1、1题组训练 15 导数的概念及运算1yln 的导函数为( )1xAy By1x 1xCylnx Dyln(x)答案 A解析 yln lnx，y .1x 1x2(2018东北师大附中摸底)曲线 y5xlnx 在点(1，5)处的切线方程为( )A4xy10 B4xy10C6xy10 D6xy10答案 D解析 将点(1，5)代入 y5xlnx 成立，即点(1，5)为切点因为 y5 ，所以 y1x |)5 6.x 1 11所以切线方程为 y56(x1)，即 6xy10.故选 D.3曲线 y 在点(3，2)处的切线的斜率是( )x 1x 1A2 B2C. D12 12答案 D解析 y ，故曲线在(3，2
2、)（ x 1） （ x 1） （ x 1） （ x 1） （ x 1） 2 2（ x 1） 2处的切线的斜率 ky| x3 ，故选 D.2（ 3 1） 2 124一质点沿直线运动，如果由始点起经过 t秒后的位移为 s t3 t22t，那么速度为13 32零的时刻是( )A0 秒 B1 秒末C2 秒末 D1 秒末和 2秒末答案 D解析 s t3 t22t，vs(t)t 23t2.13 322令 v0，得 t23t20，t 11 或 t22.5(2018郑州质量检测)已知曲线 y 3lnx 的一条切线的斜率为 2，则切点的横坐标x22为( )A3 B2C1 D.12答案 A解析 设切点坐标为(x
3、0，y 0)，且 x00，由 yx ，得 kx 0 2，3x 3x0x 03.6(2018衡水调研卷)设 f(x)xlnx，若 f(x 0)2，则 x0的值为( )Ae 2 BeC. Dln2ln22答案 B解析 由 f(x)xlnx，得 f(x)lnx1.根据题意知 lnx012，所以 lnx01，因此 x0e.7(2018山西名校联考)若函数 f(x)的导函数的图像关于 y轴对称，则 f(x)的解析式可能为( )Af(x)3cosx Bf(x)x 3x 2Cf(x)1sin2x Df(x)e xx答案 C解析 A 项中，f(x)3sinx，是奇函数，图像关于原点对称，不关于 y轴对称；B
4、项中，f(x)3x 22x3(x )2 ，其图像关于直线 x 对称；C 项中，f(x)13 13 132cos2x，是偶函数，图像关于 y轴对称；D 项中，f(x)e x1，由指数函数的图像可知该函数的图像不关于 y轴对称故选 C.8(2018安徽百校论坛联考)已知曲线 f(x) 在点(1，f(1)处切线的斜率为 1，则ax2x 1实数 a的值为( )A. B32 32C D.34 43答案 D3解析 由 f(x) ，得 f(1) 1，解得 a .故选 D.2ax（ x 1） ax2（ x 1） 2 ax2 2ax（ x 1） 2 3a4 439(2018衡水中学调研卷)已知函数 f(x) x
5、2sinxxcosx，则其导函数 f(x)的图12像大致是( )答案 C解析 由 f(x) x2sinxxcosx，得 f(x)12xsinx x2cosxcosxxsinx x2cosxcosx.由此可知，f(x)是偶函数，其图像关12 12于 y轴对称，排除选项 A，B.又 f(0)1，故选 C.10f(x)与 g(x)是定义在 R上的两个可导函数，若 f(x)，g(x)满足 f(x)g(x)，则f(x)与 g(x)满足( )Af(x)g(x) Bf(x)g(x)0Cf(x)g(x)为常数函数 Df(x)g(x)为常数函数答案 C11(2017高考调研原创题)设函数 f(x)在(0，)内可
6、导，且 f(ex)xe x，则f(2 017)( )A1 B2C. D.12 017 2 0182 017答案 D解析 令 ext，则 xlnt，所以 f(t)lntt，故 f(x)lnxx.求导得 f(x) 1，故 f(2 017) 1 .故选 D.1x 12 017 2 0182 01712(2018河南息县高中月考)若点 P是曲线 yx 2lnx 上任意一点，则点 P到直线yx2 距离的最小值为( )A1 B. 2C. D.22 3答案 B解析 当过点 P的直线平行于直线 yx2 且与曲线 yx 2lnx 相切时，切点 P到直线4yx2 的距离最小对函数 yx 2lnx 求导，得 y2x
7、 .由 2x 1，可得切点坐1x 1x标为(1，1)，故点(1，1)到直线 yx2 的距离为 ，即为所求的最小值故选 B.213(2018重庆一中期中)已知函数 f(x)e xae x 为偶函数，若曲线 yf(x)的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标等于( )32Aln2 B2ln2C2 D. 2答案 A解析 因为 f(x)是偶函数，所以 f(x)f(x)，即 exae x e x ae (x) ，解得a1，所以 f(x)e xe x ，所以 f(x)e xe x .设切点的横坐标为 x0，则 f(x 0)ex 0ex 0 .设 tex 0(t0)，则 t ，解得 t2，即 ex02，所以 x
8、0ln2.故选32 1t 32A.14已知 y x3x 1 1，则其导函数的值域为_13答案 2，)15已知函数 f(x)x(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)，则 f(0)_答案 120解析 f(x)(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)x(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)，所以 f(0)(1)(2)(3)(4)(5)120.16(2018重庆巴蜀期中)曲线 f(x)lnx x2ax 存在与直线 3xy0 平行的切线，12则实数 a的取值范围是_答案 (，1解析 由题意，得 f(x) xa，故存在切点 P(t，f(t)，使得 ta3，所以1x 1t3a t 有解因为 t0，所以
