2019版高考数学一轮总复习 第六章 数列题组训练（打包6套）理.zip

1题组训练 34 数列的基本概念1．在数列 1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…中，x 应取( )A．19 B．20C．21 D．22答案 C解析 a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2，∴a n＋2 ＝a n＋1 ＋a n，∴x＝8＋13＝21，故选 C.2．数列 ，， ， ，…的一个通项公式为( )1318115124A．a n＝ B．a n＝12n＋ 1 1n＋ 2C．a n＝ D．a n＝1n（ n＋ 2） 12n－ 1答案 C解析 观察知 an＝ ＝ .1（ n＋ 1） 2－ 1 1n（ n＋ 2）3．(2018·济宁模拟)若 Sn为数列{a n}的前 n项和，且 Sn＝ ，则 等于( )nn＋ 1 1a5A. B.56 65C. D．30130答案 D解析 ∵当 n≥2 时，a n＝S n－S n－1 ＝ － ＝ ，∴ ＝5×(5＋1)＝30.nn＋ 1 n－ 1n 1n（ n＋ 1） 1a54．若数列{a n}满足 a1＝2，a n＋1 an＝a n－1，则 a2 017的值为( )A．－1 B.12C．2 D．3答案 C解析 因为数列{a n}满足 a1＝2，a n＋1 an＝a n－1，所以 an＋1 ＝1－ ，所以1ana2＝ ，a 3＝1－2＝－1，a 4＝1＋1＝2，可知数列的周期为 3.而 2 017 ＝3×672＋1，所以12a2 017＝a 1＝2.故选 C.5．(2018·辽宁省实验中学月考)设数列{a n}的前 n项和为 Sn，且 Sn＝2(a n－1)，则 an＝( )A．2n B．2n－12C．2 n D．2 n－1答案 C解析 当 n＝1 时，a 1＝S 1＝2(a 1－1)，可得 a1＝2；当 n≥2 时，an＝S n－S n－1 ＝2a n－2a n－1 ，∴a n＝2a n－1 ，∴数列{a n}为等比数列，公比为 2，首项为2，∴通项公式为 an＝2 n.故选 C.6．(2014·辽宁)设等差数列{a n}的公差为 d，若数列{2a 1an}为递减数列，则( )A．d0C．a 1d0答案 C解析 ∵数列{2a 1an}为递减数列，∴2a 1an2a1an＋1 ，n∈N *，∴a 1ana1an＋1 ，∴a 1(an＋1 －a n)1且 Sn＝(n∈N *)，则 an＝( )（ an＋ 3） （ an＋ 1）8A．4n－1 B．4n－3C．4n－3 或 4n－1 D．n＋2答案 A解析 当 n＝1 时，a 1＝S 1＝ ，解得 a1＝1 或（ a1＋ 3） （ a1＋ 1）8a1＝3，∵S n1，∴a 1＝3，当 n≥2 时，a n＝S n－S n－1 ＝ －（ an＋ 3） （ an＋ 1）8，即(a n＋a n－1 )(an－a n－1 －4)＝0，∵a n0，故（ an－ 1＋ 3） （ an－ 1＋ 1）8an－a n－1 ＝4，∴{a n}是首项为 3，公差为 4的等差数列，∴a n＝3＋4(n－1)＝4n－1.12．(2018·湖北宜昌一中月考)定义 an＝5 n＋( )n，其中 n∈{ ，，，1}，则 an取最小值15 1101512时，n 的值为( )A. B.110 15C. D．1124答案 A解析 令 5n＝t0，考虑函数 y＝t＋ (t0)，易知其中(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上1t单调递增，且当 t＝1 时，y 的值最小．再考虑函数 t＝5 n，当 00，得 a1＝2；当 n≥2 时，由 4an＝4S n－4S n－1 ＝(a n2＋2a n)－(a n－1 2＋2a n－1 )，得(a n＋a n－1 )(an－a n－1 －2)＝0.因为 an＋a n－1 0，所以 an－a n－1 ＝2，则数列{a n}是首项为 2，公差为 2的等差数列，故 an＝2＋(n－1)×2＝2n.18．(2018·北京海淀区一模)数列{a n}的通项为 an＝ (n∈N *)，{2n－ 1， n≤ 4，－ n2＋ （ a－ 1） n， n≥ 5， )若 a5是{a n}中的最大值，则 a的取值范围是________．答案 [9，12]解析 当 n≤4 时，a n＝2 n－1 单调递增，因此 n＝4 时取最大值，a 4＝2 4－1＝15.当 n≥5 时，a n＝－n 2＋(a－1)n＝－(n－ )2＋ .∵a 5是{a n}中的最大值，a－ 12 （ a－ 1） 24∴ {a－ 12 ≤ 5.5，－ 52＋ 5（ a－ 1） ≥ 15， )解得 9≤a≤12.