1、大题规范练(二)(满分 70 分，押题冲刺，70 分钟拿到主观题高分)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1(本小题满分 12 分)已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 S424， S763.(1)求数列 an的通项公式；(2)若 bn2 (1) nan，求数列 bn的前 n 项和 Tn.an 解：(1) an为等差数列，Error!Error! an2 n1.(2) bn2 (1) nan2 2n1 (1) n(2n1)24 n(1) n(2n1)，an Tn2(4 14 24 n)3579(1) n(2n1) Gn.8 4n 13当 n2 k(kN *)时， Gn2
2、n， Tn n；n2 8 4n 13当 n2 k1( kN *)时， Gn2 (2 n1) n2，n 12 Tn n2，8 4n 13 TnError!2(本小题满分 12 分)已知某单位有 50 名职工，现要从中抽取 10 名职工，将全体职工随机按 150 编号，并按编号顺序平均分成 10 组，按各组内抽取的编号依次增加 5 进行系统抽样(1)若第 5 组抽出的号码为 22，写出所有被抽出职工的号码；(2)分别统计这 10 名职工的体重(单位：kg)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；(3)在(2)的条件下，从这 10 名职工的体重不轻于 73 kg(73 kg)的职工中随机抽取
3、 2 名，求体重为 76 kg 的职工被抽取到的概率解：(1)由题意，第 5 组抽出的号码为 22.因为 25(51)22，所以第 1 组抽出的号码为 2，抽出的 10 名职工的号码分别为2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.(2)因为 10 名职工的平均体重为 (81707376787962656759)x11071，所以样本方差为 s2 (1021 22 25 27 28 29 26 24 212 2)52.110(3)从 10 名职工中的体重不轻于 73 kg 的职工中随机抽取 2 名，共有 10 种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,8
4、1)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)设 A 表示“抽到体重为 76 kg 的职工” ，则 A 包含的基本事件有 4 个：(73,76)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，故所求概率为 P(A) .410 253(本小题满分 12 分)如图 1，在正方形 ABCD 中， E， F 分别为 BC， CD 的中点， M， N 分别为 AB， CF 的中点，现沿 AE， AF， EF 折叠，使 B， C， D 三点重合于点 B，构成一个三棱锥(如图2)(1)证明： MN平面 AEF；(2)证明：平面 ABE平面 BEF.证明
5、：(1)翻折后 B， C， D 重合于 B 点， MN 是 ABF 的一条中位线， MN AF.又 MN平面 AEF， AF平面 AEF， MN平面 AEF.(2) AB BE， AB BF，且 BE BF B， AB平面 BEF，而 AB平面 ABE，平面 ABE平面 BEF.4(本小题满分 12 分)已知椭圆 C1的焦点在 x 轴上，中心在坐标原点；抛物线 C2的焦点在y 轴上，顶点在坐标原点在 C1， C2上各取两个点，将其坐标记录于表格中：x 3 2 4 2y920 8 22(1)求 C1， C2的标准方程；(2)已知定点 C ， P 为抛物线 C2上一动点，过点 P 作抛物线 C2的
6、切线交椭圆 C1于 A， B(0，18)两点，求 ABC 面积的最大值解：(1)设 C1： 1( a b0)，由题意知，点(2,0)一定在椭圆上，则点 也x2a2 y2b2 (2， 22)在椭圆上，分别将其代入，得 1， 1，解得 a24， b21，4a2 2a2 12b2 C1的标准方程为 y21.x24设 C2： x22 py(p0)，依题意知，点(4,8)在抛物线上，代入抛物线 C2的方程，得 p1， C2的标准方程为 x22 y.(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， P ，(t，12t2)由 y x2知 y x，故直线 AB 的方程为 y t2 t(x t)，12 12
7、即 y tx t2，代入椭圆 C1的方程，整理得12(14 t2)x24 t3x t440， 16 t64(14 t2)(t44)4( t416 t24)0，x1 x2 ， x1x2 ，4t31 4t2 t4 41 4t2| AB| ，1 t216t6 1 4t2 2 4 t4 4 1 4t2 1 4t2 2 21 t2 t4 16t2 41 4t2设点 C 到直线 AB 的距离为 d，则 d ，(0，18) | 18 12t2|1 t2 18 |1 4t2|1 t2 S ABC |AB|d 12 12 21 t2 t4 16t2 41 4t2 18 |1 4t2|1 t2 18 t4 16t
8、2 4 ，当且仅当 t2 时，取等号，此时满足 0.18 t2 8 2 68 1868 174 2综上， ABC 面积的最大值为 .1745(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)e x ax2(x0，e 为自然对数的底数)， f( x)是12f(x)的导函数(1)当 a2 时，求证： f(x)1；(2)是否存在正整数 a，使得 f( x) x2ln x 对一切 x0 恒成立？若存在，求出 a 的最大值；若不存在，请说明理由解：(1)证明：当 a2 时， f(x)e x x2，则 f( x)e x2 x，令 f1(x) f( x)e x2 x，则 f 1(x)e x2，令 f 1(x)0，得
9、 xln 2，又 0 xln 2 时， f 1(x)0， xln 2 时， f 1(x)0， f1(x) f( x)在 xln 2 时取得极小值，也是最小值 f(ln 2)22ln 20， f( x)0 在(0，)上恒成立， f(x)在(0，)上为增函数 f(x) f(0)1.(2)由已知，得 f( x)e x ax，由 f( x) x2ln x，得 ex ax x2ln x 对一切 x0 恒成立，当 x1 时，可得 ae，若存在，则正整数 a 的值只能取 1,2.下面证明当 a2 时，不等式恒成立，设 g(x) ln x，则 g( x) ，exx2 2x x 2 exx3 2x2 1x x
10、2 ex xx3由(1)得 ex x212 x x，e x x0( x0)，当 0 x2 时， g( x)0；当 x2 时， g( x)0. g(x)在(0,2)上是减函数，在(2，)上是增函数 g(x) g(2) (e244ln 2) (2.7244ln 2) (3ln 16)0，14 14 14当 a2 时，不等式 f( x) x2ln x 对一切 x0 恒成立，故 a 的最大值是 2.请考生在第 6、7 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分6(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程已知直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)在以坐标原点为极点， x 轴非
11、负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的方程为 sin cos2 0.3(1)求曲线 C 的直角坐标方程；(2)写出直线 l 与曲线 C 交点的一个极坐标解：(1)sin cos2 0， sin 2cos2 0，3 3即 y x20.3(2)将Error!代入 y x20 得，3 t 0，即 t0，3 3 3(112t)2 从而，交点坐标为(1， )，3直线 l 与曲线 C 交点的一个极坐标为 .(2， 3)7(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)| x m| x3 m|(m0)(1)当 m1 时，求不等式 f(x)1 的解集；(2)对于任意实数 x， t，不等式 f(x)|2 t| t1|恒成立；求 m 的取值范围解：(1) f(x)| x m| x3 m|Error!当 m1 时，由Error!，或Error!，或Error! (无解)得 x ，32不等式 f(x)1 的解集为 x|x 32(2)不等式 f(x)|2 t| t1|对任意的实数 t， x 恒成立，等价于对任意的实数 x， f(x)(|2 t| t1|) min恒成立，即 f(x)max(|2 t| t1|) min， f(x)| x m| x3 m|( x m)( x3 m)|4 m，|2 t| t1|(2 t)( t1)|3，4 m3，又 m0，0 m .34
