1、课时跟踪训练( 五十五)基础巩固一、选择题1(2017河北唐山二模) 从 1,2,3,4 四个数字中任取两个不同数字，则这两个数字之积小于 5 的概率为( )A. B. C. D.13 12 23 56解析 从 1,2,3,4 四个数字中任取两个不同数字，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共 6 个基本事件，其中 这两个数字之积小于 5的有(1,2) ，(1,3)，(1,3)共 3 个基本事件， 则这两个数字之积小于 5 的概率为 P ；故选 B.36 12答案 B2袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球从袋中任取 2
2、 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为( )A. B. C. D1521 1021 1121解析 从 15 个球中任取出 2 个球有 105 种方法，其15142中恰有一个白球，1 个红球的概率 P .105105 1021答案 B3有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A. B. C. D.13 12 23 34解析 试验发 生包含的事件数是 339，满足条件的事件数是这两位同学参加同一个兴趣小组由于共有 3 个小组，所以有 3 种结果根据古典概型概率计算公式得 P ，故选
3、 A.39 13答案 A4有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字 1,2,3,4.把两个玩具各抛掷一次，斜向上的面上的数字之和能被 5 整除的概率为( )A. B. C. D.116 14 38 12解析 把“ 两个玩具斜向上的面的数字之和能被 5 整除”记为事件 A，每个玩具斜向上的面的数字之和均有 4 种情况，两个玩具各抛掷一次，斜向上的面的数字之和共有 16 种情况，其中能被 5 整除的有 4 种情况：(1,2,3)，(2,3,4)；(1,2,4) ，(1,3,4)；(1,3,4)，(1,2,4)；(2,3,4)，(1,2,3)故 P(A) .416 14答
4、案 B5某袋中有编号为 1,2,3,4,5,6 的 6 个小球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号放回，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是( )A. B. C. D.15 16 56 3536解析 记 (a，b)为甲、乙摸球的编号，如下表：a 1 2 3 4 5 6b1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4
5、) (4,5) (4,6)5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)可知基本事件共有 36 个，满足 ab 的基本事件共有 6 个，故所求事件的概率 P1 .636 56答案 C6从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )A. B. C. D.110 18 16 15解析 如图所示，从正六边形 ABCDEF 的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点，可以看作随机选择 2 个顶点，剩下的 4 个顶点构成四边形，有(A，B)，(A，C)，(A，D
6、)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共 15 种若要构成矩形，只要选 相对的顶点即可，有(A，D)，(B，E) ，(C，F)，共 3 种，故其概率为 .315 15答案 D二、填空题7盒子里有大小相同的白球 3 个、黑球 1 个若从中随机摸出2 个球，则它们颜色不同的概率是_解析 设 3 个白球为 A，B，C,1 个黑球为 D，则从中随机摸出 2个球的情形有 AB，AC，AD，BC，BD，CD，共 6 种其中 2 个球颜色不同的有 3 种，故所求概率为 .12答案 128(2017湖
7、南湘中名校联考)从集合 A 2，1,2中随机选取一个数记为 a，从集合 B1,1,3中随机选取一个数记为 b，则直线 axyb0 不经过第四象限的概率为_解析 集合 A，B 中各有三个元素，随机 选取( a，b)，共有 9 种可能的结果，若直线不经过第四象限，则 a0，且 b0，满足条件的(a，b) ，有(2,1) ，(2,3)，直线不经过第四象限的概率为 P .29答案 299从两名男生和两名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为_解析 两名男生 记为 A1，A2，两名女生记为 B1，B2，任意选择两人在星期六、星期日参加
