1、1第 1 章 空间几何体章末检测试卷(一)(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1棱锥的侧面和底面可以都是( )A三角形 B四边形C五边形 D六边形考点 棱锥的结构特征题点 棱锥的概念答案 A解析 三棱锥的侧面和底面均为三角形2 如 图 ， Rt O A B 是 一 平 面 图 的 直 观 图 ， 斜 边 O B 2， 则 这 个 平 面 图 形 的 面 积 是 ( )A. B122C. D22 2考点 平面图形的直观图题点 与直观图有关的计算答案 D2解析 Rt O A B是一平面图形的直观图，斜边 O B2，直角三角形的直角
2、边长是 ，2直角三角形的面积是 1，12 2 2原平面图形的面积是 12 2 .故选 D.2 23如图所示， A B C是水平放置的 ABC 的斜二测直观图，其中O C O A2 O B，则以下说法正确的是( )A ABC 是钝角三角形B ABC 是等腰三角形，但不是直角三角形C ABC 是等腰直角三角形D ABC 是等边三角形考点 平面图形的直观图题点 平面图形的直观图答案 C4 过 球 的 一 条 半 径 的 中 点 ， 作 垂 直 于 该 半 径 的 平 面 ， 则 所 得 截 面 的 面 积 与 球 的 表 面 积 的 比 为( )A. B. C. D.316 916 38 932考点
3、 柱体、锥体、台体的表面积与体积题点 与球有关的体积、表面积问题答案 A解析 设球的半径为 R，所得的截面为圆 M，圆 M 的半径为 r.画图可知(图略)， R2 R2 r2， R2 r2.14 34 S 球 4 R2，截面圆 M 的面积为 r2 R2，34则所得截面的面积与球的表面积的比为 .故选 A.34 R24 R2 3165如图所示的正方体中， M， N 分别是 AA1， CC1的中点，作四边形 D1MBN，则四边形 D1MBN在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是( )3考点 平行投影题点 判断平行投影的结果及应用答案 D解析 四边形 D1MBN 在上下底面的正投影为选项 A
4、；在前后面上的正投影为选项 B；在左右面上的正投影为选项 C.故选 D.6如图，圆锥形容器的高为 h，圆锥内水面的高为 h1，且 h1 h， ，若将圆锥形容器倒置，13水面高为 h2，则 h2等于( )A. h B. h C. h D. h23 1927 363 3193考点 柱体、锥体、台体的表面积与体积题点 其他求体积、表面积问题答案 D解析 设圆锥形容器的底面积为 S，则未倒置前液面的面积为 S，49水的体积 V Sh S(h h1) Sh，13 13 49 1981设倒置后液面面积为 S，则 2，SS (h2h) S .Sh2h2水的体积 V S h2 ，13 Sh323h2 Sh ，
5、1981 Sh323h2解得 h2 ，故选 D.319h37若在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体，则截去48 个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是( )A. B. 23 16C. D.56 13考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台、球切割的几何体的表面积与体积答案 C解析 易知 V18 .13 12 12 12 12 568某几何体的正视图和侧视图均为图甲所示，则在图乙的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是( )A B C D考点 简单组合体的三视图题点 其他柱、锥、台、球组合的三视图答案 A解析 若图是俯视图，则正视图和侧视图中矩形的竖边延长线有一
6、条和圆相切，故图不合要求；若图是俯视图，则正视图和侧视图不相同，故图不合要求，都是能符合要求的几何体，故选 A.9一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )5A3 B4 C24 D34考点 柱体、锥体、台体的表面积题点 柱体的表面积答案 D解析 由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为 1，高为 2，则表面积为S2 1 2 2122212 122434.10如图所示是某几何体的三视图，则这个几何体的体积等于( )A4 B6 C8 D12考点 柱体、锥体、台体的体积题点 锥体的体积答案 A解析 由三视图得该几何体为四棱锥 S ABCD，如图所示，其中 SA平面 ABCD， SA2，
7、AB2， AD2， CD4，且 ABCD 为直角梯形， DAB90. V SA (AB CD)AD 2 (24)24，故选 A.13 12 13 12611若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为 1， ， ，则此三棱锥的外接球的表面2 3积为( )A3 B6C18 D24考点 球的表面积题点 与外接、内切有关球的表面积计算问题答案 B解析 将三棱锥补成边长分别为 1， ， 的长方体，则长方体的体对角线是外接球的直径，2 3所以 2R ，解得 R ，故 S4 R26.66212 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？
8、”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的 米 各 为 多 少 ？ ”已 知 1 斛 米 的 体 积 约 为 1.62 立 方 尺 ， 圆 周 率 约 为 3， 估 算 出 堆 放 的 米 约 有( )A14 斛 B22 斛 C36 斛 D66 斛考点 柱体、锥体、台体的体积题点 锥体的体积答案 B解析 米堆的体积即为四分之一的圆锥的体积，设圆锥底面半径为 r，则 2 r8，14得 r ，16所以米堆的体积为 r25 (立方尺)，13 14 32091.6222(斛)3209二、填空题(本大题共 4 小
