2019届高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ学案（打包9套）理 北师大版.zip

1§2.1 函数及其表示最新考纲 考情考向分析1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏上难度.1．函数与映射函数 映射两个集合A， B设 A， B 是两个非空数集 设 A， B 是两个非空集合对应关系f： A→ B如果按照某个对应关系 f，使对于集合 A 中的任何一个数 x，在集合 B 中都存在唯一确定的数 f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的每一个元素 x，在集合 B 中都有唯一的元素 y 与之对应名称称 f： A→ B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数称 f： A→ B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射函数记法 函数 y＝ f(x)， x∈ A 映射： f： A→ B22.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数 y＝ f(x)， x∈ A 中， x 叫作自变量， x 的取值范围 A 叫作函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫作函数值，函数值的集合{ f(x)|x∈ A}叫作函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．知识拓展简单函数定义域的类型(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合；(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为 1 的实数集合；(4)若 f(x)＝ x0，则定义域为{ x|x≠0}；(5)指数函数的底数大于 0 且不等于 1；(6)正切函数 y＝tan x 的定义域为Error!.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数 f： A→ B，其值域就是集合 B.( × )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × )(3)函数 f(x)的图像与直线 x＝1 最多有一个交点．( √ )(4)若 A＝R， B＝{ x|x0}， f： x→ y＝| x|，其对应是从 A 到 B 的映射．( × )(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × )题组二 教材改编2．函数 f(x)＝ ＋log 2(6－ x)的定义域是________．x＋ 3答案 [－3,6)3．函数 y＝ f(x)的图像如图所示，那么， f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的 x 值与之对应的 y 值的范围是________．3答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]题组三 易错自纠4．(2017·湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考)已知 f(x)＝Error!若 f(a)＝2，则 a 的值为( )A．2 B．－1 或 2C．±1 或 2 D．1 或 2答案 B解析 当 a≥0 时，2 a－2＝2，解得 a＝2；当 a0 恒成立，得 a＝0 或Error!解得 0≤ a1，则－log 2(a＋1)＝－3，解得 a＝7，则 f(6－ a)＝ f(－1)＝2 －1－1 －2＝－ .749(2)(2017·广东汕头、河北石家庄二中联考)设函数 f(x)＝Error! g(x)为定义在 R 上的奇函数，且当 x0，则－ x0，由题意，知 f(－2)＝2，∴ f(g(a))≤2 即为 f(g(a))≤ f(－2)．又 f(x)＝Error!∴ g(a)≥－2，∴Error! 或Error!或 a＝0，∴ a≤－1 或 0≤ a≤2 －1.故选 A.2思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现 f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．跟踪训练 设函数 f(x)＝Error!则使 f(x)＝ 的 x 的集合为__________．12答案 {－ 1， 2，22}解析 由题意知，若 x≤0，则 2x＝ ，解得 x＝－1；若 x0，则|log 2x|＝ ，解得 x＝12 1212或 x＝12－.故 x 的集合为 .{－ 1， 2，22}分类讨论思想在函数中的应用典例 (1)设函数 f(x)＝Error!则满足 f(f(a))＝2 f(a)的 a 的取值范围是( )A. B．