七年级数学上册 第二章 几何图形的初步认识同步训练（打包13套）（新版）冀教版.zip

12．1 从生活中认识几何图形知识点 1 立体图形1．下列物体，与足球形状类似的是( )A．铅笔 B．烟囱帽C．西瓜 D．电视机2． 下列图形中，属于立体图形的是( )图 2－1－13．如图 2－1－2，属于棱柱的有( )图 2－1－2A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个4．[教材“做一做”变式]图 2－1－3 中实物的形状对应哪些立体图形？把相应的实物与图形用线连接起来．图 2－1－3知识点 2 平面图形5．下列图形中不是平面图形的是( )A．线段 B．圆2C．三角形 D．长方体6．下面几种图形：①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤圆锥；⑥圆柱．其中属于平面图形的是( )A．③⑤⑥ B．①②④C．③⑥ D．④⑤知识点 3 几何图形的基本要素7．几何图形的基本要素是______、________、________，包围着几何体的是________，面与面相交形成________，线与线相交形成________．8．如图 2－1－4，由 4个面围成的几何体是( )图 2－1－49．(1)长方体有______个面，________条棱，______个顶点；(2)圆柱由______个面围成，圆锥由______个面围成，它们的底面都是________．10．分别指出图 2－1－5 中的几何体有几个面，几条棱，几个顶点．图 2－1－53知识点 4 点、线、面的运动11．点动成________，线动成________，面动成________．12．如图 2－1－6 所示，将半圆绕其直径所在的直线旋转一周，得到的几何体是( )图 2－1－6A．球 B．圆柱C．半球 D．圆锥13．请从数学(几何)的角度解释下列现象：(1)国庆节之夜，燃放的礼花在天空中留下美丽的弧线：________________；(2)用一条笔直的细线切一块豆腐：__________；(3)自行车辐条转动时，形成一个面：____________．14．下列几何体中，每个面都是由同一种图形组成的是( )A．圆柱 B．三棱柱 C．正方体 D．圆锥15．[2017·南京]不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有 4个面是三角形；乙同学：它有 8条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是( )A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥16．如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图 2－1－7 是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有 12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是( )4图 2－1－7A．五棱柱 B．六棱柱C．七棱柱 D．八棱柱17．一个正方体锯掉一个角后，顶点有( )A．7 个 B．8 个C．9 个 D．7 个或 8个或 9个或 10个 18. 如图 2－1－8，将一个长方形沿它的宽或长所在的直线旋转一周，回答下列问题：(1)得到什么几何体？(2)长方形的长和宽分别为 6厘米和 4厘米，将长方形分别绕它的宽和长所在的直线旋转一周，得到不同的几何体，它们的体积分别是多少(结果保留 π )?图 2－1－819．用 M，N，P，Q 各代表四种简单几何图形(线段、正方形、三角形、圆)中的一种，如图 2－1－9 是 M，N，P，Q 中的两种图形组合而成的(组合用“&”表示)，那么在图2－1－10 所示的组合图形中，P&Q 表示的是( )5图 2－1－9图 2－1－10620．找规律填空：如图 2－1－11，左边的几何体叫做三棱柱，它有 5个面、9 条棱、6个顶点，中间和右边的几何体分别是四棱柱和五棱柱．图 2－1－11(1)四棱柱有______个顶点，______条棱，______个面；(2)五棱柱有______个顶点，______条棱，______个面；(3)你能由此猜想出七棱柱有几个顶点，几条棱，几个面吗？(4)n(n≥3，且 n为整数)棱柱有几个顶点，几条棱，几个面？7【详解详析】1．C 2.C 3.B4．略 5.D 6.B 7．点 线 面 面 线 点8．C [解析] A选项中的图形由 5个面围成．B 选项中的图形由 3个面围成．C 选项中的图形由 4个面围成．D 选项中的图形由 3个面围成．9．(1)6 12 8 (2)3 2 圆10．解：(1)有 6个面，10 条棱，6 个顶点．(2)有 8个面，18 条棱，12 个顶点．(3)有 8个面，12 条棱，6 个顶点．11．线 面 体12．A [解析] 将半圆绕其直径所在的直线旋转一周，得到的几何体是球．13．(1)点动成线 (2)线动成面 (3)线动成面14．C [解析] 正方体由 6个面围成，每个面都是相同的正方形．15．