【学练优】（贵州专用）2017秋九年级数学上册 全一册学案（无答案）（打包41套）（新版）北师大版.zip

12.5 一元二次方程的根与系数的关系学习目标1、在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其此关系的运用。2、通过观察 、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程。重点：一元二次方程根与系数的关系及简单应用难点：探索一元二次方程根与系数的关系【预习案】利用一元二次方程的相关知识然后完成列任务。 1、一元二次方程 )0(2acbxa根的判别式为： acb42（1）当 0时，方程有两个不相等的实数根。（2）当 时，方程有两个相等的实数根。（3）当 时，方程没有实数根。反之：方程有两个不相等的实数根，则 ；方程有两个相等的实数根，则 ；方程没有实数根，则 。阅读课本 49 至 50 页例题以上内容，请你归纳出一元二次方程根与系的关系，然后完成下列任务。2、先判断下列方程根的情况然后解出下列有解方程的两根，再完成：①求出每个方程的两根和、两根积；②求出各方程中一次项系数与二次项系数的商的相反数和常数项与二 次项系数的商。（1）x 2 -2x+1=0 （2）x 2 -2 3x-1=0 （3）2x 2-3x+1=03、写出一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，并计算出两根和、两积。想一想，一元二次方程根与系数有怎样的关系？4、通过 2、3 两题的结果，不解方程，利用根与系数的关系求出下列方程的两根和、两根积。（1）x 2+3x+1=0； （2）3x 2－2x－1=0； （3）2x 2+5x=0。【探究案】1、提问：一元二次方程 根的判别式是什么？三、自主探究 合作释疑【自主学习一】：在预习的基础上，再次阅读课本 49 页，然后独立完成下列问题（6 分钟）：1、写出下列每个方程的二次项系数、一次项系数、常数项。（1）x 2 -2x+1=0 （2）x 2 -2 3x-1=0 （3）2x 2-3x+1=02、求出方程（1）x 2 -2x+1=0 （2）x 2 -2 x-1=0 （3）2x 2-3x+1=0 的两根和、两根积。3、求出每个方程一次项系数与二次项系数的商的相反数和常数项与二次项系数的商；并比较第 2小题的结果，你发现了什么？2合作探究：P49 页，小组共同证明一元二次方程根与系数的关系。结论：一元二次方程根与系数的关系：如果方程 20()axbca有两个实数根（当 240bac）时根为：x 1 ，x 2 ，则x1 +x2 =  x1 x2 =用文字叙述为：如果一元二次方程有两个实数根，则两根之和等于一次项系数与二次 项系数的商的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的商。例题学习、方法总结 请同学们独立学习课本 50 页例题。然后回答下列问题：1、利用根与系数的关系求一元二次方程两根和、两根积的前提条件是什么？2、利用根与系数的关系求一元二次方程两根和、两根积的确步骤是什么？方法总结： （1）利用根与系数的关系求一元二次方程两根和、两根积的前提条件是方程必须要有实数根。 （△=b 2-4ac≥0）（2）利用根与系数的关系求一元二次方程两根和、两根积的确步骤是：①先将方程化为一般式；②判断根的情况；③在方程有解的前提下再求两根和、两根积。运用所学知 识，完成下列问题：1.如果 x1、x 2是一元二次方程 02x62的两个实数根，则 x1+x2=_________.2.不解方程，求下列方程的两根 x1、x 2的和与积。（1） 053 （2） 5（B 层题）：3、课本 50 页随堂练习 24、课本 50 页随堂练习 3（A 层题）5、已知一元二次方程的两根之和是 3，两根之积是 2，则这个方程是（ ）（A）x 2+3x-2=0 （B）x 2+3x+2=0（C） 02x（D） 03x【自主学习二】：请同学们通过你自已学到的方程知识完成下面的例题，并思考回答后面的问题。例：已知方程 062ax的一个根 是 2，求方程的另一个根及 a的值。问题：1、解答此题 你用到了哪些知识？2、解此 类题的基本思路是什么？归纳反思：基本思路是：①首先将已知根代入方程求出未知系数；②其次是将已求的未知系数的值代入方程，再根据根与系数的关系求出另一根。合作探究 ：请同学们以小组为单位，不解方程，利用 根与系的关系完成例 2，并思考回答后面的问题。例 2： 如果 x12、 是方程 x2310的两个根，则求出下列代数式的值。① 12②x21+x22问题：求解关于一元二次方程两根代数式的值的基本思路是什么？归纳反思：基本思路是：3①先将代数式通过恒等变形转化成两根和、两根积形式；②准确写出 a 与 b 的值；③根据根与系数的关系，求出变形后代数式的值。