∴a 的取值范围是[9，12]．19．已知在数列{a n}中，a 1＝1，前 n项和 Sn＝ an.n＋ 23(1)求 a2，a 3；(2)求{a n}的通项公式．答案 (1)a 2＝3，a 3＝6 (2)a n＝n（ n＋ 1）2解析 (1)由 S2＝ a2，得 3(a1＋a 2)＝4a 2，解得 a2＝3a 1＝3；43由 S3＝ a3，得 3(a1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得 a3＝ (a1＋a 2)＝6.53 32(2)由题设知 a1＝1.当 n1时，有 an＝S n－S n－1 ＝ an－ an－1 ，n＋ 23 n＋ 13整理，得 an＝ an－1 .n＋ 1n－ 1于是 a1＝1，a 2＝ a1，a 3＝ a2，…，31 42an－1 ＝ an－2 ，a n＝ an－1 .nn－ 2 n＋ 1n－ 16将以上 n个等式两端分别相乘，整理，得 an＝ .n（ n＋ 1）2综上，{a n}的通项公式 an＝ .n（ n＋ 1）21．已知数列 ，，，，…，那么 0.94，0.96，0.98，0.99 中属于该数列中某一项值的有( )12233445A．1 个 B．2 个C．3 个 D．4 个答案 C2．对于数列{a n}， “an＋1 |an|(n＝1，2，…)”是“{a n}为递增数列”的( )A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 B解析 当 an＋1 |an|(n＝1，2，…)时，∵|a n|≥a n，∴a n＋1 an，∴{a n}为递增数列．当{a n}为递增数列时，若该数列为－2，0，1，则 a2|a1|不成立，即 an＋1 |an|(n＝1，2，…)不一定成立．故综上知， “an＋1 |an|(n＝1，2，…)”是“{a n}为递增数列”的充分不必要条件．3．已知数列 ， ，2 ，… ，则 2 是该数列的( )2 5 2 5A．第 5项 B．第 6项C．第 7项 D．第 8项答案 C解析 由数列 ， ，2 ，… 的前三项 ， ， 可知，数列的通项公式为 an＝2 5 2 2 5 8＝ ，由 ＝2 ，可得 n＝7.2＋ 3（ n－ 1） 3n－ 1 3n－ 1 54．已知数列{a n}满足 a0＝1，a n＝a 0＋a 1＋…＋a n－1 (n≥1)，则当 n≥1 时，a n等于( )A．2 n B. n(n＋1)12C．2 n－1 D．2 n－1答案 C解析 由题设可知 a1＝a 0＝1，a 2＝a 0＋a 1＝2.代入四个选项检验可知 an＝2 n－1 .故选 C.5．(2017·上海松江一模)在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H 扩展” ．已知数列 1，2.第一次“H 扩展”后得到 1，3，2；第二次“H 扩展” ，后得到 1，4，3，5，2.那么第 10次“H 扩展”后得到的数列的项数为( )7A．1 023 B．1 025C．513 D．511答案 B解析 设第 n次“H 扩展”后得到的数列的项数为 an，则第 n＋1 次“H 扩展”后得到的数列的项数为 an＋1 ＝2a n－1，∴a n＋1 －1＝2(a n－1)．∴ ＝2.又an＋ 1－ 1an－ 1∵a 1－1＝3－1＝2，∴{a n－1}是以 2为首项，2 为公比的等比数列，∴a n－1＝2·2 n－1 ，∴a n＝2 n＋1，∴a 10＝2 10＋1＝1 025.故选 B.6．(2018·辽宁沈阳二中月考)数列{a n}中，a n＝ ，则该数列前 100项中的最大n－ 2 016n－ 2 017项与最小项分别是( )A．a 1，a 50 B．a 1，a 44C．a 45，a 44 D．a 45，a 50答案 C解析 a n＝1＋ ，∴a 440，且从 a1到 a44递减，从 a45到 a100递减．2 017－ 2 016n－ 2 0177．(2018·河北省衡水中学模拟)数列{a n}满足 a1＝2，a n＋1 ＝a n2(an0，n∈N *)，则 an＝( )A．10 n－2 B．10 n－1C．102 n－1 D．22 n－1答案 D解析 因为数列{a n}满足 a1＝2，a n＋1 ＝a n2(an0，n∈N *)，所以 log2an＋1 ＝2log 2an，即 ＝2.log2an＋ 1log2an又 a1＝2，所以 log2a1＝log 22＝1.故数列{log 2an}是首项为 1，公比为 2的等比数列．所以 log2an＝2 n－1 ，即 an＝22 n－1 .故选 D.8．设数列{a n}的前 n项和 Sn＝n 2，则 a7＋a 8的值为________．答案 28解析 a 7＋a 8＝S 8－S 6＝8 2－6 2＝28.9．