D [解析] 四棱锥的底面是四边形，侧面是四个三角形，底面有四条棱，侧面有 4条棱，共 8条棱．故选 D.16．B.17．D18．解：(1)圆柱．(2)绕宽所在的直线旋转一周得到的圆柱的底面半径为 6 厘米，高为 4厘米，此时圆柱的体积为 π×6 2×4＝144π(厘米 3)；绕长所在的直线旋转一周得到的圆柱的底面半径为 4厘米，高为 6厘米，此时圆柱的体积为 π×4 2×6＝96π(厘米 3)．19．B20．解：(1)8 12 6 (2)10 15 7(3)七棱柱有 14个顶点，21 条棱，9 个面．(4)n(n≥3，且 n为整数)棱柱有 2n个顶点，3 n条棱，( n＋2)个面．11A． B． C． D．2.1 从生活中认识几何图形1.如图 1-1-1 中，上面是一些具体的物体，下面是一些立体图形，试找出与下面立体图形相类似的实物．图 1-1-12.下面图形中为圆柱的是（ ）3.图 1-1-2 所示立体图形中， （1）球体有____；（2）柱体有____；（3）锥体有____．4.将以下物体与相应的几何体用线连接起来．篮球 魔方 铅笔盒 沙堆 易拉罐圆柱 圆锥 球 正方体 长方体5.下面几种图形，其中属于立体图形的是（ ）①三角形 ②长方形 ③正方体 ④圆 ⑤圆锥 ⑥圆柱A．③⑤⑥ B．①②③ C．③⑥ D．④⑤6.下列各组图形中都是平面图形的是（ ）A.三角形 、圆、球、圆锥B.点、线、面、体C．角、三角形、正方形、圆D．点、相交线、线段、长方体7.棱柱的底面是（ ）A．三角形 B．四边形 C．矩形 D．多边形8.如图 1-1-3 所示的立体图形中，不是柱体的是（ ）29.用 51 根火柴摆成 7 个正方体，如图 1-1-4．试问，至少取走几根火柴，才能使图中只出现 1 个正方体？与同伴交流你的思路与体会．图 1-1-410.一位父亲有一块正方形的土地，他把其中的14留给自己，其余的平均分给他的四个儿子，如图 1-1-5 所示，他想使每个儿子获得的土地面积相等，形状相同，这位父亲应该怎么分？试画出示意图，并加以说明.（考查 4）图 1-1-51. 答案 : 埃及金字塔——三棱锥；西瓜——球：北京天坛——圆柱；房屋——长方体．点拨： 只有观察出能反映物体形状主要的轮廓特征．才能够抽象出具体的立体几何图形，像大小、颜色、装饰品等属性．可忽略不予考虑，同时像北京天坛的顶部、房屋顶部都是次要结构，也可排除不看．那么，实物是什么几何形体，就不难抽象出来了．判断一个几何体的形状，主要通过观察它的各个面和面所在的线（棱）的形状特征来抽象归纳．2. B 点拨：圆柱的形状及特征为：上下两底是互相平行的两个等圆，侧面是曲面.A 中是圆柱截去一部分后的剩余部分；C 中是长方体；D 中是圆台；只有 B 中是圆柱，所以选 B.3. （1）⑦ （2）①③⑤ （3）②④⑥点拨：（1）球体最好识别，故先找出球体⑦；（2）有两个底面形状、大小一样且互相平行的是柱体，①③⑤；（3）有一个“尖”和一个底面的是锥体，②④⑥注意 ⑤是横向放置的柱体，而不是锥体，此类题只要按照某种标准进行合理的分类即可．34.点拨： 篮球是球体，魔方是正方体，铅笔盒是长方体，沙堆是圆锥体，易拉罐是圆柱．本题主要应用抽象思维能力．通过对现实生活中立体图形的观察认识，结合所学几何体的特征，抽象出几何图形，能够培养空间观念．5. A 点拨：几何图形包括立体图形（几何体）和平面图形，像正方体、长方体、棱柱、圆柱、圆锥、球等都是立体图形；像线段、直线、三角形、长方形、梯形、六边形、圆等都是平面图形.6. C7. D 点拨：三棱柱的底面是三角形，四棱柱的底面是四边形，五棱柱的底面是五边形…，总之棱柱的底面一定是多边形.8. D 点拨：柱体的两个底面大小相同，而 D 中无论将哪两个面看成底面，大小均不相同，故选 D.9. 答案 ： 如答图 1-1-1，这是一种取法，至少取走 3 根火柴，答图 1-1-1点拨： 1 个正方体有 6 个面，8 个顶点，每个顶点都有 3 条棱，只有这些条件都具备，才是一个完整的正方体．本题要求通过取走 3 根火柴，而把 7 个正方体变成 1 个，则取走的火柴必须是“关键部位”——即与几个正方体有联系处的火柴．同学们不妨几个人一组，一起动手制作这个模型，看是否有其他的取法．这样多动手，多思考，多交流，不仅可帮助我们很好地认识立体图形，而且能使我们养成勤动手、善动脑的习惯，达到取人之长，补已不足的目的． 观察图形结构，分析图形特征，找出图形的“共性”与“个性” ，是解决图形问题的一大窍门．10. 答图 1-1-2如答图 1-1-2 父亲和四个儿子分割一个正方形，父亲留 14，则所剩三个小正方形每一个再分割为四个小正方形，并且让出一个，土地面积就会相等．所让的三个小正方形必有一条棱重合才能为一体，故如图所分就会形状相同．12.2 点和线知识点 1 线段、射线和直线的概念及表示方法1．以下说法中正确的是( )图 2－2－1A．①可表示为点 aB．②可表示为直线 abC．③可表示为直线 ABD．④可表示为直线 l2．如图 2－2－2，下列不正确的几何语句是( )图 2－2－2A．直线 AB与直线 BA是同一条直线B．射线 OA与射线 OB是同一条射线C．射线 OA与射线 AB是同一条射线D．线段 AB与线段 BA是同一条线段3．[2017·乐亭期中]如图 2－2－3，图中射线的条数为( )图 2－2－3A．