九年级数学上册 第二十二章 备课资料（打包9套）（新版）新人教版.zip

1第二十二章 22.1.1 二次函数知识点 1:二次函数的概念1.一个函数是二次函数的条件:判断一个函数是否为二次函数,应 该紧扣二次函数的概念进行比较.(1)含有自变量的代数式是整式;(2)化简后自变量 的最高次数为 2;(3)二次项系数不能为 0.注意：二次函数 解析式中,a,b,c 是常数,a 必须不为 0,否则就变成函数 y=bx+c,若b≠0,y=bx+c 就成了一次函数;若 b=0,则 y=c 是常函数.2.二次函数的解析式:y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)是二次函数的一般形式.任何一个二次函数的解析式都可 以转化为 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数 ,a≠0)的形式.知识点 2:实际问题中二次函数解析式的确定1.列函数解析式的步骤:(1)审清题意,找出实际问题中的已知量、未知量,将文字、图形语言转化为数学符号语言;(2)找出等量关系;(3)列出函数解析式:设出表示变量的字母,把等量关系用含字母的式子替换.2.几种常见的二次函数关系:(1)面积、体积的一些计算公式在特定的情况下可以看成二次函数解析式.如:在圆的面积公式S=πr 2中,半径与圆的面积的关系满足二次函数 关系;周长一定时,矩形的面积与其中一边长的关系满足二次函数关系;(2)在特定情况下,销售利润与售价的关系;(3)在特定情况下,银行存款本息和与年利率的关系;(4)在特定情况下,总量与增长率(降低率)的关系;(5)在特定情况下,一些物理化学公式也满足二次函数关系.知识点 3:实际问题中二次函数的自变量的取值范围一般地,二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量 x 的取值范围是全体实数,但在实际问题中,二次函数由于受到实际条件的限制,自变量的取值范围往往不是全体实数.2考点 1：二次函数的判定【例 1】 当 m 取何值时,函数 y=(m+1) -2x+1 是关于 x 的二次函数?解:根据二次函数的概念,得解 m2-m=2,得 m1=-1,m2=2,解 m+1≠0,得 m≠-1,∴m=2.∴当 m=2 时,这个函数是二次函数,其解析式是 y=3x2-2x+1.点拨：由二次函数的概念可知二次函数必须具备三个条件:( 1)含有自变量的代数式是整式;(2)化简后自变量的最高次数是 2;(3)二次项系数不为 0.考点 2：二次函数自变量取值范围的确定【例 2】 已知长方形窗户的周长为 6 m,写出窗户面积 y(m2)与窗户的一边长 x(m)之间的函数解析式,并写出自变量 x 的取值范围.解:由题意得:y=x(3-x)=-x 2+3x,其中自变量 x 的取值范围是 00,3-x0,所以 00).点拨：(1)要证明四边形 AEFD 是平行四边形,需利用“两组对边分别平行的四边形是平 行四边形”,即证 AE∥DC 且 EF∥AD;(2)易证四边形 DEGF 的面积= EF·DG,根据题意求得 EF,DG 的长,列出函数解析式即可.1第二十二章 22.1.2 二次函数 y=ax2 的图象和性质知识点 1:二次函数 y=ax2图象的画法二次函数 y=ax2的图象的画法:(1)列表:先取原点(0,0),然后在原点的两边,对称地选取几个 x 值,求出函数值列表.(2)描点:在平面直角坐标系中描出表中数 据对应的各点,一般先描 y 轴一侧的几个点,然后 由对称性描出另一侧的几个点.(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,就得到了二次函数 y=ax2的图象.知识点 2:二次函数 y=ax2的性质1.二次函数 y=ax2的图象是一条抛物线.2.抛物线 y=ax2的对称轴是 y 轴 ,顶点是原点.a0 时,抛物线开口向上,顶点是抛物线的最低点;a0 向上 (0,0) y 轴x0 时,y 随 x 增大而增大;x0 时,y 随 x 增大而减小;x0 时,y 随 x 增大而增大,求 k 的值.解:已知 y=(k+1) 是关于 x 的二次函数,则 解得:又∵当 x0 时,y 随 x 增大而增大,∴k+10,即 k-1,∴k=1.点拨：本题是关于二次函数的概念与性质的综合题.