9、题，每小题 5 分，共 20 分)13一块正方形薄铁皮的边长为 4，以它的一个顶点为圆心，剪下一个最大的扇形，用这块7扇形铁皮围成一个圆锥，则这个圆锥的容积为_(铁皮厚度忽略不计)考点 柱体、锥体、台体的体积题点 锥体的体积答案 153解析 如图所示，剪下最大的扇形的半径即圆锥的母线长 l 等于正方形的边长 4，扇形的弧长 (24)2，即为圆锥的底面周长，设圆锥的底面半径为 r，高为 h，则142 r2，所以 r1，所以 h ，所以圆锥的容积为 r2h .l2 r2 1513 15314若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台、球切割的几
10、何体的表面积与体积答案 3解析 该组合体为在一个圆柱内去掉一个半球，其体积 V1 21 1 3 .43 12 315一个体积为 12 的正三棱柱(底面为正三角形，且侧棱垂直于底面)的三视图如图所示，3则侧视图的面积为_8考点 三视图与直观图题点 由部分视图确定其他视图答案 6 3解析 由三视图可知底面正三角形的高为 2 ，则底面边长为 4，所以底面面积为 4 ，因3 3此该三棱柱的高为 12 4 3，故侧视图的面积为 2 36 .3 3 3 316已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是 ，323那么这个三棱柱的体积是_考点 柱体、锥体、台体的体积题点 柱体的体积答
11、案 48 3解析 设球的半径为 r，则 r3 ，43 323得 r2，柱体的高为 2r4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为 4 ，3所以正三棱柱的体积 V (4 )2448 .34 3 3三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)17(10 分)已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图的内外均为正方形，边长分别为2 和 4，几何体的高为 3，求此几何体的表面积和体积考点 柱体、锥体、台体的体积题点 台体的体积解 由已知得，该几何体为一个棱台，其侧面的高h .(4 22 )2 32 109故 S S 上底 S 下底 S 侧面 2 24 24 (24)
12、 2012 ，12 10 10所以该几何体的表面积为 2012 ，10体积 V (422 224)328.1318(12 分)有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为 r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度考点 柱体、锥体、台体的表面积与体积题点 其他求体积、表面积问题解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面根据切线性质知，当球在容器内时，水深为 3r，水面的半径为 r，则容器内水的体积为3V V 圆锥 V 球 ( r)23r r3 r3，而将球取出后，设容器内水的深度为 h，13 3 43 53则水面圆的半径为
13、 h，从而容器内水的体积是 V 2h h3，33 13 (33h) 19由 V V，得 h r.即容器中水的深度为 r.315 31519(12 分)如图所示，在正三棱柱 ABC A1B1C1中， AB3， AA14， M 为 AA1的中点， P 是BC 上的一点，且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1到 M 的最短路线为 .设这条最短路线与 CC1的29交点为 N，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；(2)PC 和 NC 的长考点 多面体表面上绕线最短距离问题题点 棱柱体表面上绕线最短距离问题解 (1)该三棱柱的侧面展开图是宽为 4，长为 9 的矩形，所以对角线的长为 .42 92 97
14、10(2)将该三棱柱的侧面沿棱 BB1展开，如图所示设 PC 的长为 x，则 MP2 MA2( AC x)2.因为 MP ， MA2， AC3，所以 x2(负值舍去)，即 PC 的长为 2.29又因为 NC AM，所以 ，即 ，所以 NC .PCPA NCAM 25 NC2 4520(12 分)如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由考点 柱体、锥体、台体的表面积与体积题点 其他求体积、表面积问题解 由题图可知半球的半径为 4 cm，所以 V 半球 R3 4 3 (cm 3)， V 圆锥12 43 12 43 1283 r
15、2h 4 21264(cm 3)13 13因为 V 半球 V 圆锥 ，所以如果冰淇淋融化了，不会溢出杯子21(12 分)如图，正方体 ABCD A B C D的棱长为 a，连接A C， A D， A B， BD， BC， C D，得到一个三棱锥 A BC D，求：(1)三棱锥 A BC D 的表面积与正方体表面积的比值；(2)三棱锥 A BC D 的体积考点 柱体、锥体、台体的表面积与体积题点 其他求体积、表面积问题解 (1) ABCD A B C D是正方体， A B A C A D BC BD C D a，2三棱锥 A BC D 的表面积为 4 a a2 a2.12 2 32 2 3而正方
16、体的表面积为 6a2，故三棱锥 A BC D 的表面积与正方体表面积的比值为 23a26a211.33(2)三棱锥 A ABD， C BCD， D A D C， B A B C是完全一样的故 V 三棱锥 A BC D V 正方体 4 V 三棱锥 A ABD a34 a2a .13 12 a3322(12 分)如图所示，四边形 ABCD 是直角梯形(单位：cm)，求图中阴影部分绕 AB 所在直线旋转一周所成几何体的表面积和体积考点 柱体、锥体、台体的表面积与体积题点 其他求体积、表面积问题解 由题意知，所成几何体的表面积等于圆台下底面面积圆台的侧面积半球面面积因为 S 半球面 42 28(cm 2)，12S 圆台侧 (25) 35(cm 2)，5 22 42S 圆台下底 5 225(cm 2)，所以表面积为 8352568(cm 2)又因为 V 圆台 (22255 2)452(cm 3)， 3V 半球 23 (cm3)，12 43 163所以该几何体的体积为 V 圆台 V 半球 (cm3) 1403