[0,1][23， 1]10C. D．[1, ＋∞)[23， ＋ ∞ )(2)(2017·全国Ⅲ)设函数 f(x)＝Error!则满足 f(x)＋ f ＞1 的 x 的取值范围是(x－12)________．思想方法指导 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解；(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．解析 (1)令 f(a)＝ t，则 f(t)＝2 t，当 t0，∴ g(t)0，由 f(x)的图像可知，当 x∈(2,8]时， f(x)0.11．设函数 f(x)＝Error!则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是________________．答案 (－∞，8]解析 当 x1 时，由 ex－1 ≤2，得 x≤1＋ln 2，∴ x1；当 x≥1 时，由13≤2，得 x≤8，∴1≤ x≤8.综上，符合题意的 x 的取值范围是 x≤8.12．已知函数 f(x)＝Error!则 f(f(－3))＝________， f(x)的最小值是________．答案 0 2 －32解析 ∵ f(－3)＝lg[(－3) 2＋1]＝lg 10＝1，∴ f(f(－3))＝ f(1)＝0，当 x≥1 时， f(x)＝ x＋ －3≥2 －3，当且仅当 x＝ 时取等号，此时 f(x)2x 2 2min＝2 －30；214当 x＜1 时， f(x)＝lg( x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当 x＝0 时，取等号，此时 f(x)min＝0.∴ f(x)的最小值为 2 －3.213．设函数 f(x)＝Error!若 f(f(a))≤3，则实数 a 的取值范围是( )A．(－∞，－ ] B．[－ ，＋∞)3 3C．[－ ， ] D．(－∞， ]3 3 3答案 D解析 令 f(a)＝ t，则 f(t)≤3 等价于Error!或 Error!解得 t≥－3，则 f(a)≥－3 等价于Error!或 Error!解得 a≤ ，则实数 a 的取值范围是(－∞， ]，故选 D.3 314．已知函数 f(x)满足对任意的 x∈R 都有 f ＋ f ＝2 成立，则(12＋ x) (12－ x)f ＋ f ＋…＋ f ＝________.(18) (28) (78)答案 7解析 由 f ＋ f ＝2，得 f ＋ f ＝2， f ＋ f ＝2， f ＋ f ＝2，(12＋ x) (12－ x) (18) (78) (28) (68) (38) (58)又 f ＝ ＝ ×2＝1，(48) 12[f (48)＋ f (48)] 12∴ f ＋ f ＋…＋ f ＝ 2×3＋1＝7.(18) (28) (78)15．已知定义在 R 上的函数 f(x)满足：对于任意的实数 x， y，都有 f(x－ y)＝ f(x)＋ y(y－2 x＋1)，且 f(－1)＝3，则函数 f(x)的解析式为________．答案 f(x)＝ x2－ x＋1解析 令 x＝0， y＝－ x，得 f(x)＝ f(0)＋ x2－ x.把 x＝－1 代入上式，得 f(0)＝ f(－1)－2＝1，从而有 f(x)＝ x2－ x＋1.16．(2018 届全国名校第一次联考)定义新运算“★”：当 m≥ n 时， m★ n＝ m；当 mn 时，m★ n＝ n2.设函数 f(x)＝(2★ x)x－(4★ x)， x∈[1,4]，则函数 f(x)的值域为____________．答案 [－2,0]∪(4,60]解析 由题意知， f(x)＝Error!15当 x∈[1,2]时， f(x)∈[－2,0]；当 x∈(2,4]时， f(x)∈(4,60]，故当 x∈[1,4]时， f(x)∈[－2,0]∪(4,60]．1§2.2 函数的单调性与最值最新考纲 考情考向分析1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题.1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数 减函数在函数 f(x)的定义域内的一个区间 A 上，如果对于任意两数x1， x2∈ A定义 当 x1f(x2)，那么，就称函数 f(x)在区间 A上是减少的图像描述自左向右看图像是上升的 自左向右看图像是下降的(2)单调区间的定义如果函数 y＝ f(x)在区间 A 上是增加的或是减少的，那么就称 A 为单调区间．2．函数的最值前提 函数 y＝ f(x)的定义域为 D条件 (1)存在 x0∈ D，使得 f(x0) (3)存在 x0∈ D，使得 f(x0)＝ M；2＝ M；(2)对于任意 x∈ D，都有 f(x)≤ M(4)对于任意 x∈ D，都有 f(x)≥ M结论 M 为最大值 M 为最小值知识拓展函数单调性的常用结论(1)对任意 x1， x2∈ D(x1≠ x2)， 0⇔f(x)在 D 上是增加的，fx1－ fx2x1－ x20)的递增区间为(－∞，－ ]和[ ，＋∞)，递减区间为ax a a[－ ，0)和(0， ]．