1、11 因动点产生的相似三角形问题课前导学相似三角形的判定定理有 3 个，其中判定定理 1 和判定定理 2 都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等判定定理 2 是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验如果已知 A D，探求 ABC 与 DEF 相似，只要把夹 A 和 D 的两边表示出来，按照对应边成比例，分 和 两种情况列方程BECFAD应用判定定理 1 解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等应用判定定理 3 解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组） 还有一种情况，讨论两个直角三
2、角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错理解记忆比较好如图 1，如果已知 A、 B 两点的坐标，怎样求 A、 B 两点间的距离呢？我们以 AB 为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边 AB 的长了水平距离 BC 的长就是 A、 B 两点间的水平距离，等于 A、 B 两点的横坐标相减；竖直距离 AC 就是 A、 B 两点间的竖直距离，等于 A、 B 两点的纵坐标相减图 1例 1 2014 年湖南省衡阳市中考第 28 题二次函数 ya x2b
3、 xc（a0）的图象与 x 轴交于 A(3, 0)、 B(1, 0)两点，与 y轴交于点 C(0,3 m)（ m0） ，顶点为 D（1）求该二次函数的解析式（系数用含 m 的代数式表示） ；（2）如图 1，当 m2 时，点 P 为第三象限内抛物线上的一个动点，设 APC 的面积为S，试求出 S 与点 P 的横坐标 x 之间的函数关系式及 S 的最大值；（3）如图 2，当 m 取何值时，以 A、 D、 C 三点为顶点的三角形与 OBC 相似？图 1 图 2动感体验请打开几何画板文件名“14 衡阳 28”，拖动点 P 运动，可以体验到，当点 P 运动到 AC的中点的正下方时， APC 的面积最大拖
4、动 y 轴上表示实数 m 的点运动，抛物线的形状会改变，可以体验到， ACD 和 ADC 都可以成为直角思路点拨1用交点式求抛物线的解析式比较简便2连结 OP， APC 可以割补为： AOP 与 COP 的和，再减去 AOC3讨论 ACD 与 OBC 相似，先确定 ACD 是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似4直角三角形 ACD 存在两种情况图文解析（1）因为抛物线与 x 轴交于 A(3, 0)、 B(1, 0)两点，设 y a(x3)( x1)代入点 C(0,3 m)，得3 m3 a解得 a m所以该二次函数的解析式为 y m(x3)( x1) mx22 mx3 m（2）如图 3，连结
5、 OP当 m2 时， C(0,6)， y2 x24 x6，那么 P(x, 2x24 x6)由于 S AOP (2x24 x6)3 x26 x9， 1()POAS COP 3 x， S AOC9，所以 S S APC S AOP S COP S AOC3 x29 x 27()4所以当 时， S 取得最大值，最大值为 32x274图 3 图 4 图 5（3）如图 4，过点 D 作 y 轴的垂线，垂足为 E过点 A 作 x 轴的垂线交 DE 于 F由 y m(x3)( x1) m(x1) 24 m，得 D(1,4 m)在 Rt OBC 中， OB OC13 m如果 ADC 与 OBC 相似，那么 A
6、DC 是直角三角形，而且两条直角边的比为 13 m如图 4，当 ACD90时， 所以 解得 m1OACE3此时 ， 所以 所以 CDA OBC3CADEBDB如图 5，当 ADC90时， 所以 解得 FC4212此时 ，而 因此 DCA 与 OBC 不相似2AFCEm3OmB综上所述，当 m1 时， CDA OBC考点伸展第（2）题还可以这样割补：如图 6，过点 P 作 x 轴的垂线与 AC 交于点 H由直线 AC： y2 x6，可得 H(x,2 x6)又因为 P(x, 2x24 x6)，所以 HP2 x26 x因为 PAH 与 PCH 有公共底边 HP，高的和为 A、 C 两点间的水平距离
7、3，所以S S APC S APH S CPH (2 x26 x) 图 6374例 2 2014 年湖南省益阳市中考第 21 题如图 1，在直角梯形 ABCD 中， AB/CD， AD AB， B60， AB10， BC4，点 P 沿线段 AB 从点 A 向点 B 运动，设 AP x21cnjy（1）求 AD 的长；（2）点 P 在运动过程中，是否存在以 A、 P、 D 为顶点的三角形与以 P、 C、 B 为顶点的三角形相似？若存在，求出 x 的值；若不存在，请说明理由；（3）设 ADP 与 PCB 的外接圆的面积分别为S1、 S2，若 S S1 S2，求 S 的最小值. 动感体验 图 1请打
8、开几何画板文件名“14 益阳 21”，拖动点 P 在 AB 上运动，可以体验到，圆心 O 的运动轨迹是线段 BC 的垂直平分线上的一条线段观察 S 随点 P 运动的图象，可以看到， S有最小值，此时点 P 看上去象是 AB 的中点，其实离得很近而已思路点拨1第（2）题先确定 PCB 是直角三角形，再验证两个三角形是否相似2第（3）题理解 PCB 的外接圆的圆心 O 很关键，圆心 O 在确定的 BC 的垂直平分线上，同时又在不确定的 BP 的垂直平分线上而 BP 与 AP 是相关的，这样就可以以 AP 为自变量，求 S 的函数关系式图文解析（1）如图 2，作 CH AB 于 H，那么 AD CH
