1、12018版高考数学一轮总复习 第 4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.1 平面向量的概念及其线性运算模拟演练 文A级 基础达标(时间：40 分钟)1如图所示， D， E， F分别是 ABC的边 AB， BC， CA的中点，则 等于( )AF DB A BFD FC C DFE BE 答案 D解析 由题图，知 ，则 .由三角形中位线定理，知 .故DB AD AF DB AF AD DF DF BE 选 D.22017嘉兴模拟已知向量 a与 b不共线，且 a b， a b，则点AB AC A， B， C三点共线应满足 ( )A 2 B 1C 1 D 1答案 D解析 若 A， B， C三点
2、共线，则 k ，即 a b k(a b)，所以AB AC a b ka k b，所以 k,1 k ，故 1.3已知 A、 B、 C三点不共线，且点 O满足 0，则下列结论正确的是( )OA OB OC A B OA 13AB 23BC OA 23AB 13BC C D OA 13AB 23BC OA 23AB 13BC 答案 D解析 0， O为 ABC的重心， ( ) ( )OA OB OC OA 23 12AB AC 13AB AC 2 ( ) (2 ) .13AB AB BC 13 AB BC 23AB 13BC 42017安徽六校联考在平行四边形 ABCD中， a， b， 2 ，则 (
3、)AB AC DE EC BE A b a B b a13 23C b a D b a43 13答案 C解析 因为 ，所以BE AE AB AD DE AB b a，故选 C.BE BC 23AB AB AC AB 23AB AB 435如图，在 ABC中，| | |，延长 CB到 D，使 ，若 ，则BA BC AC AD AD AB AC 的值是( )A1 B2C3 D4答案 C解析 由题意可知， B是 DC的中点，故 ( )，即 2 ，所以AB 12AC AD AD AB AC 2， 1，则 3.6在 ABC中， D为边 AB上一点，若 2 ， ，则 _.AD DB CD 13CA CB
4、答案 23解析 因为 2 ，所以 ( )在 ACD中，因为AD DB AD 23AB 23CB CA ( ) ，所以 .CD CA AD CA 23CB CA 13CA 23CB 2337设点 M是线段 BC的中点，点 A在直线 BC外， 216，| | |，则|BC AB AC AB AC |_.AM 答案 2解析 由| | |可知， ，AB AC AB AC AB AC 则 AM为 Rt ABC斜边 BC上的中线，因此，| | | |2.AM 12BC 82017泉州四校联考设 e1， e2是不共线的向量，若 e1 e2， 2 e1 e2，AB CB 3 e1 e2，且 A， B， D三点
5、共线，则 的值为_CD 答案 2解析 2 e1 e2， 3 e1 e2，CB CD (3 e1 e2)(2 e1 e2) e12 e2，若 A， B， D三点共线，则 与 共线，BD CD CB AB BD 存在 R 使得 ，即 e1 e2 (e12 e2)，由 e1， e2是不共线的向量，得Error!AB BD 解得 2.92017合肥模拟已知向量 a， b不共线，且 c a b， d a(2 1) b，若 c与 d反向共线，求实数 的值解 由于 c与 d反向共线，则存在实数 k使 c kd(k0)，于是 a b ka(2 1)b，整理得 a b ka(2 k k)b.由于 a， b不共线
6、，所以有Error!整理得 2 2 10，解得 1 或 .12又因为 k0，所以 0, 故 .1210已知| |1，| | ， AOB90，点 C在 AOB内，且 AOC30.设OA OB 3 m n (m， nR)，求 的值OC OA OB mn4解 如图所示，因为 OB OA，不妨设| |2，过点 C作 CD OA于点 D， CE OB于点 E，所以四边形 ODCE是矩形，OC .OC OD DC OD OE 因为| |2， COD30，所以| |1，| | .OC DC OD 3又因为| | ，| |1，OB 3 OA 所以 ， ， ，OD 3OA OE 33OB OC 3OA 33OB
