1、1第 1 课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征学习目标 1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构和有关计算知识点一 空间几何体的定义、分类及相关概念思考 构成空间几何体的基本元素是什么？常见的几何体可以分成哪几类？答案 构成空间几何体的基本元素是：点、线、面常见几何体可以分为多面体和旋转体梳理 类别 多面体 旋转体定义由若干个平面多边形围成的几何体由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体图形相关概念面：围成多面体的各个多边形棱：相邻两个面的公共边顶点：棱
2、与棱的公共点轴：形成旋转体所绕的定直线知识点二 棱柱的结构特征名称 定义 图形及表示 相关概念 分类棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这 如图可记作：棱柱底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱、2些面所围成的多面体叫做棱柱ABCDEFA B C D E F顶点：侧面与底面的公共顶点知识点三 棱锥的结构特征名称 定义 图形及表示 相关概念 分类棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥如图可记作：棱锥 SABCD底面(底)：多边形面侧面：有
3、公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥、知识点四 棱台的结构特征及棱柱、棱锥、棱台之间的关系1棱台的结构特征名称 定义 图形及表示 相关概念 分类棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台如 图 可 记 作 ： 棱 台ABCDA B C D上底面：平行于棱锥底面的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台32.棱柱、棱锥、棱台之间的关系1棱柱的底面互相平行( )2有一个面是多边形，其余各面都
4、是三角形的几何体叫棱锥( )3若一个平行六面体的两个对角面都是矩形，则这个平行六面体一定是直平行六面体( )4棱柱的各个侧面都是平行四边形( )5棱柱的两个底面是全等的多边形( )类型一 棱柱、棱锥、棱台的结构特征命 题 角 度 1 棱 柱 的 结 构 特 征例 1 下列关于棱柱的说法：(1)所有的面都是平行四边形；(2)每一个面都不会是三角形；(3)两底面平行，并且各侧棱也平行其中正确说法的序号是_考点 棱柱的结构特征题点 棱柱的结构特征的应用答案 (3)解析 (1)错，底面可以不是平行四边形；(2)错，底面可以是三角形；(3)正确，由棱柱的定义可知反思与感悟 棱柱结构特征的辨析方法(1)扣
5、定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义看“面” ，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；看“线” ，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除跟踪训练 1 下列说法正确的是( )A有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱4C棱柱的侧棱总与底面垂直D九棱柱有 9 条侧棱，9 个侧面，侧面均为平行四边形考点 棱柱的结构特征题点 棱柱的概念答案 D解析 选项 A，B 都不正确，反例如图所示，C 错误，棱柱的侧棱可能与底面垂直，也可能不垂直根据
6、棱柱的定义知 D 正确命 题 角 度 2 棱 锥 、 棱 台 的 结 构 特 征例 2 (1)下列三种叙述，正确的有( )用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台其中正确的有( )A0 个 B1 个 C2 个 D3 个考点 棱台的结构特征题点 棱台的概念的应用答案 A解析 中的平面不一定平行于底面，故错；可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故错故选 A.(2)下列说法中，正确的是( )棱锥的各个侧面都是三角形；四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；棱锥的侧棱平行
7、A B C D考点 棱锥的结构特征题点 棱锥的结构特征的应用答案 B5解析 由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故正确；棱锥的侧棱交于一点不平行，故错反思与感悟 判断棱锥、棱台的方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确(2)直接法棱锥 棱台定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点跟踪训练 2 下列关于棱锥、棱台的说法：棱台的侧面一定不会是平行四边形；由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥
8、；棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥其中正确说法的序号是_考点 棱锥的结构特征题点 棱锥的结构特征的应用答案 解析 正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥类型二 多面体的识别和判断例 3 如图所示，长方体 ABCD A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面 BCNM 把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由考点 空间几何体题点 空间几何体结构判断解 (1)是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方
