1、2018 中考数学试题分类汇编：考点 30 切线的性质和判定一选择题（共 11 小题）1（2018哈尔滨）如图，点 P 为O 外一点，PA 为O 的切线，A 为切点，PO 交O 于点B，P=30，OB=3，则线段 BP 的长为（ ）A3 B3 C6 D9【分析】直接利用切线的性质得出OAP=90，进而利用直角三角形的性质得出 OP 的长【解答】解：连接 OA，PA 为O 的切线，OAP=90，P=30，OB=3，AO=3，则 OP=6，故 BP=63=3故选：A2（2018眉山）如图所示，AB 是O 的直径，PA 切O 于点 A，线段 PO 交O 于点 C，连结 BC，若P=36，则B 等于（
2、 ）A27 B32 C36 D54【分析】直接利用切线的性质得出OAP=90，再利用三角形内角和定理得出AOP=54，结合圆周角定理得出答案【解答】解：PA 切O 于点 A，OAP=90，P=36，AOP=54，B=27故选：A3（2018重庆）如图，已知 AB 是O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，PD 与O 相切于点 D，过点 B 作 PD 的垂线交 PD 的延长线于点 C，若O 的半径为 4，BC=6，则 PA 的长为（ ）A4 B2 C3 D2.5【分析】直接利用切线的性质得出PDO=90，再利用相似三角形的判定与性质分析得出答案【解答】解：连接 DO，PD 与O 相切于点 D，
3、PDO=90，C=90，DOBC，PDOPCB， = = = ，设 PA=x，则 = ，解得：x=4，故 PA=4故选：A4（2018福建）如图，AB 是O 的直径，BC 与O 相切于点 B，AC 交O 于点 D，若ACB=50，则BOD 等于（ ）A40 B50 C60 D80【分析】根据切线的性质得到ABC=90，根据直角三角形的性质求出A，根据圆周角定理计算即可【解答】解：BC 是O 的切线，ABC=90，A=90ACB=40，由圆周角定理得，BOD=2A=80，故选：D5（2018泸州）在平面直角坐标系内，以原点 O 为圆心，1 为半径作圆，点 P 在直线 y=上运动，过点 P 作该圆
4、的一条切线，切点为 A，则 PA 的最小值为（ ）A3 B2 C D【分析】如图，直线 y= x+2 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，作 OHCD 于 H，先利用一次解析式得到 D（0，2 ），C（2，0），再利用勾股定理可计算出 CD=4，则利用面积法可计算出 OH= ，连接 OA，如图，利用切线的性质得 OAPA，则 PA= ，然后利用垂线段最短求 PA 的最小值【解答】解：如图，直线 y= x+2 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，作 OHCD 于 H，当 x=0 时，y= x+2 =2 ，则 D（0，2 ），当 y=0 时， x+2 =0，解得 x=2，则 C（2
5、，0），CD= =4， OHCD= OCOD，OH= = ，连接 OA，如图，PA 为O 的切线，OAPA，PA= = ，当 OP 的值最小时，PA 的值最小，而 OP 的最小值为 OH 的长，PA 的最小值为 = 故选：D6（2018泰安）如图，BM 与O 相切于点 B，若MBA=140，则ACB 的度数为（ ）A40 B50 C60 D70【分析】连接 OA、OB，由切线的性质知OBM=90，从而得ABO=BAO=50，由内角和定理知AOB=80，根据圆周角定理可得答案【解答】解：如图，连接 OA、OB，BM 是O 的切线，OBM=90，MBA=140，ABO=50，OA=OB，ABO=B