7、 此时 m ， n ，所以 3.333 mn 333B级 知能提升(时间：20 分钟)11如图所示，在平行四边形 ABCD中， O是对角线 AC， BD的交点， N是线段 OD的中点，AN的延长线与 CD交于点 E，则下列说法错误的是( )A B AC AB AD BD AD AB C D AO 12AB 12AD AE 53AB AD 答案 D解析 由向量的加法和减法，知道 A、B 正确；由中点公式知道 C正确，而 DNEBNA，所以 ，所以 ，故 D错误DEBA DNNB 13 AE AD DE AD 13AB 122014福建高考设 M为平行四边形 ABCD对角线的交点， O为平行四边形
8、 ABCD所在平面内任意一点，则 等于( )OA OB OC OD 5A B2OM OM C3 D4OM OM 答案 D解析 ( )( )2 2 4 .故选 D.OA OB OC OD OA OC OB OD OM OM OM 13. 如图，平面内有三个向量 ， ， ，其中 与 的夹角为 120， 与 的夹角为OA OB OC OA OB OA OC 30，且| | |1，| |2 .若 ( ， R)，则 的值为OA OB OC 3 OC OA OB _答案 6解析 以 OC为对角线， ， 的方向为边的方向作平行四边形 ODCE(图略)OA OB 由已知，得 COD 30， COE OCD90
9、.在 Rt OCD中，| |2 ，| | 4.OC 3 OD |OC |cos30在 Rt OCE中，| | |tan302.OE OC 4 ， 2 .OD OA OE OB 因为 4 2 ，所以 4， 2.OC OD OE OA OB 所以 6.14设点 O在 ABC内部，且有 4 0，求 ABC与 OBC的面积之比OA OB OC 6解 取 BC的中点 D，连接 OD，则 2 ，OB OC OD 4 0，OA OB OC 4 ( )2 ，OA OB OC OD .OA 12OD O、 A、 D三点共线，且| |2| |，OD OA O是中线 AD上靠近 A点的一个三等分点， S ABC S
10、 OBC32.板块四 模拟演练 提能增分 第 1讲 平面向量的概念及其线性运算第 4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入板块一 知识梳理 自主学习板块二 典例探究 考向突破12018版高考数学一轮总复习 第 4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.2 平面向量的基本定理及坐标表示模拟演练 文A级 基础达标(时间：40 分钟)12016 衡水模拟已知点 A(1,1)， B(2， y)，向量 a(1,2)，若 a，则实数AB y的值为( )A5 B6C7 D8答案 C解析 (3， y1)， a(1,2)， a，则 231( y1)，解得 y7，故选 C.AB AB 22017贵阳监测已知向量
11、a(1,2)， b(2,3)，若 ma nb与 2a b共线(其中m， nR 且 n0)，则 ( )mnA2 B2C D12 12答案 A解析 因为 ma nb( m2 n,2m3 n)，2 a b(0,7)， ma nb与 2a b共线，所以m2 n0，即 2，故选 A.mn3已知在 ABCD中， (2,8)， (3,4)，对角线 AC与 BD相交于点 M，则 ( )AD AB AM A B(12， 6) ( 12， 6)C D(12， 6) (12， 6)答案 B解析 因为在 ABCD中，有 ， ，所以 ( ) (1,12)AC AB AD AM 12AC AM 12AB AD 12 ，故
12、选 B.(12， 6)42017广西模拟若向量 a(1,1)， b(1，1)， c(1,2)，则 c( )A a b B a b12 32 12 32C a b D a b32 12 32 12答案 B解析 设 c 1a 2b，则(1,2) 1(1,1) 2(1，1)( 1 2， 1 2)，2 1 21， 1 22，解得 1 ， 2 ，所以 c a b.12 32 12 325已知向量 a， b满足| a|1， b(2 ，1)，且 a b0( R)，则函数 f(x)23 x (x1)的最小值为( )| |x 1A10 B9C6 D3答案 D 解析 a b0， a b，| | 3. f(x)|b