先根据二次函数的概念 ,自变量 x 的最高次数为 2,且二次项系数不为 0,得到 k2+k=2,且 k+1≠0;再根据二次函数 y=ax2的性质,当且仅当其图象开口向上时,才有 x0 时,y 随 x 增大而增大,得到此题中的二次项系数 k+10,这样就确定了 k 的值.知识点 2：二次函数 y=ax2在几何问题中的应用【例 2】 如图,正方形 ABCD 的边长为 10,四个全等的小正方形的对称中心分别为正方 形 ABCD的顶点,且它们的各边与正方形 ABCD 各边平行或垂直.若小正方形的边长为 x,且 0x≤10,阴影部分的面积为 y,则能 反映 y 与 x 之间函数关系的大致图象是图中的( )A B C D答案:D 点拨：由题意知,阴影部分的面积 y=4× =x2,即 y=x2,因为 0x≤10,所以它的大致图象是D.考点 3：二次函数 y=ax2在实际问题中的应用【例 3】 有一座桥梁,桥洞的形状是一条开口向下的抛物线,其对应的函数解析式为 y=- x2(x,y的单位均为 m).(1)在平面直角坐标系中画出这条抛物线;3(2)利用图象求水面离桥洞的最高点 2 m 时,水面的宽度是多少米;(3)当水面 宽为 6 m时,水面离桥洞的最高点有多少米?解:(1)列表:x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …y=- x2 … -4 -2 - 0 - -2 -4 …描点、连线得二次函数 y=- x2的图象,如图所示.(2)如图所示,过 点 M(0,-2)作直线 AB 平行于 x 轴,交抛物线于 A,B 两点.∵y=- x2的图象关于y 轴对称,∴AM=BM.又∵直线 AB 平行于 x 轴,∴点 A,B 的纵坐标均为-2.当 y=-2 时,- x2=-2,x=±2.∴A(-2,-2),B(2,-2),即 AB=4,∴此时水面的宽度为 4 m.(3)如图所示,取点 N(3,0),过点 N 作 y 轴的平行线,交抛物线于点 F,过点 F 作 x 轴的平行线,交抛物线于另一点 E,则 EF=6,∴E,F 的横坐标分别为-3 和 3.当 x=3 或 x=-3 时,y=-4 .∴F 点的纵坐标为-4 ,即 NF=4 .∴此时水面离桥洞的最高点为 4 m.点拨：本题考查了抛物线的对称性以及已知自变量 x 的值求函数 y 的值,已知函数 y 的值求 自变量 x 的值的方法.1第二十二章 22.1.3 二次函数 y=ax2+k 的图象和性质知识点:二次函数 y=ax2+k 的图象及其性质二次函数 y=ax2+k 的性质 与二次函数 y=ax2的性质很多都相同,只是图象顶点坐标及最值有所区别,但也可以由二次函数 y=ax2的图象的顶点平移得到二次函数 y=ax2+k 的图象的顶点的坐标,因而学习二次函数 y=ax2+k 的性质,可在熟记二次函数 y=ax2的性质的基础上类比学习.二次函数 图象开口方向顶点坐标对称轴 增减性 最大(小)值a0k0向上(0,k) y 轴当 x0 时,y 随 x 的增大而增大;当 x0k0 时,y 随 x 的增大而增大;当 x0向下(0,k) y 轴当 x0 时,y 随 x 的增大而减小;当 x0 时,y 随 x 的增大而减小;当 x0 时,y 随 x 的增大而增大当 x=0 时,y最大值 =k二次函数的解析式中常数项的变化与其图象移动的关系:上加下减.考点 1：二次函数 y=ax2+k的图象2【例 1】 小明在某次投篮中,球的运动路线是抛物线 y=- x2+3.5 的一部分(如图),若投中篮框中心,则他与篮底的距离 l 是( )A.3.5 m B.4 m C.4.5 m D.4.6 m答案:B 点拨：由题意令 y=3.05,可得 3.05=- x2+3.5,解得 x=±1.5(负值不符合题意,舍去),所以他与篮底的距离 l=1.5+2.5=4(m).考点 2：二次函数 y=ax2+k 的性质【例 2】 将抛物线 y=-3x2向上平移 1 个单位后,得到的抛物线对应的函数解析式是 .答案:y=-3x 2+1点拨：由“上加下减”的规律知,该抛物线向上平移 1 个单位后得到的抛物 线对应的函数解析式为 y=-3x2+1.1第二十二章 22.1.4 二次函数 y=a(x-h)2 的图象和性质知识点：二次函数 y=a(x-h)2的图象及其性质二次函数 y=ax2的图象向左、右平移就得到二次 函数 y=a(x-h)2的图象,在实际应用时要注意h 的符号对平移的方向的影响.