2019版高考数学一轮复习 第11章 算法、复数、推理与证明（课件+学案+练习）（打包20套）理.zip

课后作业夯关11． 1 算法与程序框图111．1 算法与程序框图[知识梳理]1．算法的含义与程序框图(1)算法：算法是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．(2)程序框图：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．在程序框图中，一个或 n 个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序．(3)算法框图的图形符号及其功能2．三种基本逻辑结构及相应语句23[诊断自测]1．概念思辨(1)一个程序框图一定包含顺序结构，也包含条件结构(选择结构)和循环结构．( )(2)当型循环是给定条件不成立时，执行循环体，反复进行，直到条件成立为止．( )(3)在算法语句中， X＝ X＋1 是错误的．( )(4)输入语句可以同时给多个变量赋值．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．教材衍化(1)(必修 A3P13例 6)执行如图所示的程序框图，若输出 k 的值为 6，则判断框内可填入的条件是( )4A． s ？ B． s ？ C． s ？ D． s ？12 35 710 45答案 C解析 第一次循环， s＝1× ＝ ， k＝8；第二次循环， s＝1× × ＝ ， k＝7；第910 910 910 89 45三次循环， s＝1× × × ＝ ， k＝6，此时应退出循环输出 k＝6.故判断框内可填“ s910 89 78 710？” ．故选 C.710(2)(必修 A3P15例 7)执行如图所示的程序框图，输出的 z 的值为________．答案 6解析 第一次循环， S＝1， a＝1；第二次循环， S＝2， a＝2；第三次循环，5S＝8， a＝3；第四次循环， S＝64， a＝4，此时退出循环，输出 z＝ log226＝6.3．小题热身(1)(2017·全国卷Ⅱ)执行下面的程序框图，如果输入的 a＝－1，则输出的 S＝( )A．2 B．3 C．4 D．5答案 B解析 当 K＝1 时， S＝0＋(－1)×1＝－1， a＝1，执行 K＝ K＋1 后， K＝2；当 K＝2 时， S＝－1＋1×2＝1， a＝－1，执行 K＝ K＋1 后， K＝3；当 K＝3 时， S＝1＋(－1)×3＝－2， a＝1，执行 K＝ K＋1 后， K＝4；当 K＝4 时， S＝－2＋1×4＝2， a＝－1，执行 K＝ K＋1 后， K＝5；当 K＝5 时， S＝2＋(－1)×5＝－3， a＝1，执行 K＝ K＋1 后， K＝6；当 K＝6 时， S＝－3＋1×6＝3，执行 K＝ K＋1 后， K＝76，输出 S＝3.结束循环．故选 B.(2)(2016·全国卷Ⅰ)执行下面的程序框图，如果输入的 x＝0， y＝1， n＝1，则输出x， y 的值满足( )6A． y＝2 x B． y＝3 x C． y＝4 x D． y＝5 x答案 C解析 x＝0， y＝1， n＝1； x＝0， y＝1， n＝2；x＝ ， y＝2， n＝3； x＝ ， y＝6，此时 x2＋ y236，输出 x＝ ， y＝6，满足 y＝4 x.故12 32 32选 C.题型 1 算法的基本结构角度 1 顺序结构与条件结构(2013·全国卷Ⅰ)执行下面的程序框图，如果输入的 t∈[－1,3]，则输出的典 例s 属于( )7A．[－3,4] B．[－5,2] C．[－4,3] D．[－2,5]分析程序框图的结构，解决问题．本题是求分段函数的值域．答案 A解析 由框图知 s 是关于 t 的分段函数：s＝Error!故当 t∈[－1,1)时， s∈[－3,3)；当 t∈[1,3]时， s＝4 t－ t2＝4－( t－2) 2∈[3,4]，则当 t∈[－1,3]时， s∈[－3,4]，故选 A.角度 2 循环结构(2017·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输典 例入的正整数 N 的最小值为( )8A．5 B．4 C．3 D．2本题是当型循环结构，代入选项中最小的 N＝ 2，循环运算．答案 D解析 假设 N＝2，程序执行过程如下：t＝1，M＝100， S＝0，1≤2， S＝0＋100＝100，M＝－ ＝－10， t＝2，100102≤2， S＝100－10＝90，M＝－ ＝1， t＝3，－ 10103＞2，输出 S＝90＜91.符合题意．∴ N＝2 成立．显然 2 是最小值．故选 D.方法技巧1．应用顺序结构与条件结构的注意点(1)顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．(2)条件结构：利用条件结构解决算法问题时，重点是判断框，是否满足判断框内的条件，对应的下一图框中的内容是不一样的，故要重点分析判断框内的条件是否满足．2．循环结构的思维过程(1)分析进入或退出循环体的条件，确定循环次数．(2)结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．(3)辨析循环结构的功能．冲关针对训练(2014·四川高考)执行如图的程序框图，如果输入的 x， y∈R，那么输出的 S 的最大值为( )9A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析 由程序框图可知，若输入的 x， y 满足约束条件Error!则输出目标函数 S＝2 x＋ y 的值，否则，输出 S＝1.如图，作出满足条件的可行域．当x＝1， y＝0 时，目标函数 S＝2 x＋ y 取得最大值 2,21，故输出的 S 的最大值为 2.故选 C.题型 2 程序框图的识别与完善角度 1 由程序框图求输出结果(2015·全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的 t＝0.01，则输出典 例的 n＝( )10A．5 B．6 C．7 D．8循环结构的框图，循环计算即可．答案 C解析 第一次循环： S＝1－ ＝ ， m＝ ， n＝1， St；12 12 14第二次循环： S＝ － ＝ ， m＝ ， n＝2， St；12 14 14 18第三次循环： S＝ － ＝ ， m＝ ， n＝3， St；14 18 18 116第四次循环： S＝ － ＝ ， m＝ ， n＝4， St；18 116 116 132第五次循环： S＝ － ＝ ， m＝ ， n＝5， St；116 132 132 164第六次循环： S＝ － ＝ ， m＝ ， n＝6， St；132 164 164 1128第七次循环： S＝ － ＝ ， m＝ ， n＝7，此时不满足 St，结束循环，输出164 1128 1128 1256n＝7，故选 C.