a a(3)在区间 D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．(4)函数 f(g(x))的单调性与函数 y＝ f(u)和 u＝ g(x)的单调性的关系是“同增异减” ．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在 R 上的函数 f(x)，有 f(－1)x11 时，[ f(x2)－ f(x1)]·(x2－ x1)ab B． cba C． acb D． bac答案 D解析 根据已知可得函数 f(x)的图像关于直线 x＝1 对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为 a＝ f ＝ f ，且 2ac.(－12) (52) 52命题点 2 解函数不等式典例 若 f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足 f(xy)＝ f(x)＋ f(y)， f(3)＝1，则当f(x)＋ f(x－8)≤2 时， x 的取值范围是( )A．(8，＋∞) B．(8,9]7C．[8,9] D．(0,8)答案 B解析 2＝1＋1＝ f(3)＋ f(3)＝ f(9)，由 f(x)＋ f(x－8)≤2，可得 f[x(x－8)]≤ f(9)，因为 f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有Error! 解得 80)在区间[2,4]上是减少的，则实数 a 的值是8________．答案 8解析 f(x)＝ x|2x－ a|＝Error!( a0)，作出函数图像(图略)可得该函数的递减区间是 ，所以Error!解得 a＝8.[a4， a2](2)(2017·珠海模拟)定义在 R 上的奇函数 y＝ f(x)在(0，＋∞)上是增加的，且 f ＝0，(12)则不等式 f( 19logx)0 的解集为________________．答案 Error!解析 由题意知， f ＝－ f ＝0，(－12) (12)f(x)在(－∞，0)上也是增加的．∴ f( 19logx)＞ f 或 f( 19logx)＞ f ，(12) (－ 12)∴ 19lx＞ 或－ ＜ 19lx＜0，12 12解得 0＜ x＜ 或 1＜ x＜3.13∴原不等式的解集为Error!.1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A． y＝ B． y＝( x－1) 2x＋ 1C． y＝2 － x D． y＝log 0.5(x＋1)答案 A解析 函数 y＝ 的递增区间是(－1，＋∞)，在(0，＋∞)上为增函数，故选 A.x＋ 12．(2017·河南中原名校第一次质检)函数 y＝ 12log(－ x2＋ x＋6)的递增区间为( )A. B.(12， 3) (－ 2， 12)C. D.(12， ＋ ∞ ) (－ ∞ ， 12)答案 A9解析 由－ x2＋ x＋6＞0，得－2＜ x＜3，故函数的定义域为(－2,3)，令 t＝－ x2＋ x＋6，则 y＝ 12logt，易知其为减函数，由复合函数的性法则可知本题等价于求函数t＝－ x2＋ x＋6 在(－2,3)上的递减区间．利用二次函数的性质可得 t＝－ x2＋ x＋6 在定义域(－2,3)上的递减区间为 ，故选 A.(12， 3)3．已知函数 f(x)＝Error!则“ c＝－1”是“函数 f(x)在 R 上是增加的”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件答案 A解析 若函数 f(x)在 R 上是增加的，则需 log21≥ c＋1，即 c≤－1.由于 c＝－1，即 c≤－1，但 c≤－1 不能得出 c＝－1，所以“ c＝－1”是“函数 f(x)在 R 上是增加的”的充分不必要条件．4．已知函数 y＝log 2(ax－1)在(1,2)上是增函数，则实数 a 的取值范围是( )A．(0,1] B．[1,2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)答案 C解析 要使 y＝log 2(ax－1)在(1,2)上是增函数，则 a0 且 a－1≥0，即 a≥1.5．(2017·天津)已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数．若a＝－ f ， b＝ f ， c＝ f(20.8)，则 a， b， c 的大小关系为( )(log215) (log24.1)A． a1)是增函数，故 a1，所以 a12的取值范围为 1f(2a－ x)在[ a， a＋1]上恒成立，则实数 a 的取值范围是____________．答案 (－∞，－2)解析 二次函数 y1＝ x2－4 x＋3 的对称轴是 x＝2，∴该函数在(－∞，0]上是减少的，∴ x2－4 x＋3≥3，同样可知函数 y2＝－ x2－2 x＋3 在(0，＋∞)上是减少的，∴－ x2－2 x＋3f(2a－ x)得到 x＋ a0，试确定 a 的取值范围．