2019版高考数学一轮总复习 第三章 导数及应用题组训练（打包5套）理.zip

1题组训练 15 导数的概念及运算1．y＝ln 的导函数为( )1xA．y′＝－ B．y′＝1x 1xC．y′＝lnx D．y′＝－ln(－x)答案 A解析 y＝ln ＝－lnx，∴y′＝－ .1x 1x2．(2018·东北师大附中摸底)曲线 y＝5x＋lnx 在点(1，5)处的切线方程为( )A．4x－y＋1＝0 B．4x－y－1＝0C．6x－y＋1＝0 D．6x－y－1＝0答案 D解析 将点(1，5)代入 y＝5x＋lnx 成立，即点(1，5)为切点．因为 y′＝5＋ ，所以 y′1x |)＝5＋ ＝6.x＝ 1 11所以切线方程为 y－5＝6(x－1)，即 6x－y－1＝0.故选 D.3．曲线 y＝ 在点(3，2)处的切线的斜率是( )x＋ 1x－ 1A．2 B．－2C. D．－12 12答案 D解析 y′＝ ＝－ ，故曲线在(3，2)（ x＋ 1） ′ （ x－ 1） － （ x＋ 1） （ x－ 1） ′（ x－ 1） 2 2（ x－ 1） 2处的切线的斜率 k＝y′| x＝3 ＝－ ＝－ ，故选 D.2（ 3－ 1） 2 124．一质点沿直线运动，如果由始点起经过 t秒后的位移为 s＝ t3－ t2＋2t，那么速度为13 32零的时刻是( )A．0 秒 B．1 秒末C．2 秒末 D．1 秒末和 2秒末答案 D解析 ∵s＝ t3－ t2＋2t，∴v＝s′(t)＝t 2－3t＋2.13 322令 v＝0，得 t2－3t＋2＝0，t 1＝1 或 t2＝2.5．(2018·郑州质量检测)已知曲线 y＝ －3lnx 的一条切线的斜率为 2，则切点的横坐标x22为( )A．3 B．2C．1 D.12答案 A解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，且 x00，由 y′＝x－ ，得 k＝x 0－ ＝2，3x 3x0∴x 0＝3.6．(2018·衡水调研卷)设 f(x)＝xlnx，若 f′(x 0)＝2，则 x0的值为( )A．e 2 B．eC. D．ln2ln22答案 B解析 由 f(x)＝xlnx，得 f′(x)＝lnx＋1.根据题意知 lnx0＋1＝2，所以 lnx0＝1，因此 x0＝e.7．(2018·山西名校联考)若函数 f(x)的导函数的图像关于 y轴对称，则 f(x)的解析式可能为( )A．f(x)＝3cosx B．f(x)＝x 3＋x 2C．f(x)＝1＋sin2x D．f(x)＝e x＋x答案 C解析 A 项中，f′(x)＝－3sinx，是奇函数，图像关于原点对称，不关于 y轴对称；B 项中，f′(x)＝3x 2＋2x＝3(x＋ )2－ ，其图像关于直线 x＝－ 对称；C 项中，f′(x)13 13 13＝2cos2x，是偶函数，图像关于 y轴对称；D 项中，f′(x)＝e x＋1，由指数函数的图像可知该函数的图像不关于 y轴对称．故选 C.8．(2018·安徽百校论坛联考)已知曲线 f(x)＝ 在点(1，f(1))处切线的斜率为 1，则ax2x＋ 1实数 a的值为( )A. B．－32 32C．－ D.34 43答案 D3解析 由 f′(x)＝ ＝ ，得 f′(1)＝ ＝1，解得 a＝ .故选 D.2ax（ x＋ 1） － ax2（ x＋ 1） 2 ax2＋ 2ax（ x＋ 1） 2 3a4 439．(2018·衡水中学调研卷)已知函数 f(x)＝ x2·sinx＋xcosx，则其导函数 f′(x)的图12像大致是( )答案 C解析 由 f(x)＝ x2sinx＋xcosx，得 f′(x)12＝xsinx＋ x2cosx＋cosx－xsinx＝ x2cosx＋cosx.由此可知，f′(x)是偶函数，其图像关12 12于 y轴对称，排除选项 A，B.又 f′(0)＝1，故选 C.10．f(x)与 g(x)是定义在 R上的两个可导函数，若 f(x)，g(x)满足 f′(x)＝g′(x)，则f(x)与 g(x)满足( )A．f(x)＝g(x) B．f(x)＝g(x)＝0C．f(x)－g(x)为常数函数 D．f(x)＋g(x)为常数函数答案 C11．(2017·《高考调研》原创题)设函数 f(x)在(0，＋∞)内可导，且 f(ex)＝x＋e x，则f′(2 017)＝( )A．1 B．2C. D.12 017 2 0182 017答案 D解析 令 ex＝t，则 x＝lnt，所以 f(t)＝lnt＋t，故 f(x)＝lnx＋x.求导得 f′(x)＝ ＋1，故 f′(2 017)＝ ＋1＝ .故选 D.1x 12 017 2 0182 01712．(2018·河南息县高中月考)若点 P是曲线 y＝x 2－lnx 上任意一点，则点 P到直线y＝x－2 距离的最小值为( )A．1 B. 2C. D.22 3答案 B解析 当过点 P的直线平行于直线 y＝x－2 且与曲线 y＝x 2－lnx 相切时，切点 P到直线4y＝x－2 的距离最小．对函数 y＝x 2－lnx 求导，得 y′＝2x－ .由 2x－ ＝1，可得切点坐1x 1x标为(1，1)，故点(1，1)到直线 y＝x－2 的距离为 ，即为所求的最小值．故选 B.213．(2018·重庆一中期中)已知函数 f(x)＝e x＋ae －x 为偶函数，若曲线 y＝f(x)的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标等于( )32A．ln2 B．2ln2C．2 D. 2答案 A解析 因为 f(x)是偶函数，所以 f(x)＝f(－x)，即 ex＋ae －x ＝e －x ＋ae －(－x) ，解得a＝1，所以 f(x)＝e x＋e －x ，所以 f′(x)＝e x－e －x .设切点的横坐标为 x0，则 f′(x 0)＝ex 0－e－x 0＝ .设 t＝ex 0(t0)，则 t－ ＝ ，解得 t＝2，即 ex0＝2，所以 x0＝ln2.故选32 1t 32A.14．已知 y＝ x3－x －1 ＋1，则其导函数的值域为________．13答案 [2，＋∞)15．已知函数 f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则 f′(0)＝________．答案 －120解析 f′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋x[(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′，所以 f′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.16．(2018·重庆巴蜀期中)曲线 f(x)＝lnx＋ x2＋ax 存在与直线 3x－y＝0 平行的切线，12则实数 a的取值范围是________．