1、21 由比例线段产生的函数关系问题课前导学（一）图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和由勾股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常用类型一，已知“边角边” ，至少一边是动态的，求角的对边如图 1，已知点 A 的坐标为(3, 4)，点 B 是 x 轴正半轴上的一个动点，设 OB x， AB y，那么我们在直角三角形ABH 中用勾股定理，就可以得到 y 关于 x 的函数关系式类型二，图形的翻折已知矩形 OABC 在坐标平面内如图 2 所示， AB5，点
2、 O 沿直线EF 翻折后，点 O 的对应点 D 落在 AB 边上，设 AD x， OE y，那么在直角三角形 AED 中用勾股定理就可以得到 y 关于 x 的函数关系式图 1 图 2由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错课前导学（二）图形运动的过程中，求面积随某个量变化的函数关系，是中考数学的热点问题计算面积常见的有四种方法，一是规则图形的面积用面积公式；二是不规则图形
3、的面积通过割补进行计算；三是同高（或同底）三角形的面积比等于对应边（或高）的比；四是相似三角形的面积比等于相似比的平方前两种方法容易想到，但是灵活使用第三种和第四种方法，可以使得运算简单一般情况下，在求出面积 S 关于自变量 x 的函数关系后，会提出在什么情况下（ x 为何值时） ， S 取得最大值或最小值关于面积的最值问题，有许多经典的结论例 1，周长一定的矩形，当正方形时，面积最大例 2，面积一定的矩形，当正方形时，周长最小例 3，周长一定的正多边形，当边数越大时，面积越大，极限值是圆例 4，如图 1，锐角 ABC 的内接矩形 DEFG 的面积为 y， AD x，当点 D 是 AB 的中点
4、时，面积 y 最大例 5，如图 2，点 P 在直线 AB 上方的抛物线上一点，当点 P 位于 AB 的中点 E 的正上方时， PAB 的面积最大例 6，如图 3， ABC 中， A 和对边 BC 是确定的，当 AB AC 时， ABC 的面积最大图 1 图 2 图 3例 1 2014 年湖南省常德市中考第 26 题如图 1，图 2，已知四边形 ABCD 为正方形，在射线 AC 上有一动点 P，作 PE AD（或延长线）于 E，作 PF DC（或延长线）于 F，作射线 BP 交 EF 于 G（1）在图 1 中，正方形 ABCD 的边长为 2，四边形 ABFE 的面积为 y，设 AP x，求 y关
5、于 x的函数表达式；（2） GB EF 对于图 1，图 2 都是成立的，请任选一图形给出证明；（3）请根据图 2 证明： FGC PFB图 1 图 2动感体验请打开几何画板文件名“14 常德 26”，拖动点 P 在射线 AC 上运动，可以体验到， EM和 FN 把正方形 ABCD 分割成了两个正方形和两个全等的矩形， B、 C、 G、 F 四点共圆思路点拨1四边形 ABFE 可以用大正方形减去两个直角三角形得到2画直线 EP、 FP，把正方形分割为两个正方形和两个全等的矩形图文解析（1）如图 3，延长 EP 交 BC 于 M，延长 FP 交 AB 于 N，那么四边形 AEPN 和四边形 CFP
6、M是正方形由 AP x，可得正方形 AEPN 的边长为 2x所以 FC DE 2x由于 S DEF 12DFE ()， SBCF BC ()x，所以 y S 四边形 ABFE S 正方形 ABCD S DEF S BCF4 2() 2() 21+4x图 3 图 4（2）如图 4，因为 tan EFP PEF，tan PBN NPB，且 PE NP， PF NB，所以 EFP PBN又因为12，1 PBN90，所以2 EFP90所以 GB EF（3）如图 5，由于 GB EF， BCF90，所以 B、 C、 G、 F 四点共圆所以 FCG PBF， CGB CFB又因为 CGF CGB90， B
