1、第二节 一次函数,知识点一 一次函数和正比例函数的概念 1一次函数：一般地，形如ykxb(k，b是常数，k0) 的函数，叫做一次函数 2当b_时，ykx(k0)为正比例函数，正比例函数 是一种特殊的一次函数,0,正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例 函数,知识点二 一次函数的图象与性质,增大,减小,增大,减小,一、 二、三,一、 三、四,一、 二、四,二、 三、四,知识点三 确定一次函数的解析式 1待定系数法 先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数， 从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法因在一次函 数ykxb(k，b为常数，k0)中有两个未知数k和b，所以 要确定
2、其解析式，一般需要两个条件常见的是已知两点坐 标P1(a1，b1)，P2(a2，b2)，代入一次函数解析式，得求出k，b的值即可,2一次函数图象的平移 一次函数ykxb(k0)的图象平移分为沿x轴平移和沿y 轴平移： (1)若沿x轴向右平移a个单位长度，则解析式为yk(xa) b；若沿x轴向左平移a个单位长度，则解析式为 _,yk(xa)b,(2)若沿y轴向上平移a个单位长度，则解析式为ykxb a；若沿y轴向下平移a个单位长度，则解析式为 _,ykxba,函数图象平移遵循的法则简记为“上加下减、左加右减”， 但要区分“上加”和“左加”、“下减”和“右减”的区 别注意：当函数图象沿x轴平移时，
3、写函数变化后的解析 式时，一定要先提出x的系数，再对x进行变化,知识点四 一次函数与方程(组)、不等式的关系 1一次函数与方程(组)的关系 (1)一次函数ykxb的解析式是一个二元一次方程 (2)一次函数ykxb的图象与x轴的交点的横坐标是方程 _的根 (3)一次函数yk1xb1与一次函数yk2xb2的图象的交点 坐标就是方程组_的解,kxb0,2一次函数与不等式的关系 (1)直线ykxb在x轴上方的点的横坐标就是不等式 _的解集 (2)直线ykxb在x轴下方的点的横坐标就是不等式 _的解集 (3)直线l1：y1k1xb1，l2：y2k2xb2的图象在平面直 角坐标系的位置与函数值之间的关系：
4、当直线l1在直线l2上 方时，y1y2；当直线l1在直线l2下方时，y1y2.,kxb0,kxb0,知识点五 一次函数的应用 利用一次函数解决实际问题，首先建立函数模型，然后求 出函数解析式，最后根据函数解析式、函数性质作答,考点一 一次函数的图象与性质 (5年0考) 命题角度 一次函数的图象 例1 若kb0，则函数ykxb的图象可能是( ),【分析】 由kb0，可知需要分为k0，b0或k0，k0，b0或k0，b0. 当k0，b0时，直线经过一、二、三象限； 当k0，b0时，直线经过二、三、四象限 分析四个选项，可知A正确,一次函数的k值决定直线的方向，如果k0，直线就从左往 右上升；如果k0
5、，则与y轴正半轴相交；如果b0， 则与y轴负半轴相交；如果b0，则图象过原点，是正比例 函数,1直线yx1经过的象限是( ) A第一、二、三象限 B第一、二、四象限 C第二、三、四象限 D第一、三、四象限 2若式子 (k1)0有意义，则一次函数y(1k)x k1的图象可能是( ),B,C,命题角度 一次函数的性质 例2 若点(x1，y1 (x2，y2 (x3，y3)都是一次函数yx 1图象上的点，并且y1y2y3，则下列各式中正确的是 ( ) Ax1x2x3 Bx1x3x2 Cx2x1x3 Dx3x2x1,【分析】 首先确定一次函数中对应的k值，再根据一次函 数的性质进行判断 【自主解答】 一
6、次函数yx1中，k10， y随x的增大而减小 又y1y2y3，x1x2x3. 故选D.,在一次函数ykxb中，函数的增减性与k的值有关，与b 的值无关当k0时，y随x的增大而增大；当k0时，y随x 的增大而减小,3(2017呼和浩特)一次函数ykxb满足kb0，且y随 x的增大而减小，则此函数的图象不经过( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限,A,4(2017泰安)已知一次函数ykxm2x的图象与y轴 的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下 列结论正确的是( ) Ak2，m0 Bk2，m0 Ck2，m0 Dk0，m0,A,考点二 确定一次函数的解析式 (5年5考)
7、 例3 在直角坐标系中，一条直线经过A(1，5)，P(2， a)，B(3，3)三点 (1)求a的值； (2)设这条直线与y轴相交于点D，求OPD的面积,【分析】 (1)根据A，B的坐标，利用待定系数法求出解析 式，根据点P在直线上可求出a的值；(2)求出点D的坐标， 再利用三角形面积公式解答即可 【自主解答】 (1)设直线的解析式为ykxb， 把A(1，5)，B(3，3)代入，可得 解得,直线的解析式为y2x3. 点P(2，a)在直线y2x3上， 2(2)3a，即a7. (2)由(1)得，点P的坐标为(2，7)， 令x0，则y3，直线与y轴的交点D的坐标为(0，3)， OPD的面积S 323.
