1、突破点 16 导数的应用(对应学生用书第 57 页)核心知识提炼提炼 1 导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法在某个区间( a， b)内，如果 f( x)0，那么函数 y f(x)在此区间内单调递增；如果 f( x)0，那么函数 y f(x)在此区间内单调递减(2)常数函数的判定方法如果在某个区间( a， b)内，恒有 f( x)0，那么函数 y f(x)是常数函数，在此区间内不具有单调性(3)已知函数的单调性求参数的取值范围设可导函数 f(x)在某个区间内单调递增(或递减)，则可以得出函数 f(x)在这个区间内 f( x)0(或 f( x)0)，从而转化为恒成立问题来解决(注意等号成
2、立的检验).提炼 2 函数极值的判别注意点(1)可导函数极值点的导数为 0，但导数为 0 的点不一定是极值点，如函数 f(x) x3，当x0 时就不是极值点，但 f(0)0.(2)极值点不是一个点，而是一个数 x0，当 x x0时，函数取得极值在 x0处有 f( x0)0是函数 f(x)在 x0处取得极值的必要不充分条件(3)函数 f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点函数值中的最大值，函数 f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点函数值中的最小值.提炼 3 函数最值的判别方法(1)求函数 f(x)在闭区间 a， b上最值的关键是求出 f( x)0
3、 的根的函数值，再与 f(a)，f(b)作比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值(2)求函数 f(x)在非闭区间上的最值，只需利用导数法判断函数 f(x)的单调性，即可得结论高考真题回访回访 1 函数的极值与最值1(2013浙江高考)已知 e 为自然对数的底数，设函数 f(x)(e x1)( x1) k(k1,2)，则( )A当 k1 时， f(x)在 x1 处取到极小值B当 k1 时， f(x)在 x1 处取到极大值C当 k2 时， f(x)在 x1 处取到极小值D当 k2 时， f(x)在 x1 处取到极大值C 当 k1 时， f(x)(e x1)( x1)，则 f( x)e x
4、(x1)(e x1)e xx1，所以f(1)e10，所以 f(1)不是极值当 k2 时， f(x)(e x1)( x1) 2，则 f( x)e x(x1) 22(e x1)( x1)e x(x21)2( x1)( x1)e x(x1)2，所以 f(1)0，且当 x1 时， f( x)0；在 x1 附近的左侧， f( x)0，所以 f(1)是极小值2(2013浙江高考)已知函数 y f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数 y f( x)的图象如图 161 所示，则该函数的图象是( )图 161B 从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小， x0 时最大，所以函数 f(x)的图象的变化率
5、也先增大后减小，在 x0 时变化率最大A 项，在 x0 时变化率最小，故错误；C 项，变化率是越来越大的，故错误；D 项，变化率是越来越小的，故错误B 项正确3(2013浙江高考)已知 aR，函数 f(x)2 x33( a1) x26 ax.(1)若 a1，求曲线 y f(x)在点(2， f(2)处的切线方程；(2)若| a|1，求 f(x)在闭区间0,2| a|上的最小值解 (1)当 a1 时， f( x)6 x212 x6，所以 f(2)6. 3 分又因为 f(2)4，所以切线方程为 y46( x2)，即 6x y80. 5 分(2)记 g(a)为 f(x)在闭区间0,2| a|上的最小值
6、f( x)6 x26( a1) x6 a6( x1)( x a)令 f( x)0，得 x11， x2 a. 8 分当 a1 时，x 0 (0,1) 1 (1， a) a (a,2a) 2af( x) 0 0 f(x) 0单调递增极大值3a1单调递减极小值a2(3 a)单调递增 4a3比较 f(0)0 和 f(a) a2(3 a)的大小可得g(a)Error! 10 分当 a12)(2)由 f( x) 0， 1 x 2x 1 2 e x2x 1解得 x1 或 x . 9 分52因为x 12 (12， 1) 1 (1， 52) 52 (52， )f( x) 0 0 f(x) e12 12 0 e1
7、2 52又 f(x) ( 1) 2e x0，12 2x 1所以 f(x)在区间 上的取值范围是 . 15 分12， ) 0， 12e 125(2014浙江高考)已知函数 f(x) x33| x a|(aR)(1)若 f(x)在1,1上的最大值和最小值分别记为 M(a)， m(a)，求 M(a) m(a)；(2)设 bR，若 f(x) b24 对 x1,1恒成立，求 3a b 的取值范围解 (1)因为 f(x)Error!所以 f( x)Error! 2 分由于1 x1.当 a1 时，有 x a，故 f(x) x33 x3 a.此时 f(x)在(1,1)上是增函数，因此， M(a) f(1)43
