2019版高考数学一轮总复习 坐标系与参数方程（课件+练习）（打包4套）理.zip

1题组训练 89 坐标系1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 后，曲线 C变为曲线{x′ ＝ 5x，y′ ＝ 3y)x′ 2＋y′ 2＝1，则曲线 C的方程为( )A．25x 2＋9y 2＝1 B．9x 2＋25y 2＝1C．25x＋9y＝1 D. ＋ ＝1x225 y29答案 A2．化极坐标方程 ρ 2cosθ－ρ＝0 为直角坐标方程为( )A．x 2＋y 2＝0 或 y＝1 B．x＝1C．x 2＋y 2＝0 或 x＝1 D．y＝1答案 C3．在极坐标系中，极坐标为(2， )的点到极点和极轴的距离分别为( )π6A．1，1 B．1，2C．2，1 D．2，2答案 C解析 点(ρ，θ)到极点和极轴的距离分别为 ρ，ρ|sinθ|，所以点(2， )到极点和极π6轴的距离分别为 2，2sin ＝1.π64．在极坐标系中，点(2，－ )到圆 ρ＝－2cosθ 的圆心的距离为( )π3A．2 B.4＋ π 29C. D.9＋ π 29 7答案 D解析 在直角坐标系中，点(2，－ )的直角坐标为(1，－ )，圆 ρ＝－2cosθ 的直角坐π3 3标方程为 x2＋y 2＝－2x，即(x＋1) 2＋y 2＝1，圆心为(－1，0)，所以所求距离为＝ .故选 D.（ 1＋ 1） 2＋ （ － 3－ 0） 2 75．(2017·皖北协作区联考)在极坐标系中，直线 ρ( cosθ－sinθ)＝2 与圆3ρ＝4sinθ 的交点的极坐标为( )2A．(2， ) B．(2， )π6 π3C．(4， ) D．(4， )π6 π3答案 A解析 ρ( cosθ－sinθ)＝2 可化为直角坐标方程 x－y＝2，即 y＝ x－2.3 3 3ρ＝4sinθ 可化为 x2＋y 2＝4y，把 y＝ x－2 代入 x2＋y 2＝4y，得 4x2－8 x＋12＝0，即3 3x2－2 x＋3＝0，所以 x＝ ，y＝1.3 3所以直线与圆的交点坐标为( ，1)，化为极坐标为(2， )，故选 A.3π66．在极坐标系中，与圆 ρ＝4sinθ 相切的一条直线的方程是( )A．ρsinθ＝2 B．ρcosθ＝2C．ρcosθ＝4 D．ρcosθ＝－4答案 B解析 方法一：圆的极坐标方程 ρ＝4sinθ 即 ρ 2＝4ρsinθ，所以直角坐标方程为x2＋y 2－4y＝0.选项 A，直线 ρsinθ＝2 的直角坐标方程为 y＝2，代入圆的方程，得 x2＝4，∴x＝±2，不符合题意；选项 B，直线 ρcosθ＝2 的直角坐标方程为 x＝2，代入圆的方程，得(y－2)2＝0，∴y＝2，符合题意．同理，以后选项都不符合题意．方法二：如图，⊙C 的极坐标方程为 ρ＝4sinθ，CO⊥Ox，OA 为直径，|OA|＝4，直线 l和圆相切，l交极轴于点 B(2，0)，点 P(ρ，θ)为 l上任意一点，则有 cosθ＝ ＝ ，得 ρcosθ＝2.|OB||OP| 2ρ7．在极坐标系中，曲线 ρ 2－6ρcosθ－2ρsinθ＋6＝0 与极轴交于 A，B 两点，则 A，B两点间的距离等于( )A. B．23 3C．2 D．415答案 B解析 化极坐标方程为直角坐标方程得 x2＋y 2－6x－2y＋6＝0，易知此曲线是圆心为(3，1)，半径为 2的圆，如图所示．可计算|AB|＝2 .338．在极坐标系中，圆 ρ＝2cosθ 的圆心的极坐标是________，它与方程 θ＝ (ρ0)所π4表示的图形的交点的极坐标是________．答案 (1，0)，( ， )2π4解析 ρ＝2cosθ 表示以点(1，0)为圆心，1 为半径的圆，故圆心的极坐标为(1，0)．当 θ＝ 时，ρ＝ ，故交点的极坐标为( ， )．π4 2 2 π49．(2018·广州综合测试一)在极坐标系中，直线 ρ(sinθ－cosθ)＝a 与曲线ρ＝2cosθ－4sinθ 相交于 A，B 两点，若|AB|＝2 ，则实数 a的值为________．3答案 －5 或－1解析 将直线 ρ(sinθ－cosθ)＝a 化为普通方程，得 y－x＝a，即 x－y＋a＝0，将曲线ρ＝2cosθ－4sinθ 的方程化为普通方程，得 x2＋y 2＝2x－4y，即(x－1) 2＋(y＋2) 2＝5，圆心坐标为(1，－2)，半径长为 r＝ .设圆心到直线 AB的距离为 d，由勾股定理可得 d＝5＝ ＝ ，而 d＝ ＝ ＝ ，所以r2－ （ |AB|2） 2 5－ （ 232） 2 2 |1－ （ － 2） ＋ a|12＋ （ － 1） 2 |a＋ 3|2 2|a＋3|＝2，解得 a＝－5 或 a＝－1.10．(2017·天津，理)在极坐标系中，直线 4ρcos(θ－ )＋1＝0 与圆 ρ＝2sinθ 的公π6共点的个数为________．答案 2解析 依题意，得 4ρ( cosθ＋ sinθ)＋1＝0，即 2 ρcosθ＋2ρsinθ＋1＝0，所以32 12 3直线的直角坐标方程为 2 x＋2y＋1＝0.由 ρ＝2sinθ，得 ρ 2＝2ρsinθ，所以圆的直3角坐标方程为 x2＋y 2＝2y，即 x2＋(y－1) 2＝1，其圆心(0，1)到直线 2 x＋2y＋1＝0 的距3离 d＝ 0，0≤θ2π)，曲线 C在点(2， )处的切线为 l，以极点为坐标原点，以极轴为 x轴的正半轴建立直角坐标系，π4则 l的直角坐标方程为________．