2019年高考数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用课时跟踪检测（打包13套）理.zip

12.10 变化率与导数、导数的运算[课 时 跟 踪 检 测] [基 础 达 标]1．函数 f(x)＝( x＋2 a)(x－ a)2的导数为( )A．2( x2－ a2) B．2( x2＋ a2)C．3( x2－ a2) D．3( x2＋ a2)解析：∵ f(x)＝( x＋2 a)(x－ a)2＝ x3－3 a2x＋2 a3，∴ f′( x)＝3( x2－ a2)．答案：C2．曲线 f(x)＝2 x－e x与 y轴的交点为 P，则曲线在点 P处的切线方程为( )A． x－ y＋1＝0 B． x＋ y＋1＝0C． x－ y－1＝0 D． x＋ y－1＝0解析：曲线 f(x)＝2 x－e x与 y轴的交点为(0，－1)．且 f′( x)＝2－e x，∴ f′(0)＝1.所以所求切线方程为 y＋1＝ x，即 x－ y－1＝0.答案：C3． f(x)＝ x(2 016＋ln x)，若 f′( x0)＝2 017，则 x0等于( )A．e x B．1C．ln 2 D．e解析： f′( x)＝2 016＋ln x＋ x× ＝2 017＋ln x，由 f′( x0)＝2 017，得 2 1x017＋ln x0＝2 017，则 ln x0＝0，解得 x0＝1.答案：B4．曲线 y＝e x－ln x在点(1，e)处的切线方程为( )A．(1－e) x－ y＋1＝0B．(1－e) x－ y－1＝0C．(e－1) x－ y＋1＝0D．(e－1) x－ y－1＝0解析：由于 y′＝e－ ，所以 ＝e－1，故曲线 y＝e x－ln x在点(1，e)处的切1x线方程为 y－e＝(e－1)( x－1)，即(e－1) x－ y＋1＝0.答案：C25．(2017 届开封模拟)已知直线 y＝ kx＋1 与曲线 y＝ x3＋ mx＋ n相切于点 A(1,3)，则n＝( )A．－1 B．1C．3 D．4解析：对于 y＝ x3＋ mx＋ n， y′＝3 x2＋ m，∴ k＝3＋ m，又 k＋1＝3,1＋ m＋ n＝3，可解得 n＝3.答案：C6．已知 f(x)＝ ax4＋ bcosx＋7 x－2.若 f′(2 017)＝6，则 f′(－2 017)为( )A．－6 B．－8C．6 D．8解析：∵ f′( x)＝4 ax3－ bsinx＋7.∴ f′(－ x)＝4 a(－ x)3－ bsin(－ x)＋7＝－4 ax3＋ bsinx＋7.∴ f′( x)＋ f′(－ x)＝14.又 f′(2 017)＝6，∴ f′(－2 017)＝14－6＝8，故选 D.答案：D7．(2017 届衡水调研)曲线 y＝1－ 在点(－1，－1)处的切线方程为( )2x＋ 2A． y＝2 x＋1 B． y＝2 x－1C． y＝－2 x－3 D． y＝－2 x－2解析：∵ y＝1－ ＝ ，2x＋ 2 xx＋ 2∴ y′＝ ＝ ， y′| x＝－1 ＝2，x＋ 2－ x x＋ 2 2 2 x＋ 2 2∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为 2，∴所求切线方程为 y＋1＝2( x＋1)，即 y＝2 x＋1.答案：A8．如图是函数 f(x)＝ x2＋ ax＋ b的部分图象，则函数 g(x)＝ln x＋ f′( x)的零点所在区间是( )A. B．(1,2)(14， 12)3C. D．(2,3)(12， 1)解析：由函数 f(x)的部分图象得 00，∴ g(x)的零点所在区间为 ，故选 C.(12， 1)答案：C9．下列三个数： a＝ln － ， b＝ln π－π， c＝ln 3－3，大小顺序正确的是( )32 32A． acb B． abcC． aac解析：设 f(x)＝ln x－ x，( x0)，则 f′( x)＝ －1＝ ，1x 1－ xx故 f(x)在(1，＋∞)上是减函数，且 1cb，故选 A.答案：A10．已知定义在(－1,1)上的奇函数 f(x)，其导函数为 f′( x)＝1＋cos x，如果f(1－ a)＋ f(1－ a2)0，设3x22两曲线 y＝ f(x)与 y＝ g(x)有公共点，且在公共点处的切线相同．(1)若 a＝1，求两曲线 y＝ f(x)和 y＝ g(x)在公共点的切线方程；(2)用 a表示 b.解：(1)当 a＝1 时，f(x)＝ x2＋ x， g(x)＝4ln x＋ b(x0)，32设曲线在( x0， y0)处切线相同，则有 f′( x0)＝ g′( x0)，即 3x0＋1＝ ，可得 x0＝1 或 x0＝－ (舍去)．4x0 43故在 处切线相同，(1，52)此时 k＝ f′(1)＝4，∴切线方程为 y－ ＝4( x－1)，52即 8x－2 y－3＝0.