如二次函数 y=2(x-3)2的图象是由二次函数 y=2x2的图象向右平移 3个单位得到的,而二次函数 y=2(x+3)2的图象是由二次函数 y=2x2的图象向左平移 3 个单位得到的.因此二次函数 y=a(x-h)2与 y=ax2的图 象之间满足平移规律 “左加右减”.二次函数图象开口方向顶点坐标对称轴 增减性最大(小)值a0h0向上 (h,0)直线x=h当 xh 时,y 随x 的增大而增大当 x=h 时,y 最小值 =0a0hh 时,y 随x 的增大而增大当 x=h 时,y 最小值 =0a0向下 (h,0)直线x=h当 xh 时,y 随x 的增大而减小当 x=h 时,y 最大值 =0y=a(x-h)2ah 时,y 随x 的增大而减小当 x=h 时,y 最大值 =02考点 1：二次函数 y=a(x-h)2的性质【例 1】 已知二次函数 y=a(x-h)2,当 x=2 时,函数有最大值,此二次函数的图象过点(1,-3),求此二次函数的解析式,并指出当 x 为何值时,y 随 x 的增大而减小.解:根据当 x=2 时,函数有最大值,可得 h=2.∵此二次函数的图象过点(1,-3),∴-3=a(1-2) 2,解得 a=-3,∴此二次函数的解析式为 y=-3(x-2)2.∴当 x≥2 时 ,y 随 x 的增 大而减小.点拨：由二次函数的最大值情况可求出 h 的值,再将(1,-3)代入解析式便能求出 a 的值,从而可知函数的增减情况.考点 2：二次函数与一次函数图 象的综合题【例 2】 在同一平面直角坐标系中,函数 y=-x+1 与 y=- (x-1)2的图象大致是图中的( )答案:D 点拨：由于抛 物线的顶点坐标为(1,0),直线 y=-x+1 经过点(1,0)和(0,1),故选 D.1第二十二章 22.1.5 二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象和性质知识点:二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象及其性质二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象及其性质:(1)当 a0 时,图象开口向上;当 a0 时,y 最小值 =k,此时 x=h;当 a0 时,若 xh,则 y 随 x 的增大而增大.当 ah,则 y 随 x 的增大而减小.注意：因为由 y=a(x-h)2+k 可以直接读出图象顶点的坐标为(h,k),所以通常把 y=a(x-h)2+k(a≠0)称为二次函数的顶点式.考点 1：二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象【例 1】 已知二次函数 y=(x-2a)2+a-1(a 为常数),当 a 取不同的值时,其图象构成一个“抛物线系”.如图分别是当 a=-1,a=0,a=1,a=2 时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上,这条直线对应的函数解析式是 y= . 答案: x-1 点拨：本题属于二次函数的图象与性质与一次函数综 合题,题中给出了二次函 数 y=(x-2a)2+a-1 和字母 a 的四个值,本着使计算简便的原则,可以求出当 a=0,a=1 时的二次函数解析式,再利用二次函数解析式求出抛物线的顶点坐标,确定出直线上两个点的坐标后,用待定系数法求得直线对应的函 数解析式.此外 ,在已知一次函数 y=kx+b 的图象与 y 轴的交点坐标(0,-1)时,可以根据一次函数的图象的性质,设一次函数的解析式为 y=kx-1,利用点(2,0)求出 k 的值.考点 2：二次函数 y=a(x-h)2+k 的解析式的确定2【例 2】 已知抛物线 的顶点坐标是(1,3),且此抛物线经过点 P(2,0),则这个抛物线对应的函数解析式为 . 答案:y=-3x 2+6x点拨：如果已知抛物线对应的函数解析式的形式是 y=a(x-h)2+k,我们可以写出它的顶点坐标;反过来,已知抛物线的顶点坐标为(h,k),我们也可以设其对应的函数解析式为 y=a(x-h)2+k,因为抛物线的顶点坐标为(1,3),可设该解析式为 y=a(x-1)2+3,把(2,0)代入解析式中求出 a,可确定该解析式.考点 3:二次函数图象的运动问题【例 3】 如图,点 A,B 的坐标分别为(1,4)和(4,4) ,抛物线 y=a(x-m)2+n 的顶点在线段 AB 上运动,与 x 轴交于 C,D 两点( C 在 D 的左侧),点 C 的横坐标最小值为-3,则点 D 的横坐标最大值为( )A.