1、感知高考刺金 331设 ， 是夹角为 的两个单位向量，若 ，1OMe2N60 ,OPxMyNxR是以 为直角顶点的直角三角形，则 。P xy解法一： ， ，12xey12MPxe12Ne因为 ，0NA2121211211022xeyexeyxyexyyxyA即解法二：反向延长 到 ，使ONQ,OPxMyxyxR因为 ，故由中线等于斜边的一半可得1是直角三角形，NQ即 ，因为 ，所以 三点共线，故9090NP,MQ1xy感知高考刺金 332已知 ，则 的最大值是_。24xyxy解法一：令 ， ，则 ，目标函数为mn212m画出 点所在的可行域如图为抛物线一部分上的点，,n如图，目标函数 与 相切
2、时z21max502z当且仅当 ，即 时取得31,n17,2xy解法二：令 ， ，则 ，yn24m所以51x解法三：三角换元， ，则 ，2cos,ixy2sincos4incosxy令 ，sinco2,t21sincot故215xyt解法四：令 ， ，则uvyv2u则 ，2152xy vu点评：本方法用的是不等式中的“极化恒等式”思想，即 。224xy感知高考刺金 333已知函数 是定义在正实数集上的单调函数，且满足对任意 x0，都有)(xf，则 = ln1fe()f解： 必为常数函数，否则存在两个不同数，其对应值均为 ，与单调函数矛()x 1e盾所以可设 则 ()lnfxc()lnfxc将
3、c 代入，得 ，即 1el1e 是单调增函数，当 时， 成立，lnyxclnce 则 ()fe(1)fe感知高考刺金 334设直角 的三个顶点都在单位圆 上，点 ，则 的最ABC21xy1,2MABMC大值是 解：设 是以 为直角顶点的直角三角形，则 ABO所以 23MABCOMCO所以 231（这里可以理解为三角形两边之和大于第三边，也可以理解为圆外一点 （ ）E3OM到圆上一点 距离，同时连最小值 也可以求出）C321当且仅当 三点共线且点 在第三象限时，,OMCmax21MABC感知高考刺金 335函数 ， ，当 时， ，且2,fxabcxR,0gaxbf的最大值为 2，则 g解：因为 的最大值为 2，所以 2由 01fc由 131abc所以 c故题目变为 对 恒成立。2 202xax1x此时注意到 ， 是一个零点hx0由于对 ， ，故 是个偶重零点，故 也是 的根，10 20a所以 ，ab点评：这又是一个二次函数的好题，解法中用到的零点奇穿偶回法很值得回味。“零点是个守门员，负责正负分界线，奇次零点穿过去，偶次零点弹回来”