角度 2 完善程序框图(2015·重庆高考)执行如图所示的程序框图，若输出 k 的值为 8，则判断框典 例内可填入的条件是( )11A． s≤ ？ B． s≤ ？ C． s≤ ？ D． s≤ ？34 56 1112 2524答案 C解析 k＝2， s＝ ； k＝4， s＝ ＋ ＝ ； k＝6， s＝ ＋ ＋ ＝ ； k＝8， s＝ ＋ ＋ ＋ ＝ .12 12 14 34 12 14 16 1112 12 14 16 18 2524此时循环结束，所以判断框中可填入的条件是“ s≤ ？” ，故选 C.1112方法技巧1．求程序框图运行结果的思路(1)要明确程序框图中的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．2．确定控制循环变量的思路结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．3．易错提醒：解决程序框图问题时应注意的问题(1)注意区分当型循环和直到型循环．(2)循环结构中要正确控制循环次数．(3)要注意各个框的顺序．冲关针对训练12(2016·四川高考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 n， x 的值分别为3,2，则输出 v 的值为( )A．9B．18C．20D．35答案 B解析 执行程序框图，n＝3， x＝2， v＝1， i＝2≥0； v＝1×2＋2＝4， i＝1≥0； v＝4×2＋1＝9， i＝0≥0； v＝9×2＋0＝18， i＝－1＝20 D． i20答案 D解析 由于是求 20 个数的平均数，所以应是“直到 i20”时，退出循环，故选 D.方法技巧算法语句应用的三个关注点1．赋值语句：赋值号仅仅表示把右边的表达式的值赋给了左边的变量，且变量的值始终等于最近一次赋给它的值，先前的值将被替换．2．条件语句：计算机在执行“IF—THEN—ELSE”语句时，首先对 IF 后的条件进行判断，如果符合条件，则执行 THEN 后面的“语句” ；若不符合条件，则执行 ELSE 后面的“语句” ．3．循环语句：分清 WHILE—WEND 和 DO—LOOP UNTIL 的格式，不能混用．冲关针对训练(2018·宜春模拟)如下是根据所输入的 x 值计算 y 值的一个算法程序，若 x 依次取数列 (n∈N *)的项，则所得 y 值的最小值为( ){n2＋ 4n }A．4 B．9 C．16 D．20答案 C解析 由条件语句知， y＝Error!14又 ＝ n＋ ≥4(当且仅当 n＝2 时等号成立)，所以当 x＝4 时， y 有最小值 42＝16.n2＋ 4n 4n故选 C.1．(2017·全国卷Ⅰ)如图所示的程序框图是为了求出满足 3n－2 n1000 的最小偶数n，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入( )A． A1000？和 n＝ n＋1 B． A1000？和 n＝ n＋2C． A≤1000？和 n＝ n＋1 D． A≤1000？和 n＝ n＋2答案 D解析 因为题目要求的是“满足 3n－2 n＞1000 的最小偶数 n”，所以 n 的叠加值为 2，所以 内填入“ n＝ n＋2” ．由程序框图知，当 内的条件不满足时，输出n，所以 内填入“ A≤1000？” ．故选 D.2．(2017·天津高考)阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 24，则输出 N 的值为( )15A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析 第一次循环执行条件语句，此时 N＝24,24 能被 3 整除，则 N＝24÷3＝8.∵8≤3 不成立，∴进入第二次循环执行条件语句，此时 N＝8,8 不能被 3 整除，则N＝8－1＝7.∵7≤3 不成立，∴进入第三次循环执行条件语句，此时 N＝7,7 不能被 3 整除，则N＝7－1＝6.∵6≤3 不成立，∴进入第四次循环执行条件语句，此时 N＝6,6 能被 3 整除，则N＝6÷3＝2.∵2≤3 成立，∴此时输出 N＝2.故选 C.3．(2017·山东高考)执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的 x 的值为 7，第二次输入的 x 的值为 9，则第一次、第二次输出的 a 的值分别为( )16A．0,0 B．1,1 C．0,1 D．1,0答案 D解析 当 x＝7 时，∵ b＝2，∴ b2＝4＜7＝ x.又 7 不能被 2 整除，∴ b＝2＋1＝3.此时 b2＝9＞7＝ x，∴退出循环， a＝1，∴输出 a＝1.当 x＝9 时，∵ b＝2，∴ b2＝4＜9＝ x.又 9 不能被 2 整除，∴ b＝2＋1＝3.此时 b2＝9＝ x，又 9 能被 3 整除，∴退出循环， a＝0.∴输出 a＝0.故选 D.4．(2017·河南百校联盟模拟)《九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的 m 的值为 35，则输入的 a 的值为( )17A．4B．5C．7D．11答案 A解析 起始阶段有 m＝2 a－3， i＝1，第一次循环， m＝2(2 a－3)－3＝4 a－9， i＝2；第二次循环， m＝2(4 a－9)－3＝8 a－21， i＝3；第三次循环， m＝2(8 a－21)－3＝16 a－45， i＝4；接着计算 m＝2(16 a－45)－3＝32 a－93，跳出循环，输出 m＝32 a－93，令 32a－93＝35，得 a＝4.故选 A.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2015·湖南高考)执行如图所示的程序框图，如果输入 n＝3，则输出的 S＝( )18A. B. C. D.67 37 89 49答案 B解析 当输入 n＝3 时，输出 S＝ ＋ ＋ ＝ ＝ .11×3 13×5 15×7 12(1－ 13＋ 13－ 15＋ 15－ 17) 37故选 B.2．