-3 B.1 C.5 D.8答案:D 点拨：C,D 两点是抛物线与 x 轴的交点,当取得 C 的横坐标最小值为-3 时,抛物线的顶点在 A 处,把(-3,0)代入 y=a(x-1)2+4 可得 0=a(-3-1)2+4,求得 a=- ;当抛物线的顶点在 B 处时,可以取得 D 的横坐标最大值,其解析式为 y=- (x-4)2+4,将 y=0 代入解析式,解得 x=0或 x=8,因此点 D 的横坐标最大值为 8.1第二十二章 22.1.6 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质知识点 1:二次函数的一般式 y=ax2+bx+c 与顶点式 y=a(x-h)2+k 之间的关系1.转化方法:y=ax2+bx+c=a +c=a +c=a + .对照 y=a(x-h)2+k,这里 h=- ,k= .即抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为直线 x=- ,顶点坐标为 .2.将一般式配成顶点式的一般步骤为:(1)将二次项和一次项结合在一起,并提取二次项系数;(2)将括号中的二次二项式加上一次项系数一半的平方,并在常数项中减去所配的常数;(3)将配好的函数解析式写成 y=a(x-h)2+k 的形式.知识点 2:二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的“五点法”作图.(1)用配方法求出抛 物线的顶点坐标和对称轴,在坐标系中描出顶点 M,并用虚线画出对称轴;(2)设抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点为 A,B,与 y 轴的交点为 C,再找出 C 关于对称轴的对称点 D,把A,B,C,D 和顶点 M 共五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下无限伸展,就得到函数图象,这种作图方法简称“五点法”.二次函数 y=ax2+bx+c 的性质主要从图象开口方向、对称轴、顶点坐标,函数的增减性,函数的最大(小)值这几个方面来研究,列表归纳如下:二次函数y=ax2+bx+ca0 a0 C.a+b+c0 D.b0;抛物线的对称轴在 y 轴左侧,则- 0,由对称轴在 y 轴的左侧可知 b0,由此可以判断该一次函数的图象经过第二、三、四象限,即不经过第一象限.4本题将一次函数和二次函数的图象及其性质结合在一起,是一个综合性问题.在二次函数的一般形式 y=ax2+bx+c 中,a 的符号由其图象开口方向判断,b 的符号由 a 以及其图 象的对称轴的位置判断,c的符号由二次函数图象与 y 轴的交点位置来判断.一次函数 y=ax+b 中,a 的符号由一次函数的增减性判断,b 的符号由直线 y=ax+b 与 y 轴的交点位置来判断.考点 3:运用两点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2为常数,且 a≠0)求二次函数的解析式【例 3】 已知抛物线与 x 轴的两个公共点的坐标分别为(1- ,0),(1+ ,0),并且与 y 轴交于点(0,-2),求此抛物线的解析式.解:∵抛物线与 x 轴的两个交点的坐标分别为(1- ,0),(1+ ,0).∴设此抛物线的解 析式为 y=a(x-1+ )(x-1- ).∵点(0,-2)在此抛物线上,∴a(-1+ )(-1- )=-2,解得 a=2,∴此抛物线的解析式为 y=2(x-1+ )(x-1- ),即 y=2x2-4x-2.点拨：已知抛物线与 x 轴的两个公共点的坐标分别为(x 1,0)和(x 2,0)时,我们往往设两点式,即y=a(x-x1)(x-x2),如果与 x 轴只有一个公共点(x 0,0),那么往往设此抛物线的解析式为 y=a(x-x0)2,再由抛物线上的另一个点的坐标求出此抛物线的解析式.1第二十二章 22.2 二次函数与一元二次方程知识点 1:二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0 )的关系二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x轴的交点的横坐标的求法:1.令 y=0,得到一元二次方程 ax2+bx+c=0.2.