13、|a| 313 x 3( x1) 32 3633，当且仅当 3(x1)3x 1 3x 1 3 x 1 3x 1，即 x0 时等号成立，函数 f(x)的最小值为 3，故选 D.3x 16若三点 A(1，5)， B(a，2)， C(2，1)共线，则实数 a的值为_答案 54解析 ( a1,3)， (3,4)，AB AC 据题意知 ，4( a1)3(3)，即 4a5，AB AC a .547已知点 A(7,1)， B(1,4)，若直线 y ax与线段 AB交于点 C，且 2 ，则实数AC CB a_.答案 1解析 设 C(x0， ax0)，则 ( x07， ax01)， (1 x0,4 ax0)因为
14、 2 ，AC CB AC CB 所以Error! 解得Error!82017大同模拟在平面直角坐标系 xOy中，已知 A(1,0)， B(0,1)， C为第一象限内一点且 AOC ，| OC|2，若 ，则 _.4 OC OA OB 答案 2 2解析 因为| OC|2， AOC ，所以 C( ， )，又 ，所以( ， )4 2 2 OC OA OB 2 2 (1,0) (0,1)( ， )，所以 ， 2 .2 29已知三点 A(a,0)， B(0， b)， C(2,2)，其中 a0， b0.(1)若 O是坐标原点，且四边形 OACB是平行四边形，试求 a， b的值；(2)若 A， B， C三点共
15、线，试求 a b的最小值解 (1)因为四边形 OACB是平行四边形，所以 ，即( a,0)(2,2 b)，OA BC 3Error!解得 Error!故 a2， b2.(2)因为 ( a， b)， (2,2 b)，AB BC 由 A， B， C三点共线，得 ，AB BC 所以 a(2 b)2 b0，即 2(a b) ab，因为 a0， b0，所以 2(a b) ab 2，(a b2 )即( a b)28( a b)0，解得 a b8 或 a b0.因为 a0， b0，所以 a b8，即 a b的最小值是 8.当且仅当 a b4 时， “”成立102017南宁模拟如图，已知 OCB中， A是 C
16、B的中点， D是将 分成 21 的一OB 个三等分点， DC和 OA交于点 E，设 a， b.OA OB (1)用 a和 b表示向量 ， ；OC DC (2)若 ，求实数 的值OE OA 解 (1)由题意知， A是 BC的中点，且 ，由平行四边形法则，得 2 ，OD 23OB OB OC OA 所以 2 2 a b，OC OA OB (2 a b) b2 a b.DC OC OD 23 53(2)由题意知， ， 故设 x .EC DC EC DC 因为 (2 a b) a(2 )a b， 2 a b，所以(2 )a b xEC OC OE DC 53.(2a53b)因为 a与 b不共线，由平面
17、向量基本定理，得Error! 解得Error!故 .454B级 知能提升(时间：20 分钟)11已知 O为坐标原点，且点 A(1， )，则与 同向的单位向量的坐标为( )3 OA A B(12， 32) ( 12， 32)C D(12， 32) ( 12， 32)答案 A解析 与 同向的单位向量 a ，又| | 2，故 a (1， )OA OA |OA | OA 1 3 2 12 3，故选 A.(12， 32)122017安徽模拟在平面直角坐标系中， O(0,0)， P(6,8)，将向量 按逆时针旋转OP 后，得向量 ，则点 Q的坐标是( )34 OQ A(7 ， ) B(7 ， )2 2 2
18、 2C(4 ，2) D(4 ，2)6 6答案 A解析 解法一：设 (10cos ，10sin )，其中 cos ，sin ，则 OP 35 45 OQ (7 ， )(10cos( 34)， 10sin( 34) 2 2解法二：将向量 (6,8)按逆时针旋转 后得 (8，6)，则 ( )OP 32 OM OQ 12OP OM (7 ， )2 2132017枣庄模拟在平面直角坐标系中， O为坐标原点，且满足 ，则OC 23OA 13OB _.|AC |AB |答案 13解析 由已知得，3 2 ，OC OA OB 5即 2( )，OC OB OA OC 即 2 ，如图所示，BC CA 故 C为 BA