(2015·全国卷Ⅱ)如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术” ．执行该程序框图，若输入的 a， b 分别为 14,18，则输出的 a＝( )A．0 B．2 C．4 D．14答案 B解析 开始： a＝14， b＝18，第一次循环： a＝14， b＝4；第二次循环：19a＝10， b＝4；第三次循环： a＝6， b＝4；第四次循环： a＝2， b＝4；第五次循环：a＝2， b＝2.此时， a＝ b，退出循环，输出 a＝2.故选 B.3．(2018·江西赣州十四县联考)如图所示的程序框图，若输入 x， k， b， p 的值分别为 1，－2,9,3，则输出的 x 值为( )A．－29B．－5C．7D．19答案 D解析 程序执行过程如下： n＝1， x＝－2×1＋9＝7；n＝2， x＝－2×7＋9＝－5；n＝3， x＝－2×(－5)＋9＝19；n＝43，终止循环，输出 x＝19.故选 D.4．执行下面的程序框图，如果输入的 N＝10，那么输出的 S＝( )20A．1＋ ＋ ＋…＋12 13 110B．1＋ ＋ ＋…＋12！ 13！ 110！C．1＋ ＋ ＋…＋12 13 111D．1＋ ＋ ＋…＋12！ 13！ 111！答案 B解析 T＝1， S＝1， k＝2；T＝ ， S＝1＋ ， k＝3；12 12T＝ ， S＝1＋ ＋ ， k＝4；12×3 12 12×3T＝ ， S＝1＋ ＋ ＋ ， k＝5；……；14！ 12！ 13！ 14！T＝ ， S＝1＋ ＋ ＋…＋ ， k＝1110，输出 S，故选 B.110！ 12！ 13！ 110！5．(2017·广东潮州二模)执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )21A．7 B．9 C．10 D．11答案 B解析 i＝1， s＝1× ≤0.1，否；13i＝3， s＝ × ＝ ≤0.1，否；13 35 15i＝5， s＝ × ＝ ≤0.1，否；15 57 17i＝7， s＝ × ＝ ≤0.1，否；17 79 19i＝9， s＝ × ＝ ≤0.1，是，19 911 111输出 i＝9，故选 B.6．(2016·全国卷Ⅲ)执行下面的程序框图，如果输入的 a＝4， b＝6，那么输出的n＝( )22A．3 B．4 C．5 D．6答案 B解析 第一次循环： a＝2， b＝4， a＝6， s＝6， n＝1；第二次循环： a＝－2， b＝6， a＝4， s＝10， n＝2；第三次循环： a＝2， b＝4， a＝6， s＝16， n＝3；第四次循环： a＝－2， b＝6， a＝4， s＝20， n＝4.结束循环，输出 n 的值为 4，故选 B.7．执行如图所示的程序框图，则输出的 S＝( )A. B. C．－ D．032 3 32答案 A解析 由程序框图得S＝sin ＋sin ＋sin ＋sin ＋sin ＋sin ＋sin ＋…＋sin .由正弦π 3 2π3 3π3 4π3 5π3 6π3 7π3 2017π3函数的周期性，得 S＝sin ＝ ，故选 A.π 3 32238．我们可以用随机数法估计 π 的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤(函数RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数)，若输出的结果为521，则由此可估计 π 的近似值为( )A．3.119 B．3.126 C．3.132 D．3.151答案 B解析 在空间直角坐标系 Oxyz 中，不等式组Error!表示的区域是棱长为 1 的正方体区域，相应区域的体积为 13＝1；不等式组Error!表示的区域是棱长为 1 的正方体区域内的 球形区域，相应区域的体积为 × ×13＝ ，因此18 18 4π3 π 6≈ ，即 π≈3.126，故选 B.π 6 52110009．已知函数 f(x)＝ ax3＋ x2在 x＝－1 处取得极大值，记 g(x)＝ .执行如图所示12 1f′ x的程序框图，若输出的结果 S ，则判断框中可以填入的关于 n 的判断条件是( )2016201724A． n≤2016? B． n≤2017?C． n2016? D． n2017?答案 B解析 f′( x)＝3 ax2＋ x，则 f′(－1)＝3 a－1＝0，解得 a＝ ， g(x)13＝ ＝ ＝ ＝ － ， g(n)＝ － ，则1f′ x 1x2＋ x 1xx＋ 1 1x 1x＋ 1 1n 1n＋ 1S＝1－ ＋ － ＋…＋ － ＝1－ ＝ ，因为输出的结果 S ，分析可知判断12 12 13 1n 1n＋ 1 1n＋ 1 nn＋ 1 20162017框中可以填入的判断条件是“ n≤2017？” ，故选 B.10．执行如图所示的程序框图，输出的 S 的值为( )25A．log 210－1 B．2log 23－1C. D．692答案 B解析 S＝3， i＝1， i≤7 成立；S＝3＋log 2 ， i＝2， i≤7 成立；21S＝3＋log 2 ＋log 2 ＝3＋log 2 ＝3＋log 2 ，21 32 (21× 32) 3i＝3， i≤7 成立；S＝3＋log 2 ＋log 2 ＝3＋log 2 ＝3＋log 2 ， i＝4， i≤7 成立；343 (3× 43) 4……； S＝3＋log 2 ， i＝8， i≤7 不成立，退出循环， S＝log 2(3＋log 2 )8 8＝log 2 ＝ log2 ＝2log 23－1，故选 B.(3＋32) 911．(2018·河南模拟)下边程序框图的功能是求出 的值，则框图中16＋ 16＋ 16＋ 16＋ 16①、②两处应分别填写的是( )26A． i≥1， a B． i≥1， a－6C． i1， a D． i1， a－6答案 D解析 程序框图是计算 的值，则利用累积加，则第一个处理框应为16＋ 16＋ 16＋ 16＋ 16i1，然后计算 i 是自减 1 个， i＝ i－1，第二空输出结果 a－6.故选 D.12．(2017·湖南三模)给出 30 个数：1,2,4,7,11，…，要计算这 30 个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入( )27A． i≤30？； p＝ p＋ i－1 B． i≤31？； p＝ p＋ i＋1C． i≤31？； p＝ p＋ i D． i≤30？