9、3a2(当且仅当 t1 时取等号)，即 a1.1t17设 f(x)是定义在 R上的奇函数，且当 x0 时，f(x)2x 2.(1)求 x0，f(x)f(x)2(x) 22x 2.5当 x0时，f(x 0)4x 0g(x 0) ，解得，x 0 .故存在 x0 满足条件1x0 12 1218(2018河北卓越联盟月考)已知函数 f(x)x 3x16.(1)求曲线 yf(x)在点(2，6)处的切线方程；(2)直线 l为曲线 yf(x)的切线，且经过原点，求直线 l的方程及切点坐标答案 (1)y13x32(2)直线 l的方程为 y13x，切点坐标为(2，26)解析 (1)根据题意，得 f(x)3x 2
10、1.所以曲线 yf(x)在点(2，6)处的切线的斜率 kf(2)13，所以要求的切线的方程为 y13x32.(2)设切点为(x 0，y 0)，则直线 l的斜率为 f(x 0)3x 021，所以直线 l的方程为 y(3x 021)(xx 0)x 03x 016.又直线 l过点(0，0)，则(3x021)(0x 0)x 03x 0160，整理得 x038，解得 x02，所以 y0(2) 3(2)1626，l 的斜率 k13，所以直线 l的方程为 y13x，切点坐标为(2，26)1曲线 y 在点 M( ，0)处的切线的斜率为( )sinxsinx cosx 12 4A B.12 12C D.22 2
11、2答案 B解析 y cosx(sinxcosx)sinx(cosxsinx)1（ sinx cosx） 2，y|x ，ky|x .1（ sinx cosx） 2 4 12 4 122(2017山东东营一模)设曲线 ysinx 上任一点(x，y)处切线的斜率为 g(x)，则函数yx 2g(x)的部分图像可能为( )6答案 C解析 根据题意得 g(x)cosx，所以 yx 2g(x)x 2cosx为偶函数又 x0 时，y0.故选 C.3(2017山东烟台期末)若点 P是函数 ye xe x 3x( x )图像上任意一点，且12 12在点 P处切线的倾斜角为 ，则 的最小值是( )A. B.56 3
12、4C. D.4 6答案 B解析 由导数的几何意义，kye xe x 32 31，当且仅当 x0 时exe x等号成立即 tan1，0，)，又tanf(3)Cf(0)f(3) D无法确定答案 B解析 由题意知 f(x)的图像是以 x1 为对称轴，且开口向下的抛物线，所以 f(0)f(2)f(3)选 B.6(2013江西，文)若曲线 yx a1(aR)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则a_答案 2解析 由题意 yx 1 ，在点(1，2)处的切线的斜率为 k，又切线过坐标原点，所以 2.2 01 07(2017河北邯郸二模)曲线 ylog 2x在点(1，0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于
13、_7答案 log2e12解析 y ，k .1xln2 1ln2切线方程为 y (x1)1ln2三角形面积为 S 1 log2e.12 1ln2 12ln2 128若抛物线 yx 2xc 上的一点 P的横坐标是2，抛物线过点 P的切线恰好过坐标原点，则实数 c的值为_答案 4解析 y2x1，y| x2 5.又 P(2，6c)， 5.c4.6 c 29若曲线 yf(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线方程为 2xy10，则( )Af(x 0)0 Bf(x 0)0，排除 D，答案为 A.12(2017人大附中月考)曲线 ylgx 在 x1 处的切线的斜率是( )8A. Bln101ln10Clne
14、 D.1lne答案 A解析 因为 y ，所以 y| x1 ，即切线的斜率为 .1xln10 1ln10 1ln1013下列函数求导运算正确的是_(3 x)3 xlog3e；(log 2x) ；1xln2(sin )cos ；( )x.3 3 1lnx答案 14(2016天津文)已知函数 f(x)(2x1)e x，f(x)为 f(x)的导函数，则 f(0)的值为_答案 3解析 f(x)2e x(2x1)e x(2x3)e x，f(0)3.15(2016课标全国，理)已知 f(x)为偶函数，当 x0时，f(x)lnx3x，则 f(x) 3，f(1)2，则在点1x(1，3)处的切线方程为 y32(x
15、1)，即 y2x1.16(2015课标全国)已知曲线 yxlnx 在点(1，1)处的切线与曲线 yax 2(a2)x1 相切，则 a_答案 8解析 由 y1 可得曲线 yxlnx 在点(1，1)处的切线斜率为 2，故切线方程为1xy2x1，与 yax 2(a2)x1 联立得 ax2ax20，显然 a0，所以由a 28a0a8.17yxtanx 的导数为 y_答案 tanxxcos2x解析 y(xtanx)xtanxx(tanx)tanxx( )tanxx tanx .sinxcosx cos2x sin2xcos2x xcos2x918已知函数 f(x)f( )cosxsinx，所以 f( )