7、FP CFB90，所以 CGF BFP所以 FGC PFB图 5 图 6 图 7考点伸展如图 6， 由于 tan EFPtan PBN， 所以 EFP PBN又因为 PBN190，所以 EFP190因此这种情况下，依然有 BG EF第（1）题还有更简便的割补办法：如图 7，连结 EN由于 S 四边形 NBFE S ENF S BNF 11()22NFEPMNFE，S AEN 214APx，所以 y S 四边形 ABFE S 四边形 NBFE S AEN +4x例 2 2014 年湖南省湘潭市中考第 25 题如图 1， ABC 为等边三角形，边长为 a，点 F 在 BC 边上， DF AB， E
8、F AC，垂足分别为 D、 E（1）求证： BDF CEF；（2）若 a4，设 BF m，四边形 ADFE 面积为 S，求出 S 与 m 之间的函数关系，并探究当 m 为何值时 S 取得最大值；（3）已知 A、 D、 F、 E 四点共圆，已知 tan EDF 32，求此圆的直径（用含 a 的式子表示） 图 1 动感体验请打开几何画板文件名“14 湘潭 25”，拖动点 F 在 BC 上运动，观察 S 随 m 变化的图像，可以体验到，当 F 运动到 BC 的中点时，S 取得最大值还可以看到，圆的直径就是直角三角形 AEF 的斜边思路点拨1用割补法求四边形 ADFE 的面积比较简单2当 A、D、F、
9、E 四点共圆时，由于EDFEAF，那么在ACF 中，两角及夹边就是确定的，可以解这个三角形图文解析（1）如图 1，因为 B C60， BDF CEF90，所以 BDF CEF（2）如图 2，当等边三角形 ABC 的边长 a4 时， S ABC 43在 Rt BDF 中， B60， BF m，所以 12BD， Fm所以 S BDF 12DF 238在 Rt CEF 中， C60， CF4 m，所以 1(4)2CEm， 3(4)2FE所以 S CEF 12EF 23()8因此 S S 四边形 ADFE S ABC S BDF S CEF 2234(4)8m 233m 2()34m所以当 m2 时，
10、 S 取得最大值，最大值为 此时点 F 是 BC 的中点（如图 3） （3）如图 4，由于 A、 D、 F、 E 四点共圆，所以 EAF EDF因为 AEF90，所以 AF 是圆的直径在 Rt EAF 中，由于 tan EAF 32，设 EF x， EA2 x在 Rt ECF 中， C60，所以 EF因此 EC x由 AC EA EC a，得 2x x a所以 x 13a所以在 Rt EAF 中， EF 3， EA 2，由勾股定理，得圆的直径 AF 73a图 2 图 3 图 4考点伸展第（2）题也可以求 ADF 与 AEF 的面积和由于 1BDm， 32F，所以 AD 142m， S ADF
11、3(8)m由于 (4)CE， ()E，所以 AE ， S AEF 2(16)因此 S S ADF S AEF 233(8)(16)m 2334m例 3 2014 年湖南省郴州市中考第 25 题如图 1，在 Rt ABC 中， BAC90， B60， BC16cm， AD 是斜边 BC 上的高，垂足为 D， BE1cm，点 M 从点 B 出发沿 BC 方向以 1cm/s 的速度运动，点 N 从点 E 出发，与点 M 同时同方向以相同的速度运动以 MN 为边在 BC 的上方作正方形 MNGH点 M 到达点D 时停止运动，点 N 到达点 C 时停止运动设运动时间为 t（s） （1）当 t 为何值时，
12、点 G 刚好落在线段 AD 上？（2）设正方形 MNGH 与 Rt ABC 重叠部分的图形的面积为 S当重叠部分的图形是正方形时，求出 S 关于 t 的函数关系式并写出自变量 t 的取值范围；（3）设正方形 MNGH 的边 NG 所在直线与线段 AC 交于点 P，连结 DP，当 t 为何值时， CPD 是等腰三角形？图 1 动感体验请打开几何画板文件名“14 郴州 25”，拖动点 N 在 BC 上运动，可以体验到，重叠部分是正方形存在两种情况，等腰三角形 CPD 也存在两种情况思路点拨1用含 t 的式子把直线 BC 上的线段长都表示出来2重叠部分的图形是正方形，临界时刻是点 H 落在 AB 上
13、，和点 G 落在 AC 上3等腰三角形 CPD 不存在 DP DC 的情况，因为以 DC 为半径的圆 D 与线段 AC 只有一个交点图文解析（1）如图 2，当点 G 刚好落在线段 AD 上时， DN0而 DN BD BM MN4 t13 t，所以 3 t0解得 t3图 2 图 3（2）重叠部分的图形是正方形，存在两种情况：当 HM 在 AD 的左侧时，正方形 MNGH 的大小不变，边长为 1， S1如图 3，当 H 落在 AB 上时， BM HMtan30 3所以 t4如图 4，当 HM 在 AD 上时，正方形的边长为 t3， S( t3) 2如图 5，当 G 落在 AC 上时， AH HGt