； p＝ p＋ i答案 D解析 由于要计算 30 个数的和，故循环要执行 30 次，由于循环变量的初值为 1，步长为 1，故终值应为 30，即①中应填写“ i≤30？” ；又由第 1 个数是 1；第 2 个数比第 1 个数大 1 即 1＋1＝2；第 3 个数比第 2 个数大 2 即 2＋2＝4；第 4 个数比第 3 个数大 3 即 4＋3＝7；故②中应填写 p＝ p＋ i.故选 D.二、填空题13．定义 n！＝1×2×3×…× n，如图是求 10！的程序框图，其中 k 为整数，则k＝________.28答案 11解析 因为 10！＝1×2×…×10，所以判断框内的条件为“ i11？” ，故 k＝11.14．秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，如图所示的程序框图表示用秦九韶算法求 5 次多项式 f(x)＝ a5x5＋ a4x4＋ a3x3＋ a2x2＋ a1x＋ a0当x＝ x0(x0是任意实数)时的值的过程，若输入a0＝2， a1＝－5， a2＝6， a3＝－4， a4＝7， a5＝2， x0＝3，则输出的 v 的值为________．答案 98629解析 执行程序框图，输入a0＝2， a1＝－5， a2＝6， a3＝－4， a4＝7， a5＝2， x0＝3，经过第 1 次循环得v＝13， n＝2；经过第 2 次循环得 v＝35， n＝3；经过第 3 次循环得 v＝111， n＝4；经过第4 次循环得 v＝328， n＝5；经过第 5 次循环得 v＝986， n＝6，退出循环．故输出的 v 的值为 986.15．(2018·黄冈模拟)随机抽取某中学甲、乙两个班各 10 名同学，测量他们的身高获得身高数据的茎叶图如图，在样本的 20 人中，记身高在[150,160)，[160,170)，[170,180)，[180,190]的人数依次为 A1， A2， A3， A4.如图是统计样本中身高在一定范围内的人数的算法框图．若图中输出的 S＝18，则判断框应填________．答案 i5？(或 i≤4？)解析 由于 i 从 2 开始，也就是统计大于或等于 160 的所有人数，于是就要计算A2＋ A3＋ A4，因此，判断框应填 i5？或 i≤4？.16．(2018·北京昌平质量抽测)执行如图所示的程序框图，当①是 i6 时，输出的 S值为________；当①是 i2018 时，输出的 S 值为________．30答案 5 2017解析 当①是 i6 时，当 i＝1 时， a1＝cos ＋1＝1， S＝1；π 2当 i＝2 时， a2＝cos ＋1＝0， S＝1；2π2当 i＝3 时， a3＝cos ＋1＝1， S＝1＋1＝2；3π2当 i＝4 时， a4＝cos ＋1＝2， S＝2＋2＝4；4π2当 i＝5 时， a5＝cos ＋1＝1， S＝4＋1＝5；5π2当 i＝6 时， a6＝cos ＋1＝0， S＝5＋0＝5.6π2此时不满足条件，输出 S＝5.当①是 i2018 时，因为 ai＝cos ＋1 的周期为 4，所以 a1＋ a2＋ a3＋ a4＝4，所以iπ2S＝ a1＋ a2＋…＋ a2018＝504( a1＋ a2＋ a3＋ a4)＋ a2017＋ a2018＝504×4＋ a1＋ a2＝2017. 第 11章 算法、复数、推理与证明11． 1 算法与程序框图基础知识过关经典题型冲关111．1 算法与程序框图[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2015·湖南高考)执行如图所示的程序框图，如果输入 n＝3，则输出的 S＝( )A. B. C. D.67 37 89 49答案 B解析 当输入 n＝3 时，输出 S＝ ＋ ＋ ＝ ＝ .11×3 13×5 15×7 12(1－ 13＋ 13－ 15＋ 15－ 17) 37故选 B.2．(2015·全国卷Ⅱ)如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术” ．执行该程序框图，若输入的 a， b分别为 14,18，则输出的 a＝( )2A．0 B．2 C．4 D．14答案 B解析 开始： a＝14， b＝18，第一次循环： a＝14， b＝4；第二次循环： a＝10， b＝4；第三次循环： a＝6， b＝4；第四次循环： a＝2， b＝4；第五次循环： a＝2， b＝2.此时，a＝ b，退出循环，输出 a＝2.故选 B.3．(2018·江西赣州十四县联考)如图所示的程序框图，若输入 x， k， b， p的值分别为1，－2,9,3，则输出的 x值为( )A．－29B．－5C．7D．19答案 D3解析 程序执行过程如下： n＝1， x＝－2×1＋9＝7；n＝2， x＝－2×7＋9＝－5；n＝3， x＝－2×(－5)＋9＝19；n＝43，终止循环，输出 x＝19.故选 D.4．执行下面的程序框图，如果输入的 N＝10，那么输出的 S＝( )A．1＋ ＋ ＋…＋12 13 110B．1＋ ＋ ＋…＋12！ 13！ 110！C．1＋ ＋ ＋…＋12 13 111D．1＋ ＋ ＋…＋12！ 13！ 111！答案 B解析 T＝1， S＝1， k＝2；T＝ ， S＝1＋ ， k＝3；12 12T＝ ， S＝1＋ ＋ ， k＝4；12×3 12 12×3T＝ ， S＝1＋ ＋ ＋ ， k＝5；……；14！ 12！ 13！ 14！T＝ ， S＝1＋ ＋ ＋…＋ ， k＝1110，输出 S，故选 B.110！ 12！ 13！ 110！45．(2017·广东潮州二模)执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A．7 B．9 C．10 D．11答案 B解析 i＝1， s＝1× ≤0.1，否；13i＝3， s＝ × ＝ ≤0.1，否；13 35 15i＝5， s＝ × ＝ ≤0.1，否；15 57 17i＝7， s＝ × ＝ ≤0.1，否；17 79 19i＝9， s＝ × ＝ ≤0.1，是，19 911 111输出 i＝9，故选 B.6．(2016·全国卷Ⅲ)执行下面的程序框图，如果输入的 a＝4， b＝6，那么输出的 n＝( )5A．3 B．4 C．5 D．6答案 B解析 第一次循环： a＝2， b＝4， a＝6， s＝6， n＝1；第二次循环： a＝－2， b＝6， a＝4， s＝10， n＝2；第三次循环： a＝2， b＝4， a＝6， s＝16， n＝3；第四次循环： a＝－2， b＝6， a＝4， s＝20， n＝4.结束循环，输出 n的值为 4，故选 B.7．执行如图所示的程序框图，则输出的 S＝( )A. B. C．－ D．