9、体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余6各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义(2)截面 BCNM 右上方部分是三棱柱 BB1M CC1N，左下方部分是四棱柱 ABMA1 DCND1.引申探究把本例 3 的几何体换成如图所示的三棱柱 ABC A1B1C1，其中 E， F， G， H 是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面 EFGH，把三棱柱分成两部分，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由解 截面以上的几何体是三棱柱 AEF A1HG，截面以下的几何体是四棱柱 BEFC B1HGC1.反思与感悟 解答识别和判断多面体的题目的关键是正确掌握棱
10、柱的几何特征，在利用几何体 的 概 念 进 行 判 断 时 ， 要 紧 扣 定 义 ， 注 意 几 何 体 间 的 联 系 与 区 别 ， 不 要 认 为 底 面 就 是 上 下 位置 跟踪训练 3 如图所示，关于该几何体的正确说法有_(填序号)这是一个六面体；这是一个四棱台；这是一个四棱柱；此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到起点 空间几何体题点 空间几何体结构判断答案 解析 正确，因为有六个面，属于六面体的范畴；错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；正确，若把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；都正确，如图所示类型三 多面体的平面展开图例 4 在
11、长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB4， BC3， BB15，一只蚂蚁从点 A 出发沿表面爬7行到点 C1，求蚂蚁爬行的最短路线考点 空间几何体的平面展开图题点 多面体的平面展开图解 沿长方体的一条棱剪开，使 A 和 C1在同一平面上，求线段 AC1的长即可，有如图所示的三种剪法：(1)若将 C1D1剪开，使点 A， B， C1， D1在一个平面内，可求得 AC1 4 .42 5 32 80 5(2)若将 AD 剪开，使点 A， D， C1， B1在一个平面内，可求得 AC1 332 5 42 90.10(3)若将 CC1剪开，使点 A， A1， C， C1在一个平面内，可求得 AC1
12、 .4 32 52 74相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为 .74反思与感悟 (1)多面体侧面上两点间的最短距离问题常常要归纳为求平面上两点间的最短距离问题，常见的解法是先把多面体侧面展开成平面图形，再用平面几何的知识来求解(2)解答展开与折叠问题，要结合多面体的定义和结构特征，发挥空间想象能力，必要时可制作平面展开图进行实践跟踪训练 4 如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？考点 空间几何体的平面展开图题点 多面体的平面展开图解 为五棱柱；为五棱锥；为三棱台891下面多面体中，是棱柱的有( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个考点 空间几何体题点 空间几何体结构判断答案 D解析
13、 根据棱柱的定义进行判定知，这 4 个图都满足2观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是( )A是棱柱 B不是棱锥 C不是棱锥 D是棱台考点 空间几何体题点 空间几何体结构判断答案 B解析 结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知是棱柱，是棱锥，是棱台，不是棱锥，故 B 错误3下列说法中正确的是( )A棱柱的面中，至少有两个面互相平行B棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形考点 棱柱的结构特征题点 棱柱的结构特征的应用答案 A10解析 棱柱的两底面互相平行，故 A 正确；棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)，故
14、B 错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故 C 错；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故 D 错4某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)( )考点 空间几何体的平面展开图题点 多面体的平面展开图答案 A解析 两个相同的图案一定不能相邻，故 B，C，D 错误，只有 A 正确5一个棱柱有 10 个顶点，所有的侧棱长的和为 60 cm，则每条侧棱长为_ cm.考点 棱柱的结构特征题点 与棱柱有关的运算答案 12解析 因为棱柱
15、有 10 个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为12(cm)6051棱柱、棱锥定义的关注点(1)棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可：有两个平面(底面)互相平行；其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行(2)棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可：有一个面(底面)是多边形；其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形2根据几何体的结构特点判定几何体的类型，首先要熟练掌握各几何体的概念，把握好各类几何体的性质，其次要有一定的空间想象能力11一、选择题1下面多面体中有 12 条棱的是( )A四棱柱 B四棱锥 C五棱锥 D五棱柱考点 空间几何体题点 空间几何体结构判断答案 A解析