6、AO=50，AOB=80，ACB= AOB=40，故选：A7（2018深圳）如图，一把直尺，60的直角三角板和光盘如图摆放，A 为 60角与直尺交点，AB=3，则光盘的直径是（ ）A3 B C6 D【分析】设三角板与圆的切点为 C，连接 OA、OB，由切线长定理得出AB=AC=3、OAB=60，根据 OB=ABtanOAB 可得答案【解答】解：设三角板与圆的切点为 C，连接 OA、OB，由切线长定理知 AB=AC=3，OA 平分BAC，OAB=60，在 RtABO 中，OB=ABtanOAB=3 ，光盘的直径为 6 ，故选：D8（2018重庆）如图，ABC 中，A=30，点 O 是边 AB 上
7、一点，以点 O 为圆心，以 OB为半径作圆，O 恰好与 AC 相切于点 D，连接 BD若 BD 平分ABC，AD=2 ，则线段 CD的长是（ ）A2 B C D 【分析】连接 OD，得 RtOAD，由A=30，AD=2 ，可求出 OD、AO 的长；由 BD 平分ABC，OB=OD 可得OD 与 BC 间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理，得结论【解答】解：连接 ODOD 是O 的半径，AC 是O 的切线，点 D 是切点，ODAC在 RtAOD 中，A=30，AD=2 ，OD=OB=2，AO=4，ODB=OBD，又BD 平分ABC，OBD=CBDODB=CBDODCB，即CD= 故选：B9（
8、2018湘西州）如图，直线 AB 与O 相切于点 A，AC、CD 是O 的两条弦，且CDAB，若O 的半径为 5，CD=8，则弦 AC 的长为（ ）A10 B8 C4 D4【分析】由 AB 是圆的切线知 AOAB，结合 CDAB 知 AOCD，从而得出 CE=4，RtCOE 中求得 OE=3 及 AE=8，在 RtACE 中利用勾股定理可得答案【解答】解：直线 AB 与O 相切于点 A，OAAB，又CDAB，AOCD，记垂足为 E，CD=8，CE=DE= CD=4，连接 OC，则 OC=OA=5，在 RtOCE 中，OE= = =3，AE=AO+OE=8，则 AC= = =4 ，故选：D10（
9、2018宜昌）如图，直线 AB 是O 的切线，C 为切点，ODAB 交O 于点 D，点 E 在O 上，连接 OC，EC，ED，则CED 的度数为（ ）A30 B35 C40 D45【分析】由切线的性质知OCB=90，再根据平行线的性质得COD=90，最后由圆周角定理可得答案【解答】解：直线 AB 是O 的切线，C 为切点，OCB=90，ODAB，COD=90，CED= COD=45，故选：D11（2018无锡）如图，矩形 ABCD 中，G 是 BC 的中点，过 A、D、G 三点的圆 O 与边AB、CD 分别交于点 E、点 F，给出下列说法：（1）AC 与 BD 的交点是圆 O 的圆心；（2）A
10、F与 DE 的交点是圆 O 的圆心；（3）BC 与圆 O 相切，其中正确说法的个数是（ ）A0 B1 C2 D3【分析】连接 DG、AG，作 GHAD 于 H，连接 OD，如图，先确定 AG=DG，则 GH 垂直平分AD，则可判断点 O 在 HG 上，再根据 HGBC 可判定 BC 与圆 O 相切；接着利用 OG=OG 可判断圆心 O 不是 AC 与 BD 的交点；然后根据四边形 AEFD 为O 的内接矩形可判断 AF 与 DE 的交点是圆 O 的圆心【解答】解：连接 DG、AG，作 GHAD 于 H，连接 OD，如图，G 是 BC 的中点，AG=DG，GH 垂直平分 AD，点 O 在 HG
11、上，ADBC，HGBC，BC 与圆 O 相切；OG=OG，点 O 不是 HG 的中点，圆心 O 不是 AC 与 BD 的交点；而四边形 AEFD 为O 的内接矩形，AF 与 DE 的交点是圆 O 的圆心；（1）错误，（2）（3）正确故选：C二填空题（共 14 小题）12（2018安徽）如图，菱形 ABOC 的边 AB，AC 分别与O 相切于点 D，E若点 D 是 AB的中点，则DOE= 60 【分析】连接 OA，根据菱形的性质得到AOB 是等边三角形，根据切线的性质求出AOD，同理计算即可【解答】解：连接 OA，四边形 ABOC 是菱形，BA=BO，AB 与O 相切于点 D，ODAB，点 D