答案 x＋y－2 ＝02解析 根据极坐标与直角坐标的转化公式可以得到曲线 ρ＝2⇒x 2＋y 2＝4，点(2， )⇒(π4， )．因为点( ， )在圆 x2＋y 2＝4 上，故圆在点( ， )处的切线方程为2 2 2 2 2 2x＋ y＝4⇒x＋y－2 ＝0，故填 x＋y－2 ＝0.2 2 2 216．在直角坐标系 xOy中，以原点 O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知5圆 C的圆心的极坐标为( ， )，半径 r＝ ，点 P的极坐标为(2，π)，过 P作直线 l交2π4 2圆 C于 A，B 两点．(1)求圆 C的直角坐标方程；(2)求|PA|·|PB|的值．答案 (1)(x－1) 2＋(y－1) 2＝2 (2)8解析 (1)圆 C的圆心的极坐标 C( ， )，2π4∴x＝ cos ＝1，y＝ sin ＝1，2π4 2 π4∴圆 C的直角坐标方程为(x－1) 2＋(y－1) 2＝2.(2)点 P的极坐标为(2，π)，化为直角坐标为 P(－2，0)．当直线 l与圆 C相切于点 D时，则|PD|2＝|PC| 2－r 2＝(－2－1) 2＋(0－1) 2－( )2＝8.2∴|PA|·|PB|＝|PD| 2＝8.17．(2018·河北唐山模拟)在极坐标系 Ox中，直线 C1的极坐标方程为 ρsinθ＝2，M 是C1上任意一点，点 P在射线 OM上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点 P的轨迹为 C2.(1)求曲线 C2的极坐标方程；(2)求曲线 C2上的点到直线 C3：ρcos(θ＋ )＝ 距离的最大值．π4 2答案 (1)ρ＝2sinθ(ρ≠0) (2)1＋322解析 (1)设 P(ρ，θ)，M(ρ 1，θ)，依题意有ρ 1sinθ＝2，ρρ 1＝4.消去 ρ 1，得曲线 C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ(ρ≠0)．(2)将 C2，C 3的极坐标方程化为直角坐标方程，得 C2：x 2＋(y－1) 2＝1，C 3：x－y＝2.C2是以点(0，1)为圆心，以 1为半径的圆，圆心到直线 C3的距离 d＝ ，故曲线 C2上的322点到直线 C3距离的最大值为 1＋ .32218．(2017·广东珠海质检)在平面直角坐标系 xOy中，以原点 O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程是 ρcos(θ－ )＝2 ，圆 C的极坐标方程是π4 2ρ＝4sinθ.(1)求 l与 C交点的极坐标；6(2)设 P为 C的圆心，Q 为 l与 C交点连线的中点，已知直线 PQ的参数方程是(t为参数)，求 a，b 的值．{x＝ 3t＋ a，y＝ b23t＋ 1)答案 (1)(4， )或(2 ， ) (2)a＝－1 b＝2π2 2 π4解析 (1)将 ρ＝4sinθ 代入 ρcos(θ－ )＝2 ，得 sinθcosθ＝cos 2θ，所以π4 2cosθ＝0 或 tanθ＝1，取 θ＝ 或 θ＝ .再由 ρ＝4sinθ 得 ρ＝4 或 ρ＝2 .所以 lπ2 π4 2与 C交点的极坐标是(4， )或(2 ， )．π2 2 π4(2)∵圆 C的极坐标方程是 ρ＝4sinθ，∴圆 C的直角坐标方程是 x2＋(y－2) 2＝4.即 P点坐标为(0，2)．由(1)知 l与 C交点的直角坐标为(0，4)，(2，2)．即 Q点的直角坐标为(1，3)．将 PQ的参数方程化为普通方程得 y＝ (x－a)＋1.将 P，Q 两b2点坐标代入，得 解得 a＝－1，b＝2.{2＝ － ab2＋ 1，3＝ b2（ 1－ a） ＋ 1， )1．(2015·北京)在极坐标系中，点(2， )到直线 ρ(cosθ＋ sinθ)＝6 的距离为π3 3________．答案 1解析 点(2， )的直角坐标为(1， )，直线 ρ(cosθ＋ sinθ)＝6 的直角坐标方程为π3 3 3x＋ y－6＝0，所以点(1， )到直线的距离 d＝ ＝1.3 3|1＋ 3×3－ 6|1＋ 32．(2016·北京)在极坐标系中，直线 ρcosθ－ ρsinθ－1＝0 与圆 ρ＝2cosθ 交于3A，B 两点，则|AB|＝________．答案 2解析 将直线 ρcosθ－ ρsinθ－1＝0 化为直角坐标方程为 x－ y－1＝0，将圆3 3ρ＝2cosθ 化为直角坐标方程为 x2＋y 2＝2x，则圆心坐标(1，0)，半径为 1，由于圆心(1，0)在直线 x－ y－1＝0 上，因此|AB|＝2.33．(2014·陕西)在极坐标系中，点(2， )到直线 ρsin(θ－ )＝1 的距离是________．π6 π67答案 1解析 ρsin(θ－ )＝ρ(sinθcos －sin cosθ)＝1，π6 π6 π6因为在极坐标系中，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，所以直线可化为 x－ y＋2＝0.3同理点(2， )可化为( ，1)，π6 3所以点到直线距离 d＝ ＝1.|3－ 3＋ 2|3＋ 14．在极坐标系中，已知圆 ρ＝2cosθ 与直线 4ρcosθ＋3ρsinθ＋a＝0 相切，则a＝________．答案 1 或－9解析 圆 ρ＝2cosθ 即 ρ 2＝2ρcosθ，即(x－1) 2＋y 2＝1，直线4ρcosθ＋3ρsinθ＋a＝0，即 4x＋3y＋a＝0，已知圆 ρ＝2cosθ 与直线 4ρcosθ＋3ρsinθ＋a＝0 相切，∴圆心到直线的距离等于半径．