(2)∵ f′( x)＝3 x＋ a， g′( x)＝ ，设在( x0， y0)处切线相同，4a2x故有 f′( x0)＝ g′( x0)， f(x0)＝ g(x0)，即Error!由(1)得 x0＝ a或 x0＝－ a(舍)．43代入②式得 b＝ a2＋ a2－4 a2ln a32＝ a2－4 a2ln a.52[能 力 提 升]1．已知曲线 f(x)＝ x3＋ ax＋ 在 x＝0 处的切线与曲线 g(x)＝－ln x相切，则 a的值14为________．解析：由 f(x)＝ x3＋ ax＋ 得，14f′( x)＝3 x2＋ a， f′(0)＝ a， f(0)＝ ，14∴曲线 y＝ f(x)在 x＝0 处的切线方程为 y－ ＝ ax.146设直线 y－ ＝ ax与曲线 g(x)＝－ln x相切于点( x0，－ln x0)， g′( x)＝－ ，14 1x∴Error!将②代入①得 ln x0＝ ，34∴ x0＝e ，34∴ a＝－ ＝－e－ .1e34 34答案：－e－342．设 a为实数，函数 f(x)＝ x3＋ ax2＋( a－3) x的导函数为 f′( x)，且 f′( x)是偶函数，则曲线 y＝ f(x)在原点处的切线方程为________．解析：∵ f′( x)＝3 x2＋2 ax＋( a－3)为偶函数，∴2 a＝0，即 a＝0，∴ f′( x)＝3 x2－3， k＝ f′(0)＝－3，∴ y＝ f(x)在原点处的切线方程为 y＝－3 x.答案： y＝－3 x3．已知函数 f(x)＝ x3－2 x2＋3 x(x∈R)的图象为曲线 C.13(1)求过曲线 C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线 C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线 C的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得 f′( x)＝ x2－4 x＋3，则 f′( x)＝( x－2) 2－1≥－1，即过曲线 C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线 C的其中一条切线的斜率为 k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，Error!解得－1≤ k＜0 或 k≥1，故由－1≤ x2－4 x＋3＜0 或 x2－4 x＋3≥1，得 x∈(－∞，2－ ]∪(1,3)∪[2＋ ，＋∞)．2 212.11.1 导数与函数的单调性[课 时 跟 踪 检 测] [基 础 达 标]1．函数 f(x)的导函数 f′( x)有下列信息：① f′( x)＞0 时，－1＜ x＜2；② f′( x)＜0 时， x＜－1 或 x＞2；③ f′( x)＝0 时， x＝－1 或 x＝2.则函数 f(x)的大致图象是( )解析：根据信息知，函数 f(x)在(－1,2)上是增函数．在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是减函数，故选 C.答案：C2． f(x)＝ x2－ aln x 在(1，＋∞)上单调递增，则实数 a 的取值范围为( )A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．(－∞，2) D．(－∞，2]解析：由 f(x)＝ x2－ aln x，得 f′( x)＝2 x－ ，ax∵ f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴2 x－ ≥0，ax即 a≤2 x2在(1，＋∞)上恒成立，∵2 x2＞2，∴ a≤2.故选 D.答案：D3．若幂函数 f(x)的图象过点 ，则函数 g(x)＝e xf(x)的单调递减区间为( )(22， 12)A．(－∞，0) B．(－∞，－2)C．(－2，－1) D．(－2,0)解析：设幂函数 f(x)＝ xα ，因为图象过点 ，所以 ＝ α ， α ＝2，所以 f(x)(22， 12) 12 (22)＝ x2，故 g(x)＝e xx2，令 g′( x)＝e xx2＋2e xx＝e x(x2＋2 x)＜0，得－2＜ x＜0，故函数 g(x)的单调递减区间为(－2,0)．答案：D4．(2017 届河北石家庄市高三 9 月摸底)若函数 f(x)＝ － x2＋ x＋1 在区间 上x33 a2 (12， 3)2单调递减，则实数 a 的取值范围为( )A. B．(52， 103) (103， ＋ ∞ )C. D．