12、是 AB 的中点，直线 OD 是线段 AB 的垂直平分线，OA=OB，AOB 是等边三角形，AB 与O 相切于点 D，ODAB，AOD= AOB=30，同理，AOE=30，DOE=AOD+AOE=60，故答案为：6013（2018连云港）如图，AB 是O 的弦，点 C 在过点 B 的切线上，且 OCOA，OC 交 AB于点 P，已知OAB=22，则OCB= 44 【分析】首先连接 OB，由点 C 在过点 B 的切线上，且 OCOA，根据等角的余角相等，易证得CBP=CPB，利用等腰三角形的性质解答即可【解答】解：连接 OB，BC 是O 的切线，OBBC，OBA+CBP=90，OCOA，A+AP
13、O=90，OA=OB，OAB=22，OAB=OBA=22，APO=CBP=68，APO=CPB，CPB=ABP=68，OCB=1806868=44，故答案为：4414（2018泰州）如图，ABC 中，ACB=90，sinA= ，AC=12，将ABC 绕点 C 顺时针旋转 90得到ABC，P 为线段 AB上的动点，以点 P 为圆心，PA长为半径作P，当P 与ABC 的边相切时，P 的半径为 或 【分析】分两种情形分别求解：如图 1 中，当P 与直线 AC 相切于点 Q 时，如图 2 中，当P 与 AB 相切于点 T 时，【解答】解：如图 1 中，当P 与直线 AC 相切于点 Q 时，连接 PQ设
14、 PQ=PA=r，PQCA， = ， = ，r= 如图 2 中，当P 与 AB 相切于点 T 时，易证 A、B、T 共线，ABTABC， = ， = ，AT= ，r= AT= 综上所述，P 的半径为 或 15（2018宁波）如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 是 AB 的中点，P 是 BC 边上的动点，连结 PM，以点 P 为圆心，PM 长为半径作P当P 与正方形 ABCD 的边相切时，BP 的长为 3 或 4 【分析】分两种情形分别求解：如图 1 中，当P 与直线 CD 相切时；如图 2 中当P 与直线 AD 相切时设切点为 K，连接 PK，则 PKAD，四边形 PKDC 是矩形；【解
15、答】解：如图 1 中，当P 与直线 CD 相切时，设 PC=PM=m在 RtPBM 中，PM 2=BM2+PB2，x 2=42+（8x） 2，x=5，PC=5，BP=BCPC=85=3如图 2 中当P 与直线 AD 相切时设切点为 K，连接 PK，则 PKAD，四边形 PKDC 是矩形PM=PK=CD=2BM，BM=4，PM=8，在 RtPBM 中，PB= =4 综上所述，BP 的长为 3 或 4 16（2018台州）如图，AB 是O 的直径，C 是O 上的点，过点 C 作O 的切线交 AB 的延长线于点 D若A=32，则D= 26 度【分析】连接 OC，根据圆周角定理得到COD=2A，根据切
16、线的性质计算即可【解答】解：连接 OC，由圆周角定理得，COD=2A=64，CD 为O 的切线，OCCD，D=90COD=26，故答案为：2617（2018长沙）如图，点 A，B，D 在O 上，A=20，BC 是O 的切线，B 为切点，OD 的延长线交 BC 于点 C，则OCB= 50 度【分析】由圆周角定理易求BOC 的度数，再根据切线的性质定理可得OBC=90，进而可求出求出OCB 的度【解答】解：A=20，BOC=40，BC 是O 的切线，B 为切点，OBC=90，OCB=9040=50，故答案为：5018（2018香坊区）如图，BD 是O 的直径，BA 是O 的弦，过点 A 的切线交