16、的值为_4 4答案 1解析 因为 f(x)f( )sinxcosx，所以 f( )f( )sin cos ，所4 4 4 4 4以 f( ) 1.故 f( )f( )cos sin 1.4 2 4 4 4 419(2018山西太原期中)设曲线 y 在点(1，1)处的切线与曲线 ye x在点 P处的切线1x垂直，则点 P的坐标为_答案 (0，1)解析 由 y 得 y ，所以曲线 y 在点(1，1)处的切线的斜率 k1，所以曲线1x 1x2 1xye x在点 P(x0，y 0)处的切线的斜率为 1.由 ye x，得 ye x，所以 ex01，解得x00，y 01，即点 P(0，1)20若直线 y
17、xb 是曲线 ylnx 的一条切线，则实数 b_.12答案 ln21解析 切线斜率 k ，y ，x2，yln2.12 1x切线方程为 yln2 (x2)12即 y xln21，bln21.1221已知曲线 C：y3x 42x 39x 24.(1)求曲线 C上横坐标为 1的切线方程；(2)第(1)问中的切线与曲线 C是否还有其他公共点答案 (1)y12x8(2)还有两个交点(2，32)，( ，0)23解析 (1)把 x1 代入 C的方程，求得 y4.切点为(1，4)，又 y12x 36x 218x，切线斜率为 k1261812.切线方程为 y412(x1)，即 y12x8.(2)由 y 3x4
18、2x3 9x2 4，y 12x 8， )得 3x42x 39x 212x40，10即(x1) 2(x2)(3x2)0.x1，2， .23代入 y3x 42x 39x 24，求得 y4，32，0，即公共点为(1，4)(切点)，(2，32)，( ，0)23除切点处，还有两个交点(2，32)，( ，0)231题组训练 16 导数的应用（一）单调性1函数 yx 2(x3)的单调递减区间是( )A(，0) B(2，)C(0，2) D(2，2)答案 C解析 y3x 26x，由 y0，得 0x2.2函数 f(x)1xsinx 在(0，2)上是( )A增函数 B减函数C在(0，)上增，在(，2)上减 D在(0
19、，)上减，在(，2)上增答案 A解析 f(x)1cosx0，f(x)在(0，2)上递增3已知 e 为自然对数的底数，则函数 yxe x的单调递增区间是( )A1，) B(，1C1，) D(，1答案 A解析 令 y(1x)e x0.e x0，1x0，x1，选 A.4(2017湖北八校联考)函数 f(x)lnxax(a0)的单调递增区间为( )A(0， ) B( ，)1a 1aC(， ) D(，a)1a答案 A解析 由 f(x) a0，得 00 得 x3.因为二次23 c3函数 yx 2x6 的图像开口向上，对称轴为直线 x ，所以函数 ylog 2(x2x6)的单12调递减区间为(，2)故选 A
20、.6若函数 ya(x 3x)的递减区间为( ， )，则 a 的取值范围是( )33 33Aa0 B1a0Ca1 D0a1答案 A解析 ya(3x 21)，解 3x210，得 x .33 33f(x)x 3x 在( ， )上为减函数33 33又 ya(x 3x)的递减区间为( ， )a0.33 337如果函数 f(x)的导函数 f(x)的图像如图所示，那么函数 f(x)的图像最有可能的是( )答案 A38(2018四川双流中学)若 f(x)x 3ax 21 在(1，3)上单调递减，则实数 a 的取值范围是( )A(，3 B ，)92C(3， ) D(0，3)92答案 B解析 因为函数 f(x)x
21、 3ax 21 在(1，3)上单调递减，所以 f(x)3x 22ax0 在(1，3)上恒成立，即 a x 在(1，3)上恒成立因为 0.即 f(x)在(，1)上单调递增，f(1)f(x3)成立的 x 的取值范围是( )A(1，3) B(，3)(3，)C(3，3) D(，1)(3，)答案 D解析 因为 f(x)ln(e x e x)(x) 2ln(e xe x )x 2f(x)，所以函数 f(x)是偶函数通过导函数可知函数 ye xe x 在(0，)上是增函数，所以函数 f(x)ln(e xe x )x 2在(0，)上也是增函数，所以不等式 f(2x)f(x3)等价于|2x|x3|，解得 x3.
22、故选 D.11已知 f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足 xf(x)f(x)0.对任意正数 a，b，若 a0，af(b)bf(a)f（ a）a f（ b）b12(2018福建南平质检)已知函数 f(x)(xR)图像上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为yy 0(x 02)(x 021)(xx 0)，那么函数 f(x)的单调减区间是( )A1，) B(，2C(，1)和(1，2) D2，)答案 C解析 因为函数 f(x)(xR)图像上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为 yy 0(x 02)(x 021)(xx 0)，所以函数 f(x)的图像在点(x 0，y 0)处的切线的斜率 k
23、(x 02)(x 021)，函数f(x)的导函数为 f(x)(x2)(x 21)由 f(x)(x2)(x 21)0 得可解 00解析 yx 2a，y x3ax 有三个单调区间，则方程x 2a0 应有两个不等实13根，故 a0.15已知函数 f(x)kx 33(k1)x 2k 21(k0)的单调递减区间是(0，4)(1)实数 k 的值为_；(2)若在(0，4)上为减函数，则实数 k 的取值范围是_答案 (1) (2)00，故 00，1x 4x2 x 1xF(x)在(0，)上单调递增F(1)0，x 01，代入式得 a4.18设函数 f(x)xe kx(k0)(1)若 k0，求函数 f(x)的单调区