即 ＝1，解得 a＝1 或－9.|4＋ 0＋ a|42＋ 325．(2015·安徽)在极坐标系中，圆 ρ＝8sinθ 上的点到直线 θ＝ (ρ∈R)距离的最大π3值是________．答案 6解析 由 ρ＝8sinθ⇒ρ 2＝8ρsinθ⇒x 2＋y 2－8y＝0，x 2＋(y－4) 2＝16，圆心坐标为(0，4)，半径 r＝4.由 θ＝ ⇒y＝ x，则圆心到直线的距离 d＝2.∴圆上的点到直线距π3 3离的最大值为 2＋4＝6.6．在极坐标系中，曲线 C1：ρ＝2 与曲线 C2：ρ＝4sinθ( θπ)交点的极坐标是π2________．答案 (2， )5π6解析 由题意分析可得，曲线 C1是圆心为(0，0)，半径为 2的圆，曲线 C1的方程为x2＋y 2＝4.对 ρ＝4sinθ 变形得 ρ 2＝4ρsinθ，所以曲线 C2的方程为 x2＋y 2＝4y.联立两个方程，解得 或 又∵ θπ，∴交点为(－ ，1)，转化为极坐标{x＝ 3，y＝ 1， ) {x＝ － 3，y＝ 1. ) π2 3ρ＝2，tanθ＝ ，由题意 θ＝ ，所以交点的极坐标为(2， )．1－ 3 5π6 5π687．(2017·唐山模拟)已知圆 C：x 2＋y 2＝4，直线 l：x＋y＝2.以 O为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆 C和直线 l的方程化为极坐标方程；(2)P是 l上的点，射线 OP交圆 C于点 R，又点 Q在 OP上且满足|OQ|·|OP|＝|OR| 2，当点P在 l上移动时，求点 Q轨迹的极坐标方程．答案 (1)C：ρ＝2 l：ρ(cosθ＋sinθ)＝2 (2)ρ＝2(cosθ＋sinθ)(ρ≠0)解析 (1)将 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ 代入圆 C和直线 l的直角坐标方程得其极坐标方程为C：ρ＝2，l：ρ(cosθ＋sinθ)＝2.(2)设 P，Q，R 的极坐标分别为(ρ 1，θ)，(ρ，θ)，(ρ 2，θ)，则由|OQ|·|OP|＝|OR| 2得 ρρ 1＝ρ 22.又 ρ 2＝2，ρ 1＝ ，2cosθ ＋ sinθ所以 ＝4，2ρcosθ ＋ sinθ故点 Q轨迹的极坐标方程为 ρ＝2(cosθ＋sinθ)(ρ≠0)．8．(2014·辽宁)将圆 x2＋y 2＝1 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2倍，得曲线 C.(1)写出 C的参数方程；(2)设直线 l：2x＋y－2＝0 与 C的交点为 P1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2的中点且与 l垂直的直线的极坐标方程．答案 (1) (t为参数) (2)ρ＝{x＝ cost，y＝ 2sint， ) 34sinθ － 2cosθ解析 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为 C上点(x，y)，依题意，得{x＝ x1，y＝ 2y1， )由 x12＋y 12＝1 得 x2＋( )2＝1，即曲线 C的方程为 x2＋ ＝1.y2 y24故 C的参数方程为 (t为参数){x＝ cost，y＝ 2sint， )(2)由 解得 或{x2＋ y24＝ 1，2x＋ y－ 2＝ 0， ) {x＝ 1，y＝ 0， ) {x＝ 0，y＝ 2.)不妨设 P1(1，0)，P 2(0，2)，则线段 P1P2的中点坐标为( ，1)，所求直线斜率为 k＝ ，于12 12是所求直线方程为 y－1＝ (x－ )，化为极坐标方程，并整理得12 1292ρcosθ－4ρsinθ＝－3，即 ρ＝ .34sinθ － 2cosθ1题组训练 90 参数方程1．直线 (t为参数)的倾斜角为( ){x＝ 1＋ tsin70°，y＝ 2＋ tcos70°)A．70° B．20°C．160° D．110°答案 B解析 方法一：将直线参数方程化为标准形式：(t为参数)，则倾斜角为 20°，故选 B.{x＝ 1＋ tcos20°，y＝ 2＋ tsin20°)方法二：tanα＝ ＝ ＝tan20°，∴α＝20°.cos70°sin70°sin20°cos20°另外，本题中直线方程若改为 ，则倾斜角为 160°.{x＝ 1－ tsin70°y＝ 2＋ tcos70°)2．若直线的参数方程为 (t为参数)，则直线的斜率为( ){x＝ 1＋ 2t，y＝ 2－ 3t)A. B．－23 23C. D．－32 32答案 D3．参数方程 (θ 为参数)表示的曲线上的点到坐标轴的最近距离为( ){x＝ － 3＋ 2cosθ ，y＝ 4＋ 2sinθ )A．1 B．2C．3 D．4答案 A解析 参数方程 (θ 为参数)表示的曲线的普通方程为(x＋3) 2＋(y－4){x＝ － 3＋ 2cosθ ，y＝ 4＋ 2sinθ )2＝4，这是圆心为(－3，4)，半径为 2的圆，故圆上的点到坐标轴的最近距离为 1.4．(2018·皖南八校联考)若直线 l： (t为参数)与曲线 C： (θ{x＝ 2t，y＝ 1－ 4t) {x＝ 5cosθ ，y＝ m＋ 5sinθ )为参数)相切，则实数 m为( )A．－4 或 6 B．－6 或 4C．