1、第四节 二次函数,知识点一 二次函数的概念及解析式 1一般地，形如yax2bxc(a，b，c是常数，a0)的 函数，叫做二次函数,2二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：yax2bxc(a，b，c为常数，a0) (2)顶点式：ya(xh)2k(a，h，k为常数，a0)，顶点 坐标是(h，k) (3)交点式：ya(xx1)(xx2)，其中x1，x2是二次函数与 x轴的交点的横坐标，a0.,知识点二 二次函数的图象与性质 1二次函数的图象与性质,减小,减小,增大,增大,2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系,知识点三 抛物线的平移 1将抛物线解析式化成顶点式ya(xh)2k，顶点坐标 为(h，
2、k) 2保持yax2的形状不变，将其顶点平移到(h，k)处，具 体平移方法如下：,二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此， 可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二 次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的 平移求出变化后的解析式,知识点四 二次函数与一元二次方程的关系 1二次函数yax2bxc(a0)，当y0时，就变成了一 元二次方程ax2bxc0(a0) 2ax2bxc0(a0)的解是抛物线yax2bxc(a0)的图象与x轴交点的横坐标,3(1)b24ac0方程有两个不相等的实数根，抛物线与x 轴有_个交点； (2)b24ac0方程有两个相等的实数根，抛
3、物线与x轴有 且只有_个交点； (3)b24ac0方程没有实数根，抛物线与x轴_交点,两,一,没有,知识点五 二次函数的综合应用 1用二次函数表示实际应用题中变量之间的关系 2用二次函数解决实际问题中的最优化问题，其实质就是 求函数的最值问题,二次函数的最值不一定是实际问题的最优解或者方案，一 定要结合实际问题中自变量的取值范围确定最优解或方案,3解答二次函数应用题，要先读懂题意，建立二次函数模 型，求出二次函数解析式，然后利用二次函数图象及性质 解决其他问题.,考点一 二次函数的图象与性质 (5年4考) 命题角度 二次函数的图象与性质 例1 (2016临沂)二次函数yax2bxc，自变量x与
4、函数y的对应值如表：,下列说法正确的是( ) A抛物线的开口向下 B当x3时，y随x的增大而增大 C二次函数的最小值是2 D抛物线的对称轴是x,【分析】 根据表格，利用二次函数的对称性，画出二次函 数的草图，结合图象对各个选项进行判断 【自主解答】 在平面直角坐标系中，描出点(4，0), (3，2),(2，2),(1，0)，画出抛物线的大致 图象如下：,由图象可知，抛物线开口向上，A错误；当3x 时， y随x的增大而减小，B错误；二次函数的最小值小于2，C 错误；根据表格，结合二次函数的对称性，可知二次函数 的对称轴为 D正确故选D.,当题目中给出二次函数的对应值时，可以利用二次函数的 对称性
5、画出二次函数的大致图象，然后根据二次函数的图 象进行具体问题的分析，这是解答此类问题的一个简便方 法,1(2017陕西)已知抛物线yx22mx4(m0)的顶点M 关于坐标原点O的对称点为M，若点M在这条抛物线上， 则点M的坐标为( ) A(1，5) B(3，13) C(2，8) D(4，20),C,2(2017兰州)如图，若抛物线yax2bxc上的P(4， 0)，Q两点关于它的对称轴x1对称，则Q点的坐标为 _,(2，0),命题角度 二次函数的图象与系数的关系 例2 (2016日照)如图是二次函数yax2bxc的图象， 其对称轴为x1.下列结论：abc0；2ab0；4a 2bc0；若( ，y1
6、 ）， ( ，y2)是抛物线上两 点，则y1y2.其中结论正确的是( ) A B C D,【分析】 利用给出的抛物线分别对各个选项进行判断，然 后得出结论即可 【自主解答】 抛物线开口向下，a0. 抛物线的对称轴为直线x1，b2a0. 抛物线与y轴的交点在x轴上方，c0， abc0，错误 b2a，2ab0，正确,抛物线与x轴的一个交点为(1，0)， 对称轴为直线x1， 抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)， 当x2时，y0， 即4a2bc0，错误； 点( ，y1)到对称轴的距离比点( ，y2)到对称轴的 距离远，y1y2，正确故选C.,讲： 利用二次函数的图象判断系数的关系利用图象判定字母系数
7、的关系时，要先通过图象的开 口方向确定出a的符号，根据对称轴的位置，确定b的符号 或a与b的关系式，根据图象与y轴的交点确定出c的符号； 然后通过a，b，c的符号确定有关a，b，c乘积式的符号， 根据图象与x轴的交点个数确定b24ac的符号；最后结合图,象上的特殊值点确定有关a，b，c的式子的符号此类问题 是重点，也是容易犯错的问题，解答时务必仔细、认真 练：链接变式训练3，4,3(2017日照)已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x2，与x轴的一个交点坐标为(4，0)，其部分图象如图所示，下列结论： 抛物线过原点； 4abc0； abc0； 抛物线的顶点坐标为(2，b)；,当x2时