(2017·广东广州 5月月考)已知数列{a n}满足 a1＝1，a n＋1 ＝a n2＋a n，用[x]表示不超过x的最大整数，则[ ＋ ＋…＋ ]＝________．1a1＋ 1 1a2＋ 1 1a2 017＋ 1答案 0解析 因为 an＋1 ＝a n2＋a n，所以 ＝ ＝ － ，即1an＋ 1 1an（ an＋ 1） 1an 1an＋ 18＝ － ，于是 ＋ ＋…＋ ＝( － )＋( － )＋…＋(1an＋ 1 1an 1an＋ 1 1a1＋ 1 1a2＋ 1 1a 2017＋ 1 1a1 1a2 1a2 1a3－ )＝ － .因为 a1＝1，a 2＝21，a 3＝61，…，可知 ∈(0，1)，1a2 017 1a2 018 1a1 1a2 018 1a2 018则 － ∈(0，1)，所以[ － ]＝0.1a1 1a2 018 1a1 1a2 01810．(2018·安徽屯溪一中月考)已知函数 f(x)＝2 x－2 －x ，数列{a n}满足 f(log2an)＝－2n(n∈N *)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)讨论数列{a n}的单调性，并证明你的结论．答案 (1)a n＝ －n (2)略n2＋ 1解析 (1)因为 f(x)＝2 x－2 －x ，f(log 2an)＝－2n，所以 2log2an－2－log 2an＝－2n，即 an－ ＝－2n，1an所以 an2＋2na n－1＝0，解得 an＝－n± .n2＋ 1因为 an0，所以 an＝ －n.n2＋ 1(2)数列{a n}是递减数列．证明如下：因为 ＝an＋ 1an （ n＋ 1） 2＋ 1－ （ n＋ 1）n2＋ 1－ n＝ 0，所以 an＋1 0，即 λ1.2·3n2n＋ 1 cn＋ 1cn 2·3n＋ 12n＋ 3 2n＋ 12·3n 6n＋ 32n＋ 3∴{c n}为递增数列，∴λc 1＝2，即 λ 的取值范围为(－∞，2)．1题组训练 35 等差数列1．若等差数列{a n}的公差为 d，则数列{a 2n－1 }是( )A．公差为 d的等差数列 B．公差为 2d的等差数列C．公差为 nd的等差数列 D．非等差数列答案 B解析 数列{a 2n－1 }其实就是 a1，a 3，a 5，a 7，…，奇数项组成的数列，它们之间相差 2d.2．已知数列{a n}为等差数列，其前 n项和为 Sn，若 a3＝6，S 3＝12，则公差 d等于( )A．1 B.53C．2 D．3答案 C解析 由已知得 S3＝3a 2＝12，即 a2＝4，∴d＝a 3－a 2＝6－4＝2.3．(2016·课标全国Ⅰ)已知等差数列{a n}前 9项的和为 27，a 10＝8，则 a100＝( )A．100 B．99C．98 D．97答案 C解析 设等差数列{a n}的公差为 d，因为{a n}为等差数列，且 S9＝9a 5＝27，所以 a5＝3.又a10＝8，解得 5d＝a 10－a 5＝5，所以 d＝1，所以 a100＝a 5＋95d＝98，选 C.4．设 Sn为等差数列{a n}的前 n项和，若 S8＝4a 3，a 7＝－2，则 a9等于( )A．－6 B．－4C．－2 D．2答案 A解析 S 8＝ ＝4(a 3＋a 6)．因为 S8＝4a 3，所以 a6＝0.又 a7＝－2，所以8（ a1＋ a8）2d＝a 7－a 6＝－2，所以 a8＝－4，a 9＝－6.故选 A.5．(2018·西安四校联考)在等差数列{a n}中，a 2＝5，a 7＝3，在该数列中的任何两项之间插入一个数，使之仍为等差数列，则这个新等差数列的公差为( )A．－ B．－25 45C．－ D．－15 35答案 C解析 {a n}的公差 d＝ ＝－ ，∴新等差数列的公差 d′＝(－ )× ＝－ ，故选 C.3－ 57－ 2 25 25 12 1526．(2018·绍兴一中交流卷)等差数列{a n}的公差 dS6 B．S 50，a 90，a 70.因为 a2·a3＝15，S 4＝16，所以 {（ a1＋ d） （ a1＋ 2d） ＝ 15，4a1＋ 6d＝ 16， )解得 或 (舍去 )，所以 an＝2n－1.{a1＝ 1，d＝ 2， ) {a1＝ 7，d＝ － 2)(2)①因为 b1＝a 1，b n＋1 －b n＝ ，1anan＋ 1所以 b1＝a 1＝1，b n＋1 －b n＝ ＝ ＝ ( － )，即1anan＋ 1 1（ 2n－ 1） （ 2n＋ 1） 12 12n－ 1 12n＋ 1b2－b 1＝ (1－ )，b 3－b 2＝ ( － )．12 13 1213 15……bn－b n－1 ＝ ( － )(n≥2)．