16、n 棱柱共有 3n 条棱， n 棱锥共有 2n 条棱，四棱柱共有 12 条棱；四棱锥共有 8条棱；五棱锥共有 10 条棱；五棱柱共有 15 条棱故选 A.2有两个面平行的多面体不可能是( )A棱柱 B棱锥C棱台 D以上都错考点 空间几何体题点 空间几何体结构判断答案 B解析 由棱锥的结构特征可得3下列关于棱柱的说法中，错误的是( )A三棱柱的底面为三角形B一个棱柱至少有五个面C若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等D五棱柱有 5 条侧棱、5 个侧面，侧面为平行四边形考点 棱柱的结构特征题点 棱柱的结构特征的应用答案 C解析 显然 A 正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故 B 正确
17、；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，故C 错误；D 正确，故选 C.4下面图形中是正方体展开图的是( )12考点 空间几何体的平面展开图题点 多面体的平面展开图答案 A解析 由正方体表面展开图性质知 A 是正方体的展开图；B 折叠后第一行两个面无法折起来，而且下边没有面，故不能折成正方体；C 缺少一个正方形；D 折叠后有一个面重合，另外还少一个面，故不能折成正方体故选 A.5如图所示，在三棱台 A B C ABC 中，截去三棱锥 A ABC，则剩余部分是( )A三棱锥 B四棱锥C三棱柱 D三棱台考点 棱锥的结构特征题点 棱锥的结构特征的应用答
18、案 B解析 由题图知剩余的部分是四棱锥 A BCC B.6若棱台上、下底面的对应边之比为 12，则上、下底面的面积之比是( )A12 B14C21 D41考点 棱锥的结构特征题点 棱锥的结构特征的应用答案 B解析 由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积比为对应边之比的平方，故选 B.7如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )13A棱柱 B棱台 C棱柱与棱锥的组合体 D不能确定考点 棱柱的结构特征题点 棱柱的结构特征的应用答案 A解析 根据图可判断为底面是梯形或三角形的棱柱8如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完
19、全一样的是( )A(1)(2) B(2)(3) C(3)(4) D(1)(4)考点 空间几何体的平面展开图题点 多面体的平面展开图答案 B解析 (1)图还原后，对面，对面，对面；(2)图还原后，对面，对面，对面；(3)图还原后，对面，对面，对面；(4)图还原后，对面，对面，对面；综上，可得还原成正方体后，其中两个完全一样的是(2)(3)9在五棱柱中，不同在同一个侧面且不同在同一个底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有( )A20 B15 C12 D10考点 棱柱的结构特征题点 与棱柱有关的运算答案 D解析 如图，在五棱柱 ABCDE A1B1C1D1E1中，从顶点 A
20、 出发的对角线有两条： AC1， AD1，同理从 B， C， D， E 点出发的对角线均有两条，共 2510(条)1410以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成的三棱锥的个数是( )A1 B2 C3 D0考点 棱锥的结构特征题点 与棱锥有关的运算答案 C解析 如图，分割为 A1 ABC， B A1CC1， C1 A1B1B,3 个棱锥二、填空题11如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是_(填序号) A1B12， AB3， B1C13， BC4； A1B11， AB2， B1C11.5， BC3， A1C12， AC3； A1B11， AB2， B1C11.5， BC3， A1C
21、12， AC4； A1B1 AB， B1C1 BC， C1A1 CA.考点 棱台的结构特征题点 棱台的概念的应用答案 解析 因为三棱台的上下底面相似，所以该几何体如果是三棱台，则 A1B1C1 ABC，所以 .故选.A1B1AB B1C1BC A1C1AC12一个长方体共顶点的三个面的面积分别是 ， ， ，则这个长方体对角线的长是2 3 6_考点 棱柱的结构特征题点 与棱柱有关的运算答案 6解析 设长方体长、宽、高为 x， y， z，则 yz ， xz ， yx ，2 3 6三式相乘得 x2y2z26，即 xyz ，615解得 x ， y ， z1，3 2所以 .x2 y2 z2 3 2 1
22、6三、解答题13试从正方体 ABCD A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个点，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；(3)三棱柱考点 空间几何体题点 空间几何体结构应用解 (1)如图所示，三棱锥 A1 AB1D1(答案不唯一)(2)如图所示，三棱锥 B1 ACD1(答案不唯一)(3)如图所示，三棱柱 A1B1D1 ABD(答案不唯一)四、探究与拓展14.如图，已知正三棱锥 P ABC 的侧棱长为 ，底面边长为 ， Q 是侧棱 PA 的中点，一条2 2折线从 A 点出发，绕侧面一周到 Q 点，则这条折线长度的
23、最小值为_16考点 空间几何体的平面展开图题点 多面体的平面展开图答案 322解析 沿着棱 PA 把三棱锥展开成平面图形，所求的折线长度的最小值就是线段 AQ 的长度，因为点 Q 是 PA的中点，所以在展开图中，AQ ，故答案为 .322 32215给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明考点 棱锥的结构特征题点 棱锥的结构特征的应用解 如图(1)所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥如图(2)所示，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的 ，有一组对角为直角，余下部分按虚线三角形的边折成，可成为一个缺上底的底面14为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底