032 3 32答案 A解析 由程序框图得S＝sin ＋sin ＋sin ＋sin ＋sin ＋sin ＋sin ＋…＋sin .由正弦函π3 2π3 3π3 4π3 5π3 6π3 7π3 2017π3数的周期性，得 S＝sin ＝ ，故选 A.π3 3268．我们可以用随机数法估计 π 的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤(函数 RAND是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数)，若输出的结果为 521，则由此可估计 π 的近似值为( )A．3.119 B．3.126 C．3.132 D．3.151答案 B解析 在空间直角坐标系 Oxyz中，不等式组Error!表示的区域是棱长为 1的正方体区域，相应区域的体积为 13＝1；不等式组Error!表示的区域是棱长为 1的正方体区域内的 球形区域，相应区域的体积为 × ×13＝ ，因此18 18 4π3 π6≈ ，即 π≈3.126，故选 B.π6 52110009．已知函数 f(x)＝ ax3＋ x2在 x＝－1 处取得极大值，记 g(x)＝ .执行如图所12 1f′  x示的程序框图，若输出的结果 S ，则判断框中可以填入的关于 n的判断条件是( )201620177A． n≤2016? B． n≤2017?C． n2016? D． n2017?答案 B解析 f′( x)＝3 ax2＋ x，则 f′(－1)＝3 a－1＝0，解得 a＝ ， g(x)＝ ＝13 1f′  x＝ ＝ － ， g(n)＝ － ，则1x2＋ x 1x x＋ 1 1x 1x＋ 1 1n 1n＋ 1S＝1－ ＋ － ＋…＋ － ＝1－ ＝ ，因为输出的结果 S ，分析可知判断框12 12 13 1n 1n＋ 1 1n＋ 1 nn＋ 1 20162017中可以填入的判断条件是“ n≤2017？” ，故选 B.10．执行如图所示的程序框图，输出的 S的值为( )8A．log 210－1 B．2log 23－1C. D．692答案 B解析 S＝3， i＝1， i≤7 成立；S＝3＋log 2 ， i＝2， i≤7 成立；21S＝3＋log 2 ＋log 2 ＝3＋log 2 ＝3＋log 2 ，21 32 (21× 32) 3i＝3， i≤7 成立；S＝3＋log 2 ＋log 2 ＝3＋log 2 ＝3＋log 2 ， i＝4， i≤7 成立；343 (3× 43) 4……； S＝3＋log 2 ， i＝8， i≤7 不成立，退出循环， S＝log 2(3＋log 2 )8 8＝log 2 ＝ log2 ＝2log 23－1，故选 B.(3＋32) 911．(2018·河南模拟)下边程序框图的功能是求出 的值，则框图中16＋ 16＋ 16＋ 16＋ 16①、②两处应分别填写的是( )9A． i≥1， a B． i≥1， a－6C． i1， a D． i1， a－6答案 D解析 程序框图是计算 的值，则利用累积加，则第一个处理框应为16＋ 16＋ 16＋ 16＋ 16i1，然后计算 i是自减 1个， i＝ i－1，第二空输出结果 a－6.故选 D.12．(2017·湖南三模)给出 30个数：1,2,4,7,11，…，要计算这 30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入( )10A． i≤30？； p＝ p＋ i－1 B． i≤31？； p＝ p＋ i＋1C． i≤31？； p＝ p＋ i D． i≤30？； p＝ p＋ i答案 D解析 由于要计算 30个数的和，故循环要执行 30次，由于循环变量的初值为 1，步长为 1，故终值应为 30，即①中应填写“ i≤30？” ；又由第 1个数是 1；第 2个数比第 1个数大 1即 1＋1＝2；第 3个数比第 2个数大 2即 2＋2＝4；第 4个数比第 3个数大 3即 4＋3＝7；故②中应填写 p＝ p＋ i.故选 D.二、填空题13．定义 n！＝1×2×3×…× n，如图是求 10！的程序框图，其中 k为整数，则k＝________.11答案 11解析 因为 10！＝1×2×…×10，所以判断框内的条件为“ i11？” ，故 k＝11.14．秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，如图所示的程序框图表示用秦九韶算法求 5次多项式 f(x)＝ a5x5＋ a4x4＋ a3x3＋ a2x2＋ a1x＋ a0当x＝ x0(x0是任意实数)时的值的过程，若输入a0＝2， a1＝－5， a2＝6， a3＝－4， a4＝7， a5＝2， x0＝3，则输出的 v的值为________．答案 98612解析 执行程序框图，输入 a0＝2， a1＝－5， a2＝6， a3＝－4， a4＝7， a5＝2， x0＝3，经过第 1次循环得 v＝13， n＝2；经过第 2次循环得 v＝35， n＝3；经过第 3次循环得v＝111， n＝4；经过第 4次循环得 v＝328， n＝5；经过第 5次循环得 v＝986， n＝6，退出循环．故输出的 v的值为 986.15．(2018·黄冈模拟)随机抽取某中学甲、乙两个班各 10名同学，测量他们的身高获得身高数据的茎叶图如图，在样本的 20人中，记身高在[150,160)，[160,170)，[170,180)，[180,190]的人数依次为 A1， A2， A3， A4.如图是统计样本中身高在一定范围内的人数的算法框图．若图中输出的 S＝18，则判断框应填________．答案 i5？(或 i≤4？)解析 由于 i从 2开始，也就是统计大于或等于 160的所有人数，于是就要计算A2＋ A3＋ A4，因此，判断框应填 i5？或 i≤4？.16．(2018·北京昌平质量抽测)执行如图所示的程序框图，当①是 i6时，输出的 S值为________；当①是 i2018时，输出的 S值为________．13答案 5 2017解析 当①是 i6时，当 i＝1 时， a1＝cos ＋1＝1， S＝1；π2当 i＝2 时， a2＝cos ＋1＝0， S＝1；2π2当 i＝3 时， a3＝cos ＋1＝1， S＝1＋1＝2；3π2当 i＝4 时， a4＝cos ＋1＝2， S＝2＋2＝4；4π2当 i＝5 时， a5＝cos ＋1＝1， S＝4＋1＝5；5π2当 i＝6 时， a6＝cos ＋1＝0， S＝5＋0＝5.6π2此时不满足条件，输出 S＝5.