8、，y随x增大而增大 其中结论正确的是( ) A B C D,C,4(2014日照)如图是抛物线yax2bxc(a0)图象的 一部分已知抛物线的对称轴为x2，与x轴的一个交点是 (1，0)有下列结论： abc0；4a2bc0；4ab0； 抛物线与x轴的另一个交点是(5，0)； 点(3，y1) (6，y2)都在抛物线上，则有y1y2.,其中正确的是( )A B C D,C,考点二 确定二次函数的解析式 (5年5考) 例3 一个二次函数的图象的顶点坐标是(2，4)，且过另一 点(0，4)，则这个二次函数的解析式为( ) Ay2(x2)24 By2(x2)24 Cy2(x2)24 Dy2(x2)24,
9、【分析】 已知抛物线的顶点和抛物线上任一点坐标，可设 顶点式，利用待定系数法求解 【自主解答】 二次函数的图象的顶点坐标是(2，4)， 设这个二次函数的解析式为ya(x2)24. 把(0，4)代入得a2，这个二次函数的解析式为y 2(x2)24.故选B.,设二次函数解析式的形式一般遵循以下方法：若已知二次 函数上三个点的坐标，则选择一般式；若已知二次函数的 顶点坐标，则选择顶点式；若已知二次函数与x轴的交点坐 标，则选择交点式需要注意的是，作为解答题，最后结 果要化为一般式,5若抛物线经过(0，1），(1，0），(1，0)三点，则此 抛物线的解析式为( ) Ayx21 Byx21 Cyx21
10、Dyx21,C,6(2017天津)已知抛物线yx24x3与x轴相交于点 A，B(点A在点B左侧)，顶点为M.平移该抛物线，使点M平移 后的对应点M落在x轴上，点B平移后的对应点B落在y轴 上，则平移后的抛物线解析式为( ) Ayx22x1 Byx22x1 Cyx22x1 Dyx22x1,A,考点三 二次函数与方程、不等式的关系 (5年1考) 例4 (2015日照)如图是抛物线y1ax2bxc(a0)图 象的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1，3)，与x轴的一个 交点是B(4，0)，直线y2mxn(m0)与抛物线交于A，B 两点下列结论： 2ab0；abc0；方程ax2bxc3有两个相等 的实数根
11、；抛物线与x轴的另一个交点是(1，0)；,当1x4时，有y2y1.其中正确的是( ) A B C D,【分析】 根据抛物线对称轴对进行判断；先判断a，b， c的正负，再对进行判断；根据顶点坐标对进行判断； 根据抛物线的对称性对进行判断；根据当1x4时，直 线与抛物线的位置关系对进行判断 【自主解答】 抛物线的顶点坐标A(1，3)，抛物线的 对称轴为直线x 1，2ab0，正确抛物线开口向下，a0，b2a0；抛物线与y轴的交,点在x轴上方，c0，abc0，错误抛物线的顶 点坐标为A(1，3)，x1时，二次函数有最大值，方程 ax2bxc3有两个相等的实数根，正确抛物线与x 轴的一个交点为(4，0)
12、，而抛物线的对称轴为直线x1， 抛物线与x轴的另一个交点为(2，0)，错误；抛物线 与直线交于A(1，3)，B(4，0)，由图象可知，当1x4 时，y2y1，正确故选C.,一元二次方程ax2bxcd二次函数yax2bxc在 函数值yd时对应的x的值；一元二次方程ax2bxcd 二次函数yax2bxc在直线yd上方对应的x的取值范 围；一元二次方程ax2bxcd二次函数yax2bxc 在直线yd下方对应的x的取值范围,7(2016宿迁)若二次函数yax22axc的图象经过点 (1，0)，则方程ax22axc0的解为( ) Ax13，x21 Bx11，x23 Cx11，x23 Dx13，x21,C
13、,8如图，直线yxm和抛物线yx2bxc都经过点 A(1，0)和B(3，2)，不等式x2bxcxm 的解集为 _.,x1或x3,考点四 二次函数的实际应用 (5年3考) 例5 (2013日照)一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100 辆公司在经营中发现每辆车的月租金x(元)与每月租出的 车辆数(y)有如下关系：,(1)观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函 数的有关知识求出每月租出的车辆数y(辆)与每辆车的月租 金x(元)之间的关系式； (2)已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每 辆每月需要维护费50元用含x(x3 000)的代数式填表：,(3)若你是该公司的经理，你会
14、将每辆车的月租金定为多少 元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收 益是多少元,【分析】 (1)判断出y与x的函数关系为一次函数关系，再根 据待定系数法求出函数解析式；(2)用代数式进行表示即可； (3)租出的车的利润减去未租出车的维护费，即为公司的月收 益 【自主解答】 (1)由表格数据可知y与x是一次函数关系， 设其解析式为ykxb.,由题意得 y与x之间的函数关系式是 (2) (3)设租赁公司获得的月收益为W元，依题意得 W( x160)(x150)(x3 000) ( x2163x24 000)(x3 000), x2162x21 000 (x4 050)2307 050，