答案 (－∞，1]解析 由题意，得 f′(x)＝ ＋x＋a，故存在切点 P(t，f(t))，使得 ＋t＋a＝3，所以1x 1t3－a＝ ＋t 有解．因为 t0，所以 3－a≥2(当且仅当 t＝1 时取等号)，即 a≤1.1t17．设 f(x)是定义在 R上的奇函数，且当 x≥0 时，f(x)＝2x 2.(1)求 x0，f(x)＝－f(－x)＝－2(－x) 2＝－2x 2.5∴当 x0时，f′(x 0)＝4x 0＝g′(x 0)＝ ，解得，x 0＝± .故存在 x0＝ 满足条件．1x0 12 1218．(2018·河北卓越联盟月考)已知函数 f(x)＝x 3＋x－16.(1)求曲线 y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线 l为曲线 y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线 l的方程及切点坐标．答案 (1)y＝13x－32(2)直线 l的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)解析 (1)根据题意，得 f′(x)＝3x 2＋1.所以曲线 y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率 k＝f′(2)＝13，所以要求的切线的方程为 y＝13x－32.(2)设切点为(x 0，y 0)，则直线 l的斜率为 f′(x 0)＝3x 02＋1，所以直线 l的方程为 y＝(3x 02＋1)(x－x 0)＋x 03＋x 0－16.又直线 l过点(0，0)，则(3x02＋1)(0－x 0)＋x 03＋x 0－16＝0，整理得 x03＝－8，解得 x0＝－2，所以 y0＝(－2) 3＋(－2)－16＝－26，l 的斜率 k＝13，所以直线 l的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．1．曲线 y＝ － 在点 M( ，0)处的切线的斜率为( )sinxsinx＋ cosx 12 π4A．－ B.12 12C．－ D.22 22答案 B解析 ∵y′＝ ·[cosx(sinx＋cosx)－sinx·(cosx－sinx)]＝1（ sinx＋ cosx） 2，∴y′|x＝ ＝ ，∴k＝y′|x＝ ＝ .1（ sinx＋ cosx） 2 π4 12 π4 122．(2017·山东东营一模)设曲线 y＝sinx 上任一点(x，y)处切线的斜率为 g(x)，则函数y＝x 2g(x)的部分图像可能为( )6答案 C解析 根据题意得 g(x)＝cosx，所以 y＝x 2g(x)＝x 2cosx为偶函数．又 x＝0 时，y＝0.故选 C.3．(2017·山东烟台期末)若点 P是函数 y＝e x－e －x －3x(－ ≤x≤ )图像上任意一点，且12 12在点 P处切线的倾斜角为 α，则 α 的最小值是( )A. B.5π6 3π4C. D.π4 π6答案 B解析 由导数的几何意义，k＝y′＝e x＋e －x －3≥2 －3＝－1，当且仅当 x＝0 时ex·e－ x等号成立．即 tanα≥－1，α∈[0，π)，又∵tanαf(3)C．f(0)＝f(3) D．无法确定答案 B解析 由题意知 f(x)的图像是以 x＝1 为对称轴，且开口向下的抛物线，所以 f(0)＝f(2)f(3)．选 B.6．(2013·江西，文)若曲线 y＝x a＋1(a∈R)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则a＝________．答案 2解析 由题意 y′＝αx α－1 ，在点(1，2)处的切线的斜率为 k＝α，又切线过坐标原点，所以 α＝ ＝2.2－ 01－ 07．(2017·河北邯郸二模)曲线 y＝log 2x在点(1，0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．7答案 log2e12解析 ∵y′＝ ，∴k＝ .1xln2 1ln2∴切线方程为 y＝ (x－1)．1ln2∴三角形面积为 S△ ＝ ×1× ＝ ＝ log2e.12 1ln2 12ln2 128．若抛物线 y＝x 2－x＋c 上的一点 P的横坐标是－2，抛物线过点 P的切线恰好过坐标原点，则实数 c的值为________．答案 4解析 ∵y′＝2x－1，∴y′| x＝－2 ＝－5.又 P(－2，6＋c)，∴ ＝－5.∴c＝4.6＋ c－ 29．若曲线 y＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线方程为 2x＋y－1＝0，则( )A．f′(x 0)0 B．f′(x 0)0，排除 D，答案为 A.12．(2017·人大附中月考)曲线 y＝lgx 在 x＝1 处的切线的斜率是( )8A. B．ln101ln10C．lne D.1lne答案 A解析 因为 y′＝ ，所以 y′| x＝1 ＝ ，即切线的斜率为 .1x·ln10 1ln10 1ln1013．下列函数求导运算正确的是________．①(3 x)′＝3 xlog3e；②(log 2x)′＝ ；1x·ln2③(sin )′＝cos ；④( )′＝x.π3 π3 1lnx答案 ②14．(2016·天津文)已知函数 f(x)＝(2x＋1)e x，f′(x)为 f(x)的导函数，则 f′(0)的值为________．答案 3解析 ∵f′(x)＝2e x＋(2x＋1)e x＝(2x＋3)·e x，∴f′(0)＝3.15．(2016·课标全国Ⅲ，理)已知 f(x)为偶函数，当 x0时，f(x)＝lnx－3x，则 f′(x)＝ －3，f′(1)＝－2，则在点1x(1，－3)处的切线方程为 y＋3＝－2(x－1)，即 y＝－2x－1.16．(2015·课标全国Ⅱ)已知曲线 y＝x＋lnx 在点(1，1)处的切线与曲线 y＝ax 2＋(a＋2)x＋1 相切，则 a＝________．答案 8解析 由 y′＝1＋ 可得曲线 y＝x＋lnx 在点(1，1)处的切线斜率为 2，故切线方程为1xy＝2x－1，与 y＝ax 2＋(a＋2)x＋1 联立得 ax2＋ax＋2＝0，显然 a≠0，所以由Δ＝a 2－8a＝0⇒a＝8.17．y＝x·tanx 的导数为 y′＝________．答案 tanx＋xcos2x解析 y′＝(x·tanx)′＝x′tanx＋x(tanx)′＝tanx＋x·( )′＝tanx＋x· ＝tanx＋ .sinxcosx cos2x＋ sin2xcos2x xcos2x918．已知函数 f(x)＝f′( )cosx＋sinx，所以 f( )的值为________．π4 π4答案 1解析 因为 f′(x)＝－f′( )sinx＋cosx，所以 f′( )＝－f′( )sin ＋cos ，所π4 π4 π4 π4 π4以 f′( )＝ －1.