【训练案】运用所学知识，完成下列问题：1、已知方程 02cx的一个根是 12，求方程的另一个根及 c 的值。2、若 关于 x 的一元二次方程 x2﹣mx﹣2=0 的一个根为﹣1，则另一个根为（ ）A、1 B、﹣1 C、2 D、 ﹣23. 、 2是方程 0532的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1） 2xx （2） 21x+ 1 （3） （x 1+2） （x 2+2） （4）12x4、已知方程 02bax的两个根分别是 2 与 3，则 a= . b= 5、x 1，x 2是方程 2x2+4x-3=0 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值（1）(x 1+1)(x2+1)； （2）x 12x2+x1x22； 1第一章 特殊平行四边形1.1 菱形的性质与判定第 1 课时 菱形的性质学习目标：①通过折、剪纸 张的方法，探索菱形独特的性质。②通过学生间的交流、计论、分析、类比、归纳、运用已 学过的知识总结菱形的特征。教学重点：菱形的概念和菱形的性质 ，菱形的面积公式的推导。教学难点：菱形的性质的理解及菱形性质的灵活运用。【预习案】学习过程：活动 一：自学课本例题 以上的内容，完成下列问题：1. 如何从一个平行四边形 中剪出一个菱 形来？的四边形叫做菱形，生活 中的菱形有 。【探究案】2. 按探究步骤剪下一个四边形。①所得四边形为什么一定是菱形？②菱形为 什么是轴对称图形？有 对称轴。图中相等的线段有： 图中相等的角有： ③ 你能从菱形的 轴对称性中得到 菱形所具有的特有的性质吗？自己完成 证明。性质：证明：活动二：对比菱形与平行四边形的对角线菱形的对角线：平行四边 的对角线：平行四边形 菱形？2活动三：菱形性质的应用1.菱形的两条对角线的长分别是 6cm 和 8cm，求菱形的周长和面积。【训练案】2.如图 ，菱形花坛 ABCD 的边长为 20cm，∠ABC=60°沿菱形的两条对角线修建了两条小路 AC 和 BD，求两条小路的长和花坛的面积。课 效检 测：一、填空（1）菱形的两条对角线长分别是 12cm，16cm，它的 周长等于 ，面积等于 。（2）菱形的一条边与它的两条对角线所夹的角比是 3：2，菱形的四个内角是 。 （3）已知：菱形的 周长是 20cm，两个 相邻的角的度数比为 1：2，则较短的对角线长是 。（4）已知：菱形的周长 是 52 cm，一条对角线长是 24 cm，则它的面 积是 。二、解答题已知：如图，在菱形 ABCD 中，周长为 8cm，∠BAD=120 0 对角线 AC，BD 交于点 O，求这个菱形的对角线长和面积。AB CDO1第 2 课时 菱形的判定学习目标：1.理解并掌握菱形的判定方法，以及符号语言的应用；2.灵活运用判定方法进行有关的证明和计算.重点：掌握并会应用菱形的判定方法.难点：菱形判定方法的应用.【预习案】课前预习你还记得菱形的定义吗？菱形有哪些特殊性质？边：__________________________;_____________________________角：__________________________;______________________________对角线：_____________________________________________________对称性： 【探究案】1.木工在做菱形的窗格时,总是保证四 条边框一样长,你知道其中的道理吗?借助以下图形探索：如图,在四边形 ABCD 中,AB=BC=CD=DA,试说明四边形 ABCD 是 菱形.证明：我发现, 的四边形是菱形。2.如下图,在 □ ABCD 中,若 AC⊥BD,则 □ ABCD 是什么图形?证明：我发现, 的平行四边 形四边形是菱形.菱形的判定方法:1、 的四边形是菱形符号语言 2、 的平行四边形是菱 形符 号语言 B ACDoABCD2课堂活动活动 1 预习反馈活动 2 例习题分析例 □ A BCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，且 AB=5， AO=4,OB=3.求证： □ ABCD 是 菱形。平行练习1、一个平行四边形的一 条边长是 15，两条对角线的长分别是 12 和 9，这是一个特殊的平行四边形 吗？为什么？求它的面积。归纳：S 菱形 = = 2、如图，用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起，重合的四边形 ABCD 是一个菱形吗？为什么？【训练案】课后巩固1、 如图，AE∥BF，AC 平分∠BAD, 且交 BF 于点 C，BD 平分 ∠ABC，且交 AE 于点 D，连接 CD，求证：四边形 ABCD 是菱形。