[2，＋∞)[103， ＋ ∞ )解析： f′( x)＝ x2－ ax＋1，函数 f(x)＝ － x2＋ x＋1 在区间 上单调递减⇔ f′( x)＝ x2－ ax＋1≤0 在区间x33 a2 (12， 3)上恒成立 ⇔Error!解之得 a≥ .故选 C.(12， 3) 103答案：C5．函数 f(x)＝ x3－ ax 是 R 上的增函数的一个充分不必要条件是( )A． a≤0 B． a＜0C． a≥0 D． a＞0解析：函数 f(x)＝ x3－ ax 为 R 上的增函数的一个充分不必要条件是 f′( x)＝3 x2－ a＞0 在 R 上恒成立，所以 a＜(3 x2)min，因为(3 x2)min＝0，所以 a＜0.故选 B.答案：B6．(2017 届贵阳市监测考试)对于 R 上可导的任意函数 f(x)，若满足( x－3) f′( x)≤0，则必有( )A． f(0)＋ f(6)≤2 f(3)B． f(0)＋ f(6)＜2 f(3)C． f(0)＋ f(6)≥2 f(3)D． f(0)＋ f(6)＞2 f(3)解析：由题意知，当 x≥3 时， f′( x)≤0，所以函数 f(x)在[3，＋∞)上单调递减或为常数函数；当 x＜3 时， f′( x)≥0，所以函数 f(x)在(－∞，3)上单调递增或为常数函数，所以 f(0)≤ f(3)， f(6)≤ f(3)，所以 f(0)＋ f(6)≤2 f(3)，故选 A.答案：A7．设函数 f(x)＝e x＋ x－2， g(x)＝ln x＋ x2－3.若实数 a， b 满足 f(a)＝0， g(b)＝0，则( )A． g(a)＜0＜ f(b) B． f(b)＜0＜ g(a)C．0＜ g(a)＜ f(b) D． f(b)＜ g(a)＜0解析：因为函数 f(x)＝e x＋ x－2 在 R 上单调递增，且 f(0)＝1－2＜0， f(1)＝e－1＞0，所以 f(a)＝0 时 a∈(0,1)．又 g(x)＝ln x＋ x2－3 在(0，＋∞)上单调递增，且 g(1)＝－2＜0，所以 g(a)＜0.由 g(2)＝ln 2＋1＞0， g(b)＝0 得 b∈(1,2)，又 f(1)＝e－1＞0，3所以 f(b)＞0.综上可知， g(a)＜0＜ f(b)．答案：A8．定义在 R 上的函数 f(x)满足 xf′( x)f(x)恒成立，则有( )A． f(－5) f(－3) B． f(－5)5 f(－3) D．3 f(－5)0，x·f′  x － f xx2∴ g(x)在 R 上单调递增，∴ g(－5)f(cosB)B． f(sinA)f(sinB)D． f(cosA)0 时，( x－ k)f′( x)＋ x＋10，求 k 的最大值．解：(1)函数 f(x)的定义域为 R， f′( x)＝e x－ a，若 a≤0，则 f′( x)0， f(x)在 R 上单调递增；若 a0，则 f′( x)＝0，解得 x＝ln a，所以 f(x)的单调递减区间是(－∞，ln a)，增区间为(ln a，＋∞)．(2)由于 a＝1，所以( x－ k)f′( x)＋ x＋1＝( x－ k)(ex－1)＋ x＋1，故当 x0 时，( x－ k)f′( x)＋ x＋10 等价于 k0，5所以 f(x)在(0，＋∞)上有唯一的零点，故 g′( x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点，设此零点为 a，则 a∈(1,2)，当 x∈(0， a)时， g′( x)0，所以 g(x)在(0，＋∞)的最小值为 g(a)，又因为 g′( a)＝0，可得 ea＝ a＋2，所以 g(a)＝ a＋1∈(2,3)，所以 ke 时， f′( x)＜0，为减函数，当 0＜ x＜e 时， f′( x)＞0，为增函数．因为 b＞ a＞3＞e.所以 ab＞ b＞ ＞ ＞ a＞e，a＋ b2 ab所以 f(a)＞ f( )＞ f ＞ f(b)＞ f(ab)．故选 D.ab (a＋ b2 )答案：D2．设函数 f(x)＝ sin2x＋ acosx 在(0，π)上是增函数，则实数 a 的取值范围为( )12A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]C．(－∞，0) D．(0，＋∞)解析： f(x)＝ sin2x＋ acosx 在(0，π)上是增函数，12所以 f′( x)＝cos2 x－ asinx≥0 在(0，π)上恒成立，所以 1－2sin 2x－ asinx≥0，设 t＝sin x， t∈(0,1]，即－2 t2－ at＋1≥0， t∈(0,1]时恒成立，所以 a≤－2 t＋ .1t7令 g(t)＝－2 t＋ ，则 g′( t)＝－2－ ＜0，1t 1t2所以 g(t)在(0,1]上单调递减，所以 a≤ g(1)＝－1，故选 B.