两条 B．三条 C．四条 D．六条4．图 2－2－4 所示的图形中有______条直线，分别是；以 B为端点的线段有________条，分别是________________________；以 A为端点的射线有______条，分别是____________________________．2图 2－2－4知识点 2 与线段、射线和直线有关的作图5．按下列语句画图：①画一条直线 l，在直线 l上取两点 A， B；②在直线 l外取两点 P， Q，使 P， Q在直线 l的异侧且 A， B， P， Q中任意三点不共线；③画直线 PQ交线段 AB于点 O；④画线段 PA， PB和射线 QA， QB.知识点 3 直线的基本事实6．下列现象中，可以用直线的基本事实“经过两点有一条直线，并且只有一条直线”来解释的有( )①农民伯伯拉秧绳插秧；②园林工人栽一行树，先栽首尾的两棵树；③解放军叔叔打靶瞄准；④木匠师傅弹墨线．A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个7．用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动；若用两个钉子把细木条钉在木板上，就能固定细木条，这说明________________________________．8．有三个点 A， B， C，过其中每两个点画直线，可以画出直线的条数为( )A．1 条 B．2 条3C．1 条或 3条 D．无法确定9．乘火车从 A站出发，沿途经过 3个车站可到达 B站．那么在 A， B两站之间需要安排________种不同的车票．10．如图 2－2－5 所示．图 2－2－5(1)试验观察：已知每过两点可以画一条直线，那么：第①组最多可以画________条直线；第②组最多可以画________条直线；第③组最多可以画________条直线．(2)探索运用：如果平面上有 100个点，且每 3个点均不在一条直线上，那么最多可以画________条直线．4【详解】1．D2．C [解析] A正确，因为直线向两方无限延伸；B 正确，射线的端点和方向都相同；C错误，因为射线的端点不相同；D 正确．3．D [解析] 以 A为端点的射线有 2条，以 B为端点的射线有 2条，以 C为端点的射线有 2条，共 6条．故选 D.4．2 直线 AB，直线 AD4 线段 BA，线段 BO，线段 BD，线段 BC4 射线 AE，射线 AF，射线 AD，射线 AB5．解：如图所示：6．D7．经过两点有一条直线，并且只有一条直线8．C[解析] 当三点在同一条直线上时，可以画一条；当三点不在同一条直线上时，可以画三条．9．2010．1)3 6 10(2)495012．3 线段的长短知识点 1 比较线段长短的方法1．[2017·海淀区二模]如图 2－3－1，用圆规比较两条线段 A′ B′和 AB 的长短，其中正确的是( )图 2－3－1A． A′ B′＞ AB B． A′ B′＝ AB C． A′ B′＜ AB D．不确定2．如图 2－3－2 给出的四条线段中，最长的是________．图 2－3－2知识点 2 线段的画法3．如图 2－3－3，平面上有射线 AP 和点 B， C，按下列语句画图：(1)连接 AB；(2)用尺规在射线 AP 上截取 AD＝ AB；(3)连接 BC，并延长 BC 到点 E，使 CE＝ BC；(4)连接 DE.图 2－3－3知识点 3 线段的基本事实及两点之间的距离4．下列四个生活、生产现象：2①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从 A 地到 B 地架设电线，总是尽可能沿着线段 AB 来架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中可以用“两点之间的所有连线中，线段最短”这个数学基本事实来解释的有( )A．①② B．③④ C．①③ D．②④5．平面上 A， B 两点间的距离是指( )A．经过 A， B 两点的直线B．射线 ABC． A， B 两点间的线段D． A， B 两点之间线段的长度6． A， B 是河流 l 两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向 A， B 两村供水，抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图 2－3－4 中表示出抽水站点 P 的位置，并说明你的理由．图 2－3－47．根据数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，回答下列问题：(1)数轴上表示－3 和－9 的两点之间的距离是多少？数轴上表示 2 和－8 的两点之间的距离是多少？(2)数轴上表示 x 和－2 的两点 A 和 B 之间的距离是多少？如果| AB|＝4，那么 x 的值为多少？38．如图 2－3－5 所示为一张长方形纸片．(1)量一量，长比宽长了多少？(2)用折纸的方法比较长与宽的大小．图 2－3－59．为了解决某地的缺水问题，政府准备投资建设一个蓄水池．不考虑其他因素，请你在图 2－3－6 中画出蓄水池点 E 的位置，使它到 A， B， C， D4 个村庄的距离和最小，并说明理由．