1、课时跟踪训练( 四十四)基础巩固一、选择题1(2017湖北七市高三联考) 设直线 m 与平面 相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )A在平面 内有且只有一条直线与直线 m 垂直B过直线 m 有且只有一个平面与平面 垂直C与直线 m 垂直的直线不可能与平面 平行D与直线 m 平行的平面不可能与平面 垂直解析 对于 A，在平面 内可能有无数条直线与直线 m 垂直，这些直线是互相平行的，A 错误；对于 B，只要 m，过直线 m 必有并且也只有一个平面与平面 垂直，B 正确；对 于 C，类似于 A，在平面 外可能有无数条直线垂直于直线 m 并且平行于平面 ，C 错误；对于 D，与直 线 m 平行且与
2、平面 垂直的平面有无数个，D 错误故选B.答案 B2(2016浙江卷 )已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l，若直线m，n 满足 m，n ，则( )Aml Bmn Cnl Dmn解析 对于 选项 A，l，l ，m，m 与 l 可能平行，也可能异面，故选项 A 不正确；对于选项 B，D，m，n，m与 n 可能平行，可能相交，也可能异面，故选项 B，D 不正确 对于选项 C， l，l .n，nl.故选 C.答案 C3(2018湖南长沙模拟) 已知 ， ， 为平面，l 是直线，若 l ，则 “ ， ”是“l ”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析 由 ，l 可
3、以推出 l；反过来，若l，l， 则根据面面垂直的判定定理，可知 ，.所以若 l，则 “，”是“l”的充要条件答案 C4如图，已知ABC 为直角三角形，其中 ACB 90，M 为AB 的中点， PM 垂直于 ABC 所在平面，那么( )APAPB PCB PAPB PCC PAPB PCDPAPBPC解析 M 为 AB 的中点，ACB 为直角三角形，BMAMCM，又 PM平面 ABC，RtPMBRtPMARtPMC，故 PAPBPC.答案 C5(2017贵阳监测 )如图，在三棱锥 PABC 中，不能证明APBC 的条件是( )AAPPB，APPCB APPB ，BCPBC平面 BPC平面 APC
4、，BCPCDAP平面 PBC解析 A 中，因为 APPB，APPC，PBPCP，所以 AP平面 PBC，又 BC平面 PBC，所以 APBC，故 A 正确；C 中，因为平面 BPC平面 APC，BCPC，所以 BC平面 APC，又 AP平面APC，所以 APBC，故 C 正确；D 中，由 A 知 D 正确；B 中条件不能判断出 APBC，故 选 B.答案 B6.(2017湖北孝感高中期中) 如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1 中，BC AC，AC 1A 1B，M，N 分别是 A1B1，AB 的中点，给出下列结论：C 1M平面 A1ABB1；A 1BNB 1；平面 AMC1平面 CBA1.
5、其中正确结论的个数为( )A0 B1C 2 D3解析 在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，平面 A1B1C1平面ABB1A1.因为 BCAC，所以 B1C1A 1C1.因为 M 为 A1B1 的中点，所以 C1MA1B1.因为平面 A1B1C1平面 ABB1A1A 1B1，所以 C1M平面 ABB1A1.故正确由 知，C 1MA1B，又因为AC1A1B，C1MAC 1 C1，所以 A1B平面 AMC1，所以 A1BAM.因为 M，N 分 别是 A1B1，AB 的中点，所以 ANB1M 是平行四边形，所以AMNB1.因为 A1BAM，所以 A1BNB1.故 正确由知 A1B平面 AMC1，因为
6、 A1B平面 CBA1，所以平面 AMC1平面 CBA1.故正确综上所述，正确 结论 的个数为 3.故选 D.答案 D二、填空题7.(2017河北石家庄调研) 如图，已知 PA平面ABC， BCAC，则图中直角三角形的个数为_解析 PA平面 ABC，AB，AC，BC平面 ABC，PAAB，PAAC，PABC，则PAB， PAC 为直角三角形由 BCAC，且 ACPAA，BC平面 PAC，从而 BCPC，因此ABC，PBC 也是直角三角形答案 48如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足_时，平面 MBD 平面 PCD.(
7、只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析 由定理可知，BD PC.当 DMPC(或 BMPC)时，就有 PC平面 MBD，而 PC平面 PCD，平面 MBD平面 PCD.答案 DMPC(或 BMPC 等)三、解答题9(2017山东青岛质检) 如图，ABC 和BCD 所在平面互相垂直，且 ABBC BD2，ABCDBC 120 ，E ，F，G 分别为 AC，DC，AD 的中点(1)求证： EF平面 BCG；(2)求三棱锥 DBCG 的体积解 (1)证 明：由已知得 ABCDBC，因此 ACDC.又 G 为 AD 的中点，所以 CGAD.同理 BGAD，又 BG CGG ，因此 AD平面 BCG.