24、间；(2)若函数 f(x)在区间(1，1)内单调递增，求 k 的取值范围答案 (1)增区间为( ，)，减区间为(， ) (2)1，0)(0，11k 1k解析 (1)f(x)(1kx)e kx，若 k0，令 f(x)0，得 x ，1k所以函数 f(x)的单调递增区间是( ，)，1k单调递减区间是(， )1k(2)f(x)在区间(1，1)内单调递增，f(x)(1kx)e kx0 在(1，1)内恒成立，1kx0 在(1，1)内恒成立，即 解得1k1.1 k（ 1） 0，1 k1 0， )因为 k0，所以 k 的取值范围是1，0)(0，11函数 f(x)(x3)e x的单调递增区间是( )A(，2)
25、B(0，3)C(1，4) D(2，)答案 D解析 f(x)(x3)e x(x3)(e x)(x2)e x，令 f(x)0，解得 x2，故选 D.2.在 R 上可导的函数 f(x)的图像如图所示，则关于 x 的不等式 xf(x)0，使 xf(x)0，得 x .33单调递增区间为( ，)33由 y2，则 f(x)2x4 的解集为_答案 (1，)解析 令 g(x)f(x)2x4，则 g(x)f(x)20，g(x)在 R 上为增函数，且g(1)f(1)2(1)40.原不等式可转化为 g(x)g(1)，解得 x1，故原不等式的解集为(1，)5已知 f(x)e xax1，求 f(x)的单调递增区间答案 a
26、0 时，f(x)在 R 上单调递增；a0 时，f(x)增区间为(lna，)6已知函数 f(x)mln(x1) (x1)，讨论 f(x)的单调性xx 1解析 f(x) (x1)m（ x 1） 1（ x 1） 2当 m0 时，f(x)0 时，令 f(x)0，得 x1 ，函数 f(x)在(1 ，)上单调递增1m 1m8综上所述，当 m0 时，f(x)在(1，)上单调递减；当 m0 时，f(x)在(1，1 )上单调递减，在(1 ，)上单调递增1m 1m7已知函数 g(x) x3 x22x1，若 g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求13 a2实数 a 的取值范围答案 (，2 )2解析 g(x)
27、x 2ax2，依题意，存在 x(2，1)，使不等式 g(x)x 2ax20.(1)设 g(x)是 f(x)的导函数，讨论 g(x)的单调性；(2)证明：存在 a(0，1)，使得 f(x)0 恒成立，且 f(x)0 在区间(1，)内有唯一解答案 (1)当 x(0，1)时，g(x)0，g(x)单调递增(2)略解析 (1)由已知，函数 f(x)的定义域为(0，)，g(x)f(x)2(x1lnxa)，所以 g(x)2 .2x 2（ x 1）x当 x(0，1)时，g(x)0，g(x)单调递增(2)由 f(x)2(x1lnxa)0，解得 ax1lnx.令 (x)2xlnxx 22x(x1lnx)(x1ln
28、x) 2(1lnx) 22xlnx，则 (1)10，(e)2(2e)f(x0)0；当 x(x 0，)时，f(x)0，从而 f(x)f(x0)0；又当 x(0，1时，f(x)(xa 0)922xlnx0.故 x(0，)时，f(x)0.综上所述，存在 a(0，1)，使得 f(x)0 恒成立，且 f(x)0 在区间(1，)内有唯一解1题组训练 17 导数的应用（二）极值与最值1函数 yx 33x 29x(20.当 x2时， f(x)2x 2x2 1x x 2x20，这时 f(x)为增函数；当 00，得 x0，令 f(x)f(1)故选 D.1e 126若函数 yax 3bx 2取得极大值和极小值时的
29、x的值分别为 0和 ，则( )13Aa2b0 B2ab0C2ab0 Da2b0答案 D解析 y3ax 22bx，据题意，0， 是方程 3ax22bx0 的两根，13 ，a2b0.2b3a 137已知 f(x)2x 36x 2m(m 为常数)在2，2上有最大值 3，那么此函数在2，2上的最小值是( )A37 B29C5 D以上都不对答案 A解析 f(x)6x 212x6x(x2)，f(x)在(2，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减x0 为极大值点，也为最大值点f(0)m3，m3.f(2)37，f(2)5.最小值是37，选 A.8若函数 f(x)x 33bx3b 在(0，1)内有极小值，则(
30、)3A0b1 Bb1Cb0 Db12答案 A解析 f(x)在(0，1)内有极小值，则 f(x)3x 23b 在(0，1)上先负后正，f(0)3b0.b0.f(1)33b0，b1.综上，b 的取值范围为 0b1.9设函数 f(x)在 R上可导，其导函数为 f(x)，且函数 f(x)在 x2 处取得极小值，则函数 yxf(x)的图像可能是( )答案 C解析 由 f(x)在 x2 处取得极小值可知，当 x0；当20，则 xf(x)0时，xf(x)0.10已知 f(x)x 3px 2qx 的图像与 x轴相切于非原点的一点，且 f(x)极小值 4，那么p，q 值分别为( )A6，9 B9，6C4，2 D
