1、专题四 立体几何建知识网络 明内在联系高考点拨 立体几何专题是浙江新高考中当仁不让的热点之一，常以“两小一大”呈现，小题主要考查三视图与空间几何体的体积(特别是与球有关的体积)和空间位置关系及空间角，一大题常考空间位置关系的证明与空间角、距离的探求本专题主要从“空间几何体表面积或体积的求解” “空间中的平行与垂直关系” “立体几何中的向量方法”三大角度进行典例剖析，引领考生明确考情并提升解题技能突破点 8 空间几何体表面积或体积的求解(对应学生用书第 29 页)核心知识提炼提炼 1 求解几何体的表面积或体积(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算(2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某
2、些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解(3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用. 提炼 2 球与几何体的外接与内切 (1)正四面体与球：设正四面体的棱长为 a ，由正四面体本身的对称性，可知其内切球和外接球的球心相同，则内切球的半径 r a，外接球的半径 R a.612 64(2)正方体与球：设正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a， O 为其对称中心， E， F， H， G 分别为AD， BC， B1C1， A1D1的中点， J 为 HF 的中点，如图 81 所示图 81正方体的内切球：截面图为正方形 EFHG 的内
3、切圆，故其内切球的半径为 OJ ；a2正方体的棱切球：截面图为正方形 EFHG 的外接圆，故其棱切球的半径为 OG ；2a2正方体的外接球：截面图为矩形 ACC1A1的外接圆，故其外接球的半径为 OA1 .3a2高考真题回访回访 1 空间几何体的结构及三视图1(2015浙江高考)如图 82，斜线段 AB 与平面 所成的角为 60， B 为斜足，平面 上的动点 P 满足 PAB30，则点 P 的轨迹是( )图 82A直线B抛物线C椭圆D双曲线的一支C 因为 PAB30，所以点 P 的轨迹为以 AB 为轴线， PA 为母线的圆锥面与平面 的交线，且平面 与圆锥的轴线斜交，故点 P 的轨迹为椭圆2(
4、2014浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图 83 所示，则该几何体的体积是( )图 83A72 cm 3 B90 cm 3C108 cm 3 D138 cm 3B 该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示 V V 三棱柱 V 长方体 433436187290(cm 3)123(2013浙江高考)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图 84 所示，则该几何体的体积是( )图 84A108 cm 3 B100 cm 3C92 cm 3 D84 cm 3B 此几何体为一个长方体 ABCDA1B1C1D1被截去了一个三棱锥 ADEF，如图所示，其中这个长方体的长、宽、高分别
5、为 6、3、6，故其体积为 636108(cm 3)三棱锥的三条棱AE、 AF、 AD 的长分别为 4、4、3，故其体积为 48(cm 3)，所以所求几何13 (1243)体的体积为 1088100(cm 3)回访 2 几何体的表面积或体积4(2017浙江高考)某几何体的三视图如图 85 所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )图 85A. 1 B. 3 2 2C. 1 D. 332 32A 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为 1，高为 3 的圆锥的一半与一个底面为直角边长是 的等腰直角三角形，高为 3 的三棱锥的组合体，2该几何体的体积V 1 23 3 1.故
6、选 A.13 12 13 12 2 2 25(2015浙江高考)某几何体的三视图如图 86 所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )图 86A8 cm 3 B12 cm 3C. cm3 D. cm3323 403C 由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体下面是棱长为2 cm 的正方体，体积 V12228(cm 3)；上面是底面边长为 2 cm，高为 2 cm 的正四棱锥，体积 V2 222 (cm3)，所以该几何体的体积 V V1 V2 (cm3)13 83 3236(2014浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图 87 所示，则此几何体的表面积是( )图 8
7、7A90 cm 2 B129 cm 2C132 cm 2 D138 cm 2D 该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别为 6 cm，4 cm，3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为 3 cm,4 cm,5 cm，所以表面积 S2(4643)3633 9939138(cm 2)(53 43 21243)7(2016浙江高考)某几何体的三视图如图 88 所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是_cm2，体积是_cm 3.图 8880 40 由三视图还原几何体如图所示，下面长方体的长、宽都是 4，高为 2；上面正方体的棱长为 2.所以该几何体的表面积为(442424)222480(cm
8、2)；体积为4422 340(cm 3)8(2013浙江高考)若某几何体的三视图(单位：cm)如图 89 所示，则此几何体的体积等于_cm3.图 8924 由三视图可知该几何体为一个直三棱柱被截去了一个小三棱锥，如 图所示三棱柱的底面为直角三角形，且直角边长分别为 3 和 4，三棱柱的高 为 5，故其体积 V1 34530(cm 3)，小三棱锥的底面与三棱柱的上底面12 相同，高为 3，故其体积 V2 3436(cm 3)，所以所求几何体的体积13 12 为30624(cm 3)(对应学生用书第 31 页)热点题型 1 几何体的表面积或体积题型分析：解决此类题目，准确转化是前提，套用公式是关键