图 2－3－64【详解详析】1．A 2. d3．解：如图所示：4．B 5.D6．解：如图所示：理由：两点之间的所有连线中，线段最短．7．解：(1)数轴上表示－3 和－9 的两点之间的距离是 6，数轴上表示 2 和－8 的两点之间的距离是 10.(2)A， B 两点之间的距离是| x＋2|.如果| AB|＝4，那么 x 的值为 2 或－6.9．解：蓄水池点 E 的位置如图所示．理由：两点之间的所有连线中，线段最短．12.4 线段的和与差知识点 1 线段和与差的表示1．根据图 2－4－1 填空：图 2－4－1(1)AC＝________＋________；(2)CD＝ BD－________；(3)BC＝________－ AB；(4)CD＝ AB＋ BD－________．2．如图 2－4－2 所示， P， Q 是线段 AB 上的两点，且 PQ＝ QB，则 AQ＝________＋PQ＝ AP＋ ________．12图 2－4－23．如图 2－4－3，下列关系式中与图不符的是( )图 2－4－3A． AD－ CD＝ AC B． AB＋ BC＝ ACC． BD－ BC＝ AB＋ BC D． AD－ BD＝ AC－ BC4．已知线段 AB＝3 cm，延长线段 BA 到点 C，使 BC＝2 AB，求 AC 的长．2知识点 2 线段和与差的作图5．教材例 1 变式已知线段 a， b，小雪作出了如图 2－4－4 所示的图形，其中 AD 是所求线段，则线段 AD＝________(用含 a， b 的式子表示)．图 2－4－46．如图 2－4－5，已知线段 a， b(ab)，画线段 AB，使 AB＝2 a－2 b.(不写作图过程，仅保留作图痕迹)图 2－ 4－ 5知识点 3 线段的中点7．如图 2－4－6，若 C 是线段 AB 的中点，则________＝________＝ ________；或12______＝2________＝2________．图 2－4－68．如图 2－4－7， C， D 是线段 AB 上的两点， D 是线段 AC 的中点．若 AB＝10 cm，BC＝4 cm，则 AD 的长为( )A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm图 2－4－7图 2－4－89．如图 2－4－8， C 是线段 AB 上一点， M 是 AC 的中点， N 是 BC 的中点，如果 MC 比 NC长 2 cm，那么 AC 比 BC 长( )3A．2 cm B．4 cm C．1 cm D．6 cm10．如图 2－4－9，已知 C 是线段 AB 的中点， D 是线段 CB 的中点， BD＝2 cm，求 AD 的长．图 2－4－911．点 M 在线段 AB 上，下面给出的四个式子中，不能判定 M 是线段 AB 的中点的是( )A． AB＝2 AM B． BM＝ AB12C． AM＝ BM D． AM＋ BM＝ AB12．点 A， B， C 在同一条数轴上，其中点 A， B 表示的数分别是－3，1.若 BC＝2，则 AC等于( )A．3 B．2C．3 或 5 D．2 或 613．如图 2－4－10，把一根绳子对折成线段 AB，从点 P 处把绳子剪断，已知 AP＝ PB.23若剪断后的各段绳子中最长的一段为 60 cm，则绳子的原长为( )图 2－4－10A．60 cm B．100 cmC．150 cm D．100 cm 或 150 cm14．有两根木条，一根长 60 cm，另一根长 100 cm，将它们的一端重合，放在同一条直4线上，此时两根木条的中点之间的距离是____________．15．如图 2－4－11，已知线段 AB＝80 cm， M 为 AB 的中点，点 P 在 MB 上， N 是 PB 的中点，且 NB＝14 cm，求 MP 的长．图 2－4－1116．画线段 MN＝3 cm，在线段 MN 上取一点 Q，使 MQ＝ NQ，延长线段 MN 至点 A，使AN＝ MN；延长线段 NM 至点 B，使 BN＝3 BM，根据所画图形解答下列各题：12(1)求线段 BM 的长度；(2)求线段 AN 的长度；(3)Q 是哪些线段的中点？图中共有多少条线段？17．如图 2－4－12，延长线段 AB 到点 C，使 BC＝2 AB，取线段 AC 的中点 D.已知BD＝2，求线段 AC 的长．5图 2－4－1218．(1)如图 2－4－13，线段 AB＝4， O 是线段 AB 上一点， C， D 分别是线段 OA， OB 的中点，小明据此很轻松地求得 CD＝2.你知道小明是怎样求出来的吗？(2)小明在反思过程中突发奇想：若点 O 运动到线段 AB 的延长线上，其他条件不变，原有的结论“ CD＝2”是否仍然成立？请你帮小明画出图形，并说明理由．图 2－4－136【详解详析】1．(1) AB BC (2) BC (3) AC (4) AC2． AP PB [解析] 因为 AQ＝ AP＋ PQ， PQ＝ QB，所以 PQ＝ PB，12所以 AQ＝ AP＋ PB.123．C4．解：如图所示．因为 BC＝2 AB， AB＝3 cm，所以 BC＝6 cm，所以 AC＝ BC－ AB＝6－3＝3(cm)．5．2 a－ b 6.