1、大题规范练(一)(满分 70 分，押题冲刺，70 分钟拿到主观题高分)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1(本小题满分 12 分) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 2sin 2Ccos Csin 3 C (1cos C)3(1)求角 C；(2)若 c2，且 sin Csin( B A)2sin 2 A，求 ABC 的面积解：(1)由 2sin 2Ccos Csin 3 C (1cos C)，3得 sin 2Ccos Ccos 2 Csin C cos C，3 3化简得 sin C cos C，3 3即 sin C cos C ，所以 sin ，3
2、 3 (C 3) 32又 C 为 ABC 的内角，所以 C ，故 C . 3 23 3(2)由已知可得，sin( A B)sin( B A)2sin 2 A，可得 sin Bcos A2sin Acos A.所以 cos A0 或 sin B2sin A.当 cos A0 时， A ，则 b ， S ABC bc 2 . 2 23 12 12 23 233当 sin B2sin A 时，由正弦定理得 b2 a.由 cos C ，得 a2 ，a2 b2 c22ab a2 4a2 42a2a 12 43所以 S ABC basin C 2aa a2 .12 12 32 32 233综上可知， S
3、ABC .2332(本小题满分 12 分)为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效改良玉米品种，为农民提供技术支援现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图(单位：厘米)，设茎高大于或等于 180 厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米.抗倒伏 易倒伏7 7 3 149 7 3 3 1 15 19 6 4 0 16 75 5 4 17 5 88 8 0 18 1 2 6 6 79 5 5 2 19 0 0 3 4 5 8 9 96 6 3 20 2 2 3(1)列出 22 列联表，并判断是否可以在犯错误的概率不超过 1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？(2
4、)()按照分层抽样的方法，在上述样本中，从易倒伏和抗倒伏两组中抽取 9 株玉米，设取出的易倒伏矮茎玉米株数为 X，求 X 的分布列(概率用组合数算式表示)；()若将频率视为概率，从抗倒伏的玉米试验田中再随机抽取 50 株，求取出的高茎玉米株数的数学期望和方差附：P(K2 k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828(K2 ，其中 n a b c d)n ad bc 2 a b c d a c b d解：(1)根据统计数据得 22 列联表如下：抗倒伏 易倒伏 合计矮茎
5、 15 4 19高茎 10 16 26合计 25 20 45由于 K2 7.2876.635，因此可以在犯错误的概率不超45 1516 410 219262520过 1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关(2)()按照分层抽样的方法抽到的易倒伏玉米共 4 株，则 X 的可能取值为 0,1,2,3,4.P(X0) ， P(X1) ， P(X2) ， P(X3) ， P(X4)C416C420 C14C316C420 C24C216C420 C34C16C420，C4C420所以 X 的分布列为X 0 1 2 3 4P C416C420 C14C316C420 C24C216C420 C34C16
6、C420 C4C420()在抗倒伏的玉米样本中，高茎玉米有 10 株，占 ，即每次取出高茎玉米的概率均为 ，25 25设取出高茎玉米的株数为 ，则 B ，即 E( ) np50 20， D( ) np(1 p)(50，25) 2550 12.25 353(本小题满分 12 分)如图(1)所示，在直角梯形 ABCD 中，AD BC， BAD ， AB BC1， AD2， E 为 AD 的中点， O 是 AC 与 BE 的交点将 ABE 沿 BE 2折起到 A1BE 的位置，如图(2)所示(1)证明： CD平面 A1OC；(2)若平面 A1BE平面 BCDE，求平面 A1BC 与平面 A1CD 所
7、成锐二面角的余弦值解：(1)证明：在直角梯形 ABCD 中，因为 AB BC1， AD2， E 是 AD 的中点， BAD ，所以 BE AC， BE CD，故 BE OA1， BE OC， 2从而 BE平面 A1OC.又因为 CD BE，所以 CD平面 A1OC.(2)如图，以 O 为原点， OB， OC， OA1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系则 B ， E ，(22， 0， 0) ( 22， 0， 0)A1 ， C ，(0， 0，22) (0， 22， 0)得 ， ， ( ，0,0)BC ( 22， 22， 0) A1C (0， 22， 22) CD BE 2