12 12n－ 3 12n－ 1累加得 bn－b 1＝ (1－ )＝ ，12 12n－ 1 n－ 12n－ 1所以 bn＝b 1＋ ＝1＋ ＝ .n－ 12n－ 1 n－ 12n－ 1 3n－ 22n－ 1显然 b1＝1 也符合上式，所以 bn＝ ，n∈N *.3n－ 22n－ 1②假设存在正整数 m，n(m≠n)，使得 b2，b m，b n成等差数列，则 b2＋b n＝2b m.10又 b2＝ ，b n＝ ＝ － ，b m＝ － ，所以 ＋( － )＝2( － )，43 3n－ 22n－ 1 32 14n－ 2 32 14m－ 2 43 32 14n－ 2 32 14m－ 2即 ＝ ＋ ，化简得 2m＝ ＝7－ .12m－ 1 16 14n－ 2 7n－ 2n＋ 1 9n＋ 1当 n＋1＝3，即 n＝2 时，m＝2(舍去)；当 n＋1＝9，即 n＝8 时，m＝3，符合题意．所以存在正整数 m＝3，n＝8，使得 b2，b m，b n成等差数列．1题组训练 36 等比数列1．在等比数列{a n}中，a 1＝ ，q＝ ，a n＝ ，则项数 n为( )12 12 132A．3 B．4C．5 D．6答案 C2．如果－1，a，b，c，－9 成等比数列，那么( )A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9答案 B3．在等比数列{a n}中，若公比 q＝2，S 4＝1，则 S8的值为( )A．15 B．17C．19 D．21答案 B4．(2018·安徽芜湖五联考)在等比数列{a n}中，a 3＝7，前 3项之和 S3＝21，则公比 q的值为( )A．1 B．－12C．1 或－ D．－1 或12 12答案 C解析 根据已知条件得 ②÷①得 ＝3.{a1q2＝ 7， ①a1＋ a1q＋ a1q2＝ 21， ② ) 1＋ q＋ q2q2整理得 2q2－q－1＝0，解得 q＝1 或 q＝－ .125．(2018·江西新余一中调研卷)已知等比数列{a n}中，a 2＝2，a 6＝8，则 a3a4a5＝( )A．±64 B．64C．32 D．16答案 B解析 因为 a2＝2，a 6＝8，所以由等比数列的性质可知 a2a6＝a 42＝16，而 a2，a 4，a 6同号，所以 a4＝4，所以 a3a4a5＝a 43＝64，故选 B.6．(2018·保定一中模拟)若项数为 2m(m∈N *)的等比数列的中间两项正好是方程x2＋px＋q＝0 的两个根，则此数列的各项积是( )A．p m B．p 2m2C．q m D．q 2m答案 C解析 由题意得 amam＋1 ＝q，所以由等比数列的性质得此数列各项积为(a mam＋1 )m＝q m.7．(2018·广西南宁联考)已知在等比数列{a n}中，a 3＝2，a 4a6＝16，则 ＝( )a9－ a11a5－ a7A．2 B．4C．8 D．16答案 B解析 因为数列{a n}是等比数列，a 3＝2，所以 a4a6＝a 3q·a3q3＝4q 4＝16，所以 q2＝2.所以＝ ＝ ＝q 4＝4.故选 B.a9－ a11a5－ a7 a3q6－ a3q8a3q2－ a3q4 （ q2） 3－ （ q2） 4q2－ （ q2） 28．数列{a n}的前 n项和为 Sn＝4 n＋b(b 是常数，n∈N *)，若这个数列是等比数列，则 b等于( )A．－1 B．0C．1 D．4答案 A解析 等比数列{a n}中，q≠1 时，Sn＝ ＝ ·qn－ ＝A·q n－A，∴b＝－1.a1·（ qn－ 1）q－ 1 a1q－ 1 a1q－ 19．设等比数列{a n}的前 n项和为 Sn，若 S1＝ a2－ ，S 2＝ a3－ ，则公比 q＝( )13 13 13 13A．1 B．4C．4 或 0 D．8答案 B解析 ∵S 1＝ a2－ ，S 2＝ a3－ ，∴ 解得 或13 13 13 13 {a1＝ 13a1q－ 13，a1＋ a1q＝ 13a1q2－ 13， ) {a1＝ 1，q＝ 4 )(舍去 ){a1＝ － 13，q＝ 0， )故所求的公比 q＝4.10．在 14与 之间插入 n个数组成等比数列，若各项总和为 ，则此数列的项数( )78 778A．4 B．5C．6 D．7答案 B3解析 ∵q≠1(14≠ )，∴S n＝ ，∴ ＝ .解得 q＝－ ， ＝14×(－ )78 a1－ anq1－ q 778 14－ 78q1－ q 12 78 12n＋2－1 ，∴n＝3.故该数列共 5项．11．(2017·名师原创)《张丘建算经》中“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．问日行几何？”意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走 7天，共走了 700里路，问每天走的里数为多少？”