8、 a， m(a) f(1)43 a，故M(a) m(a)(43 a)(43 a)8. 3 分当10， t(a)在 上是增函数，故 t(a) t(0)(0，13)2，因此23 a b0. 11 分当 0，所以 f(x)在(0，)上单调递增若 a0，则当 x 时， f( x)0；(0，1a)当 x 时， f( x)0 时， f(x)在 x 处取得最大值，最大值为1af ln a ln a a1. 10 分(1a) (1a) (1 1a)因此 f 2a2 等价于 ln a a11 时， g(a)0.因此， a 的取值范围是(0,1). 15 分热点题型 3 利用导数解决不等式问题题型分析：此类问题以
9、函数、导数与不等式相交汇为命题点，实现函数与导数、不等式及求最值的相互转化，达成了综合考查考生解题能力的目的.【例 3】 设函数 f(x) ax.xln x(1)若函数 f(x)在(1，)上为减函数，求实数 a 的最小值；(2)若存在 x1， x2e，e 2，使 f(x1) f( x2) a 成立，求实数 a 的取值范围解 (1)由Error!得 x0 且 x1，则函数 f(x)的定义域为(0,1)(1，)，因为 f(x)在(1，)上为减函数，故 f( x) a0 在(1，)上恒成立ln x 1 ln x 2又 f( x) a 2 aln x 1 ln x 2 ( 1ln x) 1ln x 2
10、 a，(1ln x 12) 14故当 ，即 xe 2时， f( x)max a.1ln x 12 14所以 a0，于是 a ，故 a 的最小值为 . 4 分14 14 14(2)命题“若存在 x1， x2e，e 2，使 f(x1) f( x2) a 成立”等价于“当 xe，e 2时，有 f(x)min f( x)max a”. 由(1)知，当 xe，e 2时， f( x)max a，14 f( x)max a . 5 分14问题等价于：“当 xe，e 2时，有 f(x)min ”14当 a 时，由(1)知， f(x)在e，e 2上为减函数，14则 f(x)min f(e2) ae2 ，故 a
11、. 6 分e22 14 12 14e2当 a ，不合题意. 8 分14() a0， f(x)为增函数； 12 分所以， fmin(x) f(x0) ax0 ， x0(e，e 2)，x0ln x0 14所以， a ，与 0g(x)(f(x)0(f(x) g(x)0)，进而构造辅助函数 h(x) f(x) g(x)(2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数(3)主元法：对于(或可化为) f(x1， x2) A 的不等式，可选 x1(或 x2)为主元，构造函数f(x， x2)(或 f(x1， x)(4)
12、放缩法：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数变式训练 3 设函数 f(x) ax2ln x b(x1)( x0)，曲线 y f(x)过点(e，e 2e1)，且在点(1,0)处的切线方程为 y0.(1)求 a， b 的值；(2)证明：当 x1 时， f(x)( x1) 2；(3)若当 x1 时， f(x) m(x1) 2恒成立，求实数 m 的取值范围解 (1)函数 f(x) ax2ln x b(x1)( x0)，可得 f( x)2 aln x ax b，因为 f(1) a b0， f(e) ae2 b(e1) a(e2e1)e 2e1，所以 a1， b1.2 分(2
13、)证明： f(x) x2ln x x1，设 g(x) x2ln x x x2(x1)，g( x)2 xln x x1，( g( x)2ln x10，所以 g( x)在0，)上单调递增，所以 g( x) g(1)0，所以 g(x)在0，)上单调递增，所以 g(x) g(1)0，所以 f(x)( x1) 2. 6 分(3)设 h(x) x2ln x x m(x1) 21，h( x)2 xln x x2 m(x1)1，由(2)中知 x2ln x( x1) 2 x1 x(x1)，所以 xln x x1，所以 h( x)3( x1)2 m(x1)，当 32 m0 即 m 时， h( x)0，32所以 h(x)在1，)单调递增，所以 h(x) h(1)0，成立. 10 分当 3 m0 即 m 时，32h( x)2 xln x(12 m)(x1)，(h( x)2ln x32 m，令( h( x)0，得 x0e 21，2m 32当 x1， x0)时， h( x) h(1)0， 13 分所以 h(x)在1， x0)上单调递减，所以 h(x) h(1)0，不成立综上， m . 15 分32