8、又 EFAD，所以 EF平面 BCG.(2)在平面 ABC 内，作 AOBC，交 CB 的延长线 于 O，如图由平面 ABC平面 BCD，平面 ABC平面 BDCBC，AO 平面 ABC，知AO平面 BDC.又 G 为 AD 中点，因此 G 到平面 BDC 的距离 h 是 AO长度的一半在AOB 中，AOAB sin60 ，3所以 VDBCG V GBCD SDBCh BDBCsin120 .13 13 12 32 1210(2017 云南省高中毕业班统一检测) 如图，在四棱锥PABCD 中， PC平面 ABCD，底面 ABCD 是平行四边形，ABBC2 a，AC2 a，E 是 PA 的中点3
9、(1)求证：平面 BED平面 PAC；(2)求点 E 到平面 PBC 的距离解 (1)证 明：在平行四 边形 ABCD 中，AB BC ，四边形 ABCD 是菱形， BDAC.PC平面 ABCD，BD平面 ABCD，PCBD.又 PCACC， BD平面 PAC，BD平面 BED，平面 BED平面 PAC.(2)设 AC 交 BD 于点 O，连接 OE，如图在PCA 中，易知 O 为 AC 的中点，E 为 PA 的中点，EOPC.PC平面 PBC，EO平面 PBC，EO平面 PBC，点 O 到平面 PBC 的距离就是点 E 到平面 PBC 的距离PC平面 ABCD，PC平面 PBC，平面 PBC
10、平面 ABCD，交 线为 BC.在平面 ABCD 内过点 O 作 OHBC 于点 H，则 OH平面 PBC.在 RtBOC 中， BC2 a，OC AC a，12 3OBa.S BOC OCOB BCOH，12 12OH a.OBOCBC a 3a2a 32点 E 到平面 PBC 的距离为 a.32能力提升11空间四边形 ABCD 中，ABCD2，ADBC3，M，N分别是对角线 AC 与 BD 的中点，则 MN 与( )AAC，BD 之一垂直 BAC，BD 不一定垂直C AC，BD 都不垂直 DAC，BD 都垂直解析 连 接 BM，DM，AN，CN，在 ABC 和ACD 中，ABCD ，ADB
11、C，ACCA，故 ABCCDA.又 M 为 AC 中点，BM DM.N 为 BD 的中点， MNBD.同理可 证 MNAC，故选 D.答案 D12如图，四边形 ABCD 中，AD BC， ADAB ， BCD45 ，BAD90.将ADB 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，构成三棱锥 ABCD，则在三棱锥ABCD 中，下列命题正确的是( )A平面 ABD平面 ABCB平面 ADC平面 BDCC平面 ABC平面 BDCD平面 ADC平面 ABC解析 在四边形 ABCD 中，ADBC，ADAB ，BCD45，BAD90，BDCD.又平面 ABD平面 BCD，且平面 ABD平面 BCDBD，
12、故 CD平面 ABD，则 CDAB.又 ADAB，CDADD，故 AB平面 ADC.平面 ABC平面 ADC.故选 D.答案 D13(2017 内蒙古包头一模) 已知直线 a，b，平面 ，且满足a ， b，有下列四个命题：对任意直线 c ，有 ca；存在直线 c，使 cb 且c ；对满足 a 的任意平面 ，有 ；存在平面 ，使 b.其中正确的命题有_(填序号)解析 因 为 a，所以 a 垂直于 内任一直线，所以 正确；由 b 得 内存在一直线 l 与 b 平行，在 内作直线 ml，则mb，ma，再将 m 平移得到直 线 c，使 c 即可，所以正确；由面面垂直的判定定理可得不正确；若 b，则由
13、b 得 内存在一条直线 l 与 b 平行，必有 l，即有 ，而 b 的平面 有无数个，所以正确答案 14如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E 为 BC的中点，点 P 在线段 D1E 上点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为_解析 点 P 到直线 CC1 的距离等于点 P 在平面 ABCD 上的射影到点 C 的距离，设点 P 在平面 ABCD 上的射影为 P， 显然点 P到直线 CC1 的距离的最小 值为 PC 的长度的最小 值当 PC DE时， P C 的 长度最小，此时 PC .2122 1 255答案 25515(2017 北京海淀区零模) 如图所示，四棱锥