则该匹马第一天走的里数为( )A. B.128127 44 800127C. D.700127 17532答案 B解析 由题意知每日所走的路程成等比数列{a n}，且公比 q＝ ，S 7＝700，由等比数列的求12和公式得 ＝700，解得 a1＝ ，故选 B.a1（ 1－ 127）1－ 12 44 80012712．(2018·云南省高三调研考试)已知数列{a n}是等比数列，S n为其前 n项和，若a1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则 S12＝( )A．40 B．60C．32 D．50答案 B解析 由等比数列的性质可知，数列 S3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4，8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，因此 S12＝4＋8＋16＋32＝60，故选 B.13．(2018·广东惠州一中月考)已知数列{a n}是等比数列，且 a2＝2，a 5＝ ，则14a1a2＋a 2a3＋…＋a nan＋1 ＝( )A．16(1－4 －n ) B．16(1－2 －n )C. (1－4 －n ) D. (1－2 －n )323 323答案 C解析 因为等比数列{a n}中，a 2＝2，a 5＝ ，所以 ＝q 3＝ ，所以 q＝ .由等比数列的性14 a5a2 18 12质，易知数列{a nan＋1 }为等比数列，其首项为 a1a2＝8，公比为 q2＝ ，所以要求的14a1a2＋a 2a3＋…＋a nan＋1 为数列{a nan＋1 }的前 n项和．由等比数列的前 n项和公式得4a1a2＋a 2a3＋…＋a nan＋1 ＝ ＝ (1－4 －n )，故选 C.8（ 1－ 14n）1－ 14 32314．等比数列{a n}的前 n项和为 Sn，若 S3＋3S 2＝0，则公比 q＝________．答案 －2解析 由 S3＋3S 2＝0，即 a1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0，即 4a1＋4a 2＋a 3＝0，即4a1＋4a 1q＋a 1q2＝0，即 q2＋4q＋4＝0，所以 q＝－2.15．在等比数列{a n}中，若 a1＝ ，a 4＝－4，则公比12q＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n|＝________．答案 －2，2 n－1 －12解析 设等比数列{a n}的公比为 q，则 a4＝a 1q3，代入数据解得 q3＝－8，所以 q＝－2；等比数列{|a n|}的公比为|q|＝2，则|a n|＝ ×2n－1 ，所以12|a1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n|＝ (1＋2＋2 2＋…＋2 n－1 )＝ (2n－1)＝2 n－1 － .12 12 1216．一正项等比数列前 11项的几何平均数为 32，从这 11项中抽去一项后所余下的 10项的几何平均数为 32，那么抽去的这一项是第________项．答案 6解析 由于数列的前 11项的几何平均数为 32，所以该数列的前 11项之积为 3211＝2 55.当抽去一项后所剩下的 10项之积为 3210＝2 50，∴抽去的一项为 255÷250＝2 5.又因 a1·a11＝a 2·a10＝a 3·a9＝a 4·a8＝a 5·a7＝a 62，所以 a1·a2·…·a11＝a 611.故有a611＝2 55，即 a6＝2 5.∴抽出的应是第 6项．17．已知{a n}是等比数列，S n是其前 n项和，a 1，a 7，a 4成等差数列，求证：2S3，S 6，S 12－S 6成等比数列．答案 略证明 由已知得 2a1q6＝a 1＋a 1q3，即 2q6－q 3－1＝0，得 q3＝1 或 q3＝－ .12当 q3＝1 即 q＝1，{a n}为常数列， ＝ 命题成立．S62S3 S12－ S6S6当 q3＝－ 时， ＝ ＝ .12 S62S3 1－ q62（ 1－ q3） 145＝ －1＝ .∴命题成立．S12－ S6S6 1－ q121－ q6 1418．(2018·四川成都一诊)已知数列{a n}满足 a1＝－2，a n＋1 ＝2a n＋4.(1)证明数列{a n＋4}是等比数列；(2)求数列{|a n|}的前 n项和 Sn.答案 (1)略 (2)S n＝2 n＋1 －4n＋2解析 (1)∵a 1＝－2，∴a 1＋4＝2.∵a n＋1 ＝2a n＋4，∴a n＋1 ＋4＝2a n＋8＝2(a n＋4)，∴ ＝2，an＋ 1＋ 4an＋ 4∴{a n＋4}是以 2为首项，2 为公比的等比数列．(2)由(1)可知 an＋4＝2 n，∴a n＝2 n－4.