31、8，6答案 A解析 设图像与 x轴的切点为(t，0)(t0)，设 注意 t0，f（ t） t3 pt2 qt 0，f （ t） 3t2 2pt q 0， )可得出 p2t，qt 2.p 24q，只有 A满足这个等式(亦可直接计算出 t3)11若函数 f(x)ax 33x1 对于 x1，1总有 f(x)0 成立，则实数 a的取值范围为( )A2，) B4，)C4 D2，4答案 C解析 f(x)3ax 23，4当 a0 时，f(x) minf(1)a20，a2，不合题意；当 01时，f(1)a40，且 f( ) 10，解得 a4.综上所述，a4.1a 2a12若 f(x)x(xc) 2在 x2 处
32、有极大值，则常数 c的值为_答案 6解析 f(x)3x 24cxc 2，f(x)在 x2 处有极大值， 解得 c6.f （ 2） 0，f （ x） 2） ，f （ x） 0 （ x3时，f(x)0，f(x)是增函数，当 00，12g(x)在 ，2上是单调递增函数，g(2)10 最大12对于任意的 s，t ，2，f(s) g(t)恒成立，即对任意 x ，2，12 110 12f(x) lnx1 恒成立，mxxlnx.mx令 h(x)xxlnx，则 h(x)1lnx1lnx.当 x1时，h(x)0，h(x)在(0，1上是增函数，在1，)上是减函数，当 x ，2时，h(x)最大值为 h(1)1，12
33、m1，即 m1，)16(2018贵州遵义联考)已知函数 f(x)x 3ax 210.(1)当 a1 时，求函数 yf(x)的单调递增区间；(2)在区间1，2内至少存在一个实数 x，使得 f(x)0，得 x ，23所以函数 yf(x)在(，0)与( ，)上为增函数，23即函数 yf(x)的单调增区间是(，0)和( ，)23(2)f(x)3x 22ax3x(x a)，236当 a1，即 a 时，f(x)0 在1，2恒成立，f(x)在1，2上为增函数，23 32故 f(x)minf(1)11a，所以 11a11，这与 a 矛盾32当 10.23 23所以当 x a时，f(x)取得最小值，23因此 f
34、( a)3，这与 ，满足 a3.92综上所述，实数 a的取值范围为( ，)9217已知函数 f(x)(xk)e x.(1)求 f(x)的单调区间；(2)求 f(x)在区间0，1上的最小值答案 (1)减区间(，k1)，增区间(k1，)(2)k1 时，最小值 f(0)k；10，则下列结论中正确的是( )Ax1 一定是函数 f(x)的极大值点Bx1 一定是函数 f(x)的极小值点Cx1 不是函数 f(x)的极值点Dx1 不一定是函数 f(x)的极值点答案 B解析 x1 时，f(x)0，x0 Bm1 Dm13 13Ca38答案 C解析 yae ax3，由 y0，得 x ln( )1a 3a 0，a0，
35、所以 x1 是 f(x)的极小值点7函数 f(x)x 3ax 2bxa 2在 x1 处有极值 10，则 a，b 的值为( )Aa3，b3，或 a4，b11Ba4，b1，或 a4，b11Ca1，b5D以上都不正确答案 D解析 f(x)3x 22axb，依题意有 f （ 1） 0，f（ 1） 10， )即 解得 或3 2a b 0，1 a b a2 10.) a 4，b 11， ) a 3，b 3.)当 a3 且 b3 时，f(x)3x 26x30，函数 f(x)无极值点，故符合题意的只有故选 D.a 4，b 11.)8若函数 f(x)x 33x 在(a，6a 2)上有最小值，则实数 a的取值范围
36、是( )A( ，1) B ，1)5 5C2，1) D( ，25答案 C解析 f(x)3x 230，解得 x1，且 x1 为函数的极小值点，x1 为函数的极大值点因为函数 f(x)在区间(a，6a 2)上有最小值，所以函数 f(x)的极小值点必在区间9(a，6a 2)内，即实数 a满足 a0.(1x)f(x)0，f(x)0，即 f(x)在(，2)上是增函数(2)当20.(1x)f(x)0，f(x)2时，1x0，即 f(x)在(2，)上是增函数综上，f(2)是极大值，f(2)是极小值10下列关于函数 f(x)(2xx 2)ex的判断正确的是_f(x)0 的解集是x|00，则 00，故 g(x)为增
37、函数；当10时，g(x)0，故 g(x)为增函数综上，知 g(x)在(，4和1，0上为减函数，在4，1和0，)上为增函数12已知函数 f(x) .1 lnxx(1)若函数 f(x)在区间(a，a )(其中 a0)上存在极值，求实数 a的取值范围；23(2)如果当 x1 时，不等式 f(x) 恒成立，求实数 m的取值范围mx 1答案 (1) 0，所以 f(x) .当 00；当 x1时，f(x)0)上存在极值， 解得 1， ) 13(2)当 x1 时，不等式 f(x) ，mx 1即为 m.（ x 1） （ 1 lnx）x记 g(x) ，（ x 1） （ 1 lnx）xg(x) .令 h(x)xln
38、x，（ x 1） （ 1 lnx） x （ x 1） （ 1 lnx）x2 x lnxx2则 h(x)1 ，x1，h(x)0，1xh(x)在1，)上单调递增，h(x) minh(1)10，从而 g(x)0，故 g(x)在1，)上也是单调递增，g(x) ming(1)2，m2.1题组训练 18 定积分与微积分基本定理1若 a2，则函数 f(x) x3ax 21 在区间(0，2)上恰好有( )13A0 个零点 B1 个零点C2 个零点 D3 个零点答案 B解析 f(x)x 22ax，且 a2，当 x(0，2)时，f(x)0，f(2) 4a0 时，y0，函数 yx 2ex为增函数；当20，所以排除