2、如图，四边形 ABCD 是菱形，点 M,N 分别 在 AB,AD 上，且 BM=DN,MG∥AD,NF∥AB,点 F,G 分别在 BC,CD上，MG 与 NF 相交于点 E.求证：四边形 AMEN,EFCG 都是菱形。oABCDOBACEDFECBADMGNF1矩形的性质与判定第 1 课时 矩形 的性质学习目标：1．能运用综合法 证明矩形性质定理。2．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法。 【预习案】回顾旧 知: 1．你了解哪些特殊的平行四边形？2．这些特殊的平行四边形与平行四边形有哪些 关系？3．能用一张图来表示它们之间的关系吗？自学提示：（一） 自主学习：①平行四边形活动框架在变化 过程中，哪些量发生了变化？哪些量没有变化？从中得到哪些结论？你能试着说明结论是否成立？②矩形的一条对角线把矩形分成两个什么三角形？矩形的两条对 角线把 矩形分成四个什么样的三角形？1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形，叫做矩形。由 此可见，矩形是特殊的 ，它具有平行四边形的所有性质。2．结合上面两个图形说说矩形有哪些平行四边形不具有的特殊性质？3．证明：矩形的四个角都是直角 已知：如图， 求证：___________________ 证明：证明：矩形对角线相等已知：如图， 求证： 证明： 【探究案】合作探究：问题一: 如图，矩形 ABCD，对角线相交于 O，观察对角线所分成的三角形，你有什么发现？ADBDCDDDA BCD2ODCBA问题二 将目光锁定在 Rt△ABC 中，你能发现它有什么特殊的性质吗？ 证明：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． ”已知： 求证： 证明：问题三 上面结论的逆命题是： 。是否正确？请给予证明。【训练案】巩固练习1.矩形除了具备平行四边形的性质外，还有一些特殊性质：四个角 ，对角线 。2.在矩 形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，若 10AB，则 OAB 。3、已知矩形的长为 20，宽为 12，顺次连结矩形四边中点所形成的 四边形的面积是__________.4，如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，已知∠AOD＝120°，AB= 2.5cm，求矩形对角 线的长。 六、反思领悟这节课我们学到了: .我的疑问是: A BCD1第 2课时 矩形的判定学习目标：1.会证明矩形的判定定理。2.能运用矩形的判定定理进行计算与证明。3.能运用矩形的性质定理与判定定理进行综合推理与证明。【预习案】学习准备：1.矩形是轴对称图形，它有______条对称轴．2.在矩形 ABCD中，对角线 AC，BD 相交于点 O，若对角线 AC=10cm，边 BC=8cm，则△ABO 的周长为________．3.矩形是特殊的平行四边形，怎样判定一个平行四边形是矩形呢?请同学们说出最基本的方法：（用定义） 【探究案】1.知识 点一：探究“对角线相等的平行四边形是矩形。 ”如图在 □ ABCD中，对角线 AC、BD 相交于 O，如果 AC=BD求证： □ ABCD是矩形。证明： □ ABCD是平行四边形∴AB=CD ， AB∥ CD （ ）∴∠ABC+∠DCB=180在△ABC 和△DCB 中= = = ∴△ABC≌△DCB （ ）∴∠ABC=∠DCB∴∠ABC= ∴ □ ABCD是矩形 （ ）2.知识点二：探究“三个角都是直角的四边形是矩形。 ” 已知： 在四边形 ABCD中∠A=∠B=∠C =90︒求证：四边形 ABCD矩形证明： ∵∠A+∠B+∠C+∠D= 度而∠A=∠B=∠C=9 0度∴ ∠D= ︒ ∴ = = = ∴四边形 ABCD是 平行四边形 （ ） ∴四边形 ABCD矩形 （ ）【训练案】O DB CA21. 如图， □ ABCD中，AB= 6，BC= 8，AC= 10 ，求证 : □ ABCD是矩形。2.如上图已知： □ ABCD的 AC、BD 对角线相交于 O，△AOB 是等边三角形， AB=4cm,求这个平行四边形的面积。能力提升：△ABC 中，点 O是 AC边上一动点，过 O点作直线 MN//BC，设 MN交∠BCA 的平分线于点 E，交∠BCA 的外角平分线于点 F，（1）试说明 EO=OF的理由。（2）当点 O运动到何处时，四边形 AECF是矩形？并说明你的结论。O DB CA321RP QS E FAB CO NM D11.3 正方形的性质与判定第 1课时 正方形的性质学习目标：1．理解正方形的定义， 掌握正方形的性质和判定；2．能运用正方形的性质和判定进行简单的计算与证明．【预习案】自主学习：1、正方形具有而一般菱形不具有的性质是 （ ）A. 四条边都相等 B. 对角线互相垂直平分 C. 