解 (1)由 x＋ －20，得 0，ax x2－ 2x＋ ax当 a1 时， x2－2 x＋ a0 恒成立，定义域为(0，＋∞)；当 a＝1 时，定义域为{ x|x0 且 x≠1}；当 01＋ }．1－ a 1－ a(2)设 g(x)＝ x＋ －2，ax当 a∈(1,4)， x∈[2，＋∞)时，g′( x)＝1－ ＝ 0 恒成立，ax2 x2－ ax2所以 g(x)＝ x＋ －2 在[2，＋∞)上是增函数．ax所以 f(x)＝lg 在[2，＋∞)上是增函数．(x＋ax－ 2)所以 f(x)＝lg 在[2，＋∞)上的最小值为 f(2)＝lg .(x＋ax－ 2) a2(3)对任意 x∈[2，＋∞)恒有 f(x)0，即 x＋ －21 对 x∈[2，＋∞)恒成立．ax所以 a3x－ x2，令 h(x)＝3 x－ x2，而 h(x)＝3 x－ x2＝－ 2＋ 在[2，＋∞)上是减函数，(x－32) 94所以 h(x)max＝ h(2)＝2，所以 a2.1§2.3 函数的奇偶性与周期性最新考纲 考情考向分析1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性．3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.1．奇函数、偶函数的概念图像关于原点对称的函数叫作奇函数．图像关于 y 轴对称的函数叫作偶函数．2．判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是(1)考察定义域是否关于原点对称．(2)考察表达式 f(－ x)是否等于 f(x)或－ f(x)：若 f(－ x)＝－ f(x)，则 f(x)为奇函数；若 f(－ x)＝ f(x)，则 f(x)为偶函数；若 f(－ x)＝－ f(x)且 f(－ x)＝ f(x)，则 f(x)既是奇函数又是偶函数；若 f(－ x)≠－ f(x)且 f(－ x)≠ f(x)，则 f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数．3．周期性(1)周期函数：对于函数 y＝ f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x＋ T)＝ f(x)，那么就称函数 y＝ f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作 f(x)的最小正周期．知识拓展1．函数奇偶性常用结论2(1)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝ f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对 f(x)定义域内任一自变量的值 x：(1)若 f(x＋ a)＝－ f(x)，则 T＝2 a(a0)．(2)若 f(x＋ a)＝ ，则 T＝2 a(a0)．1fx(3)若 f(x＋ a)＝－ ，则 T＝2 a(a0)．1fx题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．( × )(2)若函数 y＝ f(x＋ a)是偶函数，则函数 y＝ f(x)关于直线 x＝ a 对称．( √ )(3)函数 f(x)在定义域上满足 f(x＋ a)＝－ f(x)，则 f(x)是周期为 2a(a0)的周期函数．( √ )(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( √ )(5)若 T 是函数的一个周期，则 nT(n∈Z， n≠0)也是函数的周期．( √ )题组二 教材改编2．已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x＞0 时， f(x)＝ x(1＋ x)，则 f(－1)＝________.答案 －2解析 f(1)＝1×2＝2，又 f(x)为奇函数，∴ f(－1)＝－ f(1)＝－2.3．设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x∈[－1,1)时， f(x)＝Error!则f ＝______.(32)答案 1解析 f ＝ f ＝－4× 2＋2＝1.(32) (－ 12) (－ 12)4．设奇函数 f(x)的定义域为[－5,5]，若当 x∈[0,5]时， f(x)的图像如图所示，则不等式f(x)＜0 的解集为________________________________________________________．3答案 (－2,0)∪(2,5]解析 由图像可知，当 0＜ x＜2 时， f(x)＞0；当 2＜ x≤5 时， f(x)＜0，又 f(x)是奇函数，∴当－2＜ x＜0 时， f(x)＜0，当－5≤ x0.综上， f(x)＜0 的解集为(－2,0)∪(2,5]．题组三 易错自纠5．已知 f(x)＝ ax2＋ bx 是定义在[ a－1,2 a]上的偶函数，那么 a＋ b 的值是( )A．－ B. C．