39、D，故选 A.3函数 f(x) ex(sinxcosx)在区间0， 上的值域为( )12 2A ， e B( ， e )12 12 2 12 12 2 C1，e D(1，e ) 2 2答案 A解析 f(x) ex(sinxcosx) ex(cosxsinx)e xcosx，当 0x 时，f(x)0.12 12 22f(x)是0， 上的增函数 2f(x)的最大值为 f( ) e ， 2 12 2 f(x)的最小值为 f(0) .124(2018山东陵县一中月考)已知函数 f(x)x 2ex，当 x1，1时，不等式 f(x)0，函数 f(x)单调递增，且 f(1)f(1)，故 f(x)maxf(1
40、)e，则 me.故选 D.5(2014课标全国)已知函数 f(x)ax 33x 21，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且x00，则 a 的取值范围是( )A(2，) B(1，)C(，2) D(，1)答案 C解析 当 a0 时，显然 f(x)有两个零点，不符合题意当 a0 时，f(x)3ax 26x，令 f(x)0，解得 x10，x 2 .2a当 a0 时， 0，所以函数 f(x)ax 33x 21 在(，0)与( ，)上为增函数，在2a 2a(0， )上为减函数，因为 f(x)存在唯一零点 x0，且 x00，则 f(0)0，则 f( )0，即2a 2aa 3 10，解得 a2 或 a0 的解
41、集为( )A(4，0)(4，) B(4，0)(0，4)3C(，4)(4，) D(，4)(0，4)答案 D解析 设 g(x)xf(x)，则当 x0 化为 g(x)0.设 x0，不等式为 g(x)g(4)，即 0g(4)，即 x0 在 x(e，e 2上恒成立，故xlnx lnx 1（ lnx） 2h(x)max ，所以 a .故选 B.e22 e228(2018湖南衡阳期末)设函数 f(x)e x(x3 x26x2)2ae xx，若不等式 f(x)320 在2，)上有解，则实数 a 的最小值为( )A B 32 1e 32 2eC D134 12e 1e答案 C解析 由 f(x)e x(x3 x2
42、6x2)2ae xx0，得 a x3 x23x1 .32 12 34 x2ex令 g(x) x3 x23x1 ，则12 34 x2exg(x) x2 x3 (x1)( x3 )32 32 x 12ex 32 12ex当 x2，1)时，g(x)0，4故 g(x)在2，1)上是减函数，在(1，)上是增函数故 g(x)ming(1) 31 ，则实数 a 的最小值为 .故选 C.12 34 12e 34 12e 34 12e9已知正六棱柱的 12 个顶点都在一个半径为 3 的球面上，当正六棱柱的体积最大时，其高的值为_答案 2 3解析 设正六棱柱的底面边长为 a，高为 h，则可得 a2 9，即 a29
43、 ，正六棱柱h24 h24的体积 V(6 a2)h (9 )h ( 9h)令 y 9h，则34 332 h24 332 h34 h34y 9，令 y0，得 h2 .易知当 h2 时，正六棱柱的体积最大3h24 3 310已知函数 f(x)e x2xa 有零点，则 a 的取值范围是_答案 (，2ln22解析 由原函数有零点，可将问题转化为方程 ex2xa0 有解问题，即方程 a2xe x有解令函数 g(x)2xe x，则 g(x)2e x，令 g(x)0，得 xln2，所以 g(x)在(，ln2)上是增函数，在(ln2，)上是减函数，所以 g(x)的最大值为 g(ln2)2ln22.因此，a 的
44、取值范围就是函数 g(x)的值域，所以，a(，2ln2211设 l 为曲线 C：y 在点(1，0)处的切线lnxx(1)求 l 的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线 C 在直线 l 的下方答案 (1)yx1 (2)略解析 (1)设 f(x) ，则 f(x) .lnxx 1 lnxx2所以 f(1)1.所以 l 的方程为 yx1.(2)令 g(x)x1f(x)，则除切点之外，曲线 C 在直线 l 的下方等价于 g(x)0(x0，x1)g(x)满足 g(1)0，且 g(x)1f(x) .x2 1 lnxx2当 01 时，x 210，lnx0，所以 g(x)0，故 g(x)单调递增5所以
45、g(x)g(1)0(x0，x1) 所以除切点之外，曲线 C 在直线 l 的下方12已知函数 f(x)x 28lnx，g(x)x 214x.(1)求函数 f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若函数 f(x)与 g(x)在区间(a，a1)上均为增函数，求 a 的取值范围；(3)若方程 f(x)g(x)m 有唯一解，试求实数 m 的值答案 (1)y6x7 (2)2，6(3)m16ln224解析 (1)因为 f(x)2x ，所以切线的斜率 kf(1)6.8x又 f(1)1，故所求的切线方程为 y16(x1)即 y6x7.(2)因为 f(x) ，2（ x 2） （ x 2）x又 x0，所以当
46、x2 时，f(x)0；当 00 时原方程有唯一解，所以函数 yh(x)与 ym 的图像在 y 轴右侧有唯一的交点又 h(x)4x 14 ，且 x0，8x 2（ x 4） （ 2x 1）x所以当 x4 时，h(x)0；当 00 时原方程有唯一解的充要条件是mh(4)16ln224.13(2018湖北四校联考)已知函数 f(x)lnxa(x1)，g(x)e x.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 h(x)f(x1)g(x)，当 x0 时，h(x)1 恒成立，求实数 a 的取值范围答案 (1)当 a0 时，f(x)的单调递增区间为(0，)，无单调递减区间；当 a0 时，f(x)的单调递增