略7． AC BC AB AB AC BC8．B [解析] 因为 D 是线段 AC 的中点，所以 AC＝2 AD.因为 AC＝ AB－ BC＝10－4＝6(cm)，所以 AD＝3 cm.9．B [解析] 因为 M 是 AC 的中点， N 是 BC 的中点，所以 AC＝2 MC， BC＝2 NC，所以AC－ BC＝( MC－ NC)×2＝2×2＝4(cm)，即 AC 比 BC 长 4 cm.10．解：因为 D 是线段 CB 的中点， BD＝2 cm，所以 CB＝2 BD＝4 cm， CD＝ BD＝2 cm.因为 C 是线段 AB 的中点，所以 AC＝ CB＝4 cm，所以 AD＝ AC＋ CD＝4＋2＝6(cm)．11．D12．D.13．D714．80 cm 或 20 cm[解析] 把两根木条分别看成两条线段 AB， BC，设 BC＝60 cm， AB＝100 cm， AB 的中点是 M， BC 的中点是 N.如图①，当点 C 在线段 AB 的延长线上时， MN＝ BM＋ BN＝ AB＋ BC＝50＋30＝80(cm)．12 12如图②，当点 C 在线段 AB 上时， MN＝ BM－ BN＝ AB－ BC＝50－30＝20(cm)．12 1215．解：因为 N 是 PB 的中点，所以 PB＝2 NB＝2×14＝28(cm)．又因为 M 是 AB 的中点，所以 AM＝ MB＝ AB＝ ×80＝40(cm)，12 12所以 MP＝ MB－ PB＝40－28＝12(cm)．16．解：根据题意画出图形，如图所示．(1)因为 MN＝3 cm， MQ＝ NQ，所以 MQ＝ NQ＝1.5 cm.又因为 BM＝ BN，所以 BM＝ MQ＝ NQ＝1.5 cm.13(2)因为 AN＝ MN， MN＝3 cm，12所以 AN＝1.5 cm.(3)由题意，知 BM＝ MQ＝ QN＝ NA，所以 Q 既是线段 MN 的中点，也是线段 AB 的中点．图中共有 10 条线段，它们分别是线段 BM， BQ， BN， BA， MQ， MN， MA， QN， QA， NA.17．解：因为 BC＝2 AB，所以 AC＝3 AB.因为 D 是 AC 的中点，所以 AD＝ AC＝ AB.因为12 32BD＝ AD－ AB，所以 2＝ AB－ AB，解得 AB＝4，所以 AC＝3×3284＝12.18．解：(1)当点 O 是线段 AB 上的一点时，因为 C， D 分别是线段 OA， OB 的中点，所以 OC＝ OA， OD＝ OB，12 12所以 CD＝ OC＋ OD＝ OA＋ OB＝ (OA＋ OB)．12 12 12因为 OA＋ OB＝ AB＝4，所以 CD＝ AB＝ ×4＝2.12 12(2)当点 O 运动到线段 AB 的延长线上时，原有的结论“ CD＝2”仍然成立，如图所示．理由：因为 C， D 分别是线段 OA， OB 的中点，所以 OC＝ OA， OD＝ OB.12 12因为 CD＝ OC－ OD，所以 CD＝ OA－ OB＝ (OA－ OB)．12 12 12因为 OA－ OB＝ AB， AB＝4，所以 CD＝ AB＝ ×4＝2.12 1212．6 角的大小知识点 1 比较角的大小的方法1．射线 OC， OD 与∠ AOB 的关系如图 2－6－1 所示，下列各式中错误的是( )A．∠ AOB＜∠ AOD B．∠ BOC＜∠ AOBC．∠ COD＜∠ AOD D．∠ AOB＜∠ AOC2．∠ α 和∠ β 的顶点和一边都重合，另一边都在公共边的同侧，且∠ α ∠ β ，那么∠ α 的另一边落在∠ β 的( )A．另一边上 B．内部C．外部 D．以上说法都不对图 2－6－1 图 2－6－23．如图 2－6－2 所示，其中最大的角是________，∠ DOC，∠ DOB，∠ DOA 的大小关系是________________(用“＞”连接)．4．如图 2－6－3，直线 AB 和 CD 相交于点 O.(1)分别测量∠ AOC，∠ AOD，∠ BOD 和∠ BOC 的度数；(2)∠ AOC 和∠ BOD 相等吗？∠ AOD 和∠ BOC 呢？图 2－6－325．如图 2－6－4，比较∠ AOB，∠ AOC，∠ AOD，∠ AOE 的大小．图 2－6－4知识点 2 角的画法6．不能用一副三角尺画出的角的度数是( )A．75° B．85° C．105° D．150°7．如图 2－6－5，已知∠1，用直尺和圆规求作一个角，使它等于∠1.(不写作法，保留作图痕迹)图 2－6－58．已知∠ A＝18°18′，∠ B＝18.18°，∠ C＝18.3°，下列说法正确的是( )A．∠ A＝∠ B B．∠ A＝∠ CC．∠ A∠ C3图 2－6－69．在图 2－6－6 所示的 4×4 的方格中，记∠ ABD＝∠ α ，∠ DEF＝∠ β ，∠ CGH＝∠ γ ，则( )A．∠ β ∠ AOC，故 D 选项错误．2．C [解析] 如图所示：故选 C.3．∠ AOD ∠ DOA∠ DOB∠ DOC4．解：(1)∠ AOC＝30°，∠ AOD＝150°，∠ BOD＝30°，∠ BOC＝150°.(2)∠ AOC＝∠ BOD，∠ AOD＝∠ BOC.5．解：∠ AOB∠ AOC∠ AOD∠ AOE.6．