对角线相等 D. 每一条对角线平分一组对角2、正方形具有而一般矩形不一定具有的性质是 （ ）A. 四个角相等 B. 四条边相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等3、已知一个正方形的边长为 2cm，则对角线长为______。4、已知一正方形的对角线长为 2cm，则它的边长为_______。5、若正方形的一条对角线长为 4cm，则正方形的周长为______，面积为________；对角线的交点到边的距离为_______。【探究案】探究点 1：矩形和正方形的关系做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．问题 1：什么样的四边形是正方形？探究 点 2：正方形的性质问题 2：正方形有什么性质？由正方形的定义得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱 形．所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．正方形性质定理 1：正方形的四个角都是 ，四条边都 。正方形性质定理 2：正方形的两条对角线相等并且 。例 1.求证：正方形的两条对 角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．已知：四边形 AB CD是正方形，对角线 AC、BD 相交于点 O（如图） ．求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO 是全等的等腰直角三角形．例 2 ． 已 知 ： 如 图 ， 点 E是 正 方 形 ABCD 的 边 CD 上 一 点 ，点 F 是 CB 的 延 长 线 上 一 点 ， 且 DE=BF．求 证 ： （ 1） EA=AF； （ 2） EA⊥ AF．【训练案】1．⑴正方形的四条边____ __，四个 角___ ____，两条对角线____ _______ ____．⑵正方形的两条对角线把正方 形分 成四个全等的__________________⑶正方形 的边长为 6，则面 积为 __________⑷正方形的对角线长 为 6，则面积为__________2．如右图，E 为正方 形 ABCD边 AB上的一点，已知 EC=30, EB=10, 则正方形 ABCD的面积 为_______________，对角线为______ ____．3．如 右图，E 为正方形 ABCD内一点，且△EBC 是等边三角形，求∠EAD 与∠ECD 的度数．ACDBE1第 2 课时 正方形的判定学习目标：1、 知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的 判定条件进行有关的论证和计算。2、 经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习 惯，逐步 掌握说理的基本方法。3、 理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点。学习重点：掌握正方形的判定条件。学习难点：合理恰当地利用正方形的判定定理解决问题。【预习案】预习检测1、 下列说法中错误的是（ ）A、对 角线相等的菱形是正方形 B、有一组邻边相等的矩形是正方形C、四条边都相等的四边形是正方法 D、有一个角为直角的菱形是正方形2、已知四边形两对角线：①互相垂直；②相等；③互相平分。具备条件____ 可得平行四 边形；具备条件_______可得矩形；具备条件_______ 可得是菱形；具备条件________可得正方形。 （填序号）3.我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正 方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请画出来。【探究案】探究点 1：用菱形证明正方形.1.已知四边形 ABCD 是菱形，当满足条件_________时，它成为正方形(填上你认为正确的一个条件即 可).证明：探究点 2：用矩形证明正方形.2.已知四边形 ABCD 是矩形，当满足条件_________时，它成为正方形(填上你认为正确的一个条件即可).证明：探究点 3：用平行四边形证明正方形3.在 Rt△ ABC 中，∠ACB=90° ，CD 平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥ AC，垂足 分别是 E，F。矩形 正方形正方形菱形2求证：（1）四边形 CFDE 是平行四边形。（2）四边形 CFDE 是矩形或菱形（ 任选一项） 。（3）四边形 CFDE 是正方形。【训练案】1．