若此方程的根为 x1,x2,则 x1,x2就是二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x轴的交点的横坐标,即与 x轴两交点的坐标分别为(x 1,0),(x2,0).反过来,如果二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x轴的交点坐标分别为(x 1,0),(x2,0),那么一元二次方程 ax2+bx+c=0的根为 x1,x2.3.若此方程有两个相等的实数根,即 x1=x2,则 x1就是二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x轴的交点的横坐标,即二次函数的图象与 x轴的交点的坐标为(x 1,0).4.若此方程没有实数根,则二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x轴没有交点.知识点 2:用图象法解一元二次方程1.用二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象求一元二次方程 ax2+bx+c=0的根,常用的方法有三种:(1)直接作出二次函数 y=ax2+bx+c的图象,则图象与 x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.(2)先将一元二次方程变形为 ax2+bx=-c,再分别作出二次函数 y=ax2+bx的图象和直线 y=-c,则两图象交点的横 坐标就是一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 .(3)先将一元二次方程变形为 ax2=-bx-c,再分别作出二次函数 y=ax2的图象和一次函数 y=-bx-c的图象,则两图象交点的横坐标就是一元二次方程 ax2+bx+c=0的根.2.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤:(1)画出二次函数 y=ax2+bx+c的图象;(2)确定一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的取值范围,即确定二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x轴的交点的横坐标 的取值范围;(3)在(2)中确定的范围内,从大到小或从小到大依次取值,利用计算器探索;(4)确定一元二次方程 ax2+bx+c=0的近似根.2拓展提高：一方面我们可以利用二次函数 y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程 ax2+bx+c=0的根,另一方面我们也可以借助一元二次方程 ax2+bx+c=0的根来判断二次函数 y=ax2+bx+c的图象的位置,使所画的二次函数 y=ax2+bx+c的图象比较准确.知识点 3:运用图象法求不等式的解集1.抛物线 y=ax2+bx+c在 x轴上方的部分点的纵坐标都为正,所对应的 x的所有的值就 是不等式ax2+bx+c0的解集.2.抛物线 y=ax2+bx+c在 x轴下方的部分点的纵坐标都为负,所对应的 x的所有的值就是不等式ax2+bx+c0或 ax2+bx+cy2时,自变量 x的取值范围.解:(1)把(-1,0)代入 y1=-x+m得,0=-(-1)+m,解得 m=-1.把(-1,0),(2,-3)分别代入 y2=ax2+bx-3,得 解得 3∴二次函数的关系式为 y2=x2-2x-3.(2)观察图象可得,当 y1y2时,自变量 x的取值范围是-1 0,因此可得出方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c 为常数)的一个解 x的取值范围是 6.18b0且 a,b均为实数.(1)求一次函数的解析式(用含 b的式子表示);(2)试说明:这两个函数的图象有两个不同的交点;(3)设(2)中的两个交点的横坐 标分 别为 x1,x2,求|x 1-x2|的取值范围.解:(1)∵一次函数的图象经过 原点,∴设一次函数的解析式为 y=kx.∵一次函数的图象经过点(1,-b),∴-b=k,∴一次函数的解析式为 y=-bx.(2)∵二次函数 y=ax2+bx-2的图象过点(1,0),∴a+b=2,由 得 ax2+2(2-a)x-2=0 ①.