17、BD 延长线于点 C，OEAB 于 E，且 AB=AC，若 CD=2 ，则 OE 的长为 【分析】根据题意，利用三角形全等和切线的性质、中位线，直角三角形中 30角所对的直角边与斜边的关系、垂径定理可以求得 OE 的长【解答】解：连接 OA、AD，如右图所示，BD 是O 的直径，BA 是O 的弦，过点 A 的切线交 BD 延长线于点 C，OEAB 于 E，DAB=90，OAC=90，AB=AC，B=C，在ACO 和BAD 中，ACOBAD（ASA），AO=AD，AO=OD，AO=OD=AD，AOD 是等边三角形，ADO=DAO=60，B=C=30，OAE=30，DAC=30，AD=DC，CD=
18、2 ，AD=2 ，点 O 为 AD 的中点，OEAD，OEAB，OE= ，故答案为： 19（2018山西）如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=6，BC=8，点 D 是 AB 的中点，以 CD 为直径作O，O 分别与 AC，BC 交于点 E，F，过点 F 作O 的切线 FG，交 AB 于点G，则 FG 的长为 【分析】先利用勾股定理求出 AB=10，进而求出 CD=BD=5，再求出 CF=4，进而求出 DF=3，再判断出 FGBD，利用面积即可得出结论【解答】解：如图，在 RtABC 中，根据勾股定理得，AB=10，点 D 是 AB 中点，CD=BD= AB=5，连接 DF，CD 是O
19、 的直径，CFD=90，BF=CF= BC=4，DF= =3，连接 OF，OC=OD，CF=BF，OFAB，OFC=B，FG 是O 的切线，OFG=90，OFC+BFG=90，BFG+B=90，FGAB，S BDF = DFBF= BDFG，FG= = = ，故答案为 20（2018包头）如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，过点 C 的切线与 BA 的延长线交于点 D，点 E 在 上（不与点 B，C 重合），连接 BE，CE若D=40，则BEC= 115 度【分析】连接 OC，根据切线的性质求出DCO，求出COB，即可求出答案【解答】解：连接 OC，DC 切O 于 C，DCO=90，D
20、=40，COB=D+DCO=130， 的度数是 130， 的度数是 360130=230，BEC= =115，故答案为：11521（2018湘潭）如图，AB 是O 的切线，点 B 为切点，若A=30，则AOB= 60 【分析】根据切线的性质得到OBA=90，根据直角三角形的性质计算即可【解答】解：AB 是O 的切线，OBA=90，AOB=90A=60，故答案为：6022（2018徐州）如图，AB 是O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，CD 与O 相切于点D若C=18，则CDA= 126 度【分析】连接 OD，构造直角三角形，利用 OA=OD，可求得ODA=36，从而根据CDA=CDO+O
21、DA 计算求解【解答】解：连接 OD，则ODC=90，COD=72；OA=OD，ODA=A= COD=36，CDA=CDO+ODA=90+36=12623（2018青岛）如图，RtABC，B=90，C=30，O 为 AC 上一点，OA=2，以 O 为圆心，以OA 为半径的圆与 CB 相切于点 E，与 AB 相交于点 F，连接 OE、OF，则图中阴影部分的面积是 【分析】根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案【解答】解：B=90，C=30，A=60，OA=OF，AOF 是等边三角形，COF=120，OA=2，扇形 OGF 的面积为： =OA 为半径的圆与 CB 相切于点 E，OEC=90
22、，OC=2OE=4，AC=OC+OA=6，AB= AC=3，由勾股定理可知：BC=3ABC 的面积为： 33 =OAF 的面积为： 2 = ，阴影部分面积为： = 故答案为： 24（2018广东）如图，矩形 ABCD 中，BC=4，CD=2，以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相切于点 E，连接 BD，则阴影部分的面积为 （结果保留 ）【分析】连接 OE，如图，利用切线的性质得 OD=2，OEBC，易得四边形 OECD 为正方形，先利用扇形面积公式，利用 S 正方形 OECDS 扇形 EOD计算由弧 DE、线段 EC、CD 所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分