B [解析] 一副三角尺的度数分别是 30°，60°，90°和 45°，45°，90°，所以可以拼出 75°，105°，150°的角，但不能拼出 85°的角．7．解：如图，∠ ABC 即为所求作的角．8．B.9．B10． 解：方法一：测量得∠ ABC＝45°，∠ DEF＝65°，所以∠ ABC∠ DEF.方法二：以 E 为顶点， EF 为一边，作∠ FEA′，使∠ FEA′＝∠ ABC，且 EA′与 ED 在 EF的同侧，如图，则∠ FEA′∠ DEF.又因为∠ FEA′＝∠ ABC，所以∠ ABC∠ DEF.51第 1 课时 角的和与差及角的平分线知识点 1 角的和与差1．如图 2－7－1，下列式子中错误的是( )A．∠ AOC＝∠ AOB＋∠ BOCB．∠ AOC＝∠ AOD－∠ CODC．∠ AOC＝∠ AOB＋∠ BOD－∠ BOCD．∠ AOC＝∠ AOD－∠ BOD＋∠ BOC图 2－7－1 图 2－7－22．把两块三角尺按如图 2－7－2 所示那样拼在一起，则∠ ABC 等于( )A．70° B．90° C．105° D．120°3．如图 2－7－3， O 是直线 l 上一点，∠ AOB＝105°，则∠1＋∠2＝________°.图 2－7－3 图 2－7－44．如图 2－7－4，已知∠ AOC＝90°，直线 BD 过点 O，∠ COD＝115°，则∠ AOB 的度数为________．5．如图 2－7－5，已知∠ AOC＝∠ BOD＝110°，∠ BOC＝75°，求∠ AOD 的度数．图 2－7－52知识点 2 角的平分线6．如图 2－7－6，已知 OC 是∠ AOB 的平分线，下列结论不正确的是( )A．∠ AOB＝∠ BOC B．∠ AOC＝ ∠ AOB12C．∠ AOC＝∠ BOC D．∠ AOB＝2∠ AOC图 2－7－6 图 2－7－77．如图 2－7－7， OC 是∠ AOB 的平分线， OD 平分∠ AOC，且∠ COD＝25°，则∠ AOB 的度数是( )A．50° B．75° C．100° D．120°8．如图 2－7－8， OB 是∠ AOC 的平分线， OD 是∠ COE 的平分线．如果∠ AOC＝80°，∠ COE＝60°，则∠ BOD 的度数为( )3图 2－7－8A．50° B．60° C．65° D．70°9．如图 2－7－9，从直线 AB 上任一点引一条射线 OC，已知 OD 平分∠ BOC.若∠ EOD＝90°，则 OE 一定是∠ AOC 的平分线，请说明理由．图 2－7－9知识点 3 角度的加减运算10．计算：50°－15°30′＝________．411．计算：36°30′54″＋59°28′59″－61°5′9″＝________．12．把一副三角尺按照如图 2－7－10 所示的位置摆放，则形成两个角，分别设为∠ α ，∠ β .若已知∠ α ＝65°，则∠ β 的度数为( )图 2－7－10A．15° B．25° C．35° D．45°13．已知直线 AB 上有一点 O，射线 OD 和射线 OC 在 AB 的同侧，∠ AOD＝42°，∠ BOC＝34°，则∠ AOD 与∠ BOC 的平分线的夹角的度数是( )A．142° B．90° C．38° D．以上都不对14. 将一张纸按如图 2－7－11 所示的方式折叠， BC， BD 为折痕，则∠ CBD 的度数为( )A．80° B．90° C．100° D．110°图 2－7－11 图 2－7－1215．如图 2－7－12，已知 OE 平分∠ AOB， OD 平分∠ BOC，∠ AOB 为直角，∠ EOD＝70°，则∠ BOC 的度数为________．16．如图 2－7－13，将一副直角三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点 O，则∠ AOB＋∠ DOC＝________°.图 2－7－13517．已知：如图 2－7－14，∠ AOB＝40°，∠ BOC＝90°，∠ COD＝30°，求∠ AOC＋∠ BOD 的度数．图 2－7－1418. 已知∠ AOB＝80°，∠ BOC＝20°，求∠ AOC 的度数．19．如图 2－7－15， OB 平分∠ AOC，∠ AOD＝78°.(1)若∠ BOC＝20°，求∠ COD 的度数；(2)若 OC 是∠ AOD 的平分线，求∠ BOD 的度数．图 2－7－15620．两个角的顶点重合，且有一边重合，另一边互为反向延长线．若这两个角的度数之比为 5∶4，则这两个角的度数差是( )A．10° B．20° C．30° D．40°21．如图 2－7－16，已知同一平面内∠ AOB＝90°，∠ AOC＝60°.(1)填空：∠ BOC＝________°.(2)若 OD 平分∠ BOC， OE 平分∠ AOC，则∠ DOE 的度数为________°.(3)在(2)的条件下，如果将题目中“∠ AOC＝60°”改成“∠ AOC＝2∠ α (∠ α 45°)”，其他条件不变，你能求出∠ DOE 的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．图 2－7－167【详解详析】1．C2．D [解析] ∠ ABC＝30°＋90°＝120°.3．75 [解析] 因为∠1＋∠ AOB＋∠2＝180°， 所以∠1＋∠2＝180°－∠ AOB＝180°－105°＝75°.4．