故 f( )＝f′( )cos ＋sin ＝1.π4 2 π4 π4 π4 π419．(2018·山西太原期中)设曲线 y＝ 在点(1，1)处的切线与曲线 y＝e x在点 P处的切线1x垂直，则点 P的坐标为________．答案 (0，1)解析 由 y＝ 得 y′＝－ ，所以曲线 y＝ 在点(1，1)处的切线的斜率 k＝－1，所以曲线1x 1x2 1xy＝e x在点 P(x0，y 0)处的切线的斜率为 1.由 y＝e x，得 y′＝e x，所以 ex0＝1，解得x0＝0，y 0＝1，即点 P(0，1)．20．若直线 y＝ x＋b 是曲线 y＝lnx 的一条切线，则实数 b＝________.12答案 ln2－1解析 ∵切线斜率 k＝ ，y′＝ ，∴x＝2，y＝ln2.12 1x∴切线方程为 y－ln2＝ (x－2)．12即 y＝ x＋ln2－1，∴b＝ln2－1.1221．已知曲线 C：y＝3x 4－2x 3－9x 2＋4.(1)求曲线 C上横坐标为 1的切线方程；(2)第(1)问中的切线与曲线 C是否还有其他公共点．答案 (1)y＝－12x＋8(2)还有两个交点(－2，32)，( ，0)23解析 (1)把 x＝1 代入 C的方程，求得 y＝－4.∴切点为(1，－4)，又 y′＝12x 3－6x 2－18x，∴切线斜率为 k＝12－6－18＝－12.∴切线方程为 y＋4＝－12(x－1)，即 y＝－12x＋8.(2)由 {y＝ 3x4－ 2x3－ 9x2＋ 4，y＝ － 12x＋ 8， )得 3x4－2x 3－9x 2＋12x－4＝0，10即(x－1) 2(x＋2)(3x－2)＝0.∴x＝1，－2， .23代入 y＝3x 4－2x 3－9x 2＋4，求得 y＝－4，32，0，即公共点为(1，－4)(切点)，(－2，32)，( ，0)．23∴除切点处，还有两个交点(－2，32)，( ，0)．231题组训练 16 导数的应用（一）单调性1．函数 y＝x 2(x－3)的单调递减区间是( )A．(－∞，0) B．(2，＋∞)C．(0，2) D．(－2，2)答案 C解析 y′＝3x 2－6x，由 y′＜0，得 0＜x＜2.2．函数 f(x)＝1＋x－sinx 在(0，2π)上是( )A．增函数 B．减函数C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减 D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增答案 A解析 ∵f′(x)＝1－cosx0，∴f(x)在(0，2π)上递增．3．已知 e 为自然对数的底数，则函数 y＝xe x的单调递增区间是( )A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]C．[1，＋∞) D．(－∞，1]答案 A解析 令 y′＝(1＋x)e x≥0.∵e x0，∴1＋x≥0，∴x≥－1，选 A.4．(2017·湖北八校联考)函数 f(x)＝lnx－ax(a0)的单调递增区间为( )A．(0， ) B．( ，＋∞)1a 1aC．(－∞， ) D．(－∞，a)1a答案 A解析 由 f′(x)＝ －a0，得 00 得 x3.因为二次23 c3函数 y＝x 2－x－6 的图像开口向上，对称轴为直线 x＝ ，所以函数 y＝log 2(x2－x－6)的单12调递减区间为(－∞，－2)．故选 A.6．若函数 y＝a(x 3－x)的递减区间为(－ ， )，则 a 的取值范围是( )33 33A．a＞0 B．－1＜a＜0C．a＞1 D．0＜a＜1答案 A解析 y′＝a(3x 2－1)，解 3x2－1＜0，得－ ＜x＜ .33 33∴f(x)＝x 3－x 在(－ ， )上为减函数．33 33又 y＝a·(x 3－x)的递减区间为(－ ， )．∴a＞0.33 337．如果函数 f(x)的导函数 f′(x)的图像如图所示，那么函数 f(x)的图像最有可能的是( )答案 A38．(2018·四川双流中学)若 f(x)＝x 3－ax 2＋1 在(1，3)上单调递减，则实数 a 的取值范围是( )A．(－∞，3] B．[ ，＋∞)92C．(3， ) D．(0，3)92答案 B解析 因为函数 f(x)＝x 3－ax 2＋1 在(1，3)上单调递减，所以 f′(x)＝3x 2－2ax≤0 在(1，3)上恒成立，即 a≥ x 在(1，3)上恒成立．因为 0.即 f(x)在(－∞，1)上单调递增，f(－1)f(x＋3)成立的 x 的取值范围是( )A．(－1，3) B．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C．(－3，3) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)答案 D解析 因为 f(－x)＝ln(e －x ＋e x)＋(－x) 2＝ln(e x＋e －x )＋x 2＝f(x)，所以函数 f(x)是偶函数．通过导函数可知函数 y＝e x＋e －x 在(0，＋∞)上是增函数，所以函数 f(x)＝ln(e x＋e －x )＋x 2在(0，＋∞)上也是增函数，所以不等式 f(2x)f(x＋3)等价于|2x||x＋3|，解得 x3.故选 D.11．已知 f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足 xf′(x)＋f(x)≤0.对任意正数 a，b，若 a0，∴af(b)≤bf(a)．f（ a）a f（ b）b12．(2018·福建南平质检)已知函数 f(x)(x∈R)图像上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y－y 0＝(x 0－2)(x 02－1)(x－x 0)，那么函数 f(x)的单调减区间是( )A．[－1，＋∞) B．(－∞，2]C．(－∞，－1)和(1，2) D．[2，＋∞)答案 C解析 因为函数 f(x)(x∈R)图像上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为 y－y 0＝(x 0－2)(x 02－1)(x－x 0)，所以函数 f(x)的图像在点(x 0，y 0)处的切线的斜率 k＝(x 0－2)(x 02－1)，函数f(x)的导函数为 f′(x)＝(x－2)(x 2－1)．由 f′(x)＝(x－2)(x 2－1)0 得可解 00解析 y′＝－x 2＋a，y＝－ x3＋ax 有三个单调区间，则方程－x 2＋a＝0 应有两个不等实13根，故 a0.15．已知函数 f(x)＝kx 3＋3(k－1)x 2－k 2＋1(k0)的单调递减区间是(0，4)．(1)实数 k 的值为________；(2)若在(0，4)上为减函数，则实数 k 的取值范围是________．