14、PABCD 的底面是边长为 1 的正方形，侧棱 PA底面 ABCD，且 PA ，E 是3侧棱 PA 上的动点(1)求四棱锥 PABCD 的体积；(2)如果 E 是 PA 的中点，求证： PC平面 BDE；(3)不论点 E 在侧棱 PA 的任何位置，是否都有 BDCE ？证明你的结论解 (1)因 为 PA平面 ABCD，所以 VPABCD S 正方形 ABCDPA 12 ，13 13 3 33即四棱锥 PABCD 的体积为 .33(2)证明：如图所示，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 OE.因为四边形 ABCD 是正方形，所以 O 是 AC 的中点，又 E 是 PA 的中点，所以 PCOE，
15、因为 PC平面 BDE，OE平面 BDE，所以 PC平面 BDE.(3)不论 点 E 在侧棱 PA 的任何位置，都有 BDCE.证明如下：因为四边形 ABCD 是正方形，所以 BDAC，因为 PA底面 ABCD，且 BD平面 ABCD，所以 BDPA，又 ACPAA ，所以 BD平面 PAC.因为不论点 E 在侧棱 PA 的任何位置，都有 CE平面 PAC，所以不论点 E 在侧棱 PA 的任何位置，都有 BDCE.16.(2017全国卷 )如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，且BAP CDP90.(1)证明：平面 PAB平面 PAD；(2)若 PAPD ABDC，APD90，且四棱锥 P
16、ABCD 的体积为 ，求该四棱锥的侧面积83解 (1)证 明：由 BAPCDP90，得 ABAP，CDPD.由于 ABCD，故 ABPD，又 CDPDD，从而 AB平面 PAD.又 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD.(2)如图 所示，在平面 PAD 内作 PEAD，垂足为 E.由(1)知， AB平面 PAD，故 ABPE，又 ADABA，可得 PE平面 ABCD.设 ABx，则由已知可得 AD x，PE x.222故四棱锥 PABCD 的体积 VPABCD ABADPE x3.13 13由题设得 x3 ，故 x2.13 83从而 ABDCPA PD2， ADBC 2 ，PBPC
17、2 .2 2可得四棱锥 PABCD 的侧面积为PAPD PAAB PDDC BC2sin60 62 .12 12 12 12 3延伸拓展(2018山东青岛质检 )如图所示，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，底面 ABC 是正三角形，点 D 是 BC 的中点， BCBB 1.(1)求证： A1C平面 AB1D；(2)试在棱 CC1 上找一点 M，使得 MBAB 1，并说明理由解 (1)证 明：如图所示，连接 A1B 交 AB1 于点 O，连接 OD.O，D 分别是 A1B，BC 的中点，A1COD.A1C平面 AB1D，OD平面 AB1D，A1C平面 AB1D.(2)M 为 CC1 的中点理由如下：在正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，BCBB 1，四边形 BCC1B1 是正方形M 为 CC1 的中点，D 是 BC 的中点，B1BDBCM，BB1DCBM.又BB 1D BDB1 ，2CBMBDB 1 ，BMB1D.2ABC 是正三角形，D 是 BC 的中点， ADBC.平面 ABC平面 BB1C1C，平面 ABC平面 BB1C1CBC，AD平面 ABC，AD平面 BB1C1C.BM平面 BB1C1C，ADBM.ADB 1DD，BM 平面 AB1D.AB1 平面 AB1D，MBAB1.