15、故当每辆车的月租金为4 050元时，公司获得最大月收益 307 050元,9(2016日照)如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的 距离为2 m时，水面宽度为4 m；那么当水位下降1 m后，水 面的宽度为_m.,10(2014日照)如图，为了绿化小区，某物业公司要在 形如五边形ABCDE的草坪上建一个矩形花坛PKDH.已知： PHAE，PKBC，DE100 m，EA60 m，BC70 m，CD 80 m以BC所在直线为x轴，AE所在直线为y轴，建立平面 直角坐标系，坐标原点为O. (1)求直线AB的解析式；,(2)若设点P的横坐标为x，矩形PKDH的面积为S. 用x表示S； 当x为何值时，S取最
16、大值，并求出这个最大值,解：(1)如图所示， OECD80 m，OCED100 m， AE60 m，BC70m， OA20 m，OB30 m， 即A，B的坐标分别为(0，20),(30，0) 设直线AB的解析式为ykxb(k0)，,则直线AB的解析式为y x20. (2)设点P的坐标为P(x，y) 点P在直线AB上， 点P的坐标可以表示为(x，x20)， PK100x， PH80( x20)60 x， S(100x)(60 x),由S(100x)(60 x) (x5)2 ， 所以当x5时，矩形面积S的最大值为 m2.,考点五 二次函数的综合应用 (5年5考) 例6 (2017日照)如图，在平面
17、直角坐标系中，C经过坐 标原点O，且与x轴，y轴分别相交于M(4，0)，N(0，3)两点 已知抛物线开口向上，与C交于N，H，P三点，P为抛物线 的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D. (1)求线段CD的长及顶点P的坐标； (2)求抛物线的函数解析式；,(3)设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q， 使得S四边形OPMN8SQAB，且QABOBN成立，若存在，请 求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由,【分析】 (1)利用圆周角定理及勾股定理可求得P点坐标； (2)可设抛物线的解析式为顶点式，再把N点坐标代入可求 得抛物线解析式；(3)由抛物线解析式可求得A，B的坐标， 由
18、S四边形OPMN8SQAB可求得Q点的坐标，即可证明 QABOBN.,【自主解答】 (1)O，M，N三点都在C上，且MON90， MN为C的直径，点C为MN的中点 M(4，0)，N(0，3)，C(2，1.5)， MN 5，CP2.5. CD1.5，顶点P的坐标为(2，1),(2)抛物线的顶点坐标为P(2，1)， 可设抛物线的解析式为ya(x2)21. 又抛物线过点N(0，3)， 34a1，解得a1， 故抛物线的解析式为y(x2)21x24x3.,(3)由题意得S四边形OPMNSOMNSOPM 43 41 8. S四边形OPMN8SQAB， SQAB1. 当y0时，x24x30，解得x1或x3，
19、 A(1，0)，B(3，0) 设Q(x，y)，则SQAB |AB|y|y|1.,OBN为等腰直角三角形，且QABOBN， QAB也应为等腰直角三角形 当y1时，结合图形易知，QAB一定不是直角三角形，不 合题意； 当y1时，点Q的坐标为(2，1)，此时QAQB ， AB2，QAB为等腰直角三角形，符合题意 综上可知，存在点Q(2，1)，使得S四边形OPMN8SQAB，且 QABOBN成立,11(2016日照)如图1，抛物线y (x2)2n与x 轴交于点A(m2，0)和B(2m3，0)(点A在点B的左侧)，与 y轴交于点C，连接BC. (1)求m，n的值； (2)如图2，点N为抛物线上的一动点，
20、且位于直线BC上方， 连接CN，BN，求CBN面积的最大值；,(3)如图3，点M，P分别为线段BC和线段OB上的动点，连接 PM，PC，是否存在这样的点P，使PCM为等腰三角形， PMB为直角三角形同时成立？若存在，求出点P的坐标； 若不存在，请说明理由,解：(1)抛物线的对称轴是x2， m22m34， 解得m1. A(1，0)，B(5，0) 把A(1，0)代入抛物线解析式，得 (9n)0， 解得n9. m1，n9.,(2)抛物线解析式为y (x2)29， 当x0时，y (49)3， OC3. 设直线BC的解析式为ykxb， 代入点B(5，0)，C(0，3)，得 解得 直线BC的解析式为y x3.,如图，过点N作x轴的垂线交BC于点M, 设点M(x, y1)，N(x, y2)(0x5)，,0000,(3)假设点P存在，设点P(x0，0)(0x05)， 当点P为PMB的直角顶点时，则CMMP. MPOC，,当点M为PMB的直角顶点时，则 CMMP. PMBCOB，,综上所述，满足条件的点P的坐标为( ，0)或 ( ，0),