－1 或 9 D．－9 或 1答案 A解析 由 (t为参数)，得直线 l：2x＋y－1＝0，由 (θ 为参数)，{x＝ 2t，y＝ 1－ 4t) {x＝ 5cosθ ，y＝ m＋ 5sinθ )得曲线 C：x 2＋(y－m) 2＝5，因为直线与曲线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即2＝ ，解得 m＝－4 或 m＝6.|m－ 1|22＋ 1 55．(2014·安徽，理)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线 l的参数方程是 (t为参数)，{x＝ t＋ 1，y＝ t－ 3)圆 C的极坐标方程是 ρ＝4cosθ，则直线 l被圆 C截得的弦长为( )A. B．214 14C. D．22 2答案 D解析 由题意得直线 l的方程为 x－y－4＝0，圆 C的方程为(x－2) 2＋y 2＝4.则圆心到直线的距离 d＝ ，故弦长＝2 ＝2 .2 r2－ d2 26．(2017·北京朝阳二模)在直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为 (t为参数){x＝ t，y＝ 4＋ t)．以原点 O为极点，以 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 ρ＝4·sin(θ＋ )，则直线 l和曲线 C的公共点有( )2π4A．0 个 B．1 个C．2 个 D．无数个答案 B解析 直线 l： (t为参数)化为普通方程得 x－y＋4＝0；{x＝ t，y＝ 4＋ t)曲线 C：ρ＝4 sin(θ＋ )化成普通方程得(x－2) 2＋(y－2) 2＝8，2π4∴圆心 C(2，2)到直线 l的距离为 d＝ ＝2 ＝r.|2－ 2＋ 4|2 2∴直线 l与圆 C只有一个公共点，故选 B.7．在直角坐标系中，已知直线 l： (s为参数)与曲线 C： (t为参数)相{x＝ 1＋ s，y＝ 2－ s) {x＝ t＋ 3，y＝ t2 )交于 A，B 两点，则|AB|＝________．答案 2解析 曲线 C可化为 y＝(x－3) 2，将 代入 y＝(x－3) 2，化简解得{x＝ 1＋ s，y＝ 2－ s)s1＝1，s 2＝2，所以|AB|＝ |s1－s 2|＝ .12＋ 12 28．(2017·人大附中模拟)已知直线 l的参数方程为 (t为参数)，圆 C的极坐标{x＝ 2－ ty＝ 1＋ 3t)方程为 ρ＋2sinθ＝0，若在圆 C上存在一点 P，使得点 P到直线 l的距离最小，则点 P的直角坐标为________．3答案 ( ，－ )32 12解析 由已知得，直线 l的普通方程为 y＝－ x＋1＋2 ，圆 C的直角坐标方程为3 3x2＋(y＋1) 2＝1，在圆 C上任取一点 P(cosα，－1＋sinα)(α∈[0，2π))，则点 P到直线 l的距离为 d＝ ＝ ＝|3cosα ＋ sinα － 2－ 23|1＋ 3 |2sin（ α ＋ π3） － 2－ 23|2.∴当 α＝ 时，d min＝ ，此时 P( ，－ )．2＋ 23－ 2sin（ α ＋ π3）2 π6 3 32 129．(2018·衡水中学调研)已知直线 l的参数方程为 (t为参数)，以坐{x＝ － 2＋ tcosα ，y＝ tsinα )标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为ρ＝2sinθ－2cosθ.(1)求曲线 C的参数方程；(2)当 α＝ 时，求直线 l与曲线 C交点的极坐标．π4答案 (1) (φ 为参数) (2)(2， )，(2，π){x＝ － 1＋ 2cosφ ，y＝ 1＋ 2sinφ ) π2解析 (1)由 ρ＝2sinθ－2cosθ，可得 ρ 2＝2ρsinθ－2ρcosθ.所以曲线 C的直角坐标方程为 x2＋y 2＝2y－2x，化为标准方程为(x＋1) 2＋(y－1) 2＝2.曲线 C的参数方程为 (φ 为参数)．{x＝ － 1＋ 2cosφ ，y＝ 1＋ 2sinφ )(2)当 α＝ 时，直线 l的方程为 化为普通方程为 y＝x＋2.π4 {x＝ － 2＋ 22t，y＝ 22t， )由 解得 或{x2＋ y2＝ 2y－ 2x，y＝ x＋ 2， ) {x＝ 0，y＝ 2) {x＝ － 2，y＝ 0. )所以直线 l与曲线 C交点的极坐标分别为(2， )，(2，π)．π210．(2016·课标全国Ⅱ)在直角坐标系 xOy中，圆 C的方程为(x＋6) 2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C的极坐标方程；(2)直线 l的参数方程是 (t为参数)，l 与 C交于 A，B 两点，|AB|＝ ，求{x＝ tcosα ，y＝ tsinα ) 10l的斜率．4答案 (1)ρ 2＋12ρcosθ＋11＝0 (2) 或－153 153解析 (1)由 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ 可得圆 C的极坐标方程为 ρ 2＋12ρcosθ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线 l的极坐标方程为 θ＝α(ρ∈R)．设 A，B 所对应的极径分别为 ρ 1，ρ 2，将 l的极坐标方程代入 C的极坐标方程得ρ 2＋12ρcosα＋11＝0.