如下图 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上，且∠EAF=45°，试说明 EF=BE+DF。 2.画一个正方形，使它的对角 线长为 30，并说明画法的依据。3.如图，在正方形 ABCD 的 BC、CD 边上取 E、F 两点，使∠EAF=45°，AG⊥EF 于 G. 求证：AG=AB 。达标测试答案1. 解：将△ADF 旋转到△ABC，则△ADF≌△ABG∴AF=AG，∠ADF=∠BAG，DF=B G∵∠EAF=45°且四边形是正方形，∴∠ADF﹢∠BAE=45°∴ ∠GAB﹢∠BAE=45°即∠GAE=45°∴△AEF≌△AEG（SAS ）∴EF=EG =EB﹢BG=EB﹢DF2. 画法：1、画线段=30cm，取 AC 的中点 O。2、过点 O 画 AC 的垂线，并分别 在 AC 的 两侧取 OB=OD=15cm。3、连结 AB﹑BC﹑CD﹑DA.FEDCBA3则四边形 ABCD 就是所要画的正方形.证明 ：∵AO= CO,BO=DO四边形 ABCD 是平行四边形。又∵AC=BD, ∴平行四边形 ABCD 是 矩形∵AC⊥BD∴平行四边形 ABCD 是菱形。∴四边形 ABCD 是正方形补标练习答案：解析：欲证 AG=AB，就图形直观来看，应证 Rt△ABE 与 Rt△AGE 全等，但条件不够. ∠EAF=45°怎么用呢 ？显然∠1＋∠2=45°，若把它们拼 在一起，问题就解决了. 证明：把 △A FD 绕 A 点旋转 90°至△AHB. ∵∠EAF=45°，∴∠1＋∠2=45°. ∵∠2=∠3，∴∠1＋∠3=45°. 又由旋转所得 AH=AF，AE=AE. ∴ △AEF≌△AEH，∴∠AEH=∠AEF,又∵∠ABE=∠AGE,AE=AE,∴△ABE≌△AGE,∴AG=AB.1第二章 一元二次方程2.1 认识一元二次方程第 1 课时 一元二次方程学习目标：1．通过设 置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．3．解决一些概念性的题目．4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．【预习案】二、自学探究：理解一元二次方程的概念，并会把一元二次方程化为一般形式。自学教材，回答：（1 ）如果设未铺地毯区域的宽为 xm，那么地毯中央长方形图案的长为 m，宽为为 m.根据题意，可得方程 （2）试再找出(10、11、12、13、14 以外)其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和：；如果设五个连续整数中的第一个数为 x，那么后面四个数依次可表示为 、 、、 ， 根据题意可得方程： （3）根 据图 2-2，由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m，如 果设梯子底端滑动 xm，那么滑动后梯子底端距墙 m，梯子顶端距地面的垂直距离为 m，根据题意，可得方程： 【探究案】探究点 1：一元二次方程的概念1．一元二次方程的一般形式是（ ）（1）提问 a＝0 时方程还是一无二次方程吗?为什么?(如果 a＝0、b≠ 0 就成了一元一次方程了) （2）方程中 ax2、 bx、c 各项的名称及 a、b 的系数名称各是什么？（3）强调：一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现、但二次项必须存在、而且左边通常按 x 的降幂排列：特别注意的是“＝”的右边必须整理成 0．探究点 2：一元二次方程解决生活中的应用根 据下列问题，列出关于 x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：⑴4 个完全相同的正方形的面积之和是 25，求正方形的边 长 x; ⑵一个长方形的长比宽多 2，面积是 100，求长方形的长 x；⑶把长为 1 的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较 短一段的长x。【训练案】1．在下列方程中，一元二次方程有_____________．①3x 2+7=0 ②ax 2+bx+c=0 ③（x-2） （x+5）=x 2-1 ④3x 2- 5x=02. 方程 2x2=3（x-6）化为一般式后二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） ．A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，63．px 2-3x+p2-q=0 是关于 x 的一元二次方程，则（ ） ．A．p =1 B．p0 C．p≠0 D．p 为任意实数4．方程 3x2-3=2x+1 的二次项系数为_______，一次项系数为 ______，常数项为_________．5. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、及常数项：⑴ 3x 2+1=6x ⑵4x 2+5x=81 ⑶ x(x+5)=0 ⑷ (2x-2)(x-1)=0 ⑸x(x+5)=5x-10 ⑹ (3x-2)(x+1)=x(2x-1)1第 2 课时 一元二次方程的解及其估算学习目标1.了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．2.经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。重点：探索一元二次方程的解或近似解；难点：培养学生的估算意识和能力．【预习案】学生活动：请同学独立完 成下列问题．问题 1．如图， 一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8m，那么梯 子的底端距墙多少米？108设梯子底端距墙为 xm，那么，根据题意，可得方程为___________．整理，得_________．列表：x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 …问题 2．一个面积为 120m2的矩形苗圃，它的长比宽多 2m，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为 xm，则长为_______m．根据题意，得_____ ___．整理，得________．列表：x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11【探究案】探究点 1：探究一元二次方程的解.提问：（1）问题 1 中一元二次方程的解是多少？问题 2 中一元二次方程的解是多少？（2）如果抛开实际问题，问题 1 中还有 其它解吗？问题 2 呢？（3）如果抛开实际问题，问题（1）中还有 x=-6 的解；问题 2 中还有 x=-12 的解．为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别， 我们称：一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．回过头来看：x 2-36=0 有两个根，一个是 6，另一个是－6，但-6 不满足题意；同理，问题 2 中的 x=-12 的根也满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题 的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．例 1．下面哪些数是方程 2x2+10x+12=0 的根？2-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．解：将上面的这些数代入后，只有-2 和-3 满足方程的等式，所以 x=-2 或 x=-3 是一元二次方程2x2+10x+12=0 的两根．探究点 2：用“夹逼法”解生活中的一元二次方程.例 2．要 剪一块面积为 150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多 5cm，这块铁片应该怎样剪？设长为 xcm，则宽为（x-5）cm列方程 x（x-5）=150，即 x2-5x-150=0请根据列方程回答以下问题：（1）x 可能小于 5 吗？可能等于 10 吗？说说你的理由．（2）完成下表：X 10 11 12 13 14 15 16 17 …x2-5x-150（3）你知道铁片的长 x 是多少吗？分析：x 2-5x-150=0 与上面两道例题明显不 同，不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，但是我们可以用一种新的方法──“夹逼”方法求出该方程的根．解：（1）x 不可能小于 5．理由：如果 x5，则宽（x-5）0，不合题意．x 不可能等于 10．理由：如果 x=10， 则面积 x2-5x-150=-100，也不可能．（2）x 10 11 12 13 14 15 16 17 ……x2-5x-150-100 -84 -66 -46 -24 0 26 54 ……（3）铁片长 x=15cm【训练案】一、选择题1．方程 x（x-1）=2 的两根为（ ） ．A．x 1=0，x 2=1 B．x 1=0，x 2=-1 C．x 1=1，x 2=2 D．x 1=-1，x 2=22．已知 x=-1 是方程 ax2+bx+c=0 的根（b≠0） ，则 acb=（ ） ．A．1 B．-1 C．0 D．2二、填空题1．如果 x2-81=0， 那么 x2-81=0 的两个根分别是 x1=________，x 2=__________．2．