－ D.13 13 12 12答案 B解析 依题意得 f(－ x)＝ f(x)，∴ b＝0，又 a－1＝－2 a，∴ a＝ ，∴ a＋ b＝ ，故选 B.13 136．偶函数 y＝ f(x)的图像关于直线 x＝2 对称， f(3)＝3，则 f(－1)＝________.答案 3解析 ∵ f(x)为偶函数，∴ f(－1)＝ f(1)．又 f(x)的图像关于直线 x＝2 对称，∴ f(1)＝ f(3)．∴ f(－1)＝3.题型一 判断函数的奇偶性典例 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝ ＋ ；3－ x2 x2－ 3(2)f(x)＝ ；lg1－ x2|x－ 2|－ 2(3)f(x)＝Error!解 (1)由Error!得 x2＝3，解得 x＝± ，3即函数 f(x)的定义域为{－ ， }，3 3∴ f(x)＝ ＋ ＝0.3－ x2 x2－ 3∴ f(－ x)＝－ f(x)且 f(－ x)＝ f(x)，∴函数 f(x)既是奇函数又是偶函数．4(2)由Error! 得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴ x－2＜0，∴| x－2|－2＝－ x，∴ f(x)＝ .lg1－ x2－ x又∵ f(－ x)＝ ＝ ＝－ f(x)，lg[1－ － x2]x lg1－ x2x∴函数 f(x)为奇函数．(3)显然函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当 x＜0 时，－ x＞0，则 f(－ x)＝－(－ x)2－ x＝－ x2－ x＝－ f(x)；当 x＞0 时，－ x＜0，则 f(－ x)＝(－ x)2－ x＝ x2－ x＝－ f(x)；综上可知：对于定义域内的任意 x，总有 f(－ x)＝－ f(x)，∴函数 f(x)为奇函数．思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断 f(x)与 f(－ x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式 f(x)＋ f(－ x)＝0(奇函数)或 f(x)－ f(－ x)＝0(偶函数)是否成立．跟踪训练 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A． y＝ x＋sin 2 x B． y＝ x2－cos xC． y＝2 x＋ D． y＝ x2＋sin x12x答案 D解析 对于 A， f(－ x)＝－ x＋sin 2(－ x)＝－( x＋sin 2 x)＝－ f(x)，为奇函数；对于 B， f(－ x)＝(－ x)2－cos(－ x)＝ x2－cos x＝ f(x)，为偶函数；对于 C， f(－ x)＝2 － x＋ ＝2 x＋ ＝ f(x)，为偶函数；12－ x 12x对于 D， y＝ x2＋sin x 既不是偶函数也不是奇函数，故选 D.(2)函数 f(x)＝log a(2＋ x)， g(x)＝log a(2－ x)(a0 且 a≠1)，则函数 F(x)＝ f(x)＋ g(x)，G(x)＝ f(x)－ g(x)的奇偶性是( )A． F(x)是奇函数， G(x)是奇函数B． F(x)是偶函数， G(x)是奇函数C． F(x)是偶函数， G(x)是偶函数5D． F(x)是奇函数， G(x)是偶函数答案 B解析 F(x)， G(x)定义域均为(－2,2)，由已知 F(－ x)＝ f(－ x)＋ g(－ x)＝log a(2－ x)＋log a(2＋ x)＝ F(x)，G(－ x)＝ f(－ x)－ g(－ x)＝log a(2－ x)－log a(2＋ x)＝－ G(x)，∴ F(x)是偶函数， G(x)是奇函数．题型二 函数的周期性及其应用1．(2017·西安一模)奇函数 f(x)的定义域为 R，若 f(x＋1)为偶函数，且 f(1)＝2，则f(4)＋ f(5)的值为( )A．2 B．1 C．－1 D．－2答案 A解析 ∵ f(x＋1)为偶函数，∴ f(－ x＋1)＝ f(x＋1)，则 f(－ x)＝ f(x＋2)，又 y＝ f(x)为奇函数，则 f(－ x)＝－ f(x)＝ f(x＋2)，且 f(0)＝0.从而 f(x＋4)＝－ f(x＋2)＝ f(x)， y＝ f(x)的周期为 4.∴ f(4)＋ f(5)＝ f(0)＋ f(1)＝0＋2＝2.2．(2017·山东)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x＋4)＝ f(x－2)．若当x∈[－3,0]时， f(x)＝6 － x，则 f(919)＝________.答案 6解析 ∵ f(x＋4)＝ f(x－2)，∴ f((x＋2)＋4)＝ f((x＋2)－2)，即 f(x＋6)＝ f(x)，∴ f(x)是周期为 6 的周期函数，∴ f(919)＝ f(153×6＋1)＝ f(1)．又 f(x)是定义在 R 上的偶函数，∴ f(1)＝ f(－1)＝6，即 f(919)＝6.3．定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋6)＝ f(x)，当－3≤ x0，所以 f(－ x)＝－(－ x)2＋2(－ x)＝－ x2－2 x.