14、an30 )由 AD 43，得 (3)43tt解得 63t所以 4 t 63图 4 图 5（3）等腰三角形 CPD 存在两种情况：如图 6，当 PC PD 时，点 P 在 DC 的垂直平分线上， N 是 DC 的中点此时 t369如图 7，当 CP CD12 时，在 Rt CPN 中，由 cos30 32CP，得 63CN此时 t 1563图 6 图 7考点伸展当点 G 落在 AC 上时， CG AG 的比值是多少呢？如图 5， cot30CNAD例 4 2015 年湖南省常德市中考第 25 题如图 1，曲线 y1是抛物线的一部分，与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C，且表达式
15、为 23()yx（ x3） ，曲线 y2与曲线 y1关于直线 x3 对称（1）求 A、 B、 C 三点的坐标和曲线 y2的表达式；（2）过点 C 作 CD/x 轴交曲线 y1于点 D，连结 AD，在曲线 y2上有一点 M，使得四边形 ACDM 为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形） ，请求出点 M 的横坐标；（3）设直线 CM 与 轴交于点 N，试问在线段 MN 下方的曲线 y2上是否存在一点 P，使 PMN 的面积最大？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由图 1动感体验请打开几何画板文件名“15 常德 25”，拖动点 P 运动，可以体验到，
16、由于 M、 N 两点间的水平距离是定值，因此当 PE 最大时， PMN 的面积最大思路点拨1由 A、 C、 D 的坐标可以得到 ACD 是底角为 30的等腰三角形，于是可知直线MN（直线 CN）与 y 轴的夹角为 302过点 P 作 x 轴的垂线交 MN 于 E，那么 PMN 分割为有公共底边 PE 的两个三角形，这两个三角形的高的和为定值图文解析（1）由 2133()(1)yxx，得 A(1, 0)、 B(3, 0)、 C(0, 3)因为 A(1, 0)、 B(3, 0) 关于直线 x3 的对称点为 A(7, 0)、 B(3, 0)，所以抛物线 y2的表达式为 223(7)(10)yx（ x
17、3） （2）由 CD/x 轴，可知 C、 D 关于抛物线 y1的对称轴 x1 对称，所以 D(2, 3)如图 2，由 A(1, 0)、 C(0, 3)、 D(2, )，可得 AC DC2因此点 C 在 AD 的垂直平分线上如果四边形 ACDM 的对角线互相垂直平分，那么四边形 ACDM 是菱形，此时点 M 在 x 轴上，不在抛物线 y2上因此只存在 MC 垂直平分 AD 的情况图 2 图 3如图 2，如图 3，过点 A、 M 分别作 x 轴的垂线，与直线 CD 分别交于点 G、 H，那么 ADG CMH由于 tan ADG GD ，所以 ADC30因此 3MC设 M 2310(,+73)xx，
18、那么 210(+7)(3xx整理，得 x213 x240解得 所以点 M 的横坐标为 1372（3）如图 2，如图 3，由于 ADC30，当 CM AD 时， OCN30所以 ON OC1， N(1, 0)所以直线 CN 为 3yx如图4，过点 P作 x轴的垂线，垂足为 K， PK交 MN于 E，过点 M作 y轴的垂线交 PK于 F所以 S PMN S PME S PNE 1()2EMFN因为 MF NK为定值，因此当 PE最大时， PMN的面积最大设 P 230(,+73)m， E(,3)m，那么PE 21()() 2183m23173m所以当 2时， PE取得最大值， PMN面积最大此时 P 137(,)2图4 图5考点伸展第（3）题也可以这样思考：如图5，由于 MN是定值，因此点 P到 MN的距离最大时， PMN的面积也最大过点 P作 MN的平行线，当这条直线与抛物线 y2只有一个交点时，两条平行线间的距离最大，也就是说方程组 23(10)yxb，只有一组解，即 0解得 132x
