1、祖冲之，中国古代著名的数学家和天文学家，于公元 年出生于建康（今江苏南京） ，祖冲之从小429就对天文、数学知识产生浓厚的兴趣， “专攻数术，搜炼古今” ，他在数学方面的成就，首推圆周率的计算，计算圆周率精确到小数点以后 位，是当时世界上最杰出的成就；在天文学方面，他编写了新7的历法大明历，这是当时最好的一部历法2聚焦绝对值解读课标绝对值是数学中的一个基本概念，这一概念是学习相反数、有理数运算、算术根的基础；绝对值又是数学中的一个重要概念，绝对值与其他知识融合形成绝对值方程、绝对值不等式、绝对值函数等，在代数式化简求值、解方程、解不等式等方面有广泛的应用理解、掌握绝对值应注意以下几个方面：1脱
2、去绝对值符号是解绝对值问题的切入点脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法2恰当地运用绝对值的几何意义从数轴上看 表示数 的点到原点的距离； 表示数 、数 的两点间的距离aabab3灵活运用绝对值的基本性质 ； ； ； 02ab0问题解决例 1 已知 ，其中 ， ，那么 的最小值为_02yxbx2b2xy试一试结合已知条件判断每一个绝对值符号内式子的正负性，再去掉绝对值符号例 2 式子 的所有可能的值有（ ） aA 个 B 个 C 个 D无数个34试一试 根据 、 的符号所有可能情况，去掉绝对值符号，这是解本例的关键b例 3 （1）已知 ，求 的20a1112206ababa
3、b值（2）设 、 、 为整数，且 ，求 的值bcccc试一试 对于（1） ，由非负数的性质先导出 、 的值；对于（2） ， 写成两个非负整数的和的形式1又有几种可能？这是解（2）的突破口例 4 阅读下列材料并解决有关问题：我们知道 ，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式0x时，可令 和 ，分别求得 ， （称 ， 分别为 与 的12x10x21x211x2零点值） 在有理数范围内，零点值 和 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下 3 种情1x2况：（1） ；（2） ；（3） 从而化简代数式 可分以下 3 种情况：x（1）当 时，原式 ；1x（2）当 时，原式 ；123x
4、（3）当 时，原式 综上讨论，原式 ，231x通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）分别求出 和 的零点值；2x4（2）化简代数式 试一试 在阅读理解的基础上化简求值例 5 （1）当 取何值时， 有最小值？这个最小值是多少？x3x（2）当 取何值时， 有最大值？这个最大值是多少？52（3）求 的最小值4（4）求 的最小值789xx分析 对于（3） 、 （4）可先运用零点分段讨论法去掉绝对值符号，再求最小值；也可利用绝对值的几何意义，即在数轴上找一表示 的点，使之到表示 、 的点（或表示 、 、 的点）的距离和最45789小解 （1）当 时，原式有最小值，最小值为 x0（2）当 时，原式有最大值
5、，最大值为 2（3）当 时，原式有最小值，最小值为 451（4）当 时，原式有最小值，最小值为 82对于（3） ，给出另一种解法：当 时，原式 ，最小值为 ；x459xx当 时，原式 ，最小值为 ；511当 时，原式 ，最小值为 2综上所述，原式有最小值等于 以退求讲例 6 少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程足：输入第一个整数 ，只显示不运算，接着再输入整数 后则显示 的结果，此后1x 2x12x每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算，现小明将从 到 这 个整数91随意地一个一个地输入，全部输入完毕之后显示的最后结果设为
6、 ，试求出 的最大值，并说明理P由分析 先考虑输入个数较少的情形，并结合奇偶分析调整估值，一步步求出 的最大值解 由于输入的数都是非负数，当 ， 时， 不超过 、 中最大的数，对 ，10x212x1x210x， ，则 不超过 、 、 中最大的数，设小明输入这 个数的次序是 ，20x3123x3 9， 相当于计算： ，因此 的值 19 121901P 另外从运算奇偶性分析， 、 为整数， 与 奇偶性相同，因此 与 的122x2xP1219xx奇偶性相同但 偶数，于是断定 我们证明 可以取到 12199xx 0对 ， ， ， ，按如下次序： ，34340，对于 ， ， ，均成立42kkk12因此，