答案：B3．(2017 年江苏卷)已知函数 f(x)＝ x3－2 x＋e x－ ，其中 e 是自然对数的底数．若1exf(a－1)＋ f(2a2)≤0，则实数 a 的取值范围是________．解析：∵ f′( x)＝3 x2－2＋e x＋e － x≥0，∴ f(x)在定义域内为单调递增函数，又 f(－ x)＝－ x3＋2 x＋ －e x＝－ f(x)，1ex∴ f(x)为奇函数．∵ f(a－1)＋ f(2a2)≤0，∴ f(a－1)≤－ f(2a2)，即 f(a－1)≤ f(－2 a2)．又∵ f(x)为单调递增函数，∴ a－1≤－2 a2，即 2a2＋ a－1≤0，解得－1≤ a≤ ，12∴实数 a 的取值范围是 .[－ 1，12]答案： [－ 1，12]4．(2018 届辽宁省葫芦岛第六高级中学期中)已知函数 f(x)＝－ ax2＋ln x(a∈R)．(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若存在 x∈(1，＋∞)， f(x)－ a，求 a 的取值范围．解：(1) f′( x)＝－2 ax＋ ＝ ，1x 1－ 2ax2x当 a≤0 时， f′( x)0，所以 f(x)在(0，＋∞)上递增，当 a0 时，令 f′( x)＝0，得 x＝ ，12a令 f′( x)0，得 x∈ ；令 f′( x)－ a，得 a(x2－1)－ln x0，当 a≤0 时， a(x2－1)－ln x1)， g′( x)＝ 0，12 2ax2－ 1x所以 g(x)在(1，＋∞)上递增，所以 g(x)g(1)＝0，不合题意，当 00，得 x∈ ，令 g′( x)0，得 x∈ ，12 (12a， ＋ ∞ ) (1， 12a)所以 g(x)max＝ g g(1)＝ 0，则∃ x0∈(1，＋∞)， g(x0)0，(12a)综上， a 的取值范围是 .(－ ∞ ，12)12.11.2 导数与函数的极值、最值[课 时 跟 踪 检 测] [基 础 达 标]1.已知函数 f(x)的定义域为( a， b)，导函数 f′( x)在( a， b)上的图象如图所示，则函数 f(x)在( a， b)上的极大值点的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：由函数极值的定义和导函数的图象可知， f′( x)在( a， b)上与 x轴的交点个数为 4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故 x＝0 不是函数 f(x)的极值点，其余的 3个交点都是极值点，其中有 2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有 2个．答案：B2．函数 f(x)＝ x3－4 x＋ m在[0,3]上的最大值为 4，则 m的值为( )13A．7 B．283C．3 D．4解析： f′( x)＝ x2－4， x∈[0,3]，当 x∈[0,2)时， f′( x)＜0，当 x∈(2,3]时， f′( x)＞0，∴ f(x)在[0,2)上是减函数，在(2,3]上是增函数．又 f(0)＝ m， f(3)＝－3＋ m.∴在[0,3]上， f(x)max＝ f(0)＝4，∴ m＝4，故选 D.答案：D3．设直线 x＝ t与函数 h(x)＝ x2， g(x)＝ln x的图象分别交于点 M， N，则当| MN|最小时 t的值为( )A．1 B．12C. D．52 22解析：由已知条件可得| MN|＝ t2－ln t，设 f(t)＝ t2－ln t(t＞0)，则 f′( t)＝2 t－ ，1t2令 f′( t)＝0，得 t＝ ，22当 0＜ t＜ 时， f′( t)＜0，当 t＞ 时， f′( t)＞0，22 22∴当 t＝ 时， f(t)取得最小值．22答案：D4．若 ex≥ k＋ x在 R上恒成立，则实数 k的取值范围为( )A．(－∞，1] B．[1，＋∞)C．(－∞，－1] D．[－1，＋∞)解析：由 ex≥ k＋ x，得 k≤e x－ x.令 f(x)＝e x－ x，∴ f′( x)＝e x－1.当 f′( x)＝0 时， x＝0，∴ f′( x)＜0 时， x＜0， f′( x)＞0 时， x＞0.∴ f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．∴ f(x)min＝ f(0)＝1.∴ k的范围为(－∞，1]．故选 A.答案：A5．(2017 届河北三市二联)若函数 f(x)＝ x3－ x2＋2 bx在区间[－3,1]上不是单13 (1＋ b2)调函数，则函数 f(x)在 R上的极小值为( )A．