已知方程 5x2+mx-6=0 的一个根是 x=3，则 m 的值为________．3．方程（x+1） 2+ x（x+1）=0，那么方程的根 x1=______；x 2=________．三、综合提高题1．如果 x=1 是方程 ax2+bx+3=0 的一个根，求（a-b） 2+4ab 的值．32．如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1 必是该方程的一个根．3．在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在（21x） 2-2x21x+1=0，令21x=y，则有 y2-2y+1=0，根据上述变形数学思想（换元法） ，解决小明给出的问题：在（x 2-1） 2+（x 2-1）=0 中，求出（x 2-1） 2+（x 2-1）=0 的根．4．一块矩形铁片，面积为 1m2，长比宽多 3m，求铁片的长，小明在做这道题时 ，是这样做的：设铁片的长为 x，列出的方程为 x（x-3）=1，整 理得：x 2-3x-1=0．小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：第一步：x 1] 2 3 4x2-3x-1-3 -3所以，________ x__________第二步：x 3.1 3.2 3.3 3.4x2-3x-1-0.96 -0.36所以，________x__________（1）请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；（2）通过以上探索，估计出矩形铁片的整数部分为______ _，十分位 为______．答案:一、1．D 2． A二、1．9，-9 2．-13 3．- 1，1- 2三、1．由已知，得 a+b=-3，原式=（a+b） 2=（-3） 2=9．2．a+c=b，a-b+c=0，把 x=-1 代入得ax2+bx+c=a×（-1） 2+b×（-1）+c=a-b+c=0，∴-1 必是该方程的一根．43．设 y=x2-1，则 y2+y=0，y 1=0，y 2=-1，即当 x2-1=0， x1=1，x 2=-1；当 y2=-1 时，x 2-1=-1，x 2=0，∴x 3=x4=0，∴x 1=1，x 2=-1，x 3=x4=0 是原方程的根．4． （1）-1，3，3，4，-0.01，0.36，3.3，3.4 （2）3，312.2 用配方法求解一元二次 方程第 1课时 用配方法求解简单的一元二次方程学习目标：1．会用开平方法解形如 (x 十 m)2＝n(n 0)的方程．2．理解一元二次方程的解法——配方法．重点：利用配方法解一元二次方程难点：把一元二次方程通 过配方转化为 (x 十 m)2＝n(n 0)的形式．【预习案】1 用直接开平 方法解方程2x2 - 8 =0 (x+6)2 – 9 = 02 完全平方公式是什么？3 填上适当的数，使下列等式成立：（1）x 2+12x+ = (x+6)2（2）x 2―12x+ = (x― ) 2（3）x 2+8x+ = (x+ )2（4）x 2+ x+ = （x+ ） 2（5）x 2+px+ = （x+ ） 2观察并思考填的数与一次项的系数有怎样的关系？【探究案】探究点 1：用配方法一元二次方程来解一元二次方程. 问题：下列方程能否用直接开平方法解？x2+8x―9=0 x 2一 l0x 十 25＝7；是否先把它变成(x+m) 2=n （n≥0）的形式再用直接开平方法求解？在这里，解一元二次方程的基本思路是 将方程转化成 的形式，它的一边是 另一边是 ，当 时两边 便可以求出它的根。这种通过配成 进一步求得一元二次方程根的方法称为配方法问题： 要使一块矩形场地的长比宽多 6m，并且面积为 16m2， 场地的长和宽应各是多少？解：设场地宽为 x 米，则长为（x+6）米，根据题意得:（ ）整理得( )怎样解方程 x2+6x－16 = 0 自学 P36 页例 1: 用配方法解下列方程x2 - 8x+1=0 探究 2：用配方法 解一元二次方程步骤总结用配方法解方程的一般步骤．(1)化二次项系数为 1，即方程两边同时除以二次项系数．(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项．(3)要在方程两边各加上一次项系数一半的平方． (注：一次项系数是带符 号的)(4)方程变形为(x+m) 2=n 的形式．(5)如果右边是非负实数，就用直接开平方法解这个一元二次方程；如果右边是一个负数，则方程在实数范围内无解．【训练案】1 配方：填上适当的数，使下列等式成立：（1）x 2+12x+ =(x+6)2（2）x 2―12x+ =(x― ) 2（3）x 2+8x+ =(x+ )22．将二次三项式 x2-4x+1 配方后得（ ） ．A． （x-2） 2+3 B． （x-2） 2-3 C． （x+2） 2+3 D． （x+2） 2-33．