于是 ρ 1＋ρ 2＝－12cosα，ρ 1ρ 2＝11.|AB|＝|ρ 1－ρ 2|＝ （ ρ 1＋ ρ 2） 2－ 4ρ 1ρ 2＝ .144cos2α － 44由|AB|＝ 得 cos2α＝ ，tanα＝± .1038 153所以 l的斜率为 或－ .153 15311．(2017·江苏，理)在平面直角坐标系 xOy中，已知直线 l的参数方程为(t为参数)，曲线 C的参数方程为 (s为参数)．设 P为曲线 C上的{x＝ － 8＋ t，y＝ t2 ) {x＝ 2s2，y＝ 22s)动点，求点 P到直线 l的距离的最小值．答案 455解析 直线 l的普通方程为 x－2y＋8＝0.因为点 P在曲线 C上，设 P(2s2，2 s)，2从而点 P到直线 l的距离 d＝ ＝ .|2s2－ 42s＋ 8|12＋ （ － 2） 2 2（ s－ 2） 2＋ 45当 s＝ 时，s min＝ .2455因此当点 P的坐标为(4，4)时，曲线 C上点 P到直线 l的距离取到最小值为 .45512．(2018·湖南省五市十校高三联考)在直角坐标系 xOy中，设倾斜角为 α 的直线 l的参数方程为 (t为参数)，直线 l与曲线 C： (θ 为参数)相交于{x＝ 3＋ tcosα ，y＝ tsinα ) {x＝ 1cosθ ，y＝ tanθ )不同的两点 A，B.(1)若 α＝ ，求线段 AB的中点的直角坐标；π3(2)若直线 l的斜率为 2，且过已知点 P(3，0)，求|PA|·|PB|的值．5答案 (1)( ， ) (2)92 332 403解析 (1)由曲线 C： (θ 为参数)，可得曲线 C的普通方程是 x2－y 2＝1.{x＝ 1cosθ ，y＝ tanθ )当 α＝ 时，直线 l的参数方程为 (t为参数)，π3 {x＝ 3＋ 12t，y＝ 32t )代入曲线 C的普通方程，得 t2－6t－16＝0，设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t 2，则t1＋t 2＝6，所以线段 AB的中点对应的 t＝ ＝3，t1＋ t22故线段 AB的中点的直角坐标为( ， )．92 332(2)将直线 l的参数方程代入曲线 C的普通方程，化简得(cos 2α－sin 2α)t2＋6tcosα＋8＝0，则|PA|·|PB|＝|t 1t2|＝| |8cos2α － sin2α＝| |，8（ 1＋ tan2α ）1－ tan2α由已知得 tanα＝2，故|PA|·|PB|＝ .40313．(2018·东北三省四市二模)已知在平面直角坐标系 xOy中，以 O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线 C1的极坐标方程为 ρ＝4cosθ，直线 l的参数方程是(t为参数)．{x＝ 1－ 255t，y＝ 1＋ 55t )(1)求曲线 C1的直角坐标方程及直线 l的普通方程；(2)若曲线 C2的参数方程为 (α 为参数)，曲线 C1上的点 P的极角为 ，Q 为{x＝ 2cosα ，y＝ sinα ) π4曲线 C2上的动点，求 PQ的中点 M到直线 l的距离的最大值．答案 (1)x 2＋y 2－4x＝0，x＋2y－3＝0 (2)105解析 (1)由 ρ＝4cosθ 得 ρ 2＝4ρcosθ，又 x2＋y 2＝ρ 2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以曲线 C1的直角坐标方程为x2＋y 2－4x＝0，由直线 l的参数方程消去参数 t得直线 l的普通方程为 x＋2y－3＝0.6(2)因为点 P的极坐标为(2 ， )，直角坐标为(2，2)，2π4点 Q的直角坐标为(2cosα，sinα)，所以 M(1＋cosα，1＋ sinα)，12点 M到直线 l的距离 d＝ ＝ |sin(α＋ )|，|1＋ cosα ＋ 2＋ sinα － 3|5 105 π4当 α＋ ＝ ＋kπ(k∈Z)，即 α＝ ＋kπ(k∈Z)时，点 M到直线 l的距离 d的最大值为π4 π2 π4.10514．(2018·天星大联考)在平面直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为(t为参数)．以 O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐{x＝ t，y＝ － 1＋ 22t)标方程为 ρ＝2 cos(θ＋ )，若直线 l与曲线 C交于 A，B 两点．2π4(1)若 P(0，－1)，求|PA|＋|PB|；(2)若点 M是曲线 C上不同于 A，B 的动点，求△MAB 的面积的最大值．答案 (1) (2)2103 1059解析 (1)ρ＝2 cos(θ＋ )可化为 ρ＝2cosθ－2sinθ，将 代入，得曲2π4 {x＝ ρ cosθ ，y＝ ρ sinθ )线 C的直角坐标方程为(x－1) 2＋(y＋1) 2＝2.将直线 l的参数方程化为 (t{x＝ 13t，y＝ － 1＋ 223t)为参数)，代入(x－1) 2＋(y＋1) 2＝2，得 t2－ t－1＝0，设方程的解为 t1，t 2，则23t1＋t 2＝ ，t 1t2＝－1，23因而|PA|＋|PB|＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2|＝ ＝ .