∵Δ=4(2-a) 2+8a=4(a-1)2+120,∴方程①有两个不相等的实数根,∴方程组有两组不同的解,∴这两个函数的图象有两个不同的交点.(3)∵(2)中两个交点的横坐标 x1,x2都是方程①的解.4∴x 1+x2= = ,x1x2= .∴|x 1-x2|= = = ,又∵ab0,a+b=2,∴1a2,令 t= +3,∵当 1a2时,t 随 a的增大而减小.∴4 +312,∴2 2 ,即 2|x1-x2|2 .点拨：将二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数 y=kx+m(k≠0)的解析式联立,得方程组则此方程组的解就是这两个函数图象的交点坐标, 因此这两个函数图象的交点情况与此方程组的解的情况有着十分密切的联系:若此方程组有两组不相等的解,则这两个函数的图象有两个不同的交点;若此方程组只有一组解,则这两个函数的图象有唯一的交点;若此方程组无解,则这两个函数的图象没有交点.反之也成立.1第二十二章 22.3.1 实际问题与二次函数（一）知识点 1:利润最大问题1.在现实生活中常常遇到一类求最大(小)值的问题.如在产品的营销过程中何时获得最大利润;在 生产中如何获得最大的产值以及怎样获得最好的效果等.这些问题都可以转化为二次函数问题,利用二次函数的性质加以解决.2.解销售中最大利润问题的步骤:(1)利用应用题中的已知条件和学过的有关数学公式列出等量关系;(2)把等量关系转化为二次函数的解析式;(3)求二次函数的最大值或最小值.知识点 2:面积最大问题1.几何图形中的二次函数问题常见的有:几何图形中面积的最值、用料的最佳方案等.2.利用平面几何图形的有关条件和性质建立关于几何图形面积的二次函数解析式,并利用二次函数的图象和性质确 定最大或最小面积.3.求几何图形面积的常见方法有:利用几何图形的面积公式求出几何图形的面积;利用几何图形面积的和或差求几何图形的面积;利用相似比求几何图形的面积等.4.解决面积问题的一般步骤:(1)利用题目中的已知条件和学过的有关数 学公式列出等量关系;(2)把等量关系转化为二次函数的解析式;(3)求二次函数的最大值或最小值.拓展提高：在处理复杂图形面积时常用的方法是:把复杂的几何图形进行分割求和.考点 1：利用二次函数求最大利润问题2【例 1】 李经理按市场价格 10 元/千克在某地收购了 2 000 千克香菇存放入冷库中.据预测,香菇的市场价格每天每千克将上涨 0.5 元,但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计 340元 ,而且香菇在冷库中最多保存 110 天,同时,平均每天有 6 千克的香菇损坏不能出售.(1)若存放 x 天后,将这批香菇一次性出售,设这批香菇的销售总金 额为 y 元,试写出 y 与 x 之间的函数解析式;(2)李经理想获得利润 22 500 元,需将这批香菇存放多少天后出售?(利润=销售总金额-收购成本-各种费用)(3)李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润?最大利润是多少?解:(1)由题意得 y 与 x 之间的函数解析式为:y=(10+0.5x)(2 000-6x)=-3x2+940x+20 000(1≤x≤110,且为整数).(2)由题意得:-3x 2+940x+20 000-10×2 000-340x=22 500,解方程得:x 1=50,x2=150(不合题意,舍去).答:李经理想获得利润 22 500 元,需将这批香菇存放 50 天后出售.(3)设最大利润为 W 元,由题意得W=-3x2+940x+20 000-10×2 000-340x=-3(x-100)2+30 000.∵0100110,∴当 x=100 时,W 取得最大值,其最大值为 30 000.答:存放 100 天后,出售这批香菇可获得最大利润,最大利润是 30 000 元.点拨：(1)存放 x 天后,香菇的市场价格为(10+0.5x)元/千克,此时香菇损坏 6x 千克,还可出售的香菇有(2 000-6x)千克,因此 y=(10+0.5x)(2 000-6x).(2)销售 总金额为(10+0.5x)(2 000-6x)元,收购成本为(10×2 000)元,各种 费用为 340x 元,由利润=销售总金额-收购成本-各种费用,可得 方程-3x2+940x+20 000-10×2 000-340x=22 500.