19、的靠近 A点的三等分点，因而 .|AC |AB | 1314如图，在平行四边形 ABCD中， O是对角线 AC， BD的交点， N是线段 OD的中点， AN的延长线与 CD交于点 E，若 m ，求实数 m的值AE AB AD 解 由 N是 OD的中点，得 ( ) ，AN 12AD 12AO 12AD 14AD AB 34AD 14AB 又因为 A， N， E三点共线，故 ，AE AN 即 m ，AB AD (34AD 14AB )所以Error! 解得Error! 故实数 m .13板块四 模拟演练 提能增分 第 2讲 平面向量的基本定理及坐标表示第 4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入板块
20、一 知识梳理 自主学习板块二 典例探究 考向突破12018版高考数学一轮总复习 第 4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.3 平面向量的数量积及应用模拟演练 文A级 基础达标(时间：40 分钟)12016北京高考设 a， b是向量则“| a| b|”是“| a b| a b|”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案 D解析 当| a| b|0 时，| a| b|a b| a b|.当| a| b|0 时，| a b| a b|(a b)2( a b)2ab0 a b，推不出|a| b|.同样，由| a| b|也不能推出 a b.故选 D.
21、2已知向量 a与 b的夹角是 ，且| a|1，| b|4，若(3 a b) a，则实数 ( )3A B32 32C2 D2答案 A解析 因为(3 a b) a，所以(3 a b)a3 a2 ab32 0，解得 .3232015广东高考在平面直角坐标系 xOy中，已知四边形 ABCD是平行四边形，(1，2)， (2,1)，则 ( )AB AD AD AC A5 B4C3 D2答案 A解析 (1，2)(2,1)(3，1)，所以 (2,1)(3，1)AC AB AD AD AC 231(1)5.4在 ABC中， C90，且 CA CB3，点 M满足 2 ，则 ( )BM AM CM CA A18 B
22、3C15 D12答案 A解析 由题意可得 ABC是等腰直角三角形， AB3 ， ，2 AM BA 故 ( ) 2 9( ) 9 2 9901CM CA CA AM CA CA AM CA CA CB CA CA CB CA 8，故选 A.52014四川高考平面向量 a(1,2)， b(4,2)， c ma b(mR)，且 c与 a的夹2角等于 c与 b的夹角，则 m( )A2 B1C1 D2答案 D解析 a(1,2)， b(4,2)，则 c ma b( m4,2 m2)，|a| ，| b|2 ， ac5 m8， bc8 m20. c与 a的夹角等于 c与 b的夹角，5 5 ，ca|c|a| c
23、b|c|b| ，解得 m2.5m 85 8m 202562016山东高考已知向量 a(1，1)， b(6，4)若 a( ta b)，则实数 t的值为_答案 5解析 根据已知， a22， ab10.由 a( ta b)，得 a(ta b) ta2 ab2 t100，解得 t5.7.已知 a与 b的夹角为 120，| a|3，| a b| ，则| b|_.13答案 4解析 因为| a b| ，所以| a b|2( a b)132 a2 b22 ab| a|2| b|22| a|b|cos12013，所以 9| b|23| b|13，解得|b|4.8如下图，在 ABC中， AB3， AC2， D是边
24、 BC的中点，则 _.AD BC 答案 52解析 利用向量的加减法法则可知 ( )( ) ( 2 2) .AD BC 12AB AC AB AC 12 AB AC 529设向量 a， b满足| a| b|1 及|3 a2 b| .7(1)求 a， b夹角的大小；(2)求|3 a b|的值解 (1)设 a与 b夹角为 ，(3 a2 b)27，即 9|a|24| b|212 ab7，3而| a| b|1， ab ，12| a|b|cos ，即 cos ，12 12又 0， a， b的夹角为 .3(2)(3a b)29| a|26 ab| b|293113，|3 a b| .1310如图所示， A
