1、大题规范练(三)(满分 70 分，押题冲刺，70 分钟拿下主观题高分)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1(本小题满分 12 分)在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且cos2 sin Bsin C .B C2 2 24(1)求角 A；(2)若 a4，求 ABC 面积的最大值解：(1)由 cos2 sin Bsin C ，B C2 2 24得 sin Bsin C ，cos B C2 24cos( B C) ，22cos A (0 A)， A .22 4(2)由余弦定理 a2 b2 c22 bccos A，得 16 b2 c2 bc(2 )bc，当且
2、仅当 b c2 2时取等号，即 bc8(2 )2 S ABC bcsin A bc4( 1)，12 24 2即 ABC 面积的最大值为 4( 1)22(本小题满分 12 分)已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为菱形，且 PA底面ABCD， ABC60，点 E， F 分别为 BC， PD 的中点， PA AB2.(1)证明： AE平面 PAD；(2)求多面体 PAECF 的体积解：(1)证明：由 PA底面 ABCD 得， PA AE.由底面 ABCD 为菱形， ABC60，得 ABC 为等边三角形，又 E 为 BC 的中点，得AE BC，所以 AE AD.因为 PA AD A，所以 AE
3、平面 PAD.(2)设多面体 PAECF 的体积为 V，则V VPAEC VCPAF.VPAEC PA 2 ；13 (12AEEC) 13 (1231) 33VCPAF AE .13 (12PAPFsin APF) 13 (1222sin 45) 3 33故多面体 PAECF 的体积 V .33 33 2333(本小题满分 12 分)某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了 1 至 6 月份每月 10 日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期1 月10 日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差x()10 11
4、13 12 8 6就诊人数y(人) 22 25 29 26 16 12该兴趣小组确定的研究方案是：先从这 6 组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求回归直线方程，再用被选取的 2 组数据进行检验(1)求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是 1 月与 6 月的 2 组数据，请根据 2 至 5 月份的数据，求出 y 关于 x 的回归直线方程 x ；y b a (3)若由回归直线方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2，则认为得到的回归直线方程是理想的，试问该小组所得到的回归直线方程是否理想？(参考公式： ， )b n i 1 xi x yi yni 1 x
5、i x 2 a y b x解：(1)设抽到相邻两个月的数据为事件 M，从 6 组数据中选取 2 组数据有(10,22)，(11,25)，(10,22)，(13,29)，(10,22)，(12,26)，(10,22)，(8,16)，(10,22)，(6,12)，(11,25)，(13,29)，(11,25)，(12,26)，(11,25)，(8,16)，(11,25)，(6,12)，(13,29)，(12,26)，(13,29)，(8,16)，(13,29)，(6,12)，(12,26)，(8,16)，(12,26)，(6,12)，(8,16)，(6,12)，共 15 种情况每种情况都是等可能出
6、现的，其中，抽到相邻两个月的数据的情况有 5 种，所以 P(M) .515 13(2)由表中数据求得 11， 24，x y由参考公式 计算可得 ，b ni 1 xi x yi yni 1 xi x 2 b 187再由 求得 ，a y b x a 307所以 y 关于 x 的回归直线方程为 x .y 187 307(3)当 x10 时， ， 2；y 1507 |1507 22| 47同样，当 x6 时， ， 2.y 787 |787 12| 67所以，该小组所得到的回归直线方程是理想的4(本小题满分 12 分)已知椭圆 E： 1( a b0)的两个焦点与短轴的一个端点是直x2a2 y2b2角三角
7、形的三个顶点，直线 l： y x3 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T.(1)求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标；(2)设 O 为坐标原点，直线 l平行于 OT，与椭圆 E 交于不同的两点 A， B，且与直线 l 交于点 P.证明：存在常数 ，使得| PT|2 |PA|PB|，并求 的值解：(1)由已知， a b，则椭圆 E 的方程为 1.2x22b2 y2b2由方程组Error!得 3x212 x182 b20.由题意 24( b23)0，得 b23，则直线 l 与椭圆 E 的交点坐标为(2,1)所以椭圆 E 的方程为 1.点 T 的坐标为x26 y23(2,1)(2)证明：由已知可设直线
