1、限时规范训练十三 空间中的平行与垂直限时 40 分钟，实际用时_分值 80 分，实际得分_ 一、选择题(本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)1(2016高考山东卷)已知直线 a， b 分别在两个不同的平面 ， 内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A.因为直线 a 和直线 b 相交，所以直线 a 与直线 b 有一个公共点，而直线 a， b 分别在平面 、 内，所以平面 与 必有公共点，从而平面 与 相交；反之，若平面 与 相交，则直线 a 与直线 b 可能相交、平行、异面故选
2、 A.2(2017高考全国卷)在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E 为棱 CD 的中点，则( )A A1E DC1 B A1E BDC A1E BC1 D A1E AC解析：选 C.根据三垂线逆定理，平面内的线垂直平面的斜线，那也垂直于斜线在平面内的射影，A 项，若 A1E DC1，那么 D1E DC1，很显然不成立；B 项， 若 A1E BD，那么 BD AE，显然不成立；C 项，若 A1E BC1，那么 BC1 B1C，成立，反过来 BC1 B1C 时，也能推出 BC1 A1E，所以 C 成立，D 项，若 A1E AC，则 AE AC，显然不成立，故选 C.3设 ， 是两个不同的平
3、面， l， m 是两条不同的直线，且 l ， m ( )A若 l ，则 B若 ，则 l mC若 l ，则 D若 ，则 l m解析：选 A.选项 A 中，由平面与平面垂直的判定定理可知 A 正确；选项 B 中，当 时，l， m 可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项 C 中， l 时， ， 可以相交；选项 D 中， 时， l， m 也可以异面4已知 ， 为两个平面， l 为直线，若 ， l，则( )A垂直于平面 的平面一定平行于平面 B垂直于直线 l 的直线一定垂直于平面 C垂直于平面 的平面一定平行于直线 lD垂直于直线 l 的平面一定与平面 ， 都垂直解析：选 D.由 ， l，知：垂直于平面
4、 的平面与平面 平行或相交，故 A 不正确；垂直于直线 l 的直线若在平面 内，则一定垂直于平面 ，否则不一定，故 B 不正确；垂直于平面 的平面与 l 的关系有 l ， l ， l 与 相交，故 C 不正确；由平面垂直的判定定理知：垂直于直线 l 的平面一定与平面 ， 都垂直，故 D 正确5设 a， b， c 表示三条直线， ， 表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是( )A c ，若 c ，则 B b ， c ，若 c ，则 b cC b ，若 b ，则 D a， b ， a b P， c a， c b，若 ，则 c解析：选 C.利用排除法求解A 的逆命题为： c ，若 ，则 c ，成
5、立；B 的逆命题为： b ， c ，若 b c，则 c ，成立；C 的逆命题为： b ，若 ，则b ，不成立；D 的逆命题为： a， b ， a b P， c a， c b，若 c ，则 ，成立，故选 C.6(2017江西六校联考)已知 m， n 是两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，有下列四个命题：若 m ， n ， m n，则 ；若 m ， n ， m n，则 ；若 m ， n ， m n，则 ；若 m ， n ， ，则 m n.其中所有正确命题的序号是( )A BC D解析：选 A.借助于长方体模型来解决本题，对于，可以得到平面 ， 互相垂直，故正确；对于，平面 ， 可能垂直，如图(
6、1)所示，故不正确；对于，平面 ， 可能垂直，如图(2)所示，故不正确；对于，由 m ， 可得 m ，因为 n ，所以过 n 作平面 ，且 g，如图(3)所示，所以 n 与交线 g 平行，因为 m g，所以 m n，故正确综上，选 A.二、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)7如图，四棱锥 PABCD 的底面是直角梯形， AB CD， BA AD， CD2 AB， PA底面ABCD， E 为 PC 的中点，则 BE 与平面 PAD 的位置关系为_解析：取 PD 的中点 F，连接 EF， AF，在 PCD 中， EF 綊 CD.12又因为 AB CD 且 CD2 AB，所以
7、EF 綊 AB，所以四边形 ABEF 是平行四边形，所以 EB AF.又因为 EB平面 PAD， AF平面 PAD，所以 BE平面 PAD.答案：平行8(2017山师大附中模拟)若 ， 是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)若直线 m ，则在平面 内，一定不存在与直线 m 平行的直线；若直线 m ，则在平面 内，一定存在无数条直线与直线 m 垂直；若直线 m ，则在平面 内，不一定存在与直线 m 垂直的直线；若直线 m ，则在平面 内，一定存在与直线 m 垂直的直线解析：对于，若直线 m 如果 ， 互相垂直，则在平面 内，存在与直线 m 平行的直线，故错误；对