当 n＝1 时，a 1＝－20，得 q＝ ；②若删去 a3，则由 2a2＝a 1＋a 4得 2a1q＝a 1＋a 1q3，1＋ 52又 a1≠0，所以 2q＝1＋q 3，整理得 q(q＋1)(q－1)＝q－1.又 q≠1，则可得 q(q＋1)＝1，又 q0，得 q＝ .综上所述，q＝ ，故选 B.－ 1＋ 52 ±1＋ 523．(2017·沧州七校联考)设等比数列{a n}的前 n项和为 Sn，若 ＝3，则 ＝( )S6S3 S9S6A．2 B.73C. D．383答案 B解析 方法一：由 ＝3 知该等比数列的公比 q≠－1，则 S3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数S6S3列，于是由 S6＝3S 3，可推出 S9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴ ＝ .S9S6 73方法二：设数列{a n}的公比为 q，则 ＝ ＝1＋q 3＝3，所以 q3＝2，于是 ＝S6S3 （ 1＋ q3） S3S3 S9S6＝ ＝ .（ 1＋ q3＋ q6） S3（ 1＋ q3） S3 1＋ 2＋ 41＋ 2 734．(2015·浙江)已知{a n}是等差数列，公差 d不为零．若 a2，a 3，a 7成等比数列，且2a1＋a 2＝1，则 a1＝________，d＝________．答案 ；－123解析 ∵a 2，a 3，a 7成等比数列，∴a 32＝a 2a7，即(a 1＋2d) 2＝(a 1＋d)·(a 1＋6d)，解得d＝－ a1①，∵2a 1＋a 2＝1，∴3a 1＋d＝1②，由①②可得 a1＝ ，d＝－1.32 235．在等比数列{a n}中，若 a7＋a 8＋a 9＋a 10＝ ，a 8·a9＝－ ，则158 98＋ ＋ ＋ ＝________．1a7 1a8 1a9 1a107答案 －53解析 ∵ ＋ ＝ ， ＋ ＝ ，而 a8a9＝a 7a10，∴ ＋ ＋ ＋ ＝1a7 1a10 a7＋ a10a7a10 1a8 1a9 a8＋ a9a8a9 1a7 1a8 1a9 1a10＝－ ＝－ .a7＋ a8＋ a9＋ a10a7a1015898 536．(2017·广州综合测试)已知数列{c n}，其中 cn＝2 n＋3 n，且数列{c n＋1 －pc n}为等比数列，则常数 p＝________．答案 2 或 3解析 由数列{c n＋1 －pc n}为等比数列，得(c 3－pc 2)2＝(c 2－pc 1)(c4－pc 3)，即(35－13p)2＝(13－5p)(97－35p)．解得 p＝2 或 p＝3.1题组训练 37 专题研究 1 递推数列的通项的求法1．(2018·海南三亚一模)在数列 1，2， ， ， ，…中，2 是这个数列的第( )7 10 13 19项．( )A．16 B．24C．26 D．28答案 C解析 设题中数列{a n}，则 a1＝1＝ ，a 2＝2＝ ，a 3＝ ，a 4＝ ，a 5＝ ，…，所以1 4 7 10 13an＝ .令 ＝2 ＝ ，解得 n＝26.故选 C.3n－ 2 3n－ 2 19 762．设数列{a n}的前 n 项和 Sn＝n 2，则 a8的值为( )A．15 B．16C．49 D．64答案 A解析 a 1＝S 1＝1，a n＝S n－S n－1 ＝n 2－(n－1) 2＝2n－1(n≥2)．a 8＝2×8－1＝15.故选 A.3．已知数列{a n}满足 a1＝0，a n＋1 ＝a n＋2n，则 a2 017等于( )A．2 017×2 018 B．2 016×2 017C．2 015×2 016 D．2 017×2 017答案 B解析 累加法易知选 B.4．已知数列{x n}满足 x1＝1，x 2＝ ，且 ＋ ＝ (n≥2)，则 xn等于( )23 1xn－ 1 1xn＋ 1 2xnA．( )n－1 B．( )n23 23C. D.n＋ 12 2n＋ 1答案 D解析 由关系式易知 为首项为 ＝1，d＝ 的等差数列， ＝ ，所以 xn＝ .{1xn} 1x1 12 1xn n＋ 12 2n＋ 15．已知数列{a n}中 a1＝1，a n＝ an－1 ＋1(n≥2)，则 an＝( )12A．2－( )n－1 B．( )n－1 －212 12C．2－2 n－1 D．2 n－1答案 A解析 设 an＋c＝ (an－1 ＋c)，易得 c＝－2，所以 an－2＝(a 1－2)( )n－1 ＝－( )n－1 ，所以12 12 122选 A.6．若数列{a n}的前 n 项和为 Sn＝ an－3，则这个数列的通项公式 an＝( )32A．2(n 2＋n＋1) B．2·3 nC．3·2 n D．3n＋1答案 B解析 a n＝S n－S n－1 ，可知选 B.7．