1、课时跟踪训练( 五十)基础巩固一、选择题1(2017辽宁师大附中期中) 过点 M(2,0)的直线 m 与椭圆 y21 交于 P1，P 2 两点，线段 P1P2 的中点为 P，设直线 m 的斜x22率为 k1(k1 0)，直线 OP 的斜率为 k2，则 k1k2 的值为( )A2 B2 C. D12 12解析 由过 点 M(2,0)的直线 m 的方程为 y0k 1(x2)，代入椭圆的方程，化简得(2k 1)x 28k x8 k 20，设 P1(x1，y1)，21 21 21P2(x2，y2)，x1x 2 ，P 的横坐标为 ，P 的纵坐标为 k1 8k212k21 1 4k212k21 1 ，即点
2、 P ，直线 OP 的斜率( 4k212k21 1 2) 2k12k21 1 ( 4k212k21 1，2k12k21 1)k2 ，k1k2 .故 选 D. 12k1 12答案 D2如图，F( c,0)为椭圆 1(ab0)的右焦点，A，B 为椭x2a2 y2b2圆的上、下顶点，P 为直线 AF 与椭圆的交点，则直线 PB 的斜率kPB( )A. B. C. D.ca2 ba2 b ca2 bca2解析 直 线 AF 的方程 为 1，把 y xb 代入xc yb bc 1，得 x2 x0，x2a2 y2b2 a2 c2a2c2 2cxP ，yP ，2a2ca2 c2 c2b a2ba2 c2kP
3、B .c2b a2ba2 c2 b2a2ca2 c2 bca2答案 D3(2017河北唐山统考) 平行四边形 ABCD 内接于椭圆 1，直线 AB 的斜率 k11，则直线 AD 的斜率 k2( )x24 y22A. B C D212 12 14解析 解法一： 设 AB 的中点为 G，由 椭圆与平行四边形的对称性知 O 为平行四边形 ABCD 的对角线的交点， 则 GOAD.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 有Error!两式相减是 x1 x2x1 x24，整理得 k 11，即y1 y2y1 y22 x1 x22y1 y2 y1 y2x1 x2 .y1 y2x1 x2 12又 G ，所
4、以 kOG ，(x1 x22 ，y1 y22 )y1 y22 0x1 x22 0 12即 k2 ，故选 B.12解法二：设直线 AB 的方程为 yxt，A(x 1，y1)，B(x2，y2)，利用 椭圆与平行四边形的对称性可得 D(x 2， y2)则直线 AD 的斜率 k2 1 .联立Error!消去 y 得y1 y2x1 x2 x1 x2 2tx1 x2 2tx1 x23x24tx2t 240， 则 x1x 2 ，4t3k21 .故选 B.2t 43t 12答案 B二、解答题4(2017河北涞水波峰中学、高碑店三中联考)已知椭圆C： 1( ab0)的离心率为 ，且椭圆 C 与圆 M：x 2(y
5、 3)x2a2 y2b2 1224 的公共弦长为 4.(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知 O 为坐标原点，过椭圆 C 的右顶点 A 作直线 l 与圆x2y 2 相切并交椭圆 C 于另一点 B，求 的值85 OA OB 解 (1)椭圆 C 与圆 M 的公共弦长为 4，椭圆 C 经过点(2,3)， 1，又 ，a2b 2c 2，解得 a216，b 212，椭圆 C 的方4a2 9b2 ca 12程为 1.x216 y212(2)已知右 顶 点 A(4,0)，直线 l 与圆 x2y 2 相切，设直线 l 的85方程为 y k(x4)， ，9k21，k .联立 y (x4)|4k|1 k2 85 13
6、 13与 1，消去 y，得 31x232x 3680.设 B(x0，y0)，则由根与系x216 y212数的关系得 4x0 ， 4x 0 .36831 OA OB 368315(2017吉林长春外国语学校期中) 已知椭圆C： 1( ab0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，P 是椭圆上任意x2a2 y2b2一点，且| PF1|PF 2|2 ，它的焦距为 2.2(1)求椭圆 C 的方程(2)是否存在正实数 t，使直线 xyt0 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B ，且线段 AB 的中点在圆 x2y 2 上？若存在，求出 t 的56值；若不存在，请说明理由解 (1)F1，F2为椭圆 的左、右焦点，
7、 P 是椭圆上任意一点，且|PF1| PF2|2 ，a .2 22c2， c1，b 1，a2 c2椭圆 C 的方程为 y 21.x22(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立Error!化简得3x24tx2t 220.由知 x1x 2 ，y1y 2x 1x 22t .4t3 2t3线段 AB 的中点在圆 x2y 2 上，56 2 2 ，解得 t (负值舍去)，( 2t3) (t3) 56 62故存在 t 满足题意626已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，焦距为 2，离心率为 .12(1)求椭圆 C 的方程；(2)设直线 l 经过点 M(0,1)，且与椭圆 C 交于 A，B
8、两点，若2 ，求直线 l 的方程AM MB 解 (1)设椭圆 方程为 1(a0， b0)，因为 c1， ，x2a2 y2b2 ca 12所以 a2， b ，3所以椭圆 C 的方程为 1.x24 y23(2)由题 意可知直 线 l 的斜率存在， 设直线 l 的方程为 ykx1，则由Error!得(34k 2)x28kx80，且 192k 2960.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由 2 得 x12x 2.AM MB 又Error!所以Error!消去 x2，得 2 ，解得 k2 ，k .(8k3 4k2) 43 4k2 14 12所以直线 l 的方程为 y x1，即 x2y20 或 x