当①是 i2018时，因为 ai＝cos ＋1 的周期为 4，所以 a1＋ a2＋ a3＋ a4＝4，所以iπ2S＝ a1＋ a2＋…＋ a2018＝504( a1＋ a2＋ a3＋ a4)＋ a2017＋ a2018＝504×4＋ a1＋ a2＝2017.课后作业夯关11.2 数系的扩充与复数的引入111.2 数系的扩充与复数的引入[知识梳理]1．复数的有关概念22．复数的几何意义复数集 C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集 C 与复平面内所有以原点 O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即3(1)复数 z＝ a＋ bi 复平面内的点 Z(a， b)(a， b∈R)．(2)复数 z＝ a＋ bi(a， b∈R) 平面向量 .OZ→ 3．复数代数形式的四则运算(1)运算法则设 z1＝ a＋ bi， z2＝ c＋ di(a， b， c， d∈R)，则(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1， z2， z3∈C，有z1＋ z2＝ z2＋ z1，( z1＋ z2)＋ z3＝ z1＋( z2＋ z3)．(3)复数乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意 z1， z2， z3∈C，有z1·z2＝ z2·z1，( z1·z2)·z3＝ z1·(z2·z3)， z1(z2＋ z3)＝ z1z2＋ z1z3.(4)复数加、减法的几何意义①复数加法的几何意义：若复数 z1， z2对应的向量 ， 不共线，则复数 z1＋ z2是OZ1→ OZ2→ 4以 ， 为两邻边的平行四边形的对角线 所对应的复数．OZ1→ OZ2→ OZ→ ②复数减法的几何意义：复数 z1－ z2是 － ＝ 所对应的复数．OZ1→ OZ2→ Z2Z1→ 4．模的运算性质：①| z|2＝| |2＝ z· ；②| z1·z2|＝| z1||z2|；③ ＝ .z z |z1z2| |z1||z2|[诊断自测]1．概念思辨(1)关于 x 的方程 ax2＋ bx＋ c＝0( a， b， c∈R 且 a≠0)一定有两个根．( )(2)若复数 a＋ bi 中 a＝0，则此复数必是纯虚数．( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√2．教材衍化(1)(选修 A2－2P 116A 组 T1(3))在复平面内，复数 z＝ (i 为虚数单位)对应的点位于12＋ i( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案 D解析 z＝ ＝ ＝ － i，其对应的点为 ，在第四象限．故选 D.12＋ i 2－ i2＋ i2－ i 25 15 (25， － 15)(2)(选修 A2－2P 112A 组 T3)在复平面内，复数 6＋5i，－2＋3i 对应的点分别为 A， B.若 C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是( )A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i答案 C解析 ∵ A(6,5)， B(－2,3)，∴线段 AB 的中点 C(2,4)，则点 C 对应的复数为z＝2＋4i.故选 C.3．小题热身(1)(2017·全国卷Ⅱ) ＝( )3＋ i1＋ iA．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i答案 D解析 ＝ ＝ ＝2－i.故选 D.3＋ i1＋ i 3＋ i1－ i1＋ i1－ i 4－ 2i2(2)(2015·全国卷Ⅰ)设复数 z 满足 ＝i，则| z|＝( )1＋ z1－ z5A．1 B. C. D．22 3答案 A解析 由已知 ＝i，可得 z＝ ＝ ＝ ＝i，∴| z|＝|i|＝1，故1＋ z1－ z i－ 1i＋ 1 i－ 12i＋ 1i－ 1 － 2i－ 2选 A.题型 1 复数的有关概念已知 x， y 为共轭复数，且( x＋ y)2－3 xyi＝4－6i，求 x， y.典 例复数问题实数化．解 设 x＝ a＋ bi(a， b∈R)，则 y＝ a－ bi， x＋ y＝2 a， xy＝ a2＋ b2，代入原式，得(2 a)2－3( a2＋ b2)i＝4－6i，根据复数相等得Error!解得Error!或Error!或Error! 或Error!故所求复数为Error!或Error! 或Error! 或Error!方法技巧有关复数的基本概念问题的关键因为复数的分类、相等、模、共轭复数等问题都与实部与虚部有关，所以处理复数有关基本概念问题的关键是找准复数的实部和虚部，即转化为 a＋ bi(a， b∈R)的形式，再从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．见典例．冲关针对训练(2018·山西四校联考)i 是虚数单位，若 ＝ a＋ bi(a， b∈R)，则 lg (a＋ b)的值是2＋ i1＋ i( )A．－2 B．－1 C．0 D.12答案 C解析 因为 ＝ ＝ － ，所以 a＝ ， b＝－ ， a＋ b＝1，所以 lg (a＋ b)2＋ i1＋ i 2＋ i1－ i2 32 i2 32 12＝0，故选 C.题型 2 复数的几何意义6(2017·全国卷Ⅲ)设复数 z 满足(1＋i) z＝2i，则| z|＝( )典 例A. B. C. D．212 22 2先求 z 的代数形式，再求| z|.答案 C解析 由(1＋i) z＝2i 得 z＝ ＝1＋i，2i1＋ i∴| z|＝ .故选 C.2方法技巧复数几何意义及应用1．复数 z、复平面上的点 Z 及向量 相互联系，即 z＝ a＋ bi(a， b∈R)⇔ Z(a， b)⇔OZ→ .OZ→ 2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．提醒：| z|的几何意义：令 z＝ x＋ yi(x， y∈R)，则| z|＝ ，由此可知表示复数x2＋ y2z 的点到原点的距离就是| z|的几何意义；| z1－ z2|的几何意义是复平面内表示复数 z1， z2的两点之间的距离．冲关针对训练若复数 z 满足①| z|≥1；②| z＋i|≤|－1－2i|，则 z 在复平面内所对应的图形的面积为________．