答案 (1) (2)00，故 00，1x 4x2－ x＋ 1x∴F(x)在(0，＋∞)上单调递增．∵F(1)＝0，∴x 0＝1，代入③式得 a＝4.18．设函数 f(x)＝xe kx(k≠0)．(1)若 k0，求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求 k 的取值范围．答案 (1)增区间为(－ ，＋∞)，减区间为(－∞，－ ) (2)[－1，0)∪(0，1]1k 1k解析 (1)f′(x)＝(1＋kx)e kx，若 k0，令 f′(x)0，得 x－ ，1k所以函数 f(x)的单调递增区间是(－ ，＋∞)，1k单调递减区间是(－∞，－ )．1k(2)∵f(x)在区间(－1，1)内单调递增，∴f′(x)＝(1＋kx)e kx≥0 在(－1，1)内恒成立，∴1＋kx≥0 在(－1，1)内恒成立，即 解得－1≤k≤1.{1＋ k·（ － 1） ≥ 0，1＋ k·1≥ 0， )因为 k≠0，所以 k 的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．1．函数 f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( )A．(－∞，2) B．(0，3)C．(1，4) D．(2，＋∞)答案 D解析 f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝(x－2)e x，令 f′(x)0，解得 x2，故选 D.2.在 R 上可导的函数 f(x)的图像如图所示，则关于 x 的不等式 xf′(x)0，使 xf′(x)0，得 x .33∴单调递增区间为( ，＋∞)．33由 y′2，则 f(x)2x＋4 的解集为________．答案 (－1，＋∞)解析 令 g(x)＝f(x)－2x－4，则 g′(x)＝f′(x)－20，∴g(x)在 R 上为增函数，且g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0.原不等式可转化为 g(x)g(－1)，解得 x－1，故原不等式的解集为(－1，＋∞)．5．已知 f(x)＝e x－ax－1，求 f(x)的单调递增区间．答案 ①a≤0 时，f(x)在 R 上单调递增；②a0 时，f(x)增区间为(lna，＋∞)6．已知函数 f(x)＝mln(x＋1)－ (x－1)，讨论 f(x)的单调性．xx＋ 1解析 f′(x)＝ (x－1)m（ x＋ 1） － 1（ x＋ 1） 2当 m≤0 时，f′(x)0 时，令 f′(x)0，得 x－1＋ ，函数 f(x)在(－1＋ ，＋∞)上单调递增．1m 1m8综上所述，当 m≤0 时，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减；当 m0 时，f(x)在(－1，－1＋ )上单调递减，在(－1＋ ，＋∞)上单调递增．1m 1m7．已知函数 g(x)＝ x3－ x2＋2x＋1，若 g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求13 a2实数 a 的取值范围．答案 (－∞，－2 )2解析 g′(x)＝x 2－ax＋2，依题意，存在 x∈(－2，－1)，使不等式 g′(x)＝x 2－ax＋20.(1)设 g(x)是 f(x)的导函数，讨论 g(x)的单调性；(2)证明：存在 a∈(0，1)，使得 f(x)≥0 恒成立，且 f(x)＝0 在区间(1，＋∞)内有唯一解．答案 (1)当 x∈(0，1)时，g′(x)0，g(x)单调递增(2)略解析 (1)由已知，函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，g(x)＝f′(x)＝2(x－1－lnx－a)，所以 g′(x)＝2－ ＝ .2x 2（ x－ 1）x当 x∈(0，1)时，g′(x)0，g(x)单调递增．(2)由 f′(x)＝2(x－1－lnx－a)＝0，解得 a＝x－1－lnx.令 φ(x)＝－2xlnx＋x 2－2x(x－1－lnx)＋(x－1－lnx) 2＝(1＋lnx) 2－2xlnx，则 φ(1)＝10，φ(e)＝2(2－e)f(x0)＝0；当 x∈(x 0，＋∞)时，f′(x)0，从而 f(x)f(x0)＝0；又当 x∈(0，1]时，f(x)＝(x－a 0)92－2xlnx0.故 x∈(0，＋∞)时，f(x)≥0.综上所述，存在 a∈(0，1)，使得 f(x)≥0 恒成立，且 f(x)＝0 在区间(1，＋∞)内有唯一解．1题组训练 17 导数的应用（二）极值与最值1．函数 y＝x 3－3x 2－9x(－20.当 x2时， f′(x)2x 2x2 1x x－ 2x20，这时 f(x)为增函数；当 00，得 x0，令 f′(x)f(－1)．故选 D.1e 126．若函数 y＝ax 3＋bx 2取得极大值和极小值时的 x的值分别为 0和 ，则( )13A．a－2b＝0 B．2a－b＝0C．2a＋b＝0 D．a＋2b＝0答案 D解析 y′＝3ax 2＋2bx，据题意，0， 是方程 3ax2＋2bx＝0 的两根，13∴－ ＝ ，∴a＋2b＝0.2b3a 137．已知 f(x)＝2x 3－6x 2＋m(m 为常数)在[－2，2]上有最大值 3，那么此函数在[－2，2]上的最小值是( )A．－37 B．－29C．－5 D．以上都不对答案 A解析 f′(x)＝6x 2－12x＝6x(x－2)，∴f(x)在(－2，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减．∴x＝0 为极大值点，也为最大值点．∴f(0)＝m＝3，∴m＝3.∴f(－2)＝－37，f(2)＝－5.∴最小值是－37，选 A.8．若函数 f(x)＝x 3－3bx＋3b 在(0，1)内有极小值，则( )3A．0＜b＜1 B．b＜1C．b＞0 D．b＜12答案 A解析 f(x)在(0，1)内有极小值，则 f′(x)＝3x 2－3b 在(0，1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b＜0.∴b＞0.f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1.综上，b 的取值范围为 0＜b＜1.9．设函数 f(x)在 R上可导，其导函数为 f′(x)，且函数 f(x)在 x＝－2 处取得极小值，则函数 y＝xf′(x)的图像可能是( )答案 C解析 由 f(x)在 x＝－2 处取得极小值可知，当 x0；当－20，则 xf′(x)0时，xf′(x)0.10．已知 f(x)＝x 3＋px 2＋qx 的图像与 x轴相切于非原点的一点，且 f(x)极小值 ＝－4，那么p，q 值分别为( )A．6，9 B．9，6C．