8、于，若直线 m ，则直线 m 垂直于平面 内的所有直线，在平面 内存在无数条与交线平行的直线，这无数条直线均与直线 m 垂直，故正确；对于，若直线 m ，则在平面 内，一定存在与直线 m 垂直的直线，故错误，正确答案：9(2017沈阳三模)如图，已知四边形 ABCD 为矩形， PA平面 ABCD，下列结论中正确的是_(把正确结论的序号都填上) PD CD； BD平面 PAO； PB CB； BC平面 PAD.解析：对于，因为 CD AD， CD PA， AD PA A，所以 CD平面 PAD，所以 CD PD，则正确；对于， BD PA，当 BD AO 时， BD平面 PAO，但 BD 与 A
9、O 不一定垂直，故不正确；对于，因为 CB AB， CB PA， AB PA A，所以 CB平面 PAB，所以 CB PB，则正确；对于，因为 BC AD， BC平面 PAD， AD平面 PAD，所以 BC平面 PAD，则正确故填.答案：三、解答题(本题共 3 小题，每小题 12 分，共 36 分)10(2017高考全国卷)如图，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD， AB BC AD， BAD ABC90.12(1)证明：直线 BC平面 PAD；(2)若 PCD 的面积为 2 ，求四棱锥 PABCD 的体积7解：(1)证明：在平面 ABCD 内，因为 BAD
10、 ABC90，所以BC AD.又 BC平面 PAD， AD平面 PAD，故 BC平面 PAD.(2)如图，取 AD 的中点 M，连接 PM， CM.由 AB BC AD 及12BC AD， ABC90得四边形 ABCM 为正方形，则 CM AD.因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD，所以PM AD， PM底面 ABCD.因为 CM底面 ABCD，所以 PM CM.设 BC x，则 CM x， CD x， PM AD x， PC PD 2 x.232 3 PM2 CM2如图，取 CD 的中点 N，连接 PN，则 PN CD，所以 PN x.PC2
11、 (12CD)2 4x2 142x2 142因为 PCD 的面积为 2 ，所以 x x2 ，712 2 142 7解得 x2(舍去)或 x2.于是 AB BC2， AD4， PM2 .3所以四棱锥 PABCD 的体积 V 2 4 .13 2 2 42 3 311(2017山东潍坊模拟)如图，在四棱台 ABCDA1B1C1D1中， D1D平面 ABCD，底面 ABCD是平行四边形， AB2 AD， AD A1B1， BAD60.(1)证明： AA1 BD；(2)证明： CC1平面 A1BD.证明：(1)因为 D1D平面 ABCD，且 BD平面 ABCD，所以 D1D BD.又因为 AB2 AD，
12、 BAD60，在 ABD 中，由余弦定理得BD AB2 AD2 2ABADcos 60 AD，4AD2 AD2 2AD2 3所以 AD2 BD2 AB2，即 AD BD.又 AD D1D D，所以 BD平面 ADD1A1.又 AA1平面 ADD1A1，所以 AA1 BD.(2)连接 AC， A1C1.设 AC BD E，连接 EA1，因为四边形 ABCD 为平行四边形，所以 EC AC.12由棱台定义及 AB2 AD2 A1B1知， A1C1 EC 且 A1C1 EC，所以四边形 A1ECC1为平行四边形，因此 CC1 EA1.又因为 EA1平面 A1BD， CC1平面 A1BD.所以 CC1
13、平面 A1BD.12(2017吉林调研)如图，在直角梯形 ABCD 中，AD BC， BAD ， AB BC AD a， E 是 AD 的中点， O 是 AC 与 BE 的交点将 ABE 沿 BE 折 2 12起到图中 A1BE 的位置，得到四棱锥 A1BCDE.(1)证明： CD平面 A1OC；(2)当平面 A1BE平面 BCDE 时，四棱锥 A1BCDE 的体积为 36 ，求 a 的值2解：(1)证明：在题图中，因为 AB BC AD a， E 是 AD 的中点， BAD ，所以12 2BE AC.即在题图中， BE A1O， BE OC，从而 BE平面 A1OC，又 CD BE，所以 CD平面 A1OC.(2)由已知，平面 A1BE平面 BCDE，且平面 A1BE平面 BCDE BE，又由(1)， A1O BE，所以 A1O平面 BCDE，即 A1O 是四棱锥 A1BCDE 的高由题图知， A1O AB a，平行四边形 BCDE 的面积 S BCAB a2.22 22从而四棱锥 A1BCDE 的体积为 V SA1O a2 a a3，由 a336 ，得 a6.13 13 22 26 26 2