2 b－ B． b－43 32 23C．0 D． b2－ b316解析： f′( x)＝ x2－(2＋ b)x＋2 b＝( x－ b)(x－2)，∵函数 f(x)在区间[－3,1]上不是单调函数，∴－3＜ b＜1，则由 f′( x)＞0，得 x＜ b或 x＞2，由 f′( x)＜0，得b＜ x＜2，∴函数 f(x)的极小值为 f(2)＝2 b－ .43答案：A6． f(x)是定义在 R上的偶函数，当 x＜0 时， f(x)＋ xf′( x)＜0 且 f(－4)＝0，则不等式 xf(x)＞0 的解集为( )A．(－4,0)∪(4，＋∞)B．(－4,0)∪(0,4)C．(－∞，－4)∪(4，＋∞)D．(－∞，－4)∪(0,4)3解析：设 g(x)＝ xf(x)，则当 x＜0 时 g′( x)＝[ xf(x)]′＝ xf′( x)＋ f(x)＜0，所以 g(x)在区间(－∞，0)上是减函数，因为 f(x)是定义在 R上的偶函数．所以 g(x)＝ xf(x)是定义在 R上的奇函数，所以 g(x)在(0，＋∞)上是减函数，∵ f(－4)＝0，∴ f(4)＝0，即 g(4)＝ g(－4)＝0，∴ xf(x)＞0，即 g(x)＞0，∴ xf(x)＞0 的解集为(－∞，－4)∪(0,4)．答案：D7．已知函数 f(x)的定义域为 R， f(－1)＝2，且对任意的 x∈R， f′( x)＞2，则 f(x)＞2 x＋4 的解集为( )A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)解析：设 g(x)＝ f(x)－(2 x＋4)，[ f(x)－(2 x＋4)]′＝ f′( x)－2＞0，所以 g(x)单调递增．又 g(－1)＝0，所以 f(x)＞2 x＋4 的解集是(－1，＋∞)．故选 B.答案：B8．(2017 届山东师大附中检测)已知函数 f(x)＝ xex， g(x)＝－( x＋1) 2＋ a，若∃x1， x2∈R，使得 f(x2)≤ g(x1)成立，则实数 a的取值范围是( )A. B．[－1，＋∞)(－1e， ＋ ∞ )C．[－e，＋∞) D． [－1e， ＋ ∞ )解析： f′( x)＝e x＋ xex＝(1＋ x)ex，当 x＞－1 时， f′( x)＞0，函数单调递增；当x＜－1 时， f′( x)＜0，函数单调递减．所以当 x＝－1 时， f(x)取得极小值即最小值，f(－1)＝－ .函数 g(x)的最大值为 a.若∃ x1， x2∈R，使得 f(x2)≤ g(x1)成立，则有 g(x)的1e最大值大于或等于 f(x)的最小值，即 a≥－ .故选 D.1e答案：D9．从边长为 10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________cm 3.解析：设盒子容积为 y cm3，盒子的高为 x cm，则 x∈(0,5)．则 y＝(10－2 x)(16－2 x)x＝4 x3－52 x2＋160 x，∴ y′＝12 x2－104 x＋160.令 y′＝0，得 x＝2 或 (舍去)，2034∴ ymax＝6×12×2＝144(cm 3)．答案：14410．已知函数 f(x)＝e x－2 x＋ a有零点，则 a的取值范围是________．解析：由原函数有零点，可将问题转化为方程 ex－2 x＋ a＝0 有解问题，即方程a＝2 x－e x有解．令函数 g(x)＝2 x－e x，则 g′( x)＝2－e x，令 g′( x)＝0，得 x＝ln 2，所以 g(x)在(－∞，ln 2)上是增函数，在(ln 2，＋∞)上是减函数，所以 g(x)的最大值为 g(ln 2)＝2ln 2－2.当 x→－∞时 g(x)→－∞，因此， a的取值范围就是函数 g(x)的值域，所以 a的取值范围是(－∞，2ln 2－2]．答案：(－∞，2ln 2－2]11．已知 f′( x)＝ a(x＋1)( x－ a)是函数 f(x)的导函数，若 f(x)在 x＝ a处取得极大值，则实数 a的取值范围是________．解析：当导函数 f′( x)＝ a(x＋1)( x－ a)的图象如图所示时满足题意，此时－10， h′( x)0， h(x)单调递增．所以当 x＝ln a时 h(x)取到极大值，极大值为 h(ln a)＝－ a[ln2a－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2]．