9、，求解时先根据条件确定几何体的形状，再套用公式求解.【例 1】 (1)如图 810，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是 ，则它的表面积是( )283图 810A17 B18C20 D28(2)如图 811，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( ) 【导学号：68334098】图 811A1836 B54185 5C90 D81(1)A (2)B (1)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉 上半球的 ，得到的几何体如图设球的半径为 R，则14 R3 R3 ，解得 R2.因此它的表面积为 4 R2
10、 R217.故选 A.43 18 43 283 78 34(2)由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(333633 )25418 .故选 B.5 5方法指津1求解几何体的表面积及体积的技巧(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解2根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤(1)根据给出的三视图判断该几何体的形状(2
11、)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量(3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解变式训练 1 (1)某几何体的三视图如图 812 所示，则该几何体的体积为( )图 812A. B5133 3 2C5 D. 3 133 2(2)(2017温州市普通高中 4 月高考模拟考试 12)某几何体的三视图如图 813 所示，则此几何体的体积是_，表面积是_. 【导学号：68334099】图 813(1)D (2) 62 2 (1)由三视图知该几何体是由一个长方体，一个三棱锥和一个83 2 5圆柱组成，故该几何体的体积为 V212 112 1 22 .14 13 12 14 133 2(2)由三视图知
12、，该几何体为四棱锥，其底面是边长为 2 的正方形，高为 2，所以该几何体的体积 V 222 ，表面积 S22 22 22 2 2 62 2 .13 83 12 12 2 12 5 2 5热点题型 2 球与几何体的切、接问题题型分析：与球有关的表面积或体积求解，其核心本质是半径的求解，这也是此类问题求解的主线，考生要时刻谨记.先根据几何体的三视图确定其结构特征与数量特征，然后确定其外接球的球心，进而确定球的半径，最后代入公式求值即可；也可利用球的性质球面上任意一点对直径所张的角为直角，然后根据几何体的结构特征构造射影定理求解.【例 2】 (1)一个几何体的三视图如图 814 所示，其中正视图是正
13、三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )图 814A.83B.163C.483D.643(2)在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1内有一个体积为 V 的球若AB BC， AB6， BC8， AA13，则 V 的最大值是( ) 【导学号：68334100】A4 B.92C6 D.323(1)D (2)B (1)法一 由三视图可知，该几何体是如图所示的 三棱锥 S ABC，其中 HS 是三棱锥的高，由三视图可知HS2 ， HA HB HC2，故 H 为 ABC 外接圆的圆心，该圆的3 半径为 2.由几何体的对称性可知三棱锥 SABC 外接球的球心 O 在直线 HS 上，连接 OB.设球的半径为
14、R，则球心 O 到 ABC 外接圆的距离为 OH| SH OS|2 R|，3由球的截面性质可得 R OB ，解得 R ，所以所求外接球OH2 HB2 |23 R|2 22433的表面积为 4 R24 .故选 D.163 643法二 由三视图可知，该几何体是如图所示的三棱锥 S ABC， 其中HS 是三棱锥的高，由侧视图可知 HS2 ，由正视图和侧视图3 可得HA HB HC2.由几何体的对称性可知三棱锥外接球的球心 O 在 HS 上，延长 SH 交球面于点 P，则 SP 就是球的直径，由点 A 在球面上可得 SA AP.又 SH平面 ABC，所以 SH AH.在 Rt ASH 中， SA 4.
15、SH2 AH2 23 2 22设球的半径为 R，则 SP2 R，在 Rt SPA 中，由射影定理可得 SA2 SHSP，即 422 2R，解得 R ，3433所以所求外接球的表面积为 4 R24 .故选 D.163 643(2)由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切设球的半径为 R.因为 ABC的内切圆半径为 2，所以 R2.又 2R3，所以 R ，所以 Vmax 3 .故6 8 102 32 43 (32) 92选 B.方法指津解决球与几何体的切、接问题的关键在于确定球的半径与几何体的度量之间的关系，这就需要灵活利用球的截面性质以及组合体的截面特征来确定.对于旋转体与球的组合体
16、，主要利用它们的轴截面性质建立相关数据之间的关系；而对于多面体，应抓住多面体的结构特征灵活选择过球心的截面，把多面体的相关数据和球的半径在截面图形中体现出来.变式训练 2 (1)已知直三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若AB3， AC1， BAC60， AA12，则该三棱柱的外接球的体积为( ) 【导学号：68334101】A. B.403 403027C. D203203027(2)(名师押题)一几何体的三视图如图 815(网格中每个正方形的边长为 1)，若这个几何体的顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积是_图 815(1)B (2)20 (1)设 A1B
17、1C1的外心为 O1， ABC 的外心为O2，连接 O1O2， O2B， OB，如图所示由题意可得外接球的球心 O 为 O1O2的中点在 ABC 中，由余弦定理可得 BC2 AB2 AC22 ABACcos BAC3 21 2231cos 607，所以 BC .7由正弦定理可得 ABC 外接圆的直径 2r2 O2B ，所以 r .BCsin 60273 73 213而球心 O 到截面 ABC 的距离 d OO2 AA11，12设直三棱柱 ABCA1B1C1的外接球半径为 R，由球的截面性质可得R2 d2 r21 2 2 ，故 R ，所以该三棱柱的外接球的体积为 V R3(213) 103 303 43.故选 B.403027(2)由三视图知该几何体是一个四棱锥，如图所示，其底面ABCD 是长、宽分别为 4 和 2 的矩形，高为 2，且侧面 SDC 与底面 ABCD 垂直，且顶点 S 在底面上的射影为该 侧面上的底面边的中点由该几何体的结构特征知球心在过底 面中心 O 且与底面垂直的直线上，同时在过侧面 SDC 的外接圆 圆心且与侧面 SDC 垂直的直线上因为 SDC 为直角三角形，所以球心就为底面 ABCD 的中心O，所以外接球的半径为 R AC ，故外接球的表面积为 4 R220.12 5
