1、感知高考刺金 256 题已知非零向量 和 互相垂直，则 和 的夹角余弦值的最小值是 abab2解： 222cos 4ababA令 ，2,xy则2222412cos 193554xyxy感知高考刺金 257 题已知正数 满足 ，则 的取值范围是 ,ab190abab解：设 ，则tt又因为 19916abab即 ，解得06t28t当且仅当 时， ；当且仅当 时，13,abab2,6ab8ab感知高考刺金 258 题已知实数 ，若 ，则 的最小值是 ,0xy2xy3xy解法一：待定系数法 1,211212yxyxyxxy待定系数法，令 ，解得:33故 ，当且仅当 时取得1237xy91,7xy解法二
2、： 32321322132xyxyxyxyxxy令 ，即 时， ，当且仅当 时取得107679,7y解法三：三角换元设 ，原问题转化为 ，求 的最小值,axby22ab23ab令 ， ， ， ，cosrsin3r0,rr故问题又转化为已知 ，求 的最小值2221cosinsinco23于是 216cosinii356r 因为 ，故0,2,7r评注：这里又遇到 的结构，故可三角换元设 ， ，10 月 1 日3abcosarsin3rb每日征解有相同的处理方法。感知高考刺金 259 题已知 中， ， ，点 是线ABC12PACB12PABQ段 上一点，且 ，则 的取值范围是 Q解：根据 ， ，可知
3、 在12CPAB12CPAB,BC以 为直径，以 中点 为圆心的圆上。AB又 ，且 ，根据投影的几何意义为点 在 的中垂线上，又点 在Q QPQ上，故点 就是线段 的中垂线与线段 的交点PAB又 ，故问题转化为当点 在以 为直径的圆上运动时，求 的取值范围CPC显然当 与 重合时， ， 与 接近重合时，QBmax1Qmin12PQ故 1,2感知高考刺金 260 题在正方体 中，若点 （异于点 ）是棱上一点，则满足 和 所成ABCDPBBPAC的角为 的点 有 个 45P解：如图，将正方体的各个顶点（除 B 点外）分类，规定当顶点与 的连线与直线 所成的角大于等于 时为一类，小于 时为一类。45显然 与 所成角的正切值为 ，故大于, 245与 所成角的为 ，大于ABDC90与 所成角的为 ，大于6与 所成角的正切值为 ，小于 245当点 从 运动到 时，角度从大于 变化到小于 ，一定经过一个点满足 ；依P 4545此类推，当点 在 上运动时，都经历过角度从小于 到大于 的变化，,BCD45故满足条件的点共有 3 个。点评：本题虽然是立体几何问题，但类似于函数的零点存在性定理（一上一下中间一点） ，角度的变化不会发生突变，故在变化的过程中一定存在一个临界点。这种思想在处理选择题时经常用到。