已知 x2-8x+15=0，左边化成含有 x 的完全平方形式，其中正确的是（ ） ．A．x 2-8x+（-4） 2=31 B．x 2-8x+（-4） 2=1 C．x 2+8x+42=1 D．x 2-4x+4=-115．如果 mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于 x 的完全平方式，则 m 等于（ ） ．A．1 B．-1 C．1 或 9 D．-1 或 96．下列方程中，一定有实数解的是（ ） A．x 2+1=0 B． （2x+1） 2=0 C． （2x+1） 2+3=0 D． （ 12x-a） 2=a7．方程 x2+4x-5=0 的解是________．8．代数式 21的值为 0，则 x 的值为________．9．已知（x+y） （x+y+2）-8=0，求 x+y 的值，若设 x+y=z，则原方程可变为_______，所以求出 z 的值即为 x+y 的值，所 以 x+y 的值为___10 已知三角形两边长分 别为 2 和 4，第三边是方程 x2-4x+3=0 的解，求这个三角形的周长．11．如果 x2-4x+y2+6y+ z+13=0，求（xy） z的值．12．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为 2500元，市场调研表明：当销售价为 2900 元时，平均每天能售出 8 台；而当销售价每降 50 元时，平均每天就能多售出 4 台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达 5000 元，每台冰箱的定价应为多少元？1．已知：x 2+4x+y2-6y+13=0，求 2xy的值．2．如图，在 Rt△ACB 中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点 P、Q 同时由 A，B两点出发分别沿 AC、BC 方向向点 C 匀速移动，它们的速度都是 1m/s，几秒后△PCQ的面积为 Rt△ACB 面积的一半．1第 2 课时 用配方法求解较复杂的一元二次方程学习目标：1、知识与技能：能够熟练地、灵活地应用配方法解一 元二次方程。2、能力培养：进一步体会转化的数学思想方法来解决实际问题。3、情感与态度：培养观察能力，运用 所学旧知识解决新问题。重点：掌握配方法解一元二次方程。难点：把一元二次方程转换为（x+m） 2=n(n≥0)【预习案】熟练掌握解一元二次方程的两 种方法。1、解下列 方程： （1） （2-x） 2=3 （2） （x- ） 2=64 （3）2（x+1） 2= 92、用配方法解方程：（1）x 2-6x-40=0 （2）x 2-6x+7=0 （3）x 2+4x+3=0 （4）x 2-8x+9=0 （5）x 2- 37x=2【探究案】探究点 1：如何用配方法解较复杂的一元二次方程例 1.用配方法解下列方程：⑴ x(2x-5)=4x-10 ⑵ x2+5x+7=3x+11探究点 2：用配方法解生活中一元二次方程例2. 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10 米，那么绿地的长应是多少米？解:设绿地的宽是 x 米，则长是（ x＋10）米，根据题意得:x（ x+10）＝900．整理得 2109，2配方得 2(5)9x．解得 12537,537xx．由于绿地的边长不可能是负数，因此绿地的宽只能是 37米，于是绿地的长是 537米．当堂训练：解下列方程：1、2x 2+5x-3=0 2、3x 2-4x-7=0 3、5x 2-6x+1=0 4、x 2+6x=1【训练案】1、 （1）x 2-4x+ =（x- ） 2；（2）x 2- 34x+ =（x- ） 22、方程 x2-12x=9964 经配方后得（x- ） 2= 3、方程（x+m） 2=n 的根 是 4、当 x=-1 满足方程 x2-2（a+1） 2x-9=0 时，a= 5、已知：方程（m+1）x 2m+1+（m-3）x-1=0，试 问：（1）m 取何值时，方程是关于 x 的一元二次方程，求出此时方程的解；（2）m 取何值时，方程是关于 x 的一元一次方程?6、方程 y2-4=2y 配方，得（ ）A.(y+2)2=6 B. (y-1)2=5C. (y-1)2=3 D. (y+1)2=-3.7、已知 m2-13m+12=0,则 m 的取值为（ ）A.1 B.12C.-1 和-12 D.1 和 121、关于 x 的一元二次方程（a+1）x 2+3x+a2-3a-4=0 的一个根为 0，则 a 的值为（ ）A、-1 B、4 C、-1 或 4 D、12、不论 x、y 为什么实数，代数式 x2+y2+2x-4y+7 的值（ ）A、总不小于 2 B 、总不小于 7 C、 可为任何实数 D、可能为负数