1、函数 0916、设函数 定义域为 ，且 设点 是函数图像上的任意一点，xaf)( ),0(25)(fP过点 分别作直线 和Py轴的垂线，垂足分别为 yNM、（1）写出 的单调递减区间（不必证明） ；（4 分）xf（2）设点 的横坐标 ，求 点的坐标（用 的代数式表示） ；（7 分）P0 0x（3 ）设 为坐标原点，求四边形 面积的最小值 （7 分）OOPN【答案】解：（1） 、因为函数 的图象过点 ，xaf)( )25,(A所以 2 分125a函数 ()fx在 上是减函数 4 分,0（2） 、设 5 分00,xP直线 的斜率为 6 分M1则 的方程 7 分00xxy联立 8 分001xy11
2、分0021,xxM3、 12 分0021xyxPM13 分0O ， 14 分 121221000xxSPM0,xN， 15 分211200xSOPN ， 16 分)(20SOPNMP17 分21OMPNS当且仅当 时，等号成立 40x此时四边形 面积有最小值 18 分PN2117、设函数 ()(,)nnfxbcbcR（1 ）当 时，求函数 在区间 内的零点；2,1nfx1(,2（2 ）设 ，证明： 在区间 内存在唯一的零点；,nbc ()f,)（3 ）设 ，若对任意 ，有 ，求 的取值范围12,x212(4fxf b【答案】解：（1） ，令 ，得 ，2()=+-f2()=0f-5所以 。21-
3、1+(x)(,)2f在 区 间 内 的 零 点 是 x（2 ）证明：因为 ， 。所以 。所以 在 内存nfn()fn0fn(x)f12，在零点。 ，所以 在1212121212x(,)x()-fx=(-)+(x-0nn任 取 、 且 ， 则 n(x)f内单调递增，所以 在 内存在唯一零点。()2， nf，（3）当 n2 时，f 2(x)x 2bxc 对任意 x1，x21,1都有|f 2(x1)f 2(x2)|4 等价于 f2(x)在1,1 上的最大值与最小值之差M4 据此分类讨论如下：当 ，即|b|2 时， M|f 2(1)f 2(1)| 2| b|4，与题设矛盾。|当 1 0，即 0b2 时
4、，Mf 2(1)f 2( )( 1) 24 恒成立 当 0 1，即2b0 时，Mf 2(1)f 2( )( 1) 24 恒成立 综上可知，2b2 注：， 也可合并证明如下：用 maxa，b表示 a，b 中的较大者当1 1，即2b2 时， Mmaxf 2(1)，f2(1)f 2( ) b 2 2()|()1|()ffffb1c|b| ( c )24(1 )24 恒成立18、已知函数 (xf= 21log (1)判断函数 )的奇偶性，并证明；(2)求 (xf的反函数 )(1xf，并求使得函数 12()()loggxfk有零点的实数 k的取值范围 【答案】(1)f(x)的定义域为 (,)(,) 2
5、分f(-x)=log2 1x=log2 =-f(x)，所以，f(x)为奇函数 6 分(2)由 y= 2log1x，得 x= 1y,所以，f -1(x)= x,x0 9 分因为函数 12()()loggfk有零点，所以， 2logk应在 )(1xf的值域内 所以，log 2k=x=1+ 2x(,1)(,), 13 分从而，k 1(,)(0, 14 分19、对于函数 与常数 ，若 恒成立，则称 为函数 的()yfx,ab(2)(fxafb(,)ab)(xf一个“P 数对” 设函数 的定义域为 ，且 )(fR1)3（1 ）若 是 的一个“P 数对” ，求 ；(,)(fx0(2f（2 ）若 是 的一个
6、 “P 数对” ，且当 时 ，求 在区,0) 1,)x(fx2)k()fx间 上的最大值与最小值；1,)n(*N（3 ）若 是增函数，且 是 的一个“P 数对” ，试比较下列各组中两个式子fx(2,)(fx的大小，并说明理由 与 ； 与 (2)nf(*)Nn()fx21(,2*)Nnx【答案】解：（1）由题意知 恒成立，令 ，21f(k可得 ，数列 是公差为 1 的等差数列，1(2)(kkff()k故 ，又 ，故 3 分00023f023f（2 ）当 时， ，令 ，可得 ，由1,2)x()xk1x()fk(1)f可得 ，即 时， ， 4 分3k,3(2f可知 在 上的取值范围是 ()fx1,2
7、0,又 是 的一个“P 数对” ，故 恒成立，,0(2)()fxf当 时， ，12,)kx(*)N1,kx ， 6 分()4fff1(2)kf故当 为奇数时， 的取值范围是 ；k()fx1(0,32k当 为偶数时， 的取值范围是 8 分,)k由此可得 在 上的最大值为 ，最小值为 10 分()fx21,)n23n213n（3 ）由 是 的一个“P 数对” ，可知 恒成立，,f ()(fxf即 恒成立， ()(2)1fx令 ，可得 ， 12 分k(*)N1()()2kkff即 ，又 ，11)2(kkff(*)N02(1)ff 是一个等比数列， ，1(kf 1(nnf所以 15 分2)nf当 时，由 是增函数，故 ，1(,(*)Nx()fx1()2)nfx又 ，故有 18 分122nn220、 已知函数 ， 2()log(4)xxfb(gx（1）当 时，求 的定义域；5bf（2）若 恒成立，求 的取值范围()fxgb【答案】解：（1）由 3 分4520xx解得 的定义域为 6 分()f(,)(,)（2）由 得 ，即 9 分)fxg42xxxb412xb令 ，则 ，12 分()12xh()3h当 时， 恒成立14 分3b()fgx