4，2 D．8，6答案 A解析 设图像与 x轴的切点为(t，0)(t≠0)，设 注意 t≠0，{f（ t） ＝ t3＋ pt2＋ qt＝ 0，f′ （ t） ＝ 3t2＋ 2pt＋ q＝ 0， )可得出 p＝－2t，q＝t 2.∴p 2＝4q，只有 A满足这个等式(亦可直接计算出 t＝－3)．11．若函数 f(x)＝ax 3－3x＋1 对于 x∈[－1，1]总有 f(x)≥0 成立，则实数 a的取值范围为( )A．[2，＋∞) B．[4，＋∞)C．{4} D．[2，4]答案 C解析 f′(x)＝3ax 2－3，4当 a≤0 时，f(x) min＝f(1)＝a－2≥0，a≥2，不合题意；当 01时，f(－1)＝－a＋4≥0，且 f( )＝－ ＋1≥0，解得 a＝4.综上所述，a＝4.1a 2a12．若 f(x)＝x(x－c) 2在 x＝2 处有极大值，则常数 c的值为________．答案 6解析 f′(x)＝3x 2－4cx＋c 2，∵f(x)在 x＝2 处有极大值，∴ 解得 c＝6.{f′ （ 2） ＝ 0，f′ （ x） 2） ，f′ （ x） 0 （ x3时，f′(x)0，f(x)是增函数，当 00，12∴g(x)在[ ，2]上是单调递增函数，g(2)＝10 最大．12对于任意的 s，t∈[ ，2]，f(s)≥ g(t)恒成立，即对任意 x∈[ ，2]，12 110 12f(x)＝ ＋lnx≥1 恒成立，∴m≥x－xlnx.mx令 h(x)＝x－xlnx，则 h′(x)＝1－lnx－1＝－lnx.∴当 x1时，h′(x)0，∴h(x)在(0，1]上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数，当 x∈[ ，2]时，h(x)最大值为 h(1)＝1，12∴m≥1，即 m∈[1，＋∞)．16．(2018·贵州遵义联考)已知函数 f(x)＝x 3－ax 2＋10.(1)当 a＝1 时，求函数 y＝f(x)的单调递增区间；(2)在区间[1，2]内至少存在一个实数 x，使得 f(x)0，得 x ，23所以函数 y＝f(x)在(－∞，0)与( ，＋∞)上为增函数，23即函数 y＝f(x)的单调增区间是(－∞，0)和( ，＋∞)．23(2)f′(x)＝3x 2－2ax＝3x(x－ a)，236当 a≤1，即 a≤ 时，f′(x)≥0 在[1，2]恒成立，f(x)在[1，2]上为增函数，23 32故 f(x)min＝f(1)＝11－a，所以 11－a11，这与 a≤ 矛盾．32当 10.23 23所以当 x＝ a时，f(x)取得最小值，23因此 f( a)3，这与 ，满足 a≥3.92综上所述，实数 a的取值范围为( ，＋∞)．9217．已知函数 f(x)＝(x－k)e x.(1)求 f(x)的单调区间；(2)求 f(x)在区间[0，1]上的最小值．答案 (1)减区间(－∞，k－1)，增区间(k－1，＋∞)(2)k≤1 时，最小值 f(0)＝－k；10，则下列结论中正确的是( )A．x＝－1 一定是函数 f(x)的极大值点B．x＝－1 一定是函数 f(x)的极小值点C．x＝－1 不是函数 f(x)的极值点D．x＝－1 不一定是函数 f(x)的极值点答案 B解析 x－1 时，f′(x)0，x0 B．m1 D．m－13 13C．a－38答案 C解析 ∵y′＝ae ax＋3，由 y′＝0，得 x＝ ln(－ )．1a 3a∴－ 0，∴a0，所以 x＝1 是 f(x)的极小值点．7．函数 f(x)＝x 3－ax 2－bx＋a 2在 x＝1 处有极值 10，则 a，b 的值为( )A．a＝3，b＝－3，或 a＝－4，b＝11B．a＝－4，b＝1，或 a＝－4，b＝11C．a＝－1，b＝5D．以上都不正确答案 D解析 f′(x)＝3x 2－2ax－b，依题意有 {f′ （ 1） ＝ 0，f（ 1） ＝ 10， )即 解得 或{3－ 2a－ b＝ 0，1－ a－ b＋ a2＝ 10.) {a＝ － 4，b＝ 11， ) {a＝ 3，b＝ － 3.)当 a＝3 且 b＝－3 时，f′(x)＝3x 2－6x＋3≥0，函数 f(x)无极值点，故符合题意的只有故选 D.{a＝ － 4，b＝ 11.)8．若函数 f(x)＝x 3－3x 在(a，6－a 2)上有最小值，则实数 a的取值范围是( )A．(－ ，1) B．[－ ，1)5 5C．[－2，1) D．(－ ，－2]5答案 C解析 f′(x)＝3x 2－3＝0，解得 x＝±1，且 x＝1 为函数的极小值点，x＝－1 为函数的极大值点．因为函数 f(x)在区间(a，6－a 2)上有最小值，所以函数 f(x)的极小值点必在区间9(a，6－a 2)内，即实数 a满足 a0.∵(1－x)f′(x)0，∴f′(x)0，即 f(x)在(－∞，－2)上是增函数．(2)当－20.∵(1－x)f′(x)0，∴f′(x)2时，1－x0，即 f(x)在(2，＋∞)上是增函数．综上，f(－2)是极大值，f(2)是极小值．10．下列关于函数 f(x)＝(2x－x 2)ex的判断正确的是________．①f(x)0 的解集是{x|00，则 00，故 g(x)为增函数；当－10时，g′(x)0，故 g(x)为增函数．综上，知 g(x)在(－∞，－4]和[－1，0]上为减函数，在[－4，－1]和[0，＋∞)上为增函数．12．已知函数 f(x)＝ .1＋ lnxx(1)若函数 f(x)在区间(a，a＋ )(其中 a0)上存在极值，求实数 a的取值范围；23(2)如果当 x≥1 时，不等式 f(x)≥ 恒成立，求实数 m的取值范围．mx＋ 1答案 (1) 0}，所以 f′(x)＝－ .当 00；当 x1时，f′(x)0)上存在极值，∴ 解得 1， ) 13(2)当 x≥1 时，不等式 f(x)≥ ，mx＋ 1即为 ≥m.（ x＋ 1） （ 1＋ lnx）x记 g(x)＝ ，（ x＋ 1） （ 1＋ lnx）x∴g′(x)＝ ＝ .令 h(x)＝x－lnx，[（ x＋ 1） （ 1＋ lnx） ]′ x－ （ x＋ 1） （ 1＋ lnx）x2 x－ lnxx2则 h′(x)＝1－ ，∵x≥1，∴h′(x)≥0，1x∴h(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴h(x) min＝h(1)＝10，从而 g′(x)0，故 g(x)在[1，＋∞)上也是单调递增，∴g(x) min＝g(1)＝2，∴m≤2.1题组训练 18 定积分与微积分基本定理1．若 a2，则函数 f(x)＝ x3－ax 2＋1 在区间(0，2)上恰好有( )13A．0 个零点 B．1 个零点C．2 个零点 D．3 个零点答案 B解析 ∵f′(x)＝x 2－2ax，且 a2，∴当 x∈(0，2)时，f′(x)0，f(2)＝ －4a0 时，y′0，函数 y＝x 2ex为增函数；当－20，所以排除 D，故选 A.3．