(2018·云南玉溪一中月考)已知正项数列{a n}中，a1＝1，a 2＝2，2a n2＝a n＋1 2＋a n－1 2(n≥2)，则 a6的值为( )A．2 B．42C．8 D．16答案 B解析 因为正项数列{a n}中，a 1＝1，a 2＝2，2a n2＝a n＋1 2＋a n－1 2(n≥2)，所以an2－a n－1 2＝a n＋1 2－a n2(n≥2)，所以数列{a n2}是以 1 为首项，a 22－a 12＝3 为公差的等差数列，所以 an2＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以 a62＝16.又因为 an0，所以 a6＝4，故选 B.8．(2018·华东师大等四校联考)已知数列{a n}满足：a 1＝ ，对于任意的17n∈N *，a n＋1 ＝ an(1－a n)，则 a1 413－a 1 314＝( )72A．－ B.27 27C．－ D.37 37答案 D解析 根据递推公式计算得a1＝ ，a 2＝ × × ＝ ，a 3＝ × × ＝ ，a 4＝ × × ＝ ，…，可以归纳通项公式为：17 72 17 67 37 72 37 47 67 72 67 17 37当 n 为大于 1 的奇数时，a n＝ ；当 n 为正偶数时，a n＝ .故 a1 413－a 1 314＝ .故选 D.67 37 379．(2018·湖南衡南一中段考)已知数列{a n}，若 a1＝2，a n＋1 ＋a n＝2n－1，则 a2 016＝( )A．2 011 B．2 012C．2 013 D．2 014答案 C解析 因为 a1＝2，故 a2＋a 1＝1，即 a2＝－1.又因为an＋1 ＋a n＝2n－1，a n＋a n－1 ＝2n－3，故 an＋1 －a n－1 ＝2，所以a4－a 2＝2，a 6－a 4＝2，a 8－a 6＝2，…，a 2 016－a 2 014＝2 ，将以上 1 007 个等式两边相加可3得 a2 016－a 2＝2×1 007＝2 014，所以 a2 006＝2 014－1＝2 013，故选 C.10．在数列{a n}中，a 1＝3，a n＋1 ＝a n＋ ，则通项公式 an＝________．1n（ n＋ 1）答案 4－1n解析 原递推式可化为 an＋1 ＝a n＋ － ，1n 1n＋ 1则 a2＝a 1＋ － ，a 3＝a 2＋ － ，11 12 12 13a4＝a 3＋ － ，…，a n＝a n－1 ＋ － .13 14 1n－ 1 1n逐项相加，得 an＝a 1＋1－ .又 a1＝3，故 an＝4－ .1n 1n11．已知数列{a n}满足 a1＝1，且 an＋1 ＝ (n∈N *)，则数列{a n}的通项公式为an3an＋ 1________．答案 a n＝13n－ 2解析 由已知，可得当 n≥1 时，a n＋1 ＝ .an3an＋ 1两边取倒数，得 ＝ ＝ ＋3.1an＋ 1 3an＋ 1an 1an即 － ＝3，所以{ }是一个首项为 ＝1，公差为 3 的等差数列．1an＋ 1 1an 1an 1a1则其通项公式为 ＝ ＋(n－1)×d＝1＋(n－1)×3＝3n－2.1an 1a1所以数列{a n}的通项公式为 an＝ .13n－ 212．在数列{a n}中，a 1＝1，当 n≥2 时，有 an＝3a n－1 ＋2，则 an＝________．答案 2·3 n－1 －1解析 设 an＋t＝3(a n－1 ＋t)，则 an＝3a n－1 ＋2t.∴t＝1，于是 an＋1＝3(a n－1 ＋1)．∴{a n＋1}是以 a1＋1＝2 为首项，以 3 为公比的等比数列．∴a n＝2·3 n－1 －1.13．在数列{a n}中，a 1＝2，a n＝2a n－1 ＋2 n＋1 (n≥2)，则 an＝________．答案 (2n－1)·2 n解析 ∵a 1＝2，a n＝2a n－1 ＋2 n＋1 (n≥2)，∴ ＝ ＋2.令 bn＝ ，则 bn－b n－1 ＝2(n≥2)，b 1＝1.an2n an－ 12n－ 1 an2n4∴b n＝1＋(n－1)·2＝2n－1，则 an＝(2n－1)·2 n.14．已知数列{a n}的首项 a1＝ ，其前 n 项和 Sn＝n 2an(n≥1)，则数列{a n}的通项公式为12________．答案 a n＝1n（ n＋ 1）解析 由 a1＝ ，S n＝n 2an，①12∴S n－1 ＝(n－1) 2an－1 .②①－②，得 an＝S n－S n－1 ＝n 2an－(n－1) 2an－1 ，即 an＝n 2an－(n－1) 2an－1 ，亦即 ＝ (n≥2)．