当 x＝0 时， h(x)取到极小值，极小值是 h(0)＝－2 a－1；②当 a＝1 时，ln a＝0，所以当 x∈(－∞，＋∞)时， h′( x)≥0，函数 h(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；③当 a＞1 时，ln a＞0，所以当 x∈(－∞，0)时，e x－e ln a＜0， h′( x)＞0， h(x)单调递增；当 x∈(0，ln a)时，e x－e ln a＜0， h′( x)＜0， h(x)单调递减；当 x∈(ln a，＋∞)时，e x－e ln a＞0， h′( x)＞0， h(x)单调递增．所以当 x＝0 时， h(x)取到极大值，极大值是 h(0)＝－2 a－1；当 x＝ln a时， h(x)取到极小值，极小值是 h(ln a)＝－ a[ln2a－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2]．综上所述，当 a≤0 时， h(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，函数 h(x)有极小值，极小值是 h(0)＝－2 a－1；当 0＜ a＜1 时，函数 h(x)在(－∞，ln a)和(0，＋∞)上单调递增，在(ln a,0)上单调递减，函数 h(x)有极大值，也有极小值，极大值是 h(ln a)＝－ a[ln2a－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2]，极小值是 h(0)＝－2 a－1；当 a＝1 时，函数 h(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；当 a＞1 时，函数 h(x)在(－∞，0)和(ln a，＋∞)上单调递增，在(0，ln a)上单调递减，函数 h(x)有极大值，也有极小值，极大值是 h(0)＝－2 a－1，极小值是 h(ln a)＝－ a[ln2a－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2]．12.12 定积分与微积分基本定理[课 时 跟 踪 检 测] [基 础 达 标]1．若 F′( x)＝ x2，则 F(x)的解析式不正确的是( )A． F(x)＝ x313B． F(x)＝ x3C． F(x)＝ x3＋113D． F(x)＝ x3＋ c(c为常数)13答案：B2. (x2＋ x3－30)d x＝( )4∫2A．56 B．28C. D．14563解析： (x2＋ x3－30)d x＝ ＝ (43－2 3)＋ (44－2 4)－30(4－2)＝ .4∫2 (13x3＋ 14x4－ 30x)42 13 14 563故选 C.答案：C3． (1＋cos x)dx等于( )A．π B．2C．π－2 D．π＋2解析： (1＋cos x)dx＝2 (1＋cos x)dx＝2( x＋sin x) ＝2 ＝π＋2.(π2＋ 1)答案：D4．(2017 届苏北四市模拟)若 (2x＋ k)dx＝2，则 k等于( )1∫0A．0 B．1C．2 D．3答案：B25. dx等于 ( )5∫3x2＋ 1xA．8－ln B．8＋ln 53 53C．16－ln D．16＋ln 53 53解析： dx＝ xdx＋ dx＝ x2 ＝ (52－3 2)＋ln 5－ln 3＝8＋ln ，5∫3x2＋ 1x5∫35∫31x 12 12 53故选 B.答案：B6．若 S1＝ x2dx， S2＝ dx， S3＝ exdx，则 S1， S2， S3的大小关系为( )2∫12∫11x2∫1A． S1＜ S2＜ S3 B． S2＜ S1＜ S3C． S2＜ S3＜ S1 D． S3＜ S2＜ S1解析： S1＝ x3 ＝ － ＝ ， S2＝ln x ＝ln 2＜ln 13 83 13 73e＝1， S3＝e x ＝e 2－e≈2.7 2－2.7＝4.59，所以 S2＜ S1＜ S3.答案：B7．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为 v＝ gt(g为常数)，则电视塔高为( )A. g B． g12C. g D．2 g32解析：由题意知电视塔高为答案：C8．由曲线 f(x)＝ 与 y轴及直线 y＝ m(m＞0)围成的图形的面积为 ，则 m的值为( )x83A．2 B．3C．1 D．8解析： S＝ ＝ m3－ m3＝ ，解得 m＝2.23 833答案：A9．(2018 届唐山市五校联考)曲线 y＝ 与其在点(0，－1)处的切线及直线 x＝1 所x－ 1x＋ 1围成的封闭图形的面积为( )A．1－ln 2 B．2－2ln 2C．2ln 2－1 D．ln 2解析：∵ y′＝ ′＝ ，(x－ 1x＋ 1) 2 x＋ 1 2∴ k＝ y′| x＝0 ＝2，∴切线方程为 y＝2 x－1，∴围成图形面积 S＝ dx1∫0(2x－ 1－ x－ 1x＋ 1)＝ dx1∫0(2x－ 1－ 1＋ 2x＋ 1)＝[ x2－2 x＋2ln ( x＋1)] ＝2ln 2－1，故选 C.