z＋i＝ zi，则 z(1－i)＝－i，即 z＝ ＝ ＝ ＝ － .－ i1－ i － i 1＋ i 1－ i  1＋ i 1－ i2 12 i29．[2017·金华模拟]已知 z∈C，解方程 z· －3i ＝1＋3i.z－ z－ 解 设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，则( a＋ bi)(a－ bi)－3i( a－ bi)＝1＋3i，即a2＋ b2－3 b－3 ai＝1＋3i.根据复数相等的定义，得Error!解之得Error! 或Error! ∴ z＝－1 或 z＝－1＋3i.10．已知复数 z＝ bi(b∈R)， 是实数，i 是虚数单位．z－ 21＋ i(1)求复数 z；(2)若复数( m＋ z)2所表示的点在第一象限，求实数 m的取值范围．解 (1)因为 z＝ bi(b∈R)，所以 ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i.z－ 21＋ i bi－ 21＋ i  bi－ 2  1－ i 1＋ i  1－ i  b－ 2 ＋  b＋ 2 i2 b－ 22 b＋ 22又因为 是实数，所以 ＝0，所以 b＝－2，即 z＝－2i.z－ 21＋ i b＋ 22(2)因为 z＝－2i， m∈R，所以( m＋ z)2＝( m－2i) 2＝ m2－4 mi＋4i 2＝( m2－4)－4 mi，又因为复数( m＋ z)2所表示的点在第一象限，所以Error!解得 m－2，即 m∈(－∞，－2)．[B级 知能提升](时间：20 分钟)11．复数 z为实数的充分不必要条件是( )A． z＝ B．| z|＝ zz3C． z2为实数 D． z＋ 为实数z答案 B解析 z＝ ⇔z∈R.| z|＝ z⇒z∈R，反之不行，例如 z＝－ 2.z2为实数不能推出 z∈R，z例如 z＝i.对于任何 z， z＋ 都是实数．故选 B.z12．复数 m(3＋i)－(2＋i)( m∈R，i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案 B解析 ∵ m(3＋i)－(2＋i)＝(3 m－2)＋( m－1)i，设在复平面内对应的点 M的坐标为(x， y)，则Error! 消去 m得 x－3 y－1＝0，因为直线 x－3 y－1＝0 经过第一、三、四象限，所以复数在复平面内对应的点不可能位于第二象限，故选 B.13．已知复数 z＝ x＋ yi，且| z－2|＝ ，则 的最大值为________．3yx答案 3解析 ∵| z－2|＝ ＝ x－ 2 2＋ y2 3∴( x－2) 2＋ y2＝3.由图可知 max＝ ＝ .(yx) 31 314．若虚数 z同时满足下列两个条件：① z＋ 是实数；② z＋3 的实部与虚部互为相反5z数．这样的虚数是否存在？若存在，求出 z；若不存在，请说明理由．解 存在．设 z＝ a＋ bi(a， b∈R， b≠0)，则 z＋ ＝ a＋ bi＋5z 5a＋ bi＝ a ＋ b i.(1＋5a2＋ b2) (1－ 5a2＋ b2)又 z＋3＝ a＋3＋ bi实部与虚部互为相反数， z＋ 是实数，根据题意有Error!5z因为 b≠0，所以Error!4解得Error! 或Error!所以 z＝－1－2i 或 z＝－2－i.板块四 模拟演练 ·提能增分 第 4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第 4讲 数系的扩充与复数的引入板块一 知识梳理 ·自主学习板块二 典例探究 ·考向突破