答案 4π解析 设 z＝ x＋ yi(x， y∈R)，由| z|≥1 及| z＋i|≤|－1－2i|易得 x2＋ y2≥1 及x2＋( y＋1) 2≤5 知 z 在复平面内对应图形的面积为 5π－π＝4π.题型 3 复数的代数运算(2016·全国卷Ⅲ)若 z＝1＋2i，则 ＝( )典 例4izz－ 1A．1 B．－1 C．i D．－i先作乘法 z· 运算，然后作除法运算．z答案 C解析 ∵ z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，∴ ＝ ＝i，故选 C.z4izz－ 1 4i4方法技巧1．加减乘除用法则7(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把 i 的幂写成最简形式．(2)记住以下结论，可提高运算速度：①(1±i)2＝±2i；② ＝i；③ ＝－i；④ ＝ b－ ai；⑤i 4n＝1，i 4n＋1 ＝i，i 4n＋2 ＝－1，1＋ i1－ i 1－ i1＋ i a＋ biii4n＋3 ＝－i( n∈N)．2．复数方程要求解，运用概念相等来解决解决复数与三角函数、方程等综合问题，关键是抓住复数的实部、虚部，运用好复数的概念来解决问题．冲关针对训练＋ 2018＝________.－ 23＋ i1＋ 23i ( 21－ i)答案 2i解析 原式＝ ＋ 1009i1＋ 23i1＋ 23i [( 21－ i)2]＝i＋ 1009＝i＋i 1009＝i＋i 4×252＋1 ＝i＋i＝2i.(2－ 2i)1．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题p1：若复数 z 满足 ∈R，则 z∈R；1zp2：若复数 z 满足 z2∈R，则 z∈R；p3：若复数 z1， z2满足 z1z2∈R，则 z1＝ 2；zp4：若复数 z∈R，则 ∈R.z其中的真命题为( )A． p1， p3 B． p1， p4 C． p2， p3 D． p2， p4答案 B解析 设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)， z1＝ a1＋ b1i(a1， b1∈R)， z2＝ a2＋ b2i(a2， b2∈R)．对于 p1，若 ∈R，即 ＝ ∈R，则 b＝0 且 a≠0⇒ z＝ a＋ bi＝ a∈R，所以 p11z 1a＋ bi a－ bia2＋ b2为真命题．对于 p2，若 z2∈R，即( a＋ bi)2＝ a2＋2 abi－ b2∈R，则 ab＝0.当 a＝0， b≠0 时，z＝ a＋ bi＝ bi∈/ R，所以 p2为假命题．8对于 p3，若 z1z2∈R，即( a1＋ b1i)(a2＋ b2i)＝( a1a2－ b1b2)＋( a1b2＋ a2b1)i∈R，则a1b2＋ a2b1＝0.而 z1＝ 2，即 a1＋ b1i＝ a2－ b2i⇔a1＝ a2， b1＝－ b2.因为 a1b2＋ a2b1＝0⇒ / za1＝ a2， b1＝－ b2，所以 p3为假命题．对于 p4，若 z∈R，即 a＋ bi∈R，则 b＝0⇒ ＝ a－ bi＝ a∈R，所以 p4为真命题．故选zB.2．(2018·安徽安庆模拟)设 i 是虚数单位，如果复数 的实部与虚部相等，那么实a＋ i2－ i数 a 的值为( )A. B．－ C．3 D．－313 13答案 C解析 ＝ ，由题意知 2a－1＝ a＋2，解之得 a＝3.故选 C.a＋ i2－ i 2a－ 1＋ a＋ 2i53．(2017·浙江高考)已知 a， b∈R，( a＋ bi)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a2＋ b2＝________， ab＝________.答案 5 2解析 ( a＋ bi)2＝ a2－ b2＋2 abi.由( a＋ bi)2＝3＋4i，得Error!解得 a2＝4， b2＝1.所以 a2＋ b2＝5， ab＝2.4．(2017·天津高考)已知 a∈R，i 为虚数单位，若 为实数，则 a 的值为a－ i2＋ i________．答案 －2解析 ∵ a∈R， ＝ ＝ ＝ － i 为实数，∴－a－ i2＋ i a－ i2－ i2＋ i2－ i 2a－ 1－ a＋ 2i5 2a－ 15 a＋ 25＝0，∴ a＝－2.a＋ 25[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·湖南长沙四县联考)i 是虚数单位，若复数 z 满足 zi＝－1＋i，则复数 z 的实部与虚部的和是( )A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析 复数 z 满足 zi＝－1＋i，可得 z＝ ＝ ＝1＋i.故复数 z 的实部－ 1＋ ii － 1＋ iii·i9与虚部的和是 1＋1＝2，故选 C.2．(2018·湖北优质高中联考)已知复数 z＝1＋i(i 是虚数单位)，则 － z2的共轭复数2z是( )A．－1＋3i B．1＋3i C．1－3i D．－1－3i答案 B解析 － z2＝ －(1＋i) 2＝ －2i＝1－i－2i＝1－3i，其共轭复数是2z 21＋ i 21－ i1＋ i1－ i1＋3i，故选 B.3．(2017·河南洛阳模拟)设复数 z 满足 ＝|1－i|＋i(i 为虚数单位)，则复数 z＝( )z－ A. －i B. ＋i C．1 D．－1－2i2 2答案 A解析 复数 z 满足 ＝|1－i|＋i＝ ＋i，则复数 z＝ －i.故选 A.z－ 2 24．(2018·广东测试)若 z＝( a－ )＋ ai 为纯虚数，其中 a∈R，则 ＝( )2a＋ i71＋ aiA．i B．1 C．－i D．－1答案 C解析 ∵ z 为纯虚数，∴Error!∴ a＝ ，2∴ ＝ ＝ ＝ ＝－i.故选 C.a＋ i71＋ ai 2－ i1＋ 2i 2－ i1－ 2i1＋ 2i1－ 2i － 3i35．(2018·安徽江南十校联考)若复数 z 满足 z(1－i)＝|1－i|＋i，则 z 的实部为( )A. B. －1 C．1 D.2－ 12 2 2＋ 12答案 A解析 由 z(1－i)＝|1－i|＋i，得 z＝ ＝ ＝ ＋ i， z 的2＋ i1－ i 2＋ i1＋ i1－ i1＋ i 2－ 12 2＋ 12实部为 ，故选 A.2－ 126．(2017·安徽江南十校联考)若 z＝ ，则| z|＝( )2－ i2＋ iA. B．1 C．5 D．2515答案 B解析 解法一： z＝ ＝ ＝ － i，故| z|＝1.故选 B.2－ i2＋ i 2－ i2－ i2＋ i2－ i 35 45解法二：| z|＝ ＝ ＝ ＝1.