（ t1＋ t2） 2－ 4t1t22103(2)将直线 l的参数方程化为普通方程为 2 x－y－1＝0，设2M(1＋ cosθ，－1＋ sinθ)，2 2由点到直线的距离公式，得 M到直线 AB的距离为d＝ ＝ ，|22（ 1＋ 2cosθ ） ＋ 1－ 2sinθ － 1|3 |22＋ 4cosθ － 2sinθ |37最大值为 ，由(1)知|AB|＝|PA|＋|PB|＝ ，因而△MAB 面积的最大值为 × ×523 2103 12 523＝ .2103 10591．(2018·山西 5月联考改编)在平面直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为(t为参数，φ∈[0， ])，直线 l与⊙C：x 2＋y 2－2x－2 y＝0 交于{x＝ 2＋ tcosφ ，y＝ 3＋ tsinφ ) π3 3M，N 两点，当 φ 变化时，求弦长|MN|的取值范围．答案 [ ，4]13解析 将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中得，(2＋tcosφ) 2＋( ＋tsinφ) 2－2(2＋tcosφ)－2 ( ＋tsinφ)＝0，3 3 3整理得，t 2＋2tcosφ－3＝0，设 M，N 两点对应的参数分别为 t1，t 2，则 t1＋t 2＝－2cosφ，t 1·t2＝－3，∴|MN|＝|t 1－t 2|＝ ＝ ，（ t1＋ t2） 2－ 4t1·t2 4cos2φ ＋ 12∵φ∈[0， ]，∴cosφ∈[ ，1]，∴|MN|∈[ ，4]．π3 12 132．(2018·陕西省西安地区高三八校联考)在平面直角坐标系 xOy中，以坐标原点 O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 ρ＝2sinθ，θ∈[0，2π)．(1)求曲线 C的直角坐标方程；(2)在曲线 C上求一点 D，使它到直线 l： (t为参数，t∈R)的距离最短，{x＝ 3t＋ 3，y＝ － 3t＋ 2， )并求出点 D的直角坐标．答案 (1)x 2＋y 2－2y＝0(或 x2＋(y－1) 2＝1) (2)( ， )32 32解析 (1)由 ρ＝2sinθ，θ∈[0，2π)，可得 ρ 2＝2ρsinθ.因为 ρ 2＝x 2＋y 2，ρsinθ＝y，所以曲线 C的直角坐标方程为 x2＋y 2－2y＝0(或 x2＋(y－1) 2＝1)．(2)因为直线 l的参数方程为 (t为参数， t∈R)，消去 t得直线 l的普通方{x＝ 3t＋ 3，y＝ － 3t＋ 2， )程为 y＝－ x＋5.3因为曲线 C：x 2＋(y－1) 2＝1 是以(0，1)为圆心，1 为半径的圆，设点 D(x0，y 0)，且点 D到直线 l：y＝－ x＋5 的距离最短，所以曲线 C在点 D处的切线与直线 l：y＝－ x＋53 3平行，即直线 CD与 l的斜率的乘积等于－1，即 ×(－ )＝－1.①y0－ 1x0 38因为 x02＋(y 0－1) 2＝1，②由①②解得 x0＝－ 或 x0＝ ，32 32所以点 D的直角坐标为(－ ， )或( ， )．32 12 32 32由于点 D到直线 y＝－ x＋5 的距离最短，所以点 D的直角坐标为( ， )．332 323．(2014·课标全国Ⅰ)已知曲线 C： ＋ ＝1，直线 l： (t为参数)．x24 y29 {x＝ 2＋ t，y＝ 2－ 2t)(1)写出曲线 C的参数方程，直线 l的普通方程；(2)过曲线 C上任意一点 P作与 l夹角为 30°的直线，交 l于点 A，求|PA|的最大值与最小值．思路 (1)利用椭圆 ＋ ＝1(a0，b0)的参数方程为 (θ 为参数)，写出曲x2a2 y2b2 {x＝ acosθ ，y＝ bsinθ )线 C的参数方程．消去直线 l的参数方程中的参数 t可得直线 l的普通方程．(2)设出点 P的坐标的参数形式．求出点 P到直线 l的距离 d，则|PA|＝ .转化为求dsin30°关于 θ 的三角函数的最值问题，利用辅助角公式 asinθ＋bcosθ＝ sin(θ＋φ)a2＋ b2求解．答案 (1)C： (θ 为参数)，l：2x＋y－6＝0{x＝ 2cosθ ，y＝ 3sinθ )(2)|PA|max＝ ，|PA| min＝2255 255解析 (1)曲线 C的参数方程为 (θ 为参数)．{x＝ 2cosθ ，y＝ 3sinθ )直线 l的普通方程为 2x＋y－6＝0.(2)曲线 C上任意一点 P(2cosθ，3sinθ)到 l的距离为 d＝ |4cosθ＋3sinθ－6|，55则|PA|＝ ＝ |5sin(θ＋α)－6|，其中 α 为锐角，且 tanα＝ .dsin30°255 43当 sin(θ＋α)＝－1 时，|PA|取得最大值，最大值为 .2255当 sin(θ＋α)＝1 时，|PA|取得最小值，最小值为 .2554．(2015·福建)在平面直角坐标系 xOy中，圆 C的参数方程为 (t为参数){x＝ 1＋ 3cost，y＝ － 2＋ 3sint)．在极坐标系(与平面直角坐标系 xOy取相同的长度单位，且以原点 O为极点，以 x轴非负半轴为极轴)中，直线 l的方程为 ρsin(θ－ )＝m(m∈R)．2π49(1)求圆 C的普通方程及直线 l的直角坐标方程；(2)设圆心 C到直线 l的距离等于 2，求 m的值．答案 (1)(x－1) 2＋(y＋2) 2＝9，x－y＋m＝0(2)m＝－3±2 2解析 (1)消去参数 t，得到圆 C的普通方程为(x－1) 2＋(y＋2) 2＝9.