又 f(x)为奇函数，所以 f(－ x)＝－ f(x)．于是 x0， f(x＋2)＝ ，对任意 x∈R 恒成立，则1fxf(2 019)＝________.答案 1解析 因为 f(x)0， f(x＋2)＝ ，1fx所以 f(x＋4)＝ f[(x＋2)＋2]＝1fx＋ 2＝ ＝ f(x)，11fx即函数 f(x)的周期是 4，所以 f(2 019)＝ f(505×4－1)＝ f(－1)．因为函数 f(x)为偶函数，所以 f(2 019)＝ f(－1)＝ f(1)．当 x＝－1 时， f(－1＋2)＝ ，得 f(1)＝ .1f－ 1 1f1由 f(x)0，得 f(1)＝1，所以 f(2 019)＝ f(1)＝1.14．设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 x∈R 恒有 f(x＋1)＝ f(x－1)，已知当 x∈[0,1]时， f(x)＝2 x，则有①2 是函数 f(x)的周期；②函数 f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数 f(x)的最大值是 1，最小值是 0.其中所有正确命题的序号是________．答案 ①②解析 在 f(x＋1)＝ f(x－1)中，令 x－1＝ t，则有 f(t＋2)＝ f(t)，因此 2 是函数 f(x)的周期，故①正确；当 x∈[0,1]时， f(x)＝2 x是增函数，根据函数的奇偶性知， f(x)在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数 f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；16由②知， f(x)在[0,2]上的最大值 f(x)max＝ f(1)＝2， f(x)的最小值 f(x)min＝ f(0)＝ f(2)＝2 0＝1 且 f(x)是周期为 2 的周期函数，∴ f(x)的最大值是 2，最小值是 1，故③错误．15．(2017·东北四市联考)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤ x＜2 时，f(x)＝ x3－ x，则函数 y＝ f(x)的图像在区间[0,6]上与 x 轴的交点个数为________．答案 7解析 因为当 0≤ x＜2 时， f(x)＝ x3－ x.又 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且f(0)＝0，则 f(6)＝ f(4)＝ f(2)＝ f(0)＝0.又 f(1)＝0，∴ f(3)＝ f(5)＝ f(1)＝0，故函数 y＝ f(x)的图像在区间[0,6]上与 x 轴的交点有 7 个．16．函数 f(x)的定义域为 D＝{ x|x≠0}，且满足对于任意 x1， x2∈ D，有 f(x1·x2)＝ f(x1)＋ f(x2)．(1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果 f(4)＝1， f(x－1)2，且 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求 x 的取值范围．解 (1)∵对于任意 x1， x2∈ D，有 f(x1·x2)＝ f(x1)＋ f(x2)，∴令 x1＝ x2＝1，得 f(1)＝2 f(1)，∴ f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数．证明：令 x1＝ x2＝－1，有 f(1)＝ f(－1)＋ f(－1)，∴ f(－1)＝ f(1)＝0.12令 x1＝－1， x2＝ x 有 f(－ x)＝ f(－1)＋ f(x)，∴ f(－ x)＝ f(x)，∴ f(x)为偶函数．(3)依题设有 f(4×4)＝ f(4)＋ f(4)＝2，由(2)知， f(x)是偶函数，∴ f(x－1)2 等价于 f(|x－1|) f(16)．又 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴0| x－1|16，解之得－15 x17 且 x≠1，∴ x 的取值范围是{ x|－15 x17 且 x≠1}．1§2.4 二次函数与幂函数最新考纲 考情考向分析1.理解并掌握二次函数的定义，图象及性质．2.能用二次函数，方程，不等式之间的关系解决简单问题．3.了解幂函数的概念．4.结合函数 y＝ x， y＝ x2， y＝ x3， y＝ ， y＝1x12x的图象，了解它们的变化情况.以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程，转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度.1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式： f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0)．