25°5．解：因为∠ AOC＝110°，∠ BOC＝75°，所以∠ AOB＝∠ AOC－∠ BOC＝110°－75°＝35°.又因为∠ BOD＝110°，所以∠ AOD＝∠ AOB＋∠ BOD＝35°＋110°＝145°，即∠ AOD＝145°.6．A [解析] 因为 OC 是∠ AOB 的平分线，所以∠ AOC＝ ∠ AOB，∠ AOC＝∠ BOC，∠ AOB＝2∠ AOC，所以 A 选项错误，B，C，D 选项正确，故12选 A.7．C [解析] 因为 OC 平分∠ AOB，所以∠ AOC＝ ∠ AOB.12又因为 OD 平分∠ AOC，所以∠ COD＝ ∠ AOC＝ × ∠ AOB＝ ∠ AOB.12 12 12 14因为∠ COD＝25°，所以∠ AOB＝4∠ COD＝100°.故选 C.8．D [解析] 因为 OB 是∠ AOC 的平分线，所以∠ COB＝∠ AOB＝40°.因为 OD 是∠ COE 的平分线，所以∠ COD＝∠ EOD＝30°，所以∠ BOD＝∠ COB＋∠ COD＝40°＋30°＝70°.89．解：如图，因为∠2＋∠3＝90°，所以∠1＋∠4＝90°.因为 OD 平分∠ BOC，所以∠3＝∠4，所以∠1＝∠2，所以 OE 一定是∠ AOC 的平分线．10．34°30′11．34°54′44″12．B [解析] 观察图形可知∠ α ＋∠ β ＋90°＝180°，即∠ β ＝180°－90°－65°＝25°.13．A [解析] 设 OM， ON 分别是∠ AOD，∠ BOC 的平分线，则∠ AOM＝ ∠ AOD＝21°，12∠ BON＝ ∠ BOC＝17°，所以∠ MON＝180°－∠ AOM－∠ BON＝180°－21°－17°＝142°.1214．B[解析] ∠ CBD＝ ×180°＝90°.1215．50°16．180°.17．解：因为∠ AOC＝∠ AOB＋∠ BOC＝40°＋90°＝130°，∠ BOD＝∠ BOC＋∠ COD＝90°＋30°＝120°，所以∠ AOC＋∠ BOD＝130°＋120°＝250°.18．解：当 OC 在∠ AOB 的外部时，如图①，∠ AOC＝∠ AOB＋∠ BOC＝80°＋20°＝100°；当 OC 在∠ AOB 的内部时，如图②，∠ AOC＝∠ AOB－∠ BOC＝80°－20°＝60°.9综上所述，∠ AOC 的度数为 100°或 60°.图① 图②19．解：(1)因为 OB 平分∠ AOC，∠ BOC＝20°，所以∠ AOB＝∠ BOC＝20°，所以∠ AOC＝∠ BOC＋∠ AOB＝40°.又因为∠ AOD＝78°，所以∠ COD＝∠ AOD－∠ AOC＝78°－40°＝38°.(2)因为 OC 平分∠ AOD，所以∠ DOC＝∠ AOC＝ ∠ AOD＝ × 78°＝39°.12 12因为 OB 平分∠ AOC，所以∠ BOC＝ ∠ AOC＝ ×39°＝19.5°，12 12所以∠ BOD＝∠ DOC＋∠ BOC＝39°＋19.5°＝58.5°.20．B21．解：(1)因为∠ AOB＝90°，∠ AOC＝60°，所以∠ BOC＝∠ AOB＋∠ AOC＝90°＋60°＝150°.故答案为 150.(2)因为 OD 平分∠ BOC， OE 平分∠ AOC，所以∠ COD＝ ∠ BOC＝75°，∠ COE＝ ∠ AOC＝30°，12 12所以∠ DOE＝∠ COD－∠ COE＝45°.故答案为 45.(3)能．因为∠ AOB＝90°，∠ AOC＝2∠ α ，所以∠ BOC＝90°＋2∠ α .10因为 OD， OE 分别平分∠ BOC，∠ AOC，所以∠ COD＝ ∠ BOC＝45°＋∠ α ，∠ COE＝ ∠ AOC＝∠ α ，12 12所以∠ DOE＝∠ COD－∠ COE＝45°.1第 2 课时 互余、互补及其性质知识点 1 互余、互补的概念1．若∠ α 与∠ β 互为余角，则∠ α ＋∠ β ＝________；若∠ α 与∠ β 互为补角，则∠ α ＋∠ β ＝________．2．[2017·常德]若一个角为 75°，则它的余角的度数为( )A．285° B．105° C．75° D．15°3．若∠ A＝34°，则∠ A 的补角的度数为( )A．56° B．146° C．156° D．166°4．一个角的余角是 54°38′，则这个角的补角是________． 5．已知∠1 与∠2 互余，∠2 与∠3 互补．若∠1＝63°，则∠3＝________．6．如图 2－7－17， O 是直线 AE 上的一点， OB 是∠ AOC 的平分线， OD 是∠ COE 的平分线．(1)图中互余的角有哪几对？(2)图中互补的角有哪几对？图 2－7－172知识点 2 互余、互补的性质7．(1)若∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，则∠2________∠3(填“”“”“”“”“∠ β ，试判断∠ β 与 (∠ α －∠ β )的数量关系．1214.如图 2－7－20，将两块直角三角尺的直角顶点 C 叠放在一起．(1)若∠ DCE＝35°，求∠ ACB 的度数；(2)若∠ ACB＝140°，求∠ DCE 的度数；(3)写出∠ ACB 与∠ DCE 的数量关系，并说明理由．