由 ρsin(θ－ )＝m，得2π4ρsinθ－ρcosθ－m＝0.所以直线 l的直角坐标方程为 x－y＋m＝0.(2)依题意，圆心 C到直线 l的距离等于 2，即 ＝2，解得 m＝－3±2 .|1－ （ － 2） ＋ m|2 25．已知曲线 C1： (α 为参数)，C 2： (θ 为参数)．{x＝ － 4＋ cosα ，y＝ 3＋ sinα ) {x＝ 8cosθ ，y＝ 3sinθ )(1)分别求出曲线 C1，C 2的普通方程；(2)若 C1上的点 P对应的参数为 α＝ ，Q 为 C2上的动点，求 PQ中点 M到直线 C3：π2(t为参数)距离的最小值及此时 Q点坐标．{x＝ 3＋ 2t，y＝ － 2＋ t)答案 (1)C 1：(x＋4) 2＋(y－3) 2＝1 C 2： ＋ ＝1 (2) ，( ，－ )x264 y29 855 325 95解析 (1)由曲线 C1： (α 为参数)，得(x＋4) 2＋(y－3) 2＝1，{x＝ － 4＋ cosα ，y＝ 3＋ sinα )它表示一个以(－4，3)为圆心，以 1为半径的圆；由 C2： (θ 为参数)，得 ＋ ＝1，{x＝ 8cosθ ，y＝ 3sinθ ) x264 y29它表示一个中心为坐标原点，焦点在 x轴上，长半轴长为 8，短半轴长为 3的椭圆．(2)当 α＝ 时，P 点的坐标为(－4，4)，设 Q点坐标为(8cosθ，3sinθ)，PQ 的中点π2M(－2＋4cosθ，2＋ sinθ)．32∵C 3： ∴C 3的普通方程为 x－2y－7＝0，{x＝ 3＋ 2t，y＝ － 2＋ t， )∴d＝|－ 2＋ 4cosθ － 4－ 3sinθ － 7|5＝ ＝ ，|4cosθ － 3sinθ － 13|5 |5sin（ θ ＋ φ ） － 13|5∴当 sinθ＝－ ，cosθ＝ 时，d 的最小值为 ，35 45 85510∴Q 点坐标为( ，－ )．325 95(第二次作业)1．(2018·衡水中学调研卷)在平面直角坐标系 xOy中，曲线 C1： (φ 为参{x＝ 2cosφ ，y＝ sinφ )数)，曲线 C2：x 2＋y 2－2y＝0，以原点 O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝α(ρ≥0)与曲线 C1，C 2分别交于点 A，B(均异于原点 O)．(1)求曲线 C1，C 2的极坐标方程；(2)当 00，β 为参数)．以 O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，{x＝ a＋ acosβ ，y＝ asinβ )直线 l的极坐标方程为 ρcos(θ－ )＝ .π3 32(1)若曲线 C与 l只有一个公共点，求 a的值；(2)A，B 为曲线 C上的两点，且∠AOB＝ ，求△OAB 面积的最大值．π3答案 (1)a＝1 (2)33a24解析 (1)由题意知，曲线 C是以(a，0)为圆心，以 a为半径的圆，直线 l的直角坐标方程为 x＋ y－3＝0.3由直线 l与圆 C只有一个公共点，可得 ＝a，|a－ 3|211解得 a＝1，a＝－3(舍)．所以 a＝1.(2)曲线 C是以(a，0)为圆心，以 a为半径的圆，且∠AOB＝ ，由正弦定理得 ＝2a，π3 |AB|sinπ3所以|AB|＝ a.3又|AB| 2＝3a 2＝|OA| 2＋|OB| 2－2|OA|·|OB|·cos ≥|OA|·|OB|，π3所以 S△OAB ＝ |OA|·|OB|sin ≤ ×3a2× ＝ ，12 π3 12 32 33a24所以△OAB 面积的最大值为 .33a243．(2018·福建质检)在直角坐标系 xOy中，曲线 C1的参数方程为 (t为参{x＝ 2＋ 2cost，y＝ 2sint )数)．在以坐标原点 O为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ＝2sinθ，曲线 C3：θ＝ (ρ0)，A(2，0)．π6(1)把 C1的参数方程化为极坐标方程；(2)设 C3分别交 C1，C 2于点 P，Q，求△APQ 的面积．答案 (1)ρ＝4cosθ (2) －312解析 (1)曲线 C1的普通方程为(x－2) 2＋y 2＝4，即 x2＋y 2－4x＝0，所以 C1的极坐标方程为 ρ 2－4ρcosθ＝0，即 ρ＝4cosθ.(2)方法一：依题意，设点 P，Q 的极坐标分别为(ρ 1， )，(ρ 2， )．π6 π6将 θ＝ 代入 ρ＝4cosθ，得 ρ 1＝2 ，π6 3将 θ＝ 代入 ρ＝2sinθ，得 ρ 2＝1，π6所以|PQ|＝|ρ 1－ρ 2|＝2 －1，3点 A(2，0)到曲线 θ＝ (ρ0)的距离 d＝|OA|sin ＝1.π6 π6所以 S△APQ ＝ |PQ|·d＝ ×(2 －1)×1＝ .12 12 3 23－ 12方法二：依题意，设点 P，Q 的极坐标分别为(ρ 1， )，(ρ 2， )．π6 π6将 θ＝ 代入 ρ＝4cosθ，得 ρ 1＝2 ，得|OP|＝2 ，π6 3 3将 θ＝ 代入 ρ＝2sinθ，得 ρ 2＝1，即|OQ|＝1.π612因为 A(2，0)，所以∠POA＝ ，π6所以 S△APQ ＝S △OPA －S △OQA＝ |OA|·|OP|·sin － |OA|·|OQ|·sin12 π6 12 π6＝ ×2×2 × － ×2×1×12 3 12 12 12＝ － .3124．