顶点式： f(x)＝ a(x－ m)2＋ n(a≠0)，顶点坐标为( m， n)．零点式： f(x)＝ a(x－ x1)(x－ x2)(a≠0)， x1， x2为 f(x)的零点．(2)二次函数的图像和性质解析式 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a0) f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a0，当Error!时，恒有 f(x)bc 且 a＋ b＋ c＝0，则它的图像可能是( )答案 D解析 由 a＋ b＋ c＝0 和 abc 知， a0， c0，排除 C.6．已知函数 y＝ x2－2 x＋3 在闭区间[0， m]上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围为________．答案 [1,2]解析 如图，由图像可知 m 的取值范围是[1,2]．题型一 求二次函数的解析式典例 (1)已知二次函数 f(x)＝ x2－ bx＋ c 满足 f(0)＝3，对任意 x∈R，都有 f(1＋ x)＝ f(1－ x)成立，则 f(x)的解析式为________________．答案 f(x)＝ x2－2 x＋3解析 由 f(0)＝3，得 c＝3，又 f(1＋ x)＝ f(1－ x)，∴函数 f(x)的图像关于直线 x＝1 对称，∴ ＝1，∴ b＝2，b2∴ f(x)＝ x2－2 x＋3.(2)已知二次函数 f(x)与 x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则 f(x)＝________.答案 x2＋2 x5解析 设函数的解析式为 f(x)＝ ax(x＋2)，所以 f(x)＝ ax2＋2 ax，由 ＝－1，4a×0－ 4a24a得 a＝1，所以 f(x)＝ x2＋2 x.思维升华 求二次函数解析式的方法跟踪训练 (1)已知二次函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋1( a， b∈R 且 a≠0)， x∈R，若函数 f(x)的最小值为 f(－1)＝0，则 f(x)＝________.(2)若函数 f(x)＝( x＋ a)(bx＋2 a)(a， b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式 f(x)＝________.答案 (1) x2＋2 x＋1 (2)－2 x2＋4解析 (1)设函数 f(x)的解析式为 f(x)＝ a(x＋1) 2＝ ax2＋2 ax＋ a，由已知 f(x)＝ ax2＋ bx＋1，∴ a＝1，故 f(x)＝ x2＋2 x＋1.(2)由 f(x)是偶函数知 f(x)图像关于 y 轴对称，∴－ a＝－ ，即 b＝－2，∴ f(x)＝－2 x2＋2 a2，(－2ab)又 f(x)的值域为(－∞，4]，∴2 a2＝4，故 f(x)＝－2 x2＋4.题型二 二次函数的图像和性质命题点 1 二次函数的图像典例 (2017·郑州模拟)对数函数 y＝log ax(a＞0 且 a≠1)与二次函数 y＝( a－1) x2－ x 在同一坐标系内的图像可能是( )6答案 A解析 当 0＜ a＜1 时， y＝log ax 为减函数， y＝( a－1) x2－ x 开口向下，其对称轴为 x＝＜0，排除 C，D；当 a＞1 时， y＝log ax 为增函数， y＝( a－1) x2－ x 开口向上，其对12a－ 1称轴为 x＝ ＞0，排除 B.故选 A.12a－ 1命题点 2 二次函数的单调性典例 函数 f(x)＝ ax2＋( a－3) x＋1 在区间[－1，＋∞)上是减少的，则实数 a 的取值范围是( )A．[－3,0) B．(－∞，－3]C．[－2,0] D．[－3,0]答案 D解析 当 a＝0 时， f(x)＝－3 x＋1 在[－1，＋∞)上递减，满足题意．当 a≠0 时， f(x)的对称轴为 x＝ ，3－ a2a由 f(x)在[－1，＋∞)上是减少的知Error!解得－3≤ a＜0.综上， a 的取值范围为[－3,0]．引申探究若函数 f(x)＝ ax2＋( a－3) x＋1 的递减区间是[－1，＋∞)，则 a＝________.答案 －3解析 由题意知 f(x)必为二次函数且 a2x＋ m 恒成立，则实数 m 的取值范围是________________．答案 (－∞，－1)解析 f(x)2x＋ m 等价于 x2－ x＋12 x＋ m，即 x2－3 x＋1－ m0，令 g(x)＝ x2－3 x＋1－ m，要使 g(x)＝ x2－3 x＋1－ m0 在[－1,1]上恒成立，只需使函数 g(x)＝ x2－3 x＋1－ m 在[－1,1]上的最小值大于 0 即可．∵ g(x)＝ x2－3 x＋1－ m 在[－1,1]上是减少的，∴ g(x)min＝ g(1)＝－ m－1.由－ m－10，得 m0，则实数 a 的取值范围为________．