8、设平面 A1BC 的法向量 n1( x1， y1， z1)，平面 A1CD 的法向量 n2( x2， y2， z2)，平面 A1BC与平面 A1CD 所成的锐二面角为 ，则Error!，得Error!，取 x11 得 n1(1,1,1)；由Error!得Error!，取 y21 得 n2(0,1,1)，从而 cos |cos n1， n2| ，|n1n2|n1|n2| 232 63即平面 A1BC 与平面 A1CD 所成锐二面角的余弦值为 .634(本小题满分 12 分)已知中心在原点，左焦点为 F1(1,0)的椭圆 C 的左顶点为 A，上顶点为 B， F1到直线 AB 的距离为 |OB|.7
9、7(1)求椭圆 C 的方程；(2)若椭圆 C1： 1( m n0)，椭圆 C2 ( 0 且 1)，则称椭圆 C2x2m2 y2n2 x2m2 y2n2是椭圆 C1的 倍相似椭圆已知 C2是椭圆 C 的 3 倍相似椭圆，若椭圆 C 的任意一条切线 l 交椭圆 C2于 M， N 两点，求弦长| MN|的取值范围解：(1)设椭圆 C 的方程为 1( a b0)，则 A( a，0)， B(0， b)，直线 AB 的方x2a2 y2b2程为 1，整理得 bx ay ab0，x a yb F1(1,0)到直线 AB 的距离 d b，|b ab|a2 b2 77整理得 a2 b27( a1) 2，又 b2
10、a2 c2，故 a2， b ，3故椭圆 C 的方程为 1.x24 y23(2)由(1)知，椭圆 C 的 3 倍相似椭圆 C2的方程为 1，x212 y29若切线 l 垂直于 x 轴，则其方程为 x2，易求得| MN|2 .6若切线 l 不垂直于 x 轴，可设其方程为 y kx d，将 y kx d 代入椭圆 C 的方程中，整理得(34 k2)x28 kdx4 d2120，直线 l 与椭圆 C 相切， (8 kd)24(34 k2)(4d212)48(4 k23 d2)0，即 d24 k23.记 M， N 两点的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，将 y kx d 代入椭圆 C2的
11、方程，得(34 k2)x28 kdx4 d2360，x1 x2 ， x1x2 ，8kd3 4k2 4d2 363 4k2| x1 x2| 把 d24 k23 代入得| x1 x2| x1 x2 2 4x1x243 12k2 9 d23 4k2，463 4k2| MN| |x1 x2|4 1 k2 61 k23 4k22 .61 13 4k234 k23，11 ，13 4k2 43即 2 2 4 .6 61 13 4k2 2综上，弦长| MN|的取值范围为2 ，4 6 25(本小题满分 12 分)已知函数 f(x) a(x21)ln x.(1)若 f(x)在 x2 处取得极小值，求 a 的值；(
12、2)若 f(x)0 在1，)上恒成立，求 a 的取值范围解：(1) f(x)的定义域为(0，)，f( x)2 ax ，1x f(x)在 x2 处取得极小值， f(2)0， a .18经验证， x2 是 f(x)的极小值点，故 a .18(2)f( x)2 ax ，1x当 a0 时， f( x)0， f(x)在1，)上单调递减，当 x1 时， f(x) f(1)0，这与 f(x)0 矛盾当 a0 时，令 f( x)0，得 x ；令 f( x)0，得 0 x .12a 12a()若 1，即 0 a ，当 x 时， f( x)0，12a 12 (1， 12a) f(x)在 上单调递减，(1， 12a
13、) f(x) f(1)0，与 f(x)0 矛盾()若 1，即 a ，当 x1，)时， f( x)0， f(x)在1，)上单调递增，12a 12 f(x) f(1)0，满足题意综上， a .12请考生在第 6、7 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分6(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C：Error!( a 为参数)，直线 l： x y60.(1)在曲线 C 上求一点 P，使点 P 到直线 l 的距离最大，并求出最大值；(2)过点 M(1,0)且与直线 l 平行的直线 l1交 C 于 A， B 两点，求点 M 到 A， B 两
14、点之间的距离之积解：(1)设点 P( cos a，sin a)，则点 P 到直线 l 的距离 d 3|3cos a sin a 6|2，|2sin( 3 a) 6|2当 sin 1 时， dmax4 ，( 3 a) 2此时， cos a ，sin a ， P 点坐标为 .332 12 ( 32， 12)(2)曲线 C 的普通方程为 y21，即 x23 y23，由题意知，直线 l1的参数方程为x23Error!(t 为参数 )，代入 x23 y23 中化简得，2t2 t20，得 t1t21，2由参数的几何意义得| MA|MB| t1t2|1.7(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)|2 x1|2 x3|.(1)解不等式 f(x)5；(2)若不等式 m2 m f(x)对任意 xR 都成立，求实数 m 的取值范围解：(1) f(x)Error!原不等式等价于Error!或Error!或Error! ，解得 x 或 x 或 x ，14 12 12 32 32 94不等式 f(x)5 的解集为 .14， 94(2) f(x)|2 x1|2 x3|2 x1(2 x3)|2， m2 m f(x)min2，即 m2 m20，1 m2.故 m 的取值范围是(1,2)