8、l的方程为y x m(m0)，12由方程组Error!可得Error!所以 P 点坐标为 ，| PT|2 m2.(22m3， 1 2m3) 89设点 A， B 的坐标分别为 A(x1， y1)， B(x2， y2)由方程组Error!可得 3x24 mx4 m2120.由 16(92 m2)0，解得 m .322 322则由根与系数的关系得 x1 x2 ，4m3x1x2 .4m2 123所以| PA| (2 2m3 x1)2 (1 2m3 y1)2把 y1 x1 m 代入得12|PA| ，52|2 2m3 x1|同理| PB| .52|2 2m3 x2|所以| PA|PB|54|(2 2m3
9、x1)(2 2m3 x2)|54|(2 2m3)2 (2 2m3) x1 x2 x1x2|54|(2 2m3)2 (2 2m3)( 4m3) 4m2 123 | m2.109故存在常数 ，使得| PT|2 |PA|PB|.455(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)2 a2ln x x2(a0)(1)当 a1 时，求曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线方程；(2)求函数 f(x)的单调区间；(3)讨论函数 f(x)在区间(1，e 2)上零点的个数(e 为自然对数的底数)解：(1)当 a1 时， f(x)2ln x x2， f( x) 2 x， f(1)0，2x又 f(1)1，曲线
10、 y f(x)在点(1， f(1)处的切线方程为 y10.(2) f(x)2 a2ln x x2， f( x) 2 x ，2a2x 2a2 2x2x 2 x a x ax x0， a0，当 0 x a 时， f( x)0，当 x a 时， f( x)0. f(x)在(0， a)上是增函数，在( a，)上是减函数(3)由(2)得 f(x)max f(a) a2(2ln a1)讨论函数 f(x)的零点情况如下：当 a2(2ln a1)0，即 0 a 时，函数 f(x)无零点，在(1，e 2)上无零点；e当 a2(2ln a1)0，即 a 时，函数 f(x)在(0，)内有唯一零点 a，而e1 a e
11、 2， f(x)在(1， e2)内有一个零点；e当 a2(2ln a1)0，即 a 时，由于 f(1)10， f(a) a2(2ln a1)0， f(e2)e2 a2ln e2 e44 a2e 4(2 ae 2)(2ae 2)，当 2ae 20，即 a 时，ee221 a e 2， f(e2)0 ，由函数的单调性可知，函数 f(x)在(1， a)内有唯一零点 x1，在ee22(a，e 2)内有唯一零点 x2， f(x)在(1，e 2)内有两个零点当 2ae 20，即 a 时， f(e2)0，而且 f( )2 a2 e a2e0， f(1)e22 e e 1210，由函数的单调性可知，无论 ae
12、 2，还是 ae 2， f(x)在(1， )内有唯一的一个零点，e在( ， e2)内没有零点，从而 f(x)在(1，e 2)内只有一个零点e综上所述，当 0 a 时，函数 f(x)无零点；当 a 或 a 时，函数 f(x)有一个零点；e ee22当 a 时，函数 f(x)有两个零点ee22请考生在第 6、7 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分6(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为Error!(其中 t 为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2sin .(1)求
13、曲线 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程；(2)若 A， B 分别为曲线 C1， C2上的动点，求当 AB 取最小值时 AOB 的面积解：(1)由Error!得 C1的普通方程为( x4) 2( y5) 29，由 2sin 得 22 sin ，将 x2 y2 2， y sin 代入上式得 C2的直角坐标方程为 x2( y1) 21.(2)如图，当 A， B， C1， C2四点共线，且 A， B 在线段 C1C2上时，| AB|取得最小值，由(1)得 C1(4,5)， C2(0,1)， kC1C2 1，则直线 C1C2的方程为 x y10，5 14 0点 O 到直线 C1C2的距离 d ，12
14、 22又| AB| C1C2|13 44 4， 4 0 2 5 1 2 2 S AOB d|AB| (4 4)2 .12 12 22 2 27(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知| x2|6 x| k 恒成立(1)求实数 k 的最大值；(2)若实数 k 的最大值为 n，正数 a， b 满足 n.求 7a4 b 的最小值85a b 22a 3b解：(1)因为| x2|6 x| k 恒成立，设 g(x)| x2|6 x|，则 g(x)min k.又| x2|6 x|( x2)(6 x)|8，当且仅当2 x6 时， g(x)min8，所以 k8，即实数 k 的最大值为 8.(2)由(1)知， n8，所以 8，85a b 22a 3b即 4，又 a， b 均为正数，45a b 12a 3b所以 7a4 b (7a4 b)14 ( 45a b 12a 3b) (5a b)(2 a3 b)14 ( 45a b 12a 3b)144 1 4 2a 3b5a b 5a b2a 3b (54) ，14 94当且仅当 ，即 a5 b 时，等号成立，所以 7a4 b 的最小值是 .4 2a 3b5a b 5a b2a 3b 1552 94