8、某公益活动，共有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B1,12 种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2,4 种情况，则所求的概率 P .412 13答案 13三、解答题10某校夏令营有 3 名男同学 A，B，C 和 3 名女同学X，Y ， Z，其年级情况如下表：一年级 二年级 三年级男同学 A B C女同学 X Y Z现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设 M 为事件“选出的 2 人来
9、自不同年级且恰有 1 名男同学和1 名女同学” ，求事件 M 发生的概率解 (1)从 6 名同学中随机 选出 2 人参加知识竞赛的所有可能结果为 A，B，A，C，A，X，A，Y，A，Z，B，C，B，X，B，Y，B，Z，C，X，C，Y，C，Z，X，Y，X，Z，Y，Z，共15 种(2)选出的 2 人来自在不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学的所有可能结果为A，Y ，A，Z，B，X，B，Z，C，X，C，Y，共 6 种因此，事件 M 发生的概率 P(M) .615 25能力提升11(2017 山西考前适应性测试) 甲在微信群中发布 6 元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完若三人均领到整数
10、元，且每人至少领到 1 元，则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是( )A. B. C. D.34 13 310 25解析 用 (x，y，z)表示乙、丙、丁抢到的红包分别为 x 元、y 元、z 元乙、丙、丁三人抢 完 6 元钱的所有不同的可能结果有 10 种，分别为(1,1,4) ，(1,4,1)，(4,1,1)，(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2)乙 获得 “手气最佳”的所有不同的可能结果有 4 种，分别为(4,1,1) ，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2)根据古典概型的概率计算公式
11、，得乙获得“手气最佳”的概率是 P .故选 D.410 25答案 D12(2017 河南省中原名校期末) 从 4 名男生和 2 名女生中任选3 人参加某项活动，则所选的 3 人中女生人数不超过 1 的概率是( )A0.8 B0.6 C 0.4 D0.2解析 设 事件 Q 为“ 所选 3 人中女生人数不超 过 1”，事件 M为“所选 3 人中女生人数为 1”，事件 N 为“ 所选 3 人中女生人数为0”，则事件 M，N 是互斥事件.4 名男生分别记为 1,2,3,4；2 名女生分别记为 a，b.从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人有 20 种不同的结果，分别为1,2,3 ，1,2,4，1,
12、2，a，1,2，b，1,3,4，1,3，a，1,3，b，1,4，a，1,4，b，1，a，b，2,3,4，2,3，a，2,3，b，2,4，a，2,4，b，2，a，b，3,4，a，3,4，b，3，a，b，4，a，b事件 M所含的基本事件分别为1,2，a，1,2，b，1,3，a，1,3，b，1,4， a，1,4，b2,3，a，2,3，b，2,4，a，2,4，b，3,4，a，3,4，b，共12 个，所以 P(M) ；事件 N 所含的基本事件分别为1,2,3，1220 351,2,4，1,3,4，2,3,4，共 4 个，所以 P(N) ；所以事件 Q 的420 15概率为 P(Q)P( M)P(N) 0
13、.8，故选 A.35 15答案 A13属相，也叫生肖，包括鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪十二种动物已知在甲、乙、丙、丁、戊五人中，甲、乙、丙的属相均是牛，丁、戊的属相均是猪，现从这五人中随机选出两人，则所选出的两人的属相互不相同的概率为_解析 从 这五人中随机选出两人的选法为甲，乙，甲，丙，甲，丁 ，甲，戊 ，乙，丙 ，乙，丁，乙，戊 ，丙，丁，丙，戊，丁，戊 ，共 10 种；所选出的两人的属相互不相同的选法为甲，丁，甲，戊 ，乙，丁 ，乙，戊 ，丙，丁，丙，戊 ，共 6 种故所选出的两人的属相互不相同的概率 P 0.6.610答案 0.614小李加工外形完全一样的甲、乙两种零
14、件，已知他加工的4 个甲种零件中有 2 个次品，2 个乙种零件中有 1 个次品，现从这 6个零件中随机抽取 2 个，则能抽到甲种零件的次品的概率为_解析 记 “抽到甲种零件的次品”为事件 A，“抽到甲种零件的次品数为 1”为事件 M，“抽到甲种零件的次品数 为 2”为事件 N，则事件 M，N 为互斥事件从这 6 个零件中随机抽取 2 个，利用枚举法可知共有 15 种不同的抽取方法，事件 M 所含的基本事件数为 8，事件 N 所含的基本事件数为 1，所以 P(M) ，P(N) ，所以 P(A)815 115P(M)P(N) 0.6.815 115答案 0.615一个盒子里装有三张卡片，分别标记有