(2018·河北保定模拟)在平面直角坐标系中，将曲线 C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的 ，得到曲线 C2.以坐标原点 O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建12立极坐标系，已知曲线 C1的极坐标方程为 ρ＝2.(1)求曲线 C2的参数方程；(2)过坐标原点 O且关于 y轴对称的两条直线 l1与 l2分别交曲线 C2于 A，C 和 B，D，且点A在第一象限，当四边形 ABCD的周长最大时，求直线 l1的普通方程．答案 (1) (θ 为参数) (2)y＝ x{x＝ 2cosθy＝ sinθ ) 14解析 (1)由 ρ＝2，得 ρ 2＝4，因为 ρ 2＝x 2＋y 2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以曲线C1的直角坐标方程为 x2＋y 2＝4.由题可得曲线 C2的方程为 ＋y 2＝1.x24所以曲线 C2的参数方程为 (θ 为参数)．{x＝ 2cosθy＝ sinθ )(2)设四边形 ABCD的周长为 l，点 A(2cosθ，sinθ)，则 l＝8cosθ＋4sinθ＝4 ( cosθ＋ sinθ)＝4 sin(θ＋φ)，525 15 5其中 cosφ＝ ，sinφ＝ .15 25所以当 θ＋φ＝2kπ＋ (k∈Z)时，l 取得最大值，最大值为 4 .π2 5此时 θ＝2kπ＋ －φ(k∈Z)，π2所以 2cosθ＝2sinφ＝ ，sinθ＝cosφ＝ ，45 15此时 A( ， )．455 55所以直线 l1的普通方程为 y＝ x.14135．(2018·湖北鄂南高中模拟)在平面直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O{x＝ 3－ 22t，y＝ 5＋ 22t)为极点，以 x轴正半轴为极轴)中，圆 C的极坐标方程为 ρ＝2 sinθ.5(1)求直线 l的普通方程和圆 C的直角坐标方程；(2)设圆 C与直线 l交于 A，B 两点，若点 P的坐标为(3， )，求|PA|＋|PB|.5答案 (1)y＝－x＋3＋ ，x 2＋(y－ )2＝5 (2)35 5 2解析 (1)由直线 l的参数方程 (t为参数) 得直线 l的普通方程为{x＝ 3－ 22t，y＝ 5＋ 22t)y＝－x＋3＋ .5由 ρ＝2 sinθ，得 x2＋y 2－2 y＝0，5 5即圆 C的直角坐标方程为 x2＋(y－ )2＝5.5(2)通解：由 得 x2－3x＋2＝0，{x2＋ （ y－ 5） 2＝ 5，y＝ － x＋ 3＋ 5 )解得 或{x＝ 1，y＝ 2＋ 5) { x＝ 2，y＝ 1＋ 5.)不妨设 A(1，2＋ )，B(2，1＋ )，又点 P的坐标为(3， )．5 5 5故|PA|＋|PB|＝ ＋ ＝3 .8 2 2优解：将直线 l的参数方程代入圆 C的直角坐标方程，得(3－ t)2＋( t)2＝5，即 t2－322 22t＋ 4＝0.2由于 Δ＝(3 )2－4×4＝20，故可设 t1，t 2是上述方程的两个实根，所以2{t1＋ t2＝ 32，t1t2＝ 4. )又直线 l过点 P(3， )，5故|PA|＋|PB|＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 .26．(2017·江西南昌一模)在平面直角坐标系 xOy中，曲线 C1过点 P(a，1)，其参数方程为(t为参数，a∈R)．以 O为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲{x＝ a＋ 2t，y＝ 1＋ 2t)线 C2的极坐标方程为 ρcos 2θ＋4cosθ－ρ＝0.(1)求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程；(2)已知曲线 C1与曲线 C2交于 A，B 两点，且|PA|＝2|PB|，求实数 a的值．答案 (1)x－y－a＋1＝0，y 2＝4x (2) 或136 9414解析 (1)∵曲线 C1的参数方程为 {x＝ a＋ 2t，y＝ 1＋ 2t， )∴其普通方程为 x－y－a＋1＝0.∵曲线 C2的极坐标方程为 ρcos 2θ＋4cosθ－ρ＝0，∴ρ 2cos2θ＋4ρcosθ－ρ 2＝0，∴x 2＋4x－x 2－y 2＝0，即曲线 C2的直角坐标方程为 y2＝4x.(2)设 A，B 两点所对应的参数分别为 t1，t 2，由 得 2t2－2 t＋1－4a＝0.{y2＝ 4x，x＝ a＋ 2t，y＝ 1＋ 2t， ) 2Δ＝(2 )2－4×2(1－4a)0，即 a0，由根与系数的关系得2 {t1＋ t2＝ 2，t1·t2＝ 1－ 4a2 .)根据参数方程的几何意义可知|PA|＝2|t 1|，|PB|＝2|t 2|，又|PA|＝2|PB|可得 2|t1|＝2×2|t 2|，即 t1＝2t 2或 t1＝－2t 2.∴当 t1＝2t 2时，有 ，解得 a＝ 0，符合题意．{t1＋ t2＝ 3t2＝ 2，t1·t2＝ 2t22＝ 1－ 4a2 ) 136当 t1＝－2t 2时，有 ，解得 a＝ 0，符合题意．{t1＋ t2＝ － t2＝ 2，t1·t2＝ － 2t22＝ 1－ 4a2 ) 94综上所述，实数 a的值为 或 .136 94