(3)由二次函数的最大值可得结果.考点 2：利用二 次函数求面积的最大值【例 2】 星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园.其中一边靠墙,另外三边用长为 30 m 的篱笆围成.已知墙长为 18 m,如图所示,设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 x m.(1)若平行于墙的一边的长为 y m,直接写出 y 与 x 之间的函数解析式及其自变量 x 的取值范围;(2)垂直于墙的一边的长为多少米时,这个苗圃园的面积最大?并求出这个最大值;3(3)当这个苗圃园的面积不小于 88 m2时,试结合函数图象,直接写出 x 的取值范围.解:(1)y=30-2x(6≤x15).(2)设矩形苗圃园的面积为 S m2,则 S=xy=x(30-2x)=-2x2+30x.∴S=-2(x-7.5) 2+112.5.由(1)知,6≤x15,∴当 x=7.5 时,S 取得最大值,S 最大值 =112.5.即当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为 7.5 m时,这个苗圃园的面积最大,最大值为 112.5.(3)函数 S=-2(x-7.5)2+112.5(6≤x15)的图象如图所示,结合图象,当这个苗圃园的面积不小于88 m2时,x 的取值 范围是 6≤x≤11.点拨：因为 0y≤18,所以 030-2x≤18,所以 6≤x15,画出函数 S=-2(x-7.5)2+112.5(6≤x15)的图象,当 S=88 时,-2(x-7.5) 2+112.5=88,解得 x1=11,x2=4(舍).所以当这个苗圃园的面积不小于 88 m2时,x 的取值范围是 6≤x≤11.1第二十二章 22.3.2 实际问题与二次函数（二）知识点:用二次函数解决抛物线 建筑的有关问题抛物线在实际生活中有着广泛的应用,如修建石拱桥和拱形的隧道,公园里的喷泉中水柱运行的轨迹以及我们打篮球投篮时,篮球运行的轨迹等.解决这类问题的关键是进行二次函数的建模——把实际问题转化为数学问题,再用二次函数的有关知识来解决问题.考点 1：实际问题中二次函数与其他函数问题的综合运用【例 1】 如图,三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大小都相同.建立如图所示的直角坐 标系 ,正常水位时,大孔水面宽度 AB=20 m,顶点 M 距水面 6 m(即 MO=6 m),小孔顶点 N 距水面 4.5 m(NC=4.5 m).当水位上涨刚好淹没小孔时,求 大孔的水面宽度 EF.解:设大孔对应的抛物线所对应的函数解析式为 y=ax2+6.依题意,得 B(10,0).∴a×10 2+6=0.解得 a=-0.06,即 y=-0.06x2+6.当 y=4.5 时,-0.06x 2+6=4.5,解得 x=±5.∴DF=5 m,∴EF=10 m.即大孔的水面宽度为 10 m.点拨：观察图象可知大孔对应的抛物线的对称轴为 y 轴,顶点为(0,6),故可设其对应的 函数解析式为 y=ax2+6.又因为 AB=20 m,所以 OB=10 m,故 B(10,0)在抛物线上,代入函数解析式即可求出 a的值.考点 2：动态几何与二次函数的综合应用2【例 2】 如图,已知正三角形 ABC 的边长为 1,E,F,G 分别是 AB,BC,CA 上的点,且 AE=BF=CG,设△EFG 的面积为 y,AE 的长为 x,则 y 关 于 x 的函数的图象大致是图中的 ( )A B C D答案:C 点拨：本题是三角形的有关面积以及函数图象的综合题,解答时根据已知首先求得△EFG 的面积 y 关于 x 的函数解析式,然后根据函数解析式判断函数图象.因为正三角形 ABC 的边长为 1,所以其 面积为 .因为 AE=BF=CG=x,所以 BE=FC=AG=1-x,又因为∠A=∠B=∠C=60°,所以△AEG≌△BFE≌△CGF,所以△AEG、△BFE、 △CGF 的面积都相等.过点 E 作EH⊥A G 于 H,易求得 EH= x,所以△AEG 的面积为 x(1-x),所以 y= -3× x(1-x)= x2- x+ .因为 0,所以抛物线 y= x2- x+ 开口向上.又因为 b2-4ac0,所以抛物线与 x 轴无交点.故应选 C.