15、数字 1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同随机有放回地抽取 3 次，每次抽取1 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 a，b，c.(1)求“ 抽取的卡片上的数字满足 abc ”的概率；(2)求“ 抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”的概率解 (1)由 题意知， (a，b，c)所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1
16、)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共 27 种设“抽取的卡片上的数字满足 abc”为事件 A，则事件 A 包括(1,1,2) ，(1,2,3)，(2,1,3)，共 3 种所以 P(A) .327 19因此， “抽取的卡片上的数字满足 abc”的概率为 .19(2)设“ 抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同 ”为事件 B，则事件 包括 (1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共 3 种B所以 P(B)1P( )1 .B327 89因此， “抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同 ”
17、的概率为 .8916某初级中学根据运动场地的影响，为尽可能让学生都参与到运动会中来，在 2017 冬季运动会中设置了五个项目，其中属于跑步类的两项分别是 200 米和 400 米，另外三项分别为跳绳、跳远、跳高学校要求每位学生必须参加，且只能参加其中一项，该校780 名学生参加各运动项目人数统计如下表：运动项目 200 米 400 米 跳绳 跳远 跳高 合计参加人数 m 240 180 120 n 780其中参加跑步类的人数所占频率为 ，为了了解学生身体健康713与参加运动项目之间的关系，用分层抽样的方法从这 780 名学生中抽取 13 人进行分析(1)求表格中 m 和 n 的值以及抽取的 1
18、3 人中参加 200 米的学生人数；(2)抽取的 13 名学生中恰好包含 X，Y 两名同学，其中 X 同学参加的项目是 200 米，Y 同学参加的项目是跳绳，现从已抽出的参加200 米和跳绳两个项目的学生中随机抽取 3 人，求这 3 人中正好有X，Y 两名同学的概率解 (1)由 题意，得参加跑步类的学生人数为 780 420，所713以 m420240180，n780420180 12060.根据分层抽样法知，抽取的 13 人中参加 200 米的学生人数为 13 3.180780(2)抽取的 13 人中参加 200 米的有 3 人，分别记为 A1，A2，X，参加跳绳的有 3 人，分别记为 B1
19、，B2，Y.现从这 6 人中任选 3 人，所有不同的可能结果为( A1，A2，X)，(A1，A2，B1)，(A1，A2，B2)，(A1，A2，Y)，(A1，X，B1)，(A1，X，B2)，(A1，X，Y)，(A1，B1，B2)，(A1，B1，Y)，(A1，B2，Y)，(A2，X，B1)，(A2，X，B2)，(A2，X，Y)，(A2，B1，B2)，(A2，B1，Y)，(A2，B2，Y)，(X，B1，B2)，(X，B1，Y)，(X，B2，Y)，(B1，B2，Y)，共 20 种，其中这 3 人中正好有 X，Y 两名同学的情况有 4 种，由古典概型的概率计算公式，可得所求概率为P .420 15延伸拓
20、展1把分别标有“诚” “信” “考” “试”字样的四张卡片随意地排成一排，则卡片从左到右不能念成“诚信考试”和“考试诚信”的概率是( )A. B. C. D.112 34 78 1112解析 设 事件 M卡片从左到右不能念成“诚信考试”和“考试诚信”，则其对立事件 卡片从左到右能念成“诚信考试”M 或“考试诚信”利用枚举法可知，分别标有“诚” “信” “考” “试”字样的四张卡片的排列方式共有 24 种，其中从左到右能念成“诚信考试”或“考试诚信”的有 2 种，所以 P( ) ，故 P(M)M 224 1121P ( )1 ，故选 D.M 112 1112答案 D2从集合2,3,4,5 中随机抽取一个数 a，从集合1,3,5中随机抽取一个数 b，则向量 m(a，b)与向量 n(1 ，1) 垂直的概率为( )A. B. C. D.16 13 14 12解析 由 题意可知，m(a，b)有(2,1) ，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共 12 个基本事件因 为mn，即 mn0，所以 a1b( 1)0，即 ab，满足条件的基本事件为(3,3)， (5,5)，共 2 个，故所求的概率为 .212 16答案 A