答案 (12， ＋ ∞ )解析 由题意得 a＞ － 对 1＜ x＜4 恒成立，2x 2x29又 － ＝－2 2＋ ， ＜ ＜1，2x 2x2 (1x－ 12) 12 14 1x∴ max＝ ，∴ a＞ .(2x－ 2x2) 12 12题型三 幂函数的图像和性质1．幂函数 y＝ f(x)经过点(3， )，则 f(x)是( )3A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数答案 D解析 设幂函数的解析式为 y＝ xα ，将(3， )代入解析式得 3α ＝ ，解得 α ＝ ，∴ y＝3 31212x，故选 D.2．若四个幂函数 y＝ xa， y＝ xb， y＝ xc， y＝ xd在同一坐标系中的图像如图所示，则a， b， c， d 的大小关系是( )A． d＞ c＞ b＞ aB． a＞ b＞ c＞ dC． d＞ c＞ a＞ bD． a＞ b＞ d＞ c答案 B解析 由幂函数的图像可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图像越接近 x 轴，由题图知 a＞ b＞ c＞ d，故选 B.3．若(2 m＋1)12(m2＋ m－1)12，则实数 m 的取值范围是( )A. B.(－ ∞ ，－ 5－ 12 ] [5－ 12 ， ＋ ∞ )C．(－1,2) D.[5－ 12 ， 2)答案 D解析 因为函数 y＝12x的定义域为[0，＋∞)，10且在定义域内为增函数，所以不等式等价于Error!解 2m＋1≥0，得 m≥－ ；12解 m2＋ m－1≥0，得 m≤ 或 m≥ .－ 5－ 12 5－ 12解 2m＋1 m2＋ m－1，得－1f(x2)C． f(x1)0，又 x1＋ x2＝0，∴当 x1， x2在对称轴的两侧时，－ x1x2－ ，故 f(x1)”连接)(25) (12)答案 P＞ R＞ Q解 析 P＝32＋＝ 3， 根 据 函 数 y＝ x3是 R 上 的 增 函 数 ， 且 ＞ ＞ ， 得 3＞ 3＞ 3，(22) 22 12 25 ( 22) (12) (25)即 P＞ R＞ Q.138．已知幂函数 f(x)＝ xα ，当 x1 时，恒有 f(x)1 时，恒有 f(x)1 时，函数 f(x)＝ xα 的图像在 y＝ x 的图像的下方，作出幂函数 f(x)＝ xα 在第一象限的图像(图略)，由图像可知 α 0，ax＋ 1故 00 时， f(x)＝( x－1) 2，若当 x∈ 时， n≤ f(x)[－ 2， －12]≤ m 恒成立，则 m－ n 的最小值为________．答案 1解析 ∵ f(x)为偶函数，∴当 x0， f(x)＝ f(－ x)＝(－ x－1) 2＝( x＋1) 2，当 x∈ 时， f(x)max＝1， f(x)min＝0，[－ 2， －12]∴0≤ f(x)≤1，∴ m≥1， n≤0，∴( m－ n)min＝1.1412．已知函数 f(x)＝ x2＋(2 a－1) x－3.(1)当 a＝2， x∈[－2,3]时，求函数 f(x)的值域；(2)若函数 f(x)在[－1,3]上的最大值为 1，求实数 a 的值．解 (1)当 a＝2 时， f(x)＝ x2＋3 x－3， x∈[－2,3]，对称轴 x＝－ ∈[－2,3]，32∴ f(x)min＝ f ＝ － －3＝－ ，(－32) 94 92 214f(x)max＝ f(3)＝15，∴函数 f(x)的值域为 .[－214， 15](2)对称轴为 x＝－ .2a－ 12①当－ ≤1，即 a≥－ 时，2a－ 12 12f(x)max＝ f(3)＝6 a＋3，∴6 a＋3＝1，即 a＝－ 满足题意；13②当－ ＞1，即 a＜－ 时，2a－ 12 12f(x)max＝ f(－1)＝－2 a－1，∴－2 a－1＝1，即 a＝－1 满足题意．综上可知， a＝－ 或－1.1313．已知在(－∞，1]上递减的函数 f(x)＝ x2－2 tx＋1，且对任意的 x1， x2∈[0， t＋1]，总有| f(x1)－ f(x2)|≤2，则实数 t 的取值范围为( )A．[－ ， ] B．[1， ]2 2 2C．[2,3] D．[1,2]答案 B解析 由于函数 f(x)＝ x2－2 tx＋1 的图像的对称轴为 x＝ t，函数 f(x)＝ x2－2 tx＋1 在区间(－∞，1]上是减少的，∴ t≥1.∴当 x∈[0， t＋1]时， f(x)max＝ f(0)＝1， f(x)min＝ f(t)＝ t2－2 t2＋1＝－ t2＋1，要使对任意的 x1， x2∈[0， t＋1]，都有| f(x1)－ f(x2)|≤2，只需 1－(－ t2＋1)≤2，解得－ ≤ t≤ .2 215又 t≥1，∴1≤ t≤ .故选 B.214．当 x∈(1,2)时，不等式 x2＋ mx＋41，即 a2 时， f(x)在 上是减少的，在 上是增加的，不合题意；a2 [1， a2) (a2， ＋ ∞ )②当 0≤ ≤1，即 0≤ a≤2 时，符合题意；a2③当 0，则－ x0)，∴ f(x)＝Error!(3)g(x)＝ x2－2 x－2 ax＋2，对称轴方程为 x＝ a＋1，当 a＋1≤1，即 a≤0 时， g(1)＝1－2 a 为最小值；当 12，即 a1 时， g(2)＝2－4 a 为最小值．综上， g(x)min＝Error!