答案：C10．若函数 f(x)＝ x＋ ，则 f(x)dx＝________.1x e∫1解析： dx＝ ＝ .e∫1(x＋ 1x) (x22＋ ln x) e2＋ 12答案：e2＋ 1211．若 f(x)＝ x＋2 f(t)dt，则 f(x)＝________.1∫0解析：记 a＝ f(t)dt，则 f(x)＝ x＋2 a，1∫0故 f(x)dx＝ (x＋2 a)dx＝ ＋2 a，1∫01∫0 12所以 a＝ ＋2 a， a＝－ ，故 f(x)＝ x－1.12 12答案： x－112．如图，由曲线 y＝ x2和直线 y＝ t2(0t1)， x＝1， x＝0 所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是________．4解析：设图中阴影部分的面积为 S(t)，则 S(t)＝(t2－ x2)dx＋ (x2－ t2)dx＝ t3－ t2＋ .由 S′( t)＝2 t(2t－1)＝0，得 t＝ 为 S(t)在t∫01∫t 43 13 12区间(0,1)上的最小值点，此时 S(t)min＝ S ＝ .(12) 14答案：1413．已知 f(x)在 R上可导， f(x)＝ x2＋2 f′(2) x＋3，试求 f xd x的值．3∫0解：∵ f(x)＝ x2＋2 f′(2) x＋3，∴ f′( x)＝2 x＋2 f′(2)，∴ f′(2)＝4＋2 f′(2)，∴ f′(2)＝－4，∴ f(x)＝ x2－8 x＋3.∴ f(x)dx＝ ＝－18.3∫0 (13x3－ 4x2＋ 3x)[能 力 提 升]1．(2017 届湖南六校联考)若(2＋ x＋ x2) 3的展开式中的常数项为 a，则 (3x2－1)(1－1x) a∫0dx的值为( )A．6 B．20 C．8 D．24解析：二项式 3展开式中的常数项， x－1 ， x－2 项的系数分别为 C ，－C ，C ，(1－1x) 03 13 23则(2＋ x＋ x2) 3的展开式中的常数项 a＝2C －C ＋C ＝2，则 (3x2－1)d x＝( x3－ x) (1－1x) 03 13 23 2∫0＝6，故选 A.答案：A2．如图，由两条曲线 y＝－ x2， y＝－ x2，及直线 y＝－1 所围成的平面图形的面积为14________．5解析：由Error!得交点 A(－1，－1)， B(1，－1)．由Error! 得交点 C(－2，－1)， D(2，－1)．所以所求面积S＝2 ＝ .[1∫0(－14x2＋ x2)dx＋ 2∫1(－14x2＋ 1)dx] 43答案：433．(2017 届山东济南模拟)已知等比数列{ an}为递增数列，其前 n项和为 Sn，若a3＝8， S3＝ (4x＋3)d x，则公比 q＝________.2∫0解析：因为 S3＝ (4x＋3)d x＝(2 x2＋3 x) ＝14， a3＝8，所以 a1＋ a2＝6，所以Error!2∫0即 3q2－4 q－4＝0，解得 q＝2 或 q＝－ .又{ an}为递增数列，所以 q＝－ 舍去，即 q＝2.23 23答案：24．(2018 届山东青岛自主诊断)函数 y＝ f(x)图象上不同两点 A(x1， y1)， B(x2， y2)处的切线的斜率分别是 kA， kB，规定 K(A， B)＝ (|AB|为线段 AB的长度)叫作曲线|kA－ kB||AB|y＝ f(x)在点 A与点 B之间的“近似曲率” ．设曲线 y＝ 上两点 A ， B (a＞0 且1x (a， 1a) (1a， a)a≠1)，若 m·K(A， B)＞1 恒成立，则实数 m的取值范围是________．解析：因为 y′＝－ ，所以 kA＝－ ， kB＝－ a2.1x2 1a2又| AB|＝ ＝ ，所以 K(A， B)＝ ＝ ＝ ，因(a－ 1a)2＋ (1a－ a)2 2|1a－ a| |kA－ kB||AB||a2－ 1a2|2|1a－ a|1a＋ a2为 a＞0 且 a≠1，所以 a＋ ＞2 ＝2，即 ＜ .由 m·K(A， B)＞1 恒成立得1a a·1a 1K A， B 22m＞ ，即 m≥ .1K A， B 22答案： [22， ＋ ∞ )12.2 函数的单调性与最值[课 时 跟 踪 检 测] [基 础 达 标]1．函数 f(x)＝ ＋log 2(6－ x)的定义域是( )x＋ 3A．(6，＋∞) B．(－3,6)C．(－3，＋∞) D．[－3,6)解析：要使函数有意义应满足Error!解得－3≤ x＜6.答案：D2．已知 f ＝2 x－5，且 f(a)＝6，则 a等于( )(12x－ 1)A．－ B．74 74C. D．