23、的面积【解答】解：连接 OE，如图，以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相切于点 E，OD=2，OEBC，易得四边形 OECD 为正方形，由弧 DE、线段 EC、CD 所围成的面积=S 正方形 OECDS 扇形 EOD=22 =4，阴影部分的面积= 24（4）=故答案为 25（2018南京）如图，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=4，以 CD 为直径作O将矩形 ABCD绕点 C旋转，使所得矩形 ABCD的边 AB与O 相切，切点为 E，边 CD与O 相交于点F，则 CF 的长为 4 【分析】连接 OE，延长 EO 交 CD 于点 G，作 OHBC，由旋转性质知B=BCD=90、AB=CD
24、=5、BC=BC=4，从而得出四边形 OEBH 和四边形 EBCG都是矩形且 OE=OD=OC=2.5，继而求得 CG=BE=OH= = =2，根据垂径定理可得 CF 的长【解答】解：连接 OE，延长 EO 交 CD 于点 G，作 OHBC 于点 H，则OEB=OHB=90，矩形 ABCD 绕点 C 旋转所得矩形为 ABCD，B=BCD=90，AB=CD=5、BC=BC=4，四边形 OEBH 和四边形 EBCG 都是矩形，OE=OD=OC=2.5，BH=OE=2.5，CH=BCBH=1.5，CG=BE=OH= = =2，四边形 EBCG 是矩形，OGC=90，即 OGCD，CF=2CG=4，故
25、答案为：4三解答题（共 25 小题）26（2018柯桥区模拟）如图，已知三角形 ABC 的边 AB 是O 的切线，切点为 BAC 经过圆心 O 并与圆相交于点 D、C，过 C 作直线 CE 丄 AB，交 AB 的延长线于点 E（1）求证：CB 平分ACE；（2）若 BE=3，CE=4，求O 的半径【分析】（1）证明：如图 1，连接 OB，由 AB 是0 的切线，得到 OBAB，由于 CE 丄AB，的 OBCE，于是得到1=3，根据等腰三角形的性质得到1=2，通过等量代换得到结果（2）如图 2，连接 BD 通过DBCCBE，得到比例式 ，列方程可得结果【解答】（1）证明：如图 1，连接 OB，A
26、B 是0 的切线，OBAB，CE 丄 AB，OBCE，1=3，OB=OC，1=22=3，CB 平分ACE；（2）如图 2，连接 BD，CE 丄 AB，E=90，BC= = =5，CD 是O 的直径，DBC=90，E=DBC，DBCCBE， ，BC 2=CDCE，CD= = ，OC= = ，O 的半径= 27（2018天津）已知 AB 是O 的直径，弦 CD 与 AB 相交，BAC=38，（I）如图，若 D 为 的中点，求ABC 和ABD 的大小；（）如图，过点 D 作O 的切线，与 AB 的延长线交于点 P，若 DPAC，求OCD 的大小【分析】（）根据圆周角和圆心角的关系和图形可以求得ABC
27、 和ABD 的大小；（）根据题意和平行线的性质、切线的性质可以求得OCD 的大小【解答】解：（）AB 是O 的直径，弦 CD 与 AB 相交，BAC=38，ACB=90，ABC=ACBBAC=9038=52，D 为 的中点，AOB=180，AOD=90，ACD=45；（）连接 OD，DP 切O 于点 D，ODDP，即ODP=90，由 DPAC，又BAC=38，P=BAC=38，AOD 是ODP 的一个外角，AOD=P+ODP=128，ACD=64，OC=OA，BAC=38，OCA=BAC=38，OCD=ACDOCA=6438=2628（2018荆门）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，