故选 B.|2－ i2＋ i| |2－ i||2＋ i| 55107．(2017·河南百校联盟模拟)已知复数 z 的共轭复数为 ，若 (1－2 i)z－ (3z2＋ z－ 2) 2＝5－ i(i 为虚数单位)，则在复平面内，复数 z 对应的点位于( )2A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案 A解析 依题意，设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，则 ＋ ＝2 a＋ bi，故3z2 z－ 22a＋ bi＝ ＝1＋ i，5－ 2i1－ 22i 2故 a＝ ， b＝ ，则在复平面内，复数 z 对应的点为 ，位于第一象限．故选 A.12 2 (12， 2)8．(2018·新乡、许昌、平顶山调研)复数 z1， z2满足 z1＝ m＋(4－ m2)i， z2＝2cos θ ＋( λ ＋3sin θ )i(m， λ ， θ ∈R)，并且 z1＝ z2，则 λ 的取值范围是( )A. B.[－ 1， 1] [－916， 1]C. D.[－916， 7] [916， 7]答案 C解析 由复数相等的充要条件，可得Error!化简得 4－4cos 2θ ＝ λ ＋3sin θ ，由此可得λ ＝－4cos 2θ －3sin θ ＋4＝－4(1－sin 2θ )－3sin θ ＋4＝4sin 2θ －3sin θ ＝42－ ，因为 sinθ ∈[－1,1]，所以 λ ∈ .故选 C.(sinθ －38) 916 [－ 916， 7]9．对于复数 z1， z2，若( z1－i) z2＝1，则称 z1是 z2的“错位共轭”复数，则复数－ i 的“错位共轭”复数为 ( )32 12A．－ － i B．－ ＋ i36 12 32 32C. ＋ i D. ＋ i36 12 32 32答案 D解析 由( z－i) ＝1，可得 z－i＝ ＝ ＋ i，所以 z＝ ＋ i.故选 D.(32－ 12i) 132－ 12i 32 12 32 3210．已知 z＝ a＋ bi(a， b∈R，i 是虚数单位)， z1， z2∈C，定义： D(z)＝|| z||＝| a|＋| b|， D(z1， z2)＝|| z1－ z2||，给出下列命题：(1)对任意 z∈C，都有 D(z)0；11(2)若 是复数 z 的共轭复数，则 D( )＝ D(z)恒成立；z z(3)若 D(z1)＝ D(z2)(z1， z2∈C)，则 z1＝ z2；(4)对任意 z1， z2， z3∈C，结论 D(z1， z3)≤ D(z1， z2)＋ D(z2， z3)恒成立．其中真命题为( )A．(1)(2)(3)(4) B．(2)(3)(4)C．(2)(4) D．(2)(3)答案 C解析 对于(1)，由定义知当 z＝0 时， D(z)＝0，故(1)错误，排除 A；对于(2)，由于共轭复数的实部相等而虚部互为相反数，所以 D( )＝ D(z)恒成立，故(2)正确；对于(3)，z两个复数的实部与虚部的绝对值之和相等并不能得到实部与虚部分别相等，所以两个复数也不一定相等，故(3)错误，排除 B，D，故选 C.二、填空题11．(2017·江苏高考)已知复数 z＝(1＋i)(1＋2i)，其中 i 是虚数单位，则 z 的模是________．答案 10解析 解法一：∵ z＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i，∴| z|＝ ＝ .－ 12＋ 32 10解法二：| z|＝|1＋i||1＋2i|＝ × ＝ .2 5 1012．(2016·天津高考)已知 a， b∈R，i 是虚数单位．若(1＋i)(1－ bi)＝ a，则 的值ab为________．答案 2解析 由(1＋i)(1－ bi)＝ a 得 1＋ b＋(1－ b)i＝ a，则Error!解得Error! 所以 ＝2.ab13．(2016·北京高考)设 a∈R.若复数(1＋i)( a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则 a＝________.答案 －1解析 (1＋i)( a＋i)＝( a－1)＋( a＋1)i，∵ a∈R，该复数在复平面内对应的点位于实轴上，∴ a＋1＝0，∴ a＝－1.14．若虚数 z 同时满足下列两个条件：① z＋ 是实数；② z＋3 的实部与虚部互为相反5z数．则 z＝________.答案 －1－2i 或－2－i解析 设 z＝ a＋ bi(a， b∈R， b≠0)，则 z＋ ＝ a＋ bi＋5z 5a＋ bi＝ a ＋ b i.(1＋5a2＋ b2) (1－ 5a2＋ b2)12又 z＋3＝ a＋3＋ bi 实部与虚部互为相反数， z＋ 是实数，根据题意有Error!5z因为 b≠0，所以Error!解得Error!或Error!所以 z＝－1－2i 或 z＝－2－i.三、解答题15．(2017·徐汇模拟)已知 z 是复数， z＋2i 与 均为实数(i 为虚数单位)，且复数z2－ i(z＋ ai)2在复平面上对应点在第一象限．(1)求 z 的值；(2)求实数 a 的取值范围．解 (1)设 z＝ x＋ yi(x， y∈R)，又 z＋2i＝ x＋( y＋2)i 为实数，∴ y＋2＝0，解得 y＝－2.∴ ＝ ＝ ＝ ，z2－ i x－ 2i2－ i x－ 2i2＋ i2－ i2＋ i 2x＋ 2＋ x－ 4i5∵ 为实数，∴ ＝0，解得 x＝4.z2－ i x－ 45∴ z＝4－2i.(2)∵复数( z＋ ai)2＝[4＋( a－2)i] 2＝16－( a－2) 2＋8( a－2)i＝(12＋4 a－ a2)＋(8 a－16)i，∴Error!解得 2a6，即实数 a 的取值范围是(2,6)．16．(2017·孝感期末)已知复数 z＝( m－1)＋(2 m＋1)i( m∈R)．(1)若 z 为纯虚数，求实数 m 的值；(2)若 z 在复平面内的对应点位于第二象限，求实数 m 的取值范围及| z|的最小值．解 (1)∵ z＝( m－1)＋(2 m＋1)i( m∈R)为纯虚数，∴ m－1＝0 且 2m＋1≠0，∴ m＝1.(2)z 在复平面内的对应点为( m－1,2 m＋1)．由题意得Error!∴－ m1，12即实数 m 的取值范围是 .(－12， 1)而| z|＝ ＝ ＝ ，m－ 12＋ 2m＋ 12 5m2＋ 2m＋ 25(m＋ 15)2＋ 95当 m＝－ ∈ 时，| z|min＝ ＝ .15 (－ 12， 1) 95 355