函数 f(x)＝ ex(sinx＋cosx)在区间[0， ]上的值域为( )12 π 2A．[ ， e ] B．( ， e )12 12π 2 12 12π 2 C．[1，e ] D．(1，e )π 2π 2答案 A解析 f′(x)＝ ex(sinx＋cosx)＋ ex(cosx－sinx)＝e xcosx，当 0≤x≤ 时，f′(x)≥0.12 12 π 22∴f(x)是[0， ]上的增函数．π 2∴f(x)的最大值为 f( )＝ e ，π 2 12π 2 f(x)的最小值为 f(0)＝ .124．(2018·山东陵县一中月考)已知函数 f(x)＝x 2ex，当 x∈[－1，1]时，不等式 f(x)0，函数 f(x)单调递增，且 f(1)f(－1)，故 f(x)max＝f(1)＝e，则 me.故选 D.5．(2014·课标全国Ⅰ)已知函数 f(x)＝ax 3－3x 2＋1，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且x00，则 a 的取值范围是( )A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，－2) D．(－∞，－1)答案 C解析 当 a＝0 时，显然 f(x)有两个零点，不符合题意．当 a≠0 时，f′(x)＝3ax 2－6x，令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x 2＝ .2a当 a0 时， 0，所以函数 f(x)＝ax 3－3x 2＋1 在(－∞，0)与( ，＋∞)上为增函数，在2a 2a(0， )上为减函数，因为 f(x)存在唯一零点 x0，且 x00，则 f(0)0，则 f( )0，即2a 2aa· －3· ＋10，解得 a2 或 a0 的解集为( )A．(－4，0)∪(4，＋∞) B．(－4，0)∪(0，4)3C．(－∞，－4)∪(4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(0，4)答案 D解析 设 g(x)＝xf(x)，则当 x0 化为 g(x)0.设 x0，不等式为 g(x)g(4)，即 0g(－4)，即 x0 在 x∈(e，e 2]上恒成立，故xlnx lnx－ 1（ lnx） 2h(x)max＝ ，所以 a≥ .故选 B.e22 e228．(2018·湖南衡阳期末)设函数 f(x)＝e x(x3＋ x2－6x＋2)－2ae x－x，若不等式 f(x)32≤0 在[－2，＋∞)上有解，则实数 a 的最小值为( )A．－ － B．－ －32 1e 32 2eC．－ － D．－1－34 12e 1e答案 C解析 由 f(x)＝e x(x3＋ x2－6x＋2)－2ae x－x≤0，得 a≥ x3＋ x2－3x＋1－ .32 12 34 x2ex令 g(x)＝ x3＋ x2－3x＋1－ ，则12 34 x2exg′(x)＝ x2＋ x－3＋ ＝(x－1)( x＋3＋ )．32 32 x－ 12ex 32 12ex当 x∈[－2，1)时，g′(x)0，4故 g(x)在[－2，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．故 g(x)min＝g(1)＝ ＋ －3＋1－ ＝－ － ，则实数 a 的最小值为－ － .故选 C.12 34 12e 34 12e 34 12e9．已知正六棱柱的 12 个顶点都在一个半径为 3 的球面上，当正六棱柱的体积最大时，其高的值为________．答案 2 3解析 设正六棱柱的底面边长为 a，高为 h，则可得 a2＋ ＝9，即 a2＝9－ ，正六棱柱h24 h24的体积 V＝(6× a2)×h＝ ×(9－ )×h＝ ×(－ ＋9h)．令 y＝－ ＋9h，则34 332 h24 332 h34 h34y′＝－ ＋9，令 y′＝0，得 h＝2 .易知当 h＝2 时，正六棱柱的体积最大．3h24 3 310．已知函数 f(x)＝e x－2x＋a 有零点，则 a 的取值范围是________．答案 (－∞，2ln2－2]解析 由原函数有零点，可将问题转化为方程 ex－2x＋a＝0 有解问题，即方程 a＝2x－e x有解．令函数 g(x)＝2x－e x，则 g′(x)＝2－e x，令 g′(x)＝0，得 x＝ln2，所以 g(x)在(－∞，ln2)上是增函数，在(ln2，＋∞)上是减函数，所以 g(x)的最大值为 g(ln2)＝2ln2－2.因此，a 的取值范围就是函数 g(x)的值域，所以，a∈(－∞，2ln2－2]．11．设 l 为曲线 C：y＝ 在点(1，0)处的切线．lnxx(1)求 l 的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线 C 在直线 l 的下方．答案 (1)y＝x－1 (2)略解析 (1)设 f(x)＝ ，则 f′(x)＝ .lnxx 1－ lnxx2所以 f′(1)＝1.所以 l 的方程为 y＝x－1.(2)令 g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线 C 在直线 l 的下方等价于 g(x)0(∀x0，x≠1)．g(x)满足 g(1)＝0，且 g′(x)＝1－f′(x)＝ .x2－ 1＋ lnxx2当 01 时，x 2－10，lnx0，所以 g′(x)0，故 g(x)单调递增．5所以 g(x)g(1)＝0(∀x0，x≠1) ．所以除切点之外，曲线 C 在直线 l 的下方．12．已知函数 f(x)＝x 2－8lnx，g(x)＝－x 2＋14x.(1)求函数 f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数 f(x)与 g(x)在区间(a，a＋1)上均为增函数，求 a 的取值范围；(3)若方程 f(x)＝g(x)＋m 有唯一解，试求实数 m 的值．答案 (1)y＝－6x＋7 (2)[2，6](3)m＝－16ln2－24解析 (1)因为 f′(x)＝2x－ ，所以切线的斜率 k＝f′(1)＝－6.8x又 f(1)＝1，故所求的切线方程为 y－1＝－6(x－1)．即 y＝－6x＋7.(2)因为 f′(x)＝ ，2（ x＋ 2） （ x－ 2）x又 x0，所以当 x2 时，f′(x)0；当 00 时原方程有唯一解，所以函数 y＝h(x)与 y＝m 的图像在 y 轴右侧有唯一的交点．又 h′(x)＝4x－ －14＝ ，且 x0，8x 2（ x－ 4） （ 2x＋ 1）x所以当 x4 时，h′(x)0；当 00 时原方程有唯一解的充要条件是m＝h(4)＝－16ln2－24.13．(2018·湖北四校联考)已知函数 f(x)＝lnx－a(x－1)，g(x)＝e x.