47、区间为(0， )，单调递减区间为( ，)1a 1a(2)(，26解析 (1)函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x) a (x0)1x 1 axx若 a0，对任意的 x0，均有 f(x)0，所以 f(x)的单调递增区间为(0，)，无单调递减区间；若 a0，当 x(0， )时，f(x)0，当 x( ，)时，f(x)0 时，f(x)的单调递增区间为(0， )，单调递减区间为( ，)1a 1a(2)因为 h(x)f(x1)g(x)ln(x1)axe x，所以 h(x)e x a.1x 1令 (x)h(x)，因为 x(0，)，(x)e x 0，1（ x 1） 2 （ x 1） 2ex 1（ x 1）
48、 2所以 h(x)在(0，)上单调递增，h(x)h(0)2a，当 a2 时，h(x)0，所以 h(x)在(0，)上单调递增，h(x)h(0)1 恒成立，符合题意；当 a2 时，h(0)2ah(0)，所以存在 x0(0，)，使得 h(x 0)0，所以 h(x)在(x 0，)上单调递增，在(0，x 0)上单调递减，又 h(x0)1 不恒成立，不符合题意综上，实数 a 的取值范围是(，27(第二次作业)1(2018皖南十校联考)设函数 f(x)lnxax 2xa1(aR)(1)当 a 时，求函数 f(x)的单调区间；12(2)证明：当 a0 时，不等式 f(x)x1 在1，)上恒成立答案 (1)增区
49、间为(0， ，减区间为 ，)1 52 1 52(2)略解析 (1)当 a 时，f(x)lnx x2x ，且定义域为(0，)，12 12 12因为 f(x) x1 ，1x （ x 1 52 ） （ x 1 52 ）x当 x(0， )时，f(x)0；当 x( ，)时，f(x)0 在1，)上恒成立，所以 g(x)在1，)上是增函数，且 g(1)0，所以 g(x)0 在1，)上恒成立，即当 a0 时，不等式 f(x)x1 在1，)上恒成立2(2018福建连城期中)已知函数 f(x)(a )x2lnx(aR)12(1)当 a1 时，求 f(x)在区间1，e上的最大值和最小值；(2)若在区间1，)上，函数
50、 f(x)的图像恒在直线 y2ax 的下方，求实数 a 的取值范围答案 (1)f(x) maxf(e)1 ，f(x) minf(1)e22 12(2)当 a ， 时，在区间(1，)上函数 f(x)的图像恒在直线 y2ax 的下方12 12解析 (1)当 a1 时，f(x) x2lnx，12f(x)x .1x x2 1x当 x1，e时，f(x)0，所以 f(x)在区间1，e上为增函数，8所以 f(x)maxf(e)1 ，f(x) minf(1) .e22 12(2)令 g(x)f(x)2ax(a )x22axlnx，则12g(x)的定义域为(0，)在区间(1，)上，函数 f(x)的图像恒在直线
51、y2ax 的下方等价于 g(x) ，令 g(x)0，得 x11，x 2 ，12 12a 1当 x2x11，即 0，12此时 g(x)在区间(x 2，)上是增函数，并且在该区间上有 g(x)(g(x 2)，)，不合题意；当 x2x 11，即 a1 时，同理可知，g(x)在区间(1，)上是增函数，有 g(x)(g(1)，)，不合题意若 a ，则有 2a10，12此时在区间(1，)恒有 g(x)0，所以对于任意 xR，F(x)0，因此方程 exa x 无实数解所以当 x0 时，函数 g(x)不存在零点综上，函数 g(x)有且仅有一个零点4(2018重庆调研)已知曲线 f(x) 在点(e，f(e)处的
52、切线与直线ln2x alnx ax2xe 2y0 平行，aR.(1)求 a 的值；(2)求证： .f（ x）x aex答案 (1)a3 (2)略解析 (1)f(x) ， ln2x （ 2 a） lnxx210由题 f(e) a3. 1 2 ae2 2e2(2)f(x) ，f(x) ，ln2x 3lnx 3x lnx（ lnx 1）x2f(x)0 即 ；3xex3e 3xex f（ x）x 3ex当 x1，)时，ln 2x3lnx30033，令 g(x) ，则 g(x) .3x2ex 3（ 2x x2）ex故 g(x)在1，2)上递增，(2，)上递减，g(x)g(2) 即 ；3x2ex f（ x
53、）x 3ex综上，对任意 x0，均有 .f（ x）x 3ex5(2017课标全国，理)已知函数 f(x)ae 2x(a2)e xx.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围答案 (1)当 a0 时，在(，)单调递减；当 a0 时，f(x)在(，lna)上单调递减，在(lna，)上单调递增(2)(0，1)解析 (1)f(x)的定义域为(，)，f(x)2ae 2x(a2)e x1(ae x1)(2ex1)若 a0，则 f(x)0，则由 f(x)0 得 xlna.当 x(，lna)时，f(x)0.所以 f(x)在(，lna)单调递减，在(lna，)单调递增(2)
54、若 a0，由(1)知，f(x)至多有一个零点若 a0，由(1)知，当 xlna 时，f(x)取得最小值，最小值为 f(lna)1 lna.1a11a当 a1 时，由于 f(lna)0，故 f(x)只有一个零点；b当 a(1，)时，由于 1 lna0，即 f(lna)0，故 f(x)没有零点；1ac当 a(0，1)时，1 lna2e 2 20，故 f(x)在(，lna)有一个零点设正整数 n0满足 n0ln( 1)，则 f(n0)en 0(aen0a2)n 0en0n 02n0n 00.3a由于 ln( 1)lna，因此 f(x)在(lna，)有一个零点3a综上，a 的取值范围为(0，1)6(2
