1、限时规范训练五 不等式及线性规划 限 时 45分 钟 ， 实 际 用 时分 值 80分 ， 实 际 得 分一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1设 0 a b1，则下列不等式成立的是( )A a3 b3 B. 1a 1bC ab1 Dlg( b a) a解析：选 D.0 a b1，0 b a1 a，lg( b a)0 a，故选 D.2已知 a， b 是正数，且 a b1，则 ( )1a 4bA有最小值 8 B有最小值 9C有最大值 8 D有最大值 9解析：选 B.因为 (a b)5 52 9，当且仅当 且1a 4b (1a 4b) ba 4ab ba4ab ba 4a
2、ba b1，即 a ， b 时取“” ，所以 的最小值为 9，故选 B.13 23 1a 4b3对于任意实数 a， b， c， d，有以下四个命题：若 ac2 bc2，则 a b；若 a b， c d，则 a c b d；若 a b， c d，则 ac bd；若 a b，则 .1a 1b其中正确的有( )A1 个 B2 个C3 个 D4 个解析：选 B. ac2 bc2，则 c0，则 a b，正确；由不等式的同向可加性可知正确；需满足 a、 b、 c、 d 均为正数才成立；错误，如：令 a1， b2，满足12，但 .故选 B.1 1 1 24已知不等式 ax2 bx10 的解集是Error!，
3、则不等式 x2 bx a0 的解集是( )A x|2 x3 B x|x2 或 x3C.Error! D.Error!解析：选 B.不等式 ax2 bx10 的解集是Error!， ax2 bx10 的解是 x1 和 x2 ，12 13且 a0.Error!解得Error!则不等式 x2 bx a0 即为 x25 x60，解得 x2 或 x3.5若 x， y 满足约束条件Error!则 z y x 的取值范围为( )A2,2 B.12， 2C1,2 D.12， 1解析：选 B.作出可行域(图略)，设直线 l： y x z，平移直线 l，易知当 l 过直线3x y0 与 x y40 的交点(1,3
4、)时， z 取得最大值 2；当 l 与抛物线 y x2相切时， z 取得12最小值，由Error! ，消去 y 得 x22 x2 z0，由 4 8z0，得 z ，故 z2，故选12 12B.6设等差数列 an的公差是 d，其前 n 项和是 Sn，若 a1 d1，则 的最小值是( )Sn 8anA. B.92 72C2 D2 212 2 12解析：选 A. an a1( n1) d n， Sn ，n 1 n2 ，当且仅当 n4 时取等号Sn 8an n 1 n2 8n 12(n 16n 1) 12(2n16n 1) 92 的最小值是 ，故选 A.Sn 8an 927一条长为 2 的线段，它的三个
5、视图分别是长为 ， a， b 的三条线段，则 ab 的最大值为( )3A. B.5 6C. D352解析：选 C.如图，构造一个长方体，体对角线长为 2，由题意知a2 x24， b2 y24， x2 y23，则 a2 b2 x2 y22325，又 5 a2 b22 ab，所以ab ，当且仅当 a b 时取等号，所以选 C.528设 x， y 满足约束条件Error!则 的取值范围是( )x 2y 3x 1A1,5 B2,6C3,11 D3,10解析：选 C.画出约束条件Error!的可行域如图阴影部分所示，则 12 ， 的几何意义为过点( x， y)和(1，1)的直x 2y 3x 1 x 1
6、2y 2x 1 y 1x 1 y 1x 1线的斜率由可行域知 的取值范围为 kMA kMB，即 1,5，所以 的取y 1x 1 y 1x 1 y 1x 1 x 2y 3x 1值范围是3,119设 x， y 满足不等式Error!若 M3 x y， N ，则 M N 的最小值为( )(12)x 72A. B12 12C1 D1解析：选 A.作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得 A(1,2)，B(3,2)，当直线 3x y M0 经过点 A(1,2)时，目标函数 M3 x y 取得最小值1.又由平面区域知1 x3，所以函数 N 在 x1 处取得最大值 ，由此可得 M N 的最小
7、值为(12)x 72 321 .(32) 1210若不等式组Error!表示的平面区域的形状是三角形，则 a 的取值范围是( )A a B0 a143C1 a D0 a1 或 a43 43解析：选 D.作出不等式组Error!表示的平面区域如图中阴影部分所示其中直线 x y0 与直线 2x y2 的交点是 ，而直线 x y a 与 x 轴的交点是( a,0)(23， 23)由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需 a 或 0 a1，所以23 23选 D.11已知不等式组Error!表示区域 D，过区域 D 中任意一点 P 作圆 x2 y21 的两条切线，切点分别为 A、 B，当
8、 APB 最大时，cos APB( )A. B.32 12C D32 12解析：选 B.画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，易知当点 P 到点 O 距离最小时， APB 最大，此时| OP| 2，又 OA1，故 OPA ，|30 40 10|32 42 6 APB ，cos APB . 3 1212已知函数 f(x) x3 ax2 bx c，且 0 f(1) f(2) f(3)3，则( )A c3 B3 c6C6 c9 D c9解析：选 C.由 0 f(1) f(2) f(3)3，得01 a b c84 a2 b c279 a3 b c3，由1 a b c84 a2 b c，得 3a
9、b70，由1 a b c279 a3 b c，得4a b130，由，解得 a6， b11，0 c63，即 6 c9，故选 C.二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13函数 f(x)1log ax(a0，且 a1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx ny20上，其中 mn0，则 的最小值为_1m 1n解析：因为 loga10，所以 f(1)1，故函数 f(x)的图象恒过定点 A(1,1)由题意，点 A 在直线 mx ny20 上，所以 m n20，即 m n2.而 (m n)1m 1n 12(1m 1n) ，12(2 nm mn)因为 mn0，所以 0， 0.nm
10、 mn由均值不等式，可得 2 2(当且仅当 m n 时等号成立)，nm mn nmmn所以 (22)2，即 的最小值为 2.1m 1n 12(2 nm mn) 12 1m 1n答案：214设 P(x， y)是函数 y (x0)图象上的点，则 x y 的最小值为_2x解析：因为 x0，所以 y0，且 xy2.由基本不等式得x y2 2 ，当且仅当 x y 时等号成立xy 2答案：2 215若变量 x， y 满足约束条件Error!则 w4 x2y的最大值是_解析：作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示 w4 x2y2 2x y，要求其最大值，只需求出 2x y t 的最大值即可，由平移可知 t2 x y 在 A(3,3)处取得最大值t2339，故 w4 x2y的最大值为 29512.答案：51216已知函数 f(x)Error!若对任意的 xR，不等式 f(x) m2 m 恒成立，则实数 m 的取34值范围为_解析：由题意知， m2 m f(x)max.当 x1 时， f(x)log x 是减函数，且 f(x)0；当34 13x1 时， f(x) x2 x，其图象的对称轴方程是 x ，且开口向下，12 f(x)max . m2 m ，即 4m23 m10， m 或 m1.14 12 14 34 14 14答案： 1，)( ， 14