9、在 Rt BCH 中， B60， BC4，所以 BH2， CH 所以 AD 323（2）因为 APD 是直角三角形，如果 APD 与 PCB 相似，那么 PCB 一定是直角三角形如图 3，当 CPB90时， AP1028所以 ，而 此时 APD 与 PCB 不相似APD8243PCB3图 2 图 3 图 4如图 4，当 BCP90时， BP2 BC8所以 AP2所以 所以 APD60此时 APD CBPAPD3综上所述，当 x2 时， APD CBP（3）如图 5，设 ADP 的外接圆的圆心为 G，那么点 G 是斜边 DP 的中点设 PCB 的外接圆的圆心为 O，那么点 O 在 BC 边的垂直
10、平分线上，设这条直线与 BC 交于点 E，与 AB 交于点 F设 AP2 m作 OM BP 于 M，那么 BM PM5 m在 Rt BEF 中， BE2， B60，所以 BF4在 Rt OFM 中， FM BF BM4(5 m) m1， OFM30，所以 OM 3(1)所以 OB2 BM2 OM2 22(5)(1)3在 Rt ADP 中， DP2 AD2 AP2124 m2所以 GP23 m2于是 S S1 S2 (GP2 OB2) 2135(3m2(785)所以当 时， S 取得最小值，最小值为 6713图 5 图 6考点伸展关于第（3）题，我们再讨论个问题问题 1，为什么设 AP2 m 呢
11、？这是因为线段 AB AP PM BM AP2 BM10这样 BM5m，后续可以减少一些分数运算这不影响求 S 的最小值问题 2，如果圆心 O 在线段 EF 的延长线上， S 关于 m 的解析式是什么？如图 6，圆心 O 在线段 EF 的延长线上时，不同的是 FM BM BF(5 m)41 m此时 OB2 BM2 OM2 这并不影响 S 关于 m 的解析式221(5)()3例 3 2015 年湖南省湘西市中考第 26 题如图 1，已知直线 y x3 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B 两点，抛物线y x2 bx c 经过 A、 B 两点，点 P 在线段 OA 上，从 点 O 出发，向点 A
12、 以每秒 1 个单位的速度匀速运动；同时，点 Q 在线段 AB 上，从点 A 出发，向点 B 以每秒 个单位的速度2匀速运动，连结 PQ，设运动时间为 t 秒（1）求抛物线的解析式；（2）问：当 t 为何值时， APQ 为直角三角形；（3）过点 P 作 PE/y 轴，交 AB 于点 E，过点 Q 作QF/y 轴，交抛物线于点 F，连结 EF，当 EF/PQ 时，求点 F 的坐标；（4）设抛物线顶点为 M，连结 BP、 BM、 MQ，问：是否存在 t 的值，使以 B、 Q、 M 为顶点的三角形与以O、 B、 P 为顶点的三角形相似？若存在， 请求出 t 的值；若不存在，请说明理由 图 1动感体验
13、请打开几何画板文件名“15 湘西 26”，拖动点 P 在 OA 上运动，可以体验到， APQ 有两个时刻可以成为直角三角形，四边形 EPQF 有一个时刻可以成为平行四边形， MBQ 与BOP 有一次机会相似思路点拨1在 APQ 中， A45，夹 A 的两条边 AP、 AQ 都可以用 t 表示，分两种情况讨论直角三角形 APQ2先用含 t 的式子表示点 P、 Q 的坐标，进而表示点 E、 F 的坐标，根据 PE QF 列方程就好了3 MBQ 与 BOP 都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论图文解析（1）由 y x3，得 A(3, 0)， B(0, 3)将 A(3, 0)、 B(0,
14、 3)分别代入 y x2 bx c，得 解得930,.bc2,3.bc所以抛物线的解析式为 y x22 x3（2）在 APQ 中， PAQ45， AP3 t， AQ t2分两种情况讨论直角三角形 APQ：当 PQA90时， AP AQ解方程 3 t2 t，得 t1（如图 2） 2当 QPA90时， AQ AP解方程 t (3 t)，得 t1.5（如图 3） 图 2 图 3（3）如图 4，因为 PE/QF，当 EF/PQ 时，四边形 EPQF 是平行四边形所以 EP FQ所以 yE yP yF yQ因为 xP t， xQ3 t，所以 yE3 t， yQ t， yF(3 t)22(3 t)3 t2
15、4 t因为 yE yP yF yQ，解方程 3 t( t24 t)t，得 t1，或 t3（舍去） 所以点 F 的坐标为(2, 3)图 4 图 5（4）由 y x22 x3( x1) 24，得 M(1, 4)由 A(3, 0)、 B(0, 3)，可知 A、 B两点间的水平距离、竖直距离相等， AB3 2由 B(0, 3)、 M(1, 4)，可知 B、 M两点间的水平距离、竖直距离相等， BM 所以 MBQ BOP90因此 MBQ与 BOP相似存在两种可能：当 时， 解得 （如图5） OQP23t94t当 时， 整理，得 t23 t30此方程无实根Bt考点伸展第（3）题也可以用坐标平移的方法：由 P(t, 0)， E(t, 3 t)，Q(3 t, t)，按照P E方向，将点 Q向上平移，得 F(3 t, 3)再将 F(3 t, 3)代入 y x22 x3，得t1，或 t3