55、018深圳调研二)已知函数 f(x)(x2)e x x2，其中 aR，e 为自然对数的底a2数(1)函数 f(x)的图像能否与 x 轴相切？若能与 x 轴相切，求实数 a 的值；否则，请说明理由；(2)若函数 yf(x)2x 在 R 上单调递增，求实数 a 能取到的最大整数值解析 (1)f(x)(x1)e xax.假设函数 f(x)的图像与 x 轴相切于点(t，0)，则有 即f（ t） 0，f （ t） 0.) （ t 2） et a2t2 0. （ t 1） et at 0. )由可知 at(t1)e t，代入中可得(t2)e t et0.t（ t 1）2e t0，(t2) 0，即 t23t
56、40.t（ t 1）294471 时，H(x)0，H(x)单调递增，且 H(x)H(1) 1；1e当 x0.12 e2存在唯一的 x0( ，1)使得 H(x0)0，12且当 x(，x 0)时，H(x)h(x)0，h(x)单调递增h(x) minh(x 0)(x 01)ex 0x 02，H(x 0)0，ex 0 ，1x0h(x 0)(x 01) x 023( x 0)1x0 1x0 0 在 R 上恒成立，a 能取得的最大整数为 1.方法 2：记 g(x)(x2)e x x22x，a2由题意知 g(x)(x1)e xax20 在 R 上恒成立g(1)a20，g(x)0 的必要条件是 a2.若 a2
57、，则 g(x)(x1)e x2x2(x1)(e x2)当 ln20 时，k(x)0，k(x)单调递增；当 xx2；当 x0，即 ex .11 x(x1)e x(x1) 1x2.11 x综上所述，(x1)e xx20 在 R 上恒成立，故 a 能取得的最大整数为 1.1(2014课标全国)设函数 f(x) sin .若存在 f(x)的极值点 x0满足 x02f(x 0)3 xm22 或 m0，设 g(x)lnx .mx(1)求 a 的值；(2)对任意 x1x20， a.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x (a，1a) 1a (1a，)f(x) 0 f(x) 极小值 因此，f(
58、x)在 1a 处取得最小值故由题意 f(1a)1a0，所以 a1.(2)由 x20 恒成立，15即 h(x)g(x)xlnxx 在(0，)上为减函数mxh(x) 1 0 在(0，)上恒成立，所以 mxx 2在(0，)上恒成立，1x mx2(xx 2)max ，即 m ，即实数 m 的取值范围为 ，)14 14 14(3)由题意知方程可化为 lnx x，mx即 mx 2xlnx(x1)设 m(x)x 2xlnx，则 m(x)2xlnx1(x1)设 h(x)2xlnx1(x1)，则 h(x)2 0，1x因此 h(x)在1，)上单调递增，h(x) minh(1)1.所以 m(x)x 2xlnx 在1
59、，)上单调递增因此当 x1 时，m(x)m(1)1.所以当 m1 时方程有一个根，当 m0，得 x0，yf(x)在(0，)上单调递增；令 f(x)0 时，由 f(x)0，得 x0；由 f(x)0，取 b 满足 b (b1)ab 2 (b1)(2b1)0，故 f(x)存在两个零点a2 a2当 a0，故当 x(0，ln(2a)时，12f(x)0，因此 f(x)在(0，ln(2a)上单调递减，在(ln(2a)，)上单调递增，又当 x0 时，f(x)0，不妨令 x10 时，f(x)在(，0)上单调递减，要证 x1x 2f(x 2)，又f(x 1)0，只需证 f(x 2)0)，g(x)x( )，1 e2
60、xexx0，e 2x1，g(x)0 时，g(x)0，即 F(x)在(1，2)上单调递增因为 F(1) 0，而 F(x)在(1，2)上连续，由零点存在性定理可知，1e 2e2F(x)在(1，2)内有且仅有唯一零点所以方程 f(x)g(x)在(1，2)内有且仅有唯一实根(2)x1x 2x0. )当 1x0时，m(x)xlnx，m(x)1lnx0，所以 m(x)单调递增要证 x1x 20，ln(2x 0x)0，1 xex所以 H(x)0，所以 H(x)在(1，x 0)上单调递增，即 H(x)0，设 F(x) ，求证：F(x)3.mf（ x） 4x 4g（ x） 1解析 (1)f(x)me x，g(x
61、)x3，m1，f(x)e x，g(x2)x1.18h(x)f(x)g(x2)2 017e xx2 018.h(x)e x1.由 h(x)0，得 x0.e 是自然对数的底数，h(x)e x1 是增函数当 x0 时，h(x)0，即 h(x)是增函数函数 h(x)没有极大值，只有极小值，且当 x0 时，h(x)取得极小值h(x)的极小值为 h(0)2 017.(2)证明：f(x)me x，g(x)x3，(x)f(x)g(x)me xx3.(x)me x1.由 (x)me x10，m0，函数 (x)是增函数；1m当 x(ln( )，)时，(x)me x10，F(x)3(x2)e xx20.设 u(x)(x2)e xx2，则 u(x)(x1)e x1.设 v(x)(x1)e x1，则 v(x)xe x.x0，v(x)0.又当 x0 时，v(x)0，函数 v(x)在0，)上是增函数v(x)v(0)，即 v(x)0.当 x0 时，u(x)0；当 x0 时，u(x)0.函数 u(x)在0，)上是增函数当 x0 时，u(x)u(0)0，即(x2)e xx20.19当 x0 时，F(x)3.