9、2y20.12能力提升7(2017河南考前预测) 已知椭圆 1( ab0)的焦点是x2a2 y2b2F1，F 2，且 |F1F2|2，离心率为 .12(1)求椭圆 C 的方程；(2)若过椭圆右焦点 F2 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，求|AF2|F2B|的取值范围解 (1)因 为椭圆的标 准方程为 1(ab0)，x2a2 y2b2由题意知Error!解得 a2，b .3所以椭圆 C 的标准方程为 1.x24 y23(2)因为 F2(1,0)，所以 当直线 l 的斜率不存在 时，A ，B(1，32)，则|AF 2|F2B| .(1， 32) 94当直 线 l 的斜率存在时，直线 l 的方程
10、可设为 yk(x 1)由Error!消去 y，得(3 4k 2)x28k 2x4k 2120.(*)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1，x2是方程(*)的两个根，所以x1x 2 ，x1x2 .8k23 4k2 4k2 123 4k2所以|AF 2| |x11|，x1 12 y21 1 k2|F2B| |x21|，x2 12 y2 1 k2所以|AF 2|F2B|(1k 2)|x1x2(x 1x 2)1|(1 k2)|4k2 123 4k2 8k23 4k2 1|(1 k2)| 93 4k2|(1 k2)93 4k2 .94(1 13 4k2)当 k20 时 ，|AF2|F2B|取
11、最大值 3，所以|AF 2|F2B|的取值范围为 .(94，3由知|AF 2|F2B|的取 值范围为 .94，38(2018河北百校联盟期中) 平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆M： 1( ab0)右焦点的直线 xy 0 交 M 于 A，B 两点，x2a2 y2b2 3P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为 .12(1)求 M 的方程；(2)C， D 为 M 上两点，若四边形 ACBD 的对角线 CDAB，求四边形 ACBD 面积的最大值解 (1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则 1， 1， 1.x21a2 y21b2 x2a2 y2b2 y2 y1x2 x1由此
12、可得 1.b2x2 x1a2y2 y1 y2 y1x2 x1因为 x1x 22x 0，y1y 22y 0， ，所以 a22b 2.y0x0 12又由题意知，M 的右焦点为( ，0)，故 a2b 23.3因此 a26，b 23.所以 M 的方程为 1.x26 y23(2)由Error!解得Error!或Error!因此|AB | .463由题意可设直线 CD 的方程为yx n ，( 533 0)，其离心x24 y2b2率为 .22(1)求椭圆 M 的方程；(2)若直线 l 过点 P(0,4)，则直线 l 何时与椭圆 M 相交？解 (1)因 为椭圆 M 的离心率为 ，22所以 2，得 b22.4
13、b24 ( 22)所以椭圆 M 的方程为 1.x24 y22(2)过点 P(0,4)的直 线 l 垂直于 x 轴时，直线 l 与椭圆 M 相交过点 P(0,4)的直线 l 与 x 轴不垂直时，可设直线 l 的方程为ykx 4.由Error!消去 y，得(1 2k 2)x216kx280.因为直线 l 与椭圆 M 相交，所以 (16k )24(1 2k2)2816(2k 27)0 ，解得 k .142 142综上，当直线 l 垂直于 x 轴或直线 l 的斜率的取 值范围为 时，直线 l 与椭圆 M 相交( ， 142) ( 142， )10(2017 广东惠州调研) 已知椭圆 C： 1(ab0)
14、的离x2a2 y2b2心率为 ，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为63.523(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知动直线 yk(x 1)与椭圆 C 相交于 A，B 两点若线段 AB 中点的横坐标为 ，求斜率 k 的值；12已知点 M ，求证： 为定值( 73，0) MA MB 解 (1) 1( ab0)满足 a2b 2c 2，又x2a2 y2b2 ， b2c ，解得 a25， b2 ，ca 63 12 523 53则椭圆方程为 1.x25 3y25(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)将 yk(x1)代入 1，x25 3y25得(1 3k2)x26k 2x3k 250，48k 2200 ，x1x 2 ，6k23k2 1AB 中点的横坐标为 ，12 1，解得 k .3k23k2 1 33证明：由 知 x1x 2 ，x1x2 ，6k23k2 1 3k2 53k2 1 MA MB (x1 73，y1)(x2 73，y2) y 1y2(x1 73)(x2 73) k 2(x11)(x 21)(x1 73)(x2 73)(1 k2)x1x2 (x1x 2) k 2(73 k2) 499(1 k2) k 23k2 53k2 1 (73 k2)( 6k23k2 1) 499 k 2 3k4 16k2 53k2 1 499 (定 值) 49