8、,用待定系数法求一次函数的解析式有两种情况：(1)已知两 点坐标(或两组对应值)可列方程组求解析式；(2)已知b或k 的值，只需一点坐标(或一组对应值)即可特别地，一次 函数发生平移时，平移前后k的值不发生变化,5.如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y2x的图 象相交于点B，则这个一次函数的解析式是_,yx3,6如图，在平面直角坐标系中，边长为2 的正方形ABCD在第一象限内，ADy轴，点 A的坐标为(5，3)，已知直线l：y x2. (1)将直线l向上平移m个单位，使平移后的直线恰好经过点 A，求m的值； (2)在(1)的条件下，平移后的直线与正方形的边长BC交于 点E，求ABE的面,
9、解：(1)设平移后的直线解析式为y xb. y xb过点A(5，3)，3 5b，解得b ， 平移后的直线解析式为y x ， m (2) .,(2)正方形ABCD中，ADy轴，点A的坐标为(5，3)， 点E的横坐标为523. 把x3代入y x ，得y 3 2， 点E的坐标为(3，2)，BE1， SABE 211.,考点三 一次函数与方程(组)、不等式的关系 (5年1考) 例4 (2017开发区一模)如图，函数ykxb(k0)的图 象经过点B(2，0)，与函数y2x的图象交于点A，则不等式 00 B02,【分析】 首先利用图象及已知条件确定点A的横坐标，然 后结合点B的坐标，直接写出x的取值范围即
10、可 【自主解答】 函数ykxb与函数y2x的图象交于点 A，且纵坐标为2，横坐标为1.又点B(2，0)，不等式 0kxb2x的解集为1x2.故选C.,讲： 两直线与不等式的关系 已知两条直线l1：y1k1xb1与l2：y2k2xb2在坐标系中 的位置，当直线l1在直线l2上方时，y1y2；当直线l1在直 线l2下方时，y1y2.这是解决此类问题的一个解题技巧， 也是最容易犯错的地方 练：链接变式训练8,7(2014日照)当k 时，直线kxyk与直线kyx 2k的交点在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限,A,8如图，直线ykxb与y x交于A(3，1)，与x轴交于 B(6，0
11、)，则不等式组0kxb x的解集为_,3x6,考点四 一次函数的应用 (5年4考) 例5 (2016日照)随着人们“节能环保，绿色出行”意识的 增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带 来了商机某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万 元，今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元若该 型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年 减少10%，求：,(1)A型自行车去年每辆售价多少元？ (2)该车行今年计划新进一批A型自行车和新款B型自行车共60辆，且B型自行车的进货数量不超过A型自行车数量的两 倍已知A型自行车和B型自行车的进货价格分别为 1 500 元和 1 80
12、0 元，计划B型自行车销售价格为2 400元，应如 何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？,【分析】 (1)设去年A型自行车每辆售价x元，根据题中等量 关系列分式方程求解即可；(2)设今年新进A型自行车a辆，由 条件表示出y与a之间的关系式，利用一次函数的性质解答 【自主解答】 (1)设去年A型自行车每辆售价x元，则今年每 辆售价(x200)元， 由题意得 解得x2 000. 经检验，x2 000是原方程的根，且符合题意 答：去年A型自行车每辆售价2 000元,(2)设今年新进A型自行车a辆，则B型自行车(60a)辆， 获利y元，由题意得 y(1 8001 500)a(2 4001 800)
13、(60a) 300a36 000. B型自行车的进货数量不超过A型自行车数量的两倍， 60a2a，a20.,y300a36 000，y随a的增大而减小， a20时，y取得最大值 B型自行车的数量为602040(辆) 当新进A型自行车20辆，B型自行车40辆时，这批自行车 销售获利最多,运用一次函数的有关知识解决实际问题时，关键是结合方 程、不等式的有关知识求解在确定一次函数的解析式时， 要注意自变量的取值范围应受实际条件的限制,9(2015日照)如图1所示，某乘客乘高速列车从甲地经 过乙地到丙地，列车匀速行驶，图2为列车离乙地路程 y(km)与行驶时间x(h)的函数关系图象 (1)填空：甲、丙
14、两地距离 km； (2)求高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系 式，并写出x的取值范围,解：(1)1 050 (2)当0x3时，设高速列车离乙地的路程y与行驶时间x 之间的函数关系式为ykxb， 把(0，900），(3，0)代入得 y300x900， 高速列车的速度为9003300(km/h)， 1503000.5(h)，30.53.5(h),如图，点A的坐标为(3.5，150)当3x3.5时，设高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之 间的函数关系式为yk1xb1， 把(3，0 ），(3.5，150)代入得 解得 y300x900. 综上可知，y,10(2017宁夏)某商店分两次购进
15、 A，B两种商品进行销 售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所 示：,(1)求A，B两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100 元出售为满足市场需求，需购进A，B两种商品共1 000 件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出 获利最大的进货方案，并确定最大利润,解：(1)设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价 为y元， 根据题意得 解得 答：A种商品每件的进价为20元，B种商品每件的进价为80 元,(2)设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品 (1 000m)件， 根据题意得w(3020)(1 000m)(10080)m10m 10 000. A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍， 1 000m4m，解得m200.,在w10m10 000中，k100， w的值随m的增大而增大， 当m200时，w取最大值，最大值为1020010 000 12 000. 答：当购进A种商品800件，B种商品200件时，销售利润最 大，最大利润为12 000元,