－43 43解析：令 t＝ x－1，则 x＝2 t＋2， f(t)＝2(2 t＋2)－5＝4 t－1，则 4a－1＝6，解得12a＝ .74答案：B3．(2017 届黄山质检)已知 f(x)是一次函数，且 f[f(x)]＝ x＋2，则 f(x)＝( )A． x＋1 B．2 x－1C．－ x＋1 D． x＋1 或－ x－1解析： f(x)是一次函数，设 f(x)＝ kx＋ b(k≠0)，由 f[f(x)]＝ x＋2，可得 k(kx＋ b)＋ b＝ x＋2，即 k2x＋ kb＋ b＝ x＋2，∴ k2＝1， kb＋ b＝2.解得 k＝1， b＝1.即 f(x)＝ x＋1.故选 A.答案：A4．已知函数 f(x)＝ x|x|，若 f(x0)＝4，则 x0的值为( )A．－2 B．2C．－2 或 2 D． 2解析：当 x≥0 时， f(x)＝ x2， f(x0)＝4，即 x ＝4，解得 x0＝2；20当 x＜0 时， f(x)＝－ x2， f(x0)＝4，即－ x ＝4，无解．20所以 x0＝2，故选 B.答案：B25．(2017 届长沙四校联考) f(x)＝Error!则 f ＝( )[f(19)]A．－2 B．－3C．9 D．－9解析：∵ f ＝log 3 ＝－2，(19) 19∴ f ＝ f(－2)＝ －2 ＝9. 故选 C.[f(19)] (13)答案：C6．函数 f(x)＝ln ＋ 的定义域为( )(1＋1x) 1－ x2A．(－1,1] B．(0,1]C．[0,1] D．[1，＋∞)解析：由条件知Error!即Error!解得 00 得，10 x2，∴ xlg 2.答案：(lg 2，＋∞)14．设二次函数 f(x)满足 f(x－2)＝ f(－ x－2)，且图象在 y轴上的截距为 1，在 x轴截得的线段长为 2 ，求 f(x)的解析式．24解：设 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c，( a≠0)，由 f(x－2)＝ f(－ x－2)得， x＝－ ＝－2，b2a∴4 a－ b＝0，①∵ f(x)在 y轴上截距为 1，∴ c＝1.又∵ f(x)在 x轴截得的线段长为 2 .2即| x1－ x2|＝2 ，∴ ＝2 ，2b2－ 4ac|a| 2即 b2－4 a＝8 a2.②解①②可得 a＝ ， b＝2， c＝1，12∴ f(x)＝ x2＋2 x＋1.12[能 力 提 升]1．(2018 届河南新乡调研)已知函数 f(x)＝Error!若 f(8－ m2)＜ f(2m)，则实数 m的取值范围是( )A．(－4,2)B．(－4,1)C．(－2,4)D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)解析：由函数 f(x)的图象可知函数 f(x)在 R上单调递减，因此由 f(8－ m2)＜ f(2m)可得 8－ m2＞2 m，解得－4＜ m＜2.故选 A.答案：A2．(2017 届广西名校摸底考试)已知 f(x)是定义在 R上的偶函数，且 f ＝ f(x－32)恒成立，当 x∈[2,3]时， f(x)＝ x，则当 x∈(－2,0)时， f(x)＝( )(x＋12)A．2＋| x＋1| B．3－| x＋1|C．| x－2| D．| x＋4|解析：∵ f ＝ f ，∴ f(x)＝ f(x＋2)，即函数 f(x)的周期为 2，当 x∈(0,1)(x－32) (x＋ 12)时，有 x＋2∈(2,3)，故 f(x)＝ f(x＋2)＝ x＋2.同理，当 x∈[－2，－1]时，有 f(x)＝ f(x＋4)＝ x＋4，又知 f(x)是偶函数，故 x∈(－1，0)时，有－ x∈(0,1)，故 f(x)＝ f(－ x)＝2－ x，则 x∈(－2,0)时， f(x)＝3－| x＋1|.答案：B3．(2017 届浙江余姚一模)已知函数 f(x)＝Error!若存在实数 x1， x2， x3， x4，满足5x1＜ x2＜ x3＜ x4，且 f(x1)＝ f(x2)＝ f(x3)＝ f(x4)，则 的值等于( )x3＋ x4x1x2A．18π B．18C．9π D．9解析：如图是函数 f(x)的图象，由已知，得 ＜ x1＜1＜ x2＜3＜ x3＜6＜12＜ x4＜15，13且 log3x2＝－log 3x1，所以 x1x2＝1. x3＋ x4＝9×2，即 x3＋ x4＝18，因此 ＝18，故选x3＋ x4x1x2B.答案：B4．(2017 届山东潍坊检测)已知函数 f(x)＝lg 的定义域是 ，则实数 a(1－a2x) (12， ＋ ∞ )的值为________．解析：由函数 f(x)＝lg 的定义域是 ，易知当 x＝ 时，1－ ＝0，即(1－a2x) (12， ＋ ∞ ) 12 a2x1－ ＝ 0，所以 a＝ .a2 2答案： 2