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 h(x)＝f(x＋1)＋g(x)，当 x0 时，h(x)1 恒成立，求实数 a 的取值范围．答案 (1)当 a≤0 时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当 a0 时，f(x)的单调递增区间为(0， )，单调递减区间为( ，＋∞)．1a 1a(2)(－∞，2]6解析 (1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ －a＝ (x0)1x 1－ axx①若 a≤0，对任意的 x0，均有 f′(x)0，所以 f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；②若 a0，当 x∈(0， )时，f′(x)0，当 x∈( ，＋∞)时，f′(x)0 时，f(x)的单调递增区间为(0， )，单调递减区间为( ，＋∞)．1a 1a(2)因为 h(x)＝f(x＋1)＋g(x)＝ln(x＋1)－ax＋e x，所以 h′(x)＝e x＋ －a.1x＋ 1令 φ(x)＝h′(x)，因为 x∈(0，＋∞)，φ′(x)＝e x－ ＝ 0，1（ x＋ 1） 2 （ x＋ 1） 2ex－ 1（ x＋ 1） 2所以 h′(x)在(0，＋∞)上单调递增，h′(x)h′(0)＝2－a，①当 a≤2 时，h′(x)0，所以 h(x)在(0，＋∞)上单调递增，h(x)h(0)＝1 恒成立，符合题意；②当 a2 时，h′(0)＝2－ah′(0)，所以存在 x0∈(0，＋∞)，使得 h′(x 0)＝0，所以 h(x)在(x 0，＋∞)上单调递增，在(0，x 0)上单调递减，又 h(x0)1 不恒成立，不符合题意．综上，实数 a 的取值范围是(－∞，2]．7(第二次作业)1．(2018·皖南十校联考)设函数 f(x)＝lnx＋ax 2＋x－a－1(a∈R)．(1)当 a＝－ 时，求函数 f(x)的单调区间；12(2)证明：当 a≥0 时，不等式 f(x)≥x－1 在[1，＋∞)上恒成立．答案 (1)增区间为(0， ]，减区间为[ ，＋∞)1＋ 52 1＋ 52(2)略解析 (1)当 a＝－ 时，f(x)＝lnx－ x2＋x－ ，且定义域为(0，＋∞)，12 12 12因为 f′(x)＝ －x＋1＝－ ，1x （ x－ 1－ 52 ） （ x－ 1＋ 52 ）x当 x∈(0， )时，f′(x)0；当 x∈( ，＋∞)时，f′(x)0 在[1，＋∞)上恒成立，所以 g(x)在[1，＋∞)上是增函数，且 g(1)＝0，所以 g(x)≥0 在[1，＋∞)上恒成立，即当 a≥0 时，不等式 f(x)≥x－1 在[1，＋∞)上恒成立．2．(2018·福建连城期中)已知函数 f(x)＝(a－ )x2＋lnx(a∈R)．12(1)当 a＝1 时，求 f(x)在区间[1，e]上的最大值和最小值；(2)若在区间[1，＋∞)上，函数 f(x)的图像恒在直线 y＝2ax 的下方，求实数 a 的取值范围．答案 (1)f(x) max＝f(e)＝1＋ ，f(x) min＝f(1)＝e22 12(2)当 a∈[－ ， ]时，在区间(1，＋∞)上函数 f(x)的图像恒在直线 y＝2ax 的下方12 12解析 (1)当 a＝1 时，f(x)＝ x2＋lnx，12f′(x)＝x＋ ＝ .1x x2＋ 1x当 x∈[1，e]时，f′(x)0，所以 f(x)在区间[1，e]上为增函数，8所以 f(x)max＝f(e)＝1＋ ，f(x) min＝f(1)＝ .e22 12(2)令 g(x)＝f(x)－2ax＝(a－ )x2－2ax＋lnx，则12g(x)的定义域为(0，＋∞)．在区间(1，＋∞)上，函数 f(x)的图像恒在直线 y＝2ax 的下方等价于 g(x) ，令 g′(x)＝0，得 x1＝1，x 2＝ ，12 12a－ 1当 x2x1＝1，即 0，12此时 g(x)在区间(x 2，＋∞)上是增函数，并且在该区间上有 g(x)∈(g(x 2)，＋∞)，不合题意；当 x2≤x 1＝1，即 a≥1 时，同理可知，g(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，有 g(x)∈(g(1)，＋∞)，不合题意．②若 a≤ ，则有 2a－1≤0，12此时在区间(1，＋∞)恒有 g′(x)0，所以对于任意 x∈R，F(x)0，因此方程 ex－a ＝x 无实数解．所以当 x≠0 时，函数 g(x)不存在零点．综上，函数 g(x)有且仅有一个零点．4．(2018·重庆调研)已知曲线 f(x)＝ 在点(e，f(e))处的切线与直线ln2x＋ alnx＋ ax2x＋e 2y＝0 平行，a∈R.(1)求 a 的值；(2)求证： .f（ x）x aex答案 (1)a＝3 (2)略解析 (1)f′(x)＝ ，－ ln2x＋ （ 2－ a） lnxx210由题 f′(e)＝ ＝－ ⇒a＝3.－ 1＋ 2－ ae2 2e2(2)f(x)＝ ，f′(x)＝ ，ln2x＋ 3lnx＋ 3x － lnx（ lnx＋ 1）x2f′(x)0⇒ 即 ；3xex3e 3xex f（ x）x 3ex②当 x∈[1，＋∞)时，ln 2x＋3lnx＋3≥0＋0＋3＝3，令 g(x)＝ ，则 g′(x)＝ .3x2ex 3（ 2x－ x2）ex故 g(x)在[1，2)上递增，(2，＋∞)上递减，∴g(x)≤g(2)＝ 即 ；3x2ex f（ x）x 3ex综上，对任意 x0，均有 .f（ x）x 3ex5．(2017·课标全国Ⅰ，理)已知函数 f(x)＝ae 2x＋(a－2)e x－x.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围．答案 (1)当 a≤0 时，在(－∞，＋∞)单调递减；当 a0 时，f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增(2)(0，1)解析 (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2ae 2x＋(a－2)e x－1＝(ae x－1)(2ex＋1)．①若 a≤0，则 f′(x)0，则由 f′(x)＝0 得 x＝－lna.当 x∈(－∞，－lna)时，f′(x)0.所以 f(x)在(－∞，－lna)单调递减，在(－lna，＋∞)单调递增．(2)①若 a≤0，由(1)知，f(x)至多有一个零点．②若 a0，由(1)知，当 x＝－lna 时，f(x)取得最小值，最小值为 f(－lna)＝1－ ＋lna.1a11a．当 a＝1 时，由于 f(－lna)＝0，故 f(x)只有一个零点；b．当 a∈(1，＋∞)时，由于 1－ ＋lna0，即 f(－lna)0，故 f(x)没有零点；1ac．当 a∈(0，1)时，1－ ＋lna－2e －2 ＋20，故 f(x)在(－∞，－lna)有一个零点．