图 2－7－20415．如图 2－7－21， O 为直线 AB 上的一点，∠ AOE 为直角，∠ DOF＝90°， OB 平分∠ COD，则图中与∠ DOE 互余的角有哪些，与∠ DOE 互补的角有哪些？图 2－7－2116．如图 2－7－22，∠ AOB∶∠ BOC∶∠ COD＝2∶3∶4，射线 OM， ON 分别平分∠ AOB 与∠ COD，已知∠ MON＝90°，则∠ AOB 等于( )图 2－7－22A．20° B．30° C．40° D．45°17．如图 2－7－23①，∠ AOB，∠ COD 都是直角．(1)试猜想，∠ AOD 和∠ BOC 在数量上是否存在相等、互余或互补的关系？你能说明你的猜想的正确性吗？(2)当∠ COD 绕点 O 旋转到图 2－7－23②所示的位置时，(1)中的猜想还成立吗？5图 2－7－23【详解详析】1．90° 180°2．D [解析] 它的余角的度数为 90°－75°＝15°.故选 D.3．B [解析] ∠ A 的补角的度数为 180°－34°＝146°.故选 B.4．144°38′ [解析] 根据题意得这个角为 90°－54°38′＝35°22′， 则这个角的补角为 180°－35°22′＝144°38′.65．153° [解析] 因为∠1 是∠2 的余角，∠3 是∠2 的补角，所以∠3－∠1＝90°，所以∠3＝90°＋63°＝153°.6．解：(1)∠ AOB 与∠ DOE，∠ AOB 与∠ COD，∠ COD 与∠ BOC，∠ BOC 与∠ DOE 都是互余的角．(2)∠ AOB 与∠ BOE，∠ BOC 与∠ BOE，∠ AOC 与∠ COE，∠ COD 与∠ AOD，∠ EOD 与∠ AOD 都是互补的角．7．(1)＝ 同角的余角相等 (2)＝ 等角的余角相等 (3)＝ 同角的补角相等 (4)＝ 等角的补角相等8．解：(1)∠ AOB＝∠ BOC＋∠ AOC＝70°＋50°＝120°，其补角为 180°－∠ AOB＝180°－120°＝60°.(2)∠ DOC＝ ∠ BOC＝ ×70°＝35°，12 12∠ AOE＝ ∠ AOC＝ ×50°＝25°.12 12∠ DOE 与∠ AOB 互补．理由：因为∠ DOE＝∠ DOC＋∠ COE＝∠ DOC＋∠ AOE＝35°＋25°＝60°，所以∠ DOE＋∠ AOB＝60°＋120°＝180°，故∠ DOE 与∠ AOB 互补．9．C10．C.11．C12．[22.5° [解析] 根据题意，知这个角的度数是 90°× ＝22.5°.1413．解：因为∠ α 与∠ β 互补，所以∠ α ＋∠ β ＝180°，所以∠ β ＝180°－∠ α ，7所以∠ β 的余角为 90°－(180°－∠ α )＝∠ α －90°＝∠ α － (∠ α ＋∠ β )12＝ ∠ α －12∠ β ＝ (∠ α －∠ β )，12 12所以∠ β ＋ (∠ α －∠ β )＝90°.1214．解：(1)因为∠ ECB＝90°，∠ DCE＝35°，所以∠ DCB＝90°－35°＝55°.因为∠ ACD＝90°，所以∠ ACB＝∠ ACD＋∠ DCB＝145°.8(2)因为∠ ACB＝140°，∠ ACD＝90°，所以∠ DCB＝140°－90°＝50°.因为∠ ECB＝90°，所以∠ DCE＝90°－50°＝40°.(3)∠ ACB＋∠ DCE＝180°(或∠ ACB 与∠ DCE 互补)．理由：因为∠ ECB＝90°，∠ ACD＝90°，所以∠ ACB＝∠ ACD＋∠ DCB＝90°＋∠ DCB，∠ DCE＝∠ ECB－∠ DCB＝90°－∠ DCB，所以∠ ACB＋∠ DCE＝180°.15．[解析] 本题要根据余角、补角的定义，结合图形认真观察．解：因为∠ BOE＝∠ AOB－∠ AOE＝180°－90°＝90°，所以∠ BOD＋∠ DOE＝90°，即∠ DOE 与∠ BOD 互余．因为 OB 平分∠ COD，所以∠ BOC＝∠ BOD，所以∠ DOE 与∠ BOC 互余．因为∠ DOF＝90°，所以∠ DOE＋∠ EOF＝90°，所以∠ DOE 与∠ EOF 互余．即与∠ DOE 互余的角有∠ BOD，∠ BOC，∠ EOF.因为∠ DOE＋∠ BOF＝∠ DOE＋∠ EOF＋∠ BOE＝∠ DOF＋∠ BOE＝180°，所以∠ DOE 与∠ BOF 互补．因为∠ DOE＋∠ COE＝∠ DOE＋∠ COB＋∠ BOE＝∠ DOE＋∠ BOD＋∠ BOE＝∠ BOE＋∠ BOE＝180°，9所以∠ DOE 与∠ COE 互补，即与∠ DOE 互补的角有∠ BOF，∠ COE.16．B17．解：(1)猜想：∠ AOD 与∠ BOC 互补．因为∠ AOD＝∠ AOB＋∠ BOD＝90°＋∠ BOD，∠ BOD＝90°－∠ BOC，所以∠ AOD＝90°＋90°－∠ BOC，所以∠ AOD＋∠ BOC＝180°，即∠ AOD 与∠ BOC 互补．(2)(1)中的猜想仍然成立．因为∠ AOB，∠ COD 都是直角，所以∠ AOB＋∠ COD＝180°.又因为∠ AOB＋∠ BOC＋∠ COD＋∠ AOD＝ 360°，所以∠ AOD＋∠ BOC＝180°，所以∠ AOD 与∠ BOC 互补．