1、圆锥曲线 031、给定椭圆 ： ，称圆心在原点 O、半径是 的圆为椭圆 C 的C21(0)xyab2ab“准圆” 已知椭圆 C 的一个焦点为 ，其短轴的一个端点到点 F 的距离为 (2,F 3（1 ）求椭圆 C 和其“准圆”的方程； （2 ）过椭圆 C 的“准圆”与 轴正半轴的交点 P 作直线 ，使得 与椭圆 C 都只有y12,l12,l一个交点，求 的方程；12,l（3 ）若点 是椭圆 C的“准圆 ”与 轴正半轴的交点， 是椭圆 上的两相异点，且Ax,BDC轴，求 的取值范围BDxBD【答案】解：（1）由题意知 ，且 ，可得 ，2c23abc1b故椭圆 C 的方程为 ，其“准圆”方程为 4
2、分213xy24xy（2 ）由题意可得 点坐标为 ，设直线 过 且与椭圆 C 只有一个交点，P(0,)lP则直线 的方程可设为 ，将其代入椭圆方程可得 6 分l 2ykx，即 ，223()xk(31)90kx由 ，解得 ， 8 分160k所以直线 的方程为 ， 的方程为 ，1l2yxl2yx或直线 的方程为 ， 的方程为 10 分2（3 ）由题意，可设 ，则有 ，(,),)BmnD(3)m213n又 A 点坐标为 ，故 ， 12 分2,02,A故22()4(1)3BDn, 14 分2243()m又 ，故 ， 320,743所以 的取值范围是 16 分ABD,)2、已知椭圆 的两个焦点为 、 ，
3、 是 与 的等差中项，其12byax)0,(1cF),(22ca2b中 、 、 都是正数，过点 和 的直线与原点的距离为 c),0(bA),(aB3（1 ）求椭圆的方程；（2 ）过点 作直线交椭圆于另一点 ，求 长度的最大值；AMA（3 ）已知定点 ，直线 与椭圆交于 、 相异两点证明：对任意的)0,1(EtkxyCD，都存在实数 ，使得以线段 为直径的圆过 点0tkCDE【答案】解：（1）在椭圆中，由已知得 1 分22bac过点 和 的直线方程为 ，即 ，该直线与原点的距),0(bA),(aB1byax0yx离为 ，由点到直线的距离公式得： 3 分23 232解得： ；所以椭圆方程为 4 分
4、1,2ba 13yx（2 ） （文）设 ，则 ， ，其中),(yxM)1(222)(22 yyxAM6 分1y当 时， 取得最大值 ，所以 长度的最大值为 9 分22A923（3 ）将 代入椭圆方程，得 ，由直线与椭圆有两tkxy 06)31(2tkx个交点，所以 ，解得 11 分02)6(2tkt 312设 、 ，则 ， ，因为以 为直径),(1yxC),(2yxD22136tx221)(ktx CD的圆过 点，所以 ，即 ， 13 分E0 0)(2121y而 = ，所以)(2121tkxty2txtkx，解得 14 分01363)( 22 ttk tk32如果 对任意的 都成立，则存在 ，
5、使得以线段 为直径的圆过 点12t0t CDE，即 所以，对任意的 ，都存在 ，9)(3)( 22ttt 312tk0tk使得以线段 为直径的圆过 点 16 分CDE3、设直线 交椭圆 于 两点，交直线0,11pxkyL： )0(12bayx： DC、于点 22： E（1 ）若 为 的中点，求证： ；CD21abk（2 ）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真；（3 ）请你类比椭圆中（1） 、 （2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明） 【答案】 （1）解法一：设 ),(1yxC),(2D),(0yxE 2 分)( 2212122 bapakabyaxpk， 4 分2121kabka
6、by211221kabp又 7 分21210 xyx21pk21解法二（点差法）：设 ),(1yC),(2D),(0yxE，)1(21byax)2(12byax两式相减得 0)211211 y即 3 分0)()(2210210 byax2021 kayxyk7 分21ab（2 ）逆命题：设直线 交椭圆 于 两点，pxkyL11： )0(12bayx： DC、交直线 于点 若 ，则 为 的中点 9 分xkyL22： E21abECD证法一：由方程组 0)( 2212122 bapxakxbyap 10 分因为直线 交椭圆 于 两点，pxkyL11： DC、所以 ，即 ，设 、 、0022ba),
7、(1yx),(2yx),(0yxE则 ， 12 分21210kx2120kabpy又因为 ，所以xkypxky2121 21k，故 E 为 CD 的中点14 分021211ykabpxky证法二：设 ),(C),(2xD),(0y则 ，)1(21byax)2(12byax两式相减得 0)211211 y即 9 分)(2121yaxbxyk又 ， 即 0221,xk021yx021xpkxpk12 分0121xpkxk得 ，即 为 的中点14 分0021yECD（3 ）设直线 交双曲线 于 两点，,11pxkyL： )0,(12babyx： DC、交直线 于点 则 为 中点的充要条件22： E是 16 分21abk