设正整数 n0满足 n0ln( －1)，则 f(n0)＝en 0(aen0＋a－2)－n 0en0－n 02n0－n 00.3a由于 ln( －1)－lna，因此 f(x)在(－lna，＋∞)有一个零点．3a综上，a 的取值范围为(0，1)．6．(2018·深圳调研二)已知函数 f(x)＝(x－2)e x－ x2，其中 a∈R，e 为自然对数的底a2数．(1)函数 f(x)的图像能否与 x 轴相切？若能与 x 轴相切，求实数 a 的值；否则，请说明理由；(2)若函数 y＝f(x)＋2x 在 R 上单调递增，求实数 a 能取到的最大整数值．解析 (1)f′(x)＝(x－1)e x－ax.假设函数 f(x)的图像与 x 轴相切于点(t，0)，则有 即{f（ t） ＝ 0，f′ （ t） ＝ 0.) {（ t－ 2） et－ a2t2＝ 0. ①（ t－ 1） et－ at＝ 0. ② )由②可知 at＝(t－1)e t，代入①中可得(t－2)e t－ et＝0.t（ t－ 1）2∵e t0，∴(t－2)－ ＝0，即 t2－3t＋4＝0.t（ t－ 1）2∵Δ＝9－4×4＝－7－1 时，H′(x)0，H(x)单调递增，且 H(x)H(－1)＝－ －1；1e当 x0.12 e2∴存在唯一的 x0∈( ，1)使得 H(x0)＝0，12且当 x∈(－∞，x 0)时，H(x)＝h′(x)0，h(x)单调递增．∵h(x) min＝h(x 0)＝(x 0－1)ex 0－x 0＋2，∵H(x 0)＝0，∴ex 0＝ ，1x0∴h(x 0)＝(x 0－1) －x 0＋2＝3－( ＋x 0)．1x0 1x0∵ 0 在 R 上恒成立，∴a 能取得的最大整数为 1.方法 2：记 g(x)＝(x－2)e x－ x2＋2x，a2由题意知 g′(x)＝(x－1)e x－ax＋2≥0 在 R 上恒成立．∵g′(1)＝－a＋2≥0，∴g′(x)≥0 的必要条件是 a≤2.若 a＝2，则 g′(x)＝(x－1)e x－2x＋2＝(x－1)(e x－2)．当 ln20 时，k′(x)0，k(x)单调递增；当 xx－2；当 x0，即 ex≤ .11－ x∴(x－1)e x≥(x－1)× ＝－1x－2.11－ x综上所述，(x－1)e x－x＋2≥0 在 R 上恒成立，故 a 能取得的最大整数为 1.1．(2014·课标全国Ⅱ)设函数 f(x)＝ sin .若存在 f(x)的极值点 x0满足 x02＋[f(x 0)]3π xm22 或 m0，设 g(x)＝lnx＋ .mx(1)求 a 的值；(2)对任意 x1x20， －a.当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－a，1－a) 1－a (1－a，＋∞)f′(x) － 0 ＋f(x)  极小值 因此，f(x)在 1－a 处取得最小值．故由题意 f(1－a)＝1－a＝0，所以 a＝1.(2)由 x20 恒成立，15即 h(x)＝g(x)－x＝lnx－x＋ 在(0，＋∞)上为减函数．mxh′(x)＝ －1－ ≤0 在(0，＋∞)上恒成立，所以 m≥x－x 2在(0，＋∞)上恒成立，1x mx2(x－x 2)max＝ ，即 m≥ ，即实数 m 的取值范围为[ ，＋∞)．14 14 14(3)由题意知方程可化为 lnx＋ ＝x，mx即 m＝x 2－xlnx(x≥1)．设 m(x)＝x 2－xlnx，则 m′(x)＝2x－lnx－1(x≥1)．设 h(x)＝2x－lnx－1(x≥1)，则 h′(x)＝2－ 0，1x因此 h(x)在[1，＋∞)上单调递增，h(x) min＝h(1)＝1.所以 m(x)＝x 2－xlnx 在[1，＋∞)上单调递增．因此当 x≥1 时，m(x)≥m(1)＝1.所以当 m≥1 时方程有一个根，当 m0，得 x0，∴y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增；令 f′(x)0 时，由 f′(x)0，得 x0；由 f′(x)0，取 b 满足 b (b－1)＋ab 2＝ (b＋1)(2b－1)0，故 f(x)存在两个零点．a2 a2③当 a0，故当 x∈(0，ln(－2a))时，12f′(x)0，因此 f(x)在(0，ln(－2a))上单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)上单调递增，又当 x≤0 时，f(x)0，不妨令 x10 时，f(x)在(－∞，0)上单调递减，要证 x1＋x 2f(－x 2)，又∵f(x 1)＝0，∴只需证 f(－x 2)0)，∴g′(x)＝x( )，1－ e2xex∵x0，∴e 2x1，∴g′(x)0 时，g(x)0，即 F(x)在(1，2)上单调递增．因为 F(1)＝－ 0，而 F(x)在(1，2)上连续，由零点存在性定理可知，1e 2e2F(x)在(1，2)内有且仅有唯一零点．所以方程 f(x)＝g(x)在(1，2)内有且仅有唯一实根．(2)x1＋x 2x0. )当 1x0时，m(x)＝xlnx，m′(x)＝1＋lnx0，所以 m(x)单调递增．要证 x1＋x 20，ln(2x 0－x)0，1－ xex所以 H′(x)0，所以 H(x)在(1，x 0)上单调递增，即 H(x)0，设 F(x)＝ ＋ ，求证：F(x)3.mf（ x） 4x＋ 4g（ x） － 1解析 (1)∵f(x)＝me x，g(x)＝x＋3，m＝1，∴f(x)＝e x，g(x－2)＝x＋1.18∴h(x)＝f(x)－g(x－2)－2 017＝e x－x－2 018.∴h′(x)＝e x－1.由 h′(x)＝0，得 x＝0.∵e 是自然对数的底数，∴h′(x)＝e x－1 是增函数．∴当 x0 时，h′(x)0，即 h(x)是增函数．∴函数 h(x)没有极大值，只有极小值，且当 x＝0 时，h(x)取得极小值．∴h(x)的极小值为 h(0)＝－2 017.(2)证明：∵f(x)＝me x，g(x)＝x＋3，∴φ(x)＝f(x)＋g(x)＝me x＋x＋3.∴φ′(x)＝me x＋1.由 φ′(x)＝me x＋1＝0，m0，函数 φ(x)是增函数；1m当 x∈(ln(－ )，＋∞)时，φ′(x)＝me x＋10，∴F(x)3⇔(x－2)e x＋x＋20.设 u(x)＝(x－2)e x＋x＋2，则 u′(x)＝(x－1)e x＋1.设 v(x)＝(x－1)e x＋1，则 v′(x)＝xe x.∵x0，∴v′(x)0.又当 x＝0 时，v′(x)＝0，∴函数 v(x)在[0，＋∞)上是增函数．∴v(x)v(0)，即 v(x)0.∴当 x0 时，u′(x)0；当 x＝0 时，u′(x)＝0.∴函数 u(x)在[0，＋∞)上是增函数．∴当 x0 时，u(x)u(0)＝0，即(x－2)e x＋x＋20.19∴当 x0 时，F(x)3.