25、(6,1)， ( x， y)， (2，3)B BC CD (1)若 ，求 x与 y之间的关系式；BC DA (2)在(1)的条件下，若 ，求 x， y的值及四边形 ABCD的面积AC BD 解 (1)因为 ( x4， y2)，AD AB BC CD 又 ，且 ( x， y)，BC DA BC 所以 x(y2) y(x4)0，即 x2 y0.(2)由于 ( x6， y1)， ( x2， y3)，AC AB BC BD BC CD 又 ，AC BD 所以 ( x6)( x2)( y1)( y3)0.AC BD 联立化简，得 y22 y30，所以 y3 或 y1.故当 y3 时， x6，此时 (0,
26、4)， (8,0)，AC BD 所以 S 四边形 ABCD | | |16；12AC BD 当 y1 时， x2，此时 (8,0)， (0，4)，AC BD 4所以 S 四边形 ABCD | | |16.12AC BD B级 知能提升(时间：20 分钟)11若| a b| a b|2| a|，则向量 a b与 b的夹角为( )A B6 3C D23 56答案 D解析 由| a b| a b|可得 ab0，由| a b|2| a|可得 3a2 b2，设向量 a b与b的夹角为 ，则 cos ，所以 . a b b|a b|b| |b|22|a|3|a| 3|a|223|a|2 32 561220
27、17金版原创在 Rt ABC中， C ， B ， CA2，则|2 |( )2 6 AC AB A5 B4C3 D2答案 B解析 解法一：由已知可得 AB 4， A ，2sin6 3则|2 AB| AC 2AC AB 2 4，故选 B.4AC 2 4AC AB AB 2 16 424cos3 16解法二：如图，以 CA， CB所在直线分别为 x轴， y轴建立直角坐标系，依题意 C(0,0)，A(2,0)， B(0，2 )，2 (4,0)(2，2 )(2，2 )，3 AC AB 3 3|2 | 4，故选 B.AC AB 4 12132015福建高考已知 ，| | ，| | t.若点 P是 ABC所
28、在平面内的AB AC AB 1t AC 5一点，且 ，则 的最大值等于_AP AB |AB |4AC |AC | PB PC 答案 13解析 ，故以 A为原点， AB， AC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系AB AC 不妨设 B ， C(t,0)，则 (4,1)，故点 P的坐标为(4,1)(0，1t) AP (0， 1t)1t 4 t， 0t (t4，1)4 t 17 172 1713.PB PC ( 4， 1t 1) 1t (4t 1t) 4当且仅当 4t ，即 t 时(负值舍去)取得最大值 13.1t 1214已知向量 a ， b(cos x，1)(sinx，32)(1)当 a b时，求
29、 tan2x的值；(2)求函数 f(x)( a b)b在 上的值域2， 0解 (1) a b，sin x(1) cosx0，32即 sinx cosx0，tan x ，32 32tan2 x .2tanx1 tan2x 125(2)f(x)( a b)b ab b2sin xcosx cos 2x132 sin2x cos2x 1 sin .12 32 12 12 22 (2x 4) x0，22 x0， 2 x ，34 4 4 sin ，22 22 (2x 4) 12 f(x)在 上的值域为 .2， 0 22， 12板块四 模拟演练 提能增分 第 3讲 平面向量的数量积及应用第 4章 平面向量
30、、数系的扩充与复数的引入板块一 知识梳理 自主学习板块二 典例探究 考向突破12018版高考数学一轮总复习 第 4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.4 数系的扩充与复数的引入模拟演练 文A级 基础达标(时间：40 分钟)1若 a为正实数，i 为虚数单位， 2，则 a( )|a ii |A2 B 3C D12答案 B解析 解法一：由已知 2，得 |( ai)(i)|a ii | |a ii |1 ai|2. 2. a0， a .1 a2 3解法二： | ai| 2， a .|a ii | |a i|i| a2 1 322016北京高考复数 ( )1 2i2 iAi B1iCi D1i答案