anan－ 1 n－ 1n＋ 1∴ ＝ · ·…· · ＝ · · ·…· · ＝ .ana1 anan－ 1 an－ 1an－ 2 a3a2 a2a1 n－ 1n＋ 1 n－ 2n n－ 3n－ 1 24 13 2n（ n＋ 1）∴a n＝ .1n（ n＋ 1）15．(2017·太原二模)已知数列{a n}满足 a1＝1，a n－a n＋1 ＝ (n∈N *)，则2anan＋ 1n（ n＋ 1）an＝________．答案 n3n－ 2解析 由 an－a n＋1 ＝ 得 － ＝ ＝2×( － )，则由累加法得2anan＋ 1n（ n＋ 1） 1an＋ 1 1an 2n（ n＋ 1） 1n 1n＋ 1－ ＝2(1－ )，又因为 a1＝1，所以 ＝2(1－ )＋1＝ ，所以 an＝ .1an 1a1 1n 1an 1n 3n－ 2n n3n－ 216．(2018·河北唐山一中模拟)已知首项为 7 的数列{a n}满足 ＝3 n＋1 (n∈N *)，∑n i＝ 2 ai2i－ 1则数列{a n}的通项公式为________．答案 a n＝ {7（ n＝ 1） ，6n（ n≥ 2） ， )解析 当 n≥2 时， ＝3 n，又 ＝3 n＋1 ，两式相减，得 ＝2×3 n，所以n－ 1∑i＝ 2ai2i－ 1n∑i＝ 2ai2i－ 1 an2n－ 1an＝6 n.由于 a1＝7 不符合 an＝6 n，所以数列{a n}的通项公式为 an＝ {7（ n＝ 1） ，6n（ n≥ 2） .)17．数列{a n}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝n(n＋1)(n∈N *)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足：a n＝ ＋ ＋ ＋…＋ ，求数列{b n}的通项公式．b13＋ 1 b232＋ 1 b333＋ 1 bn3n＋ 1答案 (1)a n＝2n (2)b n＝2(3 n＋1)5解析 (1)当 n＝1 时，a 1＝S 1＝2，当 n≥2 时，a n＝S n－S n－1 ＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，知a1＝2 满足该式，∴数列{a n}的通项公式为 an＝2n.(2)∵a n＝ ＋ ＋ ＋…＋ (n≥1)，①b13＋ 1 b232＋ 1 b333＋ 1 bn3n＋ 1∴a n＋1 ＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ .②b13＋ 1 b232＋ 1 b333＋ 1 bn3n＋ 1 bn＋ 13n＋ 1＋ 1②－①，得 ＝a n＋1 －a n＝2，b n＋1 ＝2(3 n＋1 ＋1)．bn＋ 13n＋ 1＋ 1故 bn＝2(3 n＋1)(n∈N *)．1．(2017·衡水调研)运行如图的程序框图，则输出的结果是( )A．2 016 B．2 015C. D.12 016 12 015答案 D解析 如果把第 n 个 a 值记作 an，第 1 次运行后得到 a2＝ ，第 2 次运行后得到 a3＝a1a1＋ 1，…，第 n 次运行后得到 an＋1 ＝ ，则这个程序框图的功能是计算数列{a n}的第a2a2＋ 1 anan＋ 12 015 项．将 an＋1 ＝ 变形为 ＝ ＋1，故数列{ }是首项为 1，公差为 1 的等差anan＋ 1 1an＋ 1 1an 1an数列，故 ＝n，即 an＝ ，所以输出结果是 .故选 D.1an 1n 12 0152．若数列{a n}满足 a1＝1，a n＋1 ＝2 nan，则数列{a n}的通项公式 an＝________．答案 2n（ n－ 1）2解析 由于 ＝2 n，故 ＝2 1， ＝2 2，…， ＝2 n－1 ，将这 n－1 个等式叠乘，得an＋ 1an a2a1 a3a2 anan－ 16＝2 1＋2＋…＋(n－1) ＝2 ，故 an＝2 .ana1 n（ n－ 1）2 n（ n－ 1）2 3．已知 Sn为数列{a n}的前 n 项， ＋ ＋ ＋…＋ ＝a n－2(n≥2)，且 a1＝2，则{a n}的a12 a23 a34 an－ 1n通项公式为________．答案 a n＝n＋1解析 ∵ ＋ ＋ ＋…＋ ＝a n－2(n≥2)，∴当 n＝2 时， ＝a 2－2，解得 a2＝3.a12 a23 a34 an－ 1n a12＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＝a n＋1 －2， ＝a n＋1 －2－(a n－2)(n≥2)，得 ＝a12 a23 a34 an－ 1n ann＋ 1 ann＋ 1 an＋ 1n＋ 2(n≥2)，∴ ＝ ＝…＝ ＝1，∴a n＝n＋1(n≥2)，当 n＝1 时也满足，故ann＋ 1 an＋ 1n＋ 2 ann＋ 1 a23an＝n＋1.