28、经过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 E，ADEC 交 EC 的延长线于点 D，AD 交O 于 F，FMAB 于 H，分别交O、AC 于M、N，连接 MB，BC（1）求证：AC 平分DAE；（2）若 cosM= ，BE=1，求O 的半径；求 FN 的长【分析】（1）连接 OC，如图，利用切线的性质得 OCDE，则判断 OCAD 得到1=3，加上2=3，从而得到1=2；（2）利用圆周角定理和垂径定理得到 = ，则COE=FAB，所以FAB=M=COE，设O 的半径为 r，然后在 RtOCE 中利用余弦的定义得到 = ，从而解方程求出 r 即可；连接 BF，如图，先在 RtAFB 中利用余弦定
29、义计算出 AF= ，再计算出 OC=3，接着证明AFNAEC，然后利用相似比可计算出 FN 的长【解答】（1）证明：连接 OC，如图，直线 DE 与O 相切于点 C，OCDE，又ADDE，OCAD1=3OA=OC，2=3，1=2，AC 平方DAE；（2）解：AB 为直径，AFB=90，而 DEAD，BFDE，OCBF， = ，COE=FAB，而FAB=M，COE=M，设O 的半径为 r，在 RtOCE 中，cosCOE= = ，即 = ，解得 r=4，即O 的半径为 4；连接 BF，如图，在 RtAFB 中，cosFAB= ，AF=8 =在 RtOCE 中，OE=5，OC=4，CE=3，ABF
30、M， ，5=4，FBDE，5=E=4， = ，1=2，AFNAEC， = ，即 = ，FN= 29（2018随州）如图，AB 是O 的直径，点 C 为O 上一点，CN 为O 的切线，OMAB于点 O，分别交 AC、CN 于 D、M 两点（1）求证：MD=MC；（2）若O 的半径为 5，AC=4 ，求 MC 的长【分析】（1）连接 OC，利用切线的性质证明即可；（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可【解答】解：（1）连接 OC，CN 为O 的切线，OCCM，OCA+ACM=90，OMAB，OAC+ODA=90，OA=OC，OAC=OCA，ACM=ODA=CDM，MD=MC；（2）由
31、题意可知 AB=52=10，AC=4 ，AB 是O 的直径，ACB=90，BC= ，AOD=ACB，A=A，AODACB， ，即 ，可得：OD=2.5，设 MC=MD=x，在 RtOCM 中，由勾股定理得：（x+2.5） 2=x2+52，解得：x= ，即 MC= 30（2018黄冈）如图，AD 是O 的直径，AB 为O 的弦，OPAD，OP 与 AB 的延长线交于点 P，过 B 点的切线交 OP 于点 C（1）求证：CBP=ADB（2）若 OA=2，AB=1，求线段 BP 的长【分析】（1）连接 OB，如图，根据圆周角定理得到ABD=90，再根据切线的性质得到OBC=90，然后利用等量代换进行
32、证明；（2）证明AOPABD，然后利用相似比求 BP 的长【解答】（1）证明：连接 OB，如图，AD 是O 的直径，ABD=90，A+ADB=90，BC 为切线，OBBC，OBC=90，OBA+CBP=90，而 OA=OB，A=OBA，CBP=ADB；（2）解：OPAD，POA=90，P+A=90，P=D，AOPABD， = ，即 = ，BP=731（2018襄阳）如图，AB 是O 的直径，AM 和 BN 是O 的两条切线，E 为O 上一点，过点 E 作直线 DC 分别交 AM，BN 于点 D，C，且 CB=CE（1）求证：DA=DE；（2）若 AB=6，CD=4 ，求图中阴影部分的面积【分析】（1）连接 OE推知 CD 为O 的切线，即可证明 DA=DE；（2）利用分割法求得阴影部分的面积【解答】解：（1）证明：连接 OE、OCOB=OE，OBE=OEBBC=EC，