7、 可按上述办法依次输入最后显示结果为 ，而后 ，故 的最198 9810910P大值为 0数学冲浪知识技能广场1数 在数轴上的位置如图所示10a，且 ，则 _a 12a37a2已知 ， ，且 ，那么 _53bbb3化简 _1104202021044已知有理数 、 、 在数轴上的对应位置如图所示：-1 0c ba，abc化简后的结果是_1c5已知整数 ， ， ， ，满足下列条件：1a234a， ， ， ，依次类推，则 的值为（ ） 10a2243a201aA B C D061072016已知 ，化简 所得的结果是（ ）A B C D13a7若 是有理数，则 一定是（ ） mmA零 B非负数 C正
8、数 D负数8有理数 、 、 的大小关系如图：0cba，则下列式子中一定成立abc的是（ ）A B C D0abccbca9化简（1） ； （2） 3x12x10阅读下面材料并回答问题 O(A) Bb0 A BO0 ba OBAab 0ABO ab0点 、 在数轴上分别表示实数 、 ， 、 两点之间的距离表示为 AbABAB当 、 两点中有一点在原点时，不妨设点 在原点，如图， ；当 、 两B ObaAB点都不在原点时， （1）如图，点 、 都在原点的右边， ；b（2）如图，点 、 都在原点的左边， ；OAba（3）如图，点 、 在原点的两边， A综上，数轴上 、 两点之间的距离 BABab请回
9、答：数轴上表示 和 的两点之间的距离是_，数轴上表示 和 的两点之间的距离是_，25 25数轴上表示 和 的两点之间的距离是_；13数轴上表示 和 的两点 和 之间的距离是_，如果 ，那么 为_；x ABx当代数式 取最小值时，相应的 的取值范围是_x思维方法天地11已知 ， ， ，且 ，那么 _1a2b3cabcabc12在数轴上，点 表示的数是 ，点 表示的数是 ，且 、 两点的距离为 ，则AB3x8_x13已知 ， ，那么 _5yxy14 （1） 的最小值为_1x（2） 的最小值为_2315有理数 、 在数轴上对应的位置如图所示：10-1 ba，则代数式ab的值为（ ）11abaA B
10、C D0216若 ，则 的值为（ ）2mnmnA B C D410417如图，已知数轴上点 、 、 所对应的数 、 、 都不为 ，且 是 的中点ABabc0CABCBA cba如果 ，那么原点220bcac的位置在（ ）OA线段 上 B线段 的延长线上 C线段 上 D线段 的延长线上CABB18设 ，则 的最小值为（ ）1mxA B C D0219已知点 在数轴上对应的数为 ，点 对应的数为 ，且 ， 、 之间的距离aBb2410abA记作 （1）求线段 的长 ；A（2）设点 在数轴上对应的数为 ，当 时，求 的值；Px2PAx（3）点 在 的左侧， 、 分别是 、 的中点，当点 在 的左侧移
11、动时，式子MNP的值是否发生改变？若不变，请求其值；若发生变化，请说明理由N20已知 ，且 、 、 都不等于 ，求 的所有可能值abcaxbc0x应用探究乐园21绝对值性质（1）设 、 为有理数，比较 与 的大小aba（2）已知 、 、 、 是有理数， ， ，且 ，求 的cd9b16cd25abcdbadc值22已知数轴上两点 、 对应的数分别为 ， ，点 为数轴上一动点，其对应的数为 AB3Px（1）若点 到点 、点 的距离相等，求点 对应的数P（2）数轴上是否存在点 ，使点 到点 、点 的距离之和为 ？若存在，请求出 的值；若不存PAB5在，请说明理由（3）当点 以每分钟 个单位长的速度从
12、 点向左运动时，点 以每分钟 个单位长的速度向左运动，1OA点 以每分钟 个单位长的速度向左运动，问它们同时出发，几分钟后 点到点 、点 的距离相B20 PAB等？2聚焦绝对值问题解决例 l ，当 时，020202040yxbxbxbxbx 20的值最小为 y2例 2 A 分 ， ； ， ； ， ； ， 四种情况讨论aaaa例 3 （1）由 ， ，得 ， 1原式 11112073420782320788 （2）因 、 、 为整数，且 ，abcabc故 与 一个为 ，一个为 ，从而 所以，原式 bac例 4 （1）分别令 和 ，分别求得 和 ，xx4和 的零点值分别为 和 x 2x4（2）当 时
13、，原式 ；当 时，原式2224x；当 时，原式 64x综上讨论，原式,2.xx数学冲浪1 2 或 3 4801cb5B ， ， ， ， ， ， ， 对应的数分别为 ， ， ， ， ， ， ，1a4a567a8012346A 7B 8C9 （1）原式3x（2）原式213xx10 ， ； ； 或 4312x11 或 12013 分 ， 同号、 ， 异号两种情形讨论yxy14 （1） （2） 515D 16C17A 提示： 原式化为abcab18B19 （1） ；（2） ；（3） ，值不变512x52PNM20 或 或4021 （1） ，当且仅当 、 同号或 、 至少有一为 时等号成立ababab0（2）因 ， ，故 ，又因为916cd9165cd，所以 ， ，故原式5 2c9ab16cd96722 （1） ；（2） 或 ；（3） 未追上 时， ； 追上 时， .51.BA23tBA415t