31、 A解析 i，故选 A.1 2i2 i 1 2i 2 i 2 i 2 i 2 i 4i 2i24 i2 5i532016全国卷若 z12i，则 ( )4izz 1A1 B1Ci Di答案 C解析 z (12i)(12i)5， i，故选 C.z4izz 1 4i442015湖南高考已知 1i(i 为虚数单位)，则复数 z( ) 1 i 2zA1i B1iC1i D1i答案 D解析 由 1i，得 z 1i. 1 i 2z 1 i 21 i 2i1 i 2i 1 i 1 i 1 i52017安徽模拟设 i是虚数单位， 是复数 z的共轭复数若 z i22 z，则z zz( )A1i B1iC1i D1
32、i答案 A解析 设 z a bi(a， bR)，则由 z i22 z得( a bi)(a bi)i22( a bi)，z2即( a2 b2)i22 a2 bi，所以 2a2， a2 b22 b，所以 a1， b1，即z a bi1i.62016天津高考i 是虚数单位，复数 z满足(1i) z2，则 z的实部为_答案 1解析 z 1i， z的实部为 1.21 i7若 1 bi，其中 a， b都是实数，i 是虚数单位，则| a bi|_.a1 i答案 5解析 a， bR，且 1 bi，则 a(1 bi)(1i)(1 b)(1 b)a1 ii，Error! Error!| a bi|2i| .22
33、1 2 582014湖南高考满足 i(i 为虚数单位)的复数是_z iz答案 12 i2解析 由已知得 zi zi，则 z(1i)i，即 z . i1 i i 1 i 1 i 1 i 1 i2 12 i292017金华模拟已知 zC，解方程 z 3i 13i.z z 解 设 z a bi(a， bR)，则( a bi)(a bi)3i( a bi)13i，即a2 b23 b3 ai13i.根据复数相等的定义，得Error!解之得Error! 或Error! z1 或 z13i.10已知复数 z bi(bR)， 是实数，i 是虚数单位z 21 i(1)求复数 z；(2)若复数( m z)2所表示
34、的点在第一象限，求实数 m的取值范围解 (1)因为 z bi(bR)，所以 i.z 21 i bi 21 i bi 2 1 i 1 i 1 i b 2 b 2 i2 b 22 b 22又因为 是实数，所以 0，所以 b2，即 z2i.z 21 i b 22(2)因为 z2i， mR，所以( m z)2( m2i) 2 m24 mi4i 2( m24)4 mi，又因为复数( m z)2所表示的点在第一象限，所以Error!解得 m2，即 m(，2)B级 知能提升(时间：20 分钟)11复数 z为实数的充分不必要条件是( )A z B| z| zz3C z2为实数 D z 为实数z答案 B解析 z
35、 zR.| z| zzR，反之不行，例如 z 2.z2为实数不能推出 zR，z例如 zi.对于任何 z， z 都是实数故选 B.z12复数 m(3i)(2i)( mR，i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案 B解析 m(3i)(2i)(3 m2)( m1)i，设在复平面内对应的点 M的坐标为(x， y)，则Error! 消去 m得 x3 y10，因为直线 x3 y10 经过第一、三、四象限，所以复数在复平面内对应的点不可能位于第二象限，故选 B.13已知复数 z x yi，且| z2| ，则 的最大值为_3yx答案 3解析 | z2|
36、 x 2 2 y2 3( x2) 2 y23.由图可知 max .(yx) 31 314若虚数 z同时满足下列两个条件： z 是实数； z3 的实部与虚部互为相反5z数这样的虚数是否存在？若存在，求出 z；若不存在，请说明理由解 存在设 z a bi(a， bR， b0)，则 z a bi5z 5a bi a b i.(15a2 b2) (1 5a2 b2)又 z3 a3 bi实部与虚部互为相反数， z 是实数，根据题意有Error!5z因为 b0，所以Error!4解得Error! 或Error!所以 z12i 或 z2i.板块四 模拟演练 提能增分 第 4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第 4讲 数系的扩充与复数的引入板块一 知识梳理 自主学习板块二 典例探究 考向突破
