1、专题三 概率及期望与方差建知识网络 明内在联系高考点拨 本专题涉及面广，往往以生活中的热点问题为依托，在浙江新高考中的考查方式十分灵活，背景容易创新基于上述分析，本专题按照“古典概型” “随机变量及其分布”两个方面分类进行引导，强化突破突破点 6 古典概型(对应学生用书第 24 页)核心知识提炼提炼 1 古典概型问题的求解技巧(1)直接列举：涉及一些常见的古典概型问题时，往往把事件发生的所有结果逐一列举出来，然后进行求解(2)画树状图：涉及一些特殊古典概型问题时，直接列举容易出错，通过画树状图，列举过程更具有直观性、条理性，使列举结果不重、不漏(3)逆向思维：对于较复杂的古典概型问题，若直接求
2、解比较困难，可利用逆向思维，先求其对立事件的概率，进而可得所求事件的概率(4)活用对称：对于一些具有一定对称性的古典概型问题，通过列举基本事件个数结合古典概型的概率公式来处理反而比较复杂，利用对称思维，可以快速解决.提炼 2 求概率的两种常用方法(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率(2)若一个较复杂的事件的对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反” 它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率高考真题回访回访 古典概型1(2011浙江高考)从装有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球，则所取的 3 个球中至少有1 个白球的概率是( )
3、A. B.110 310C. D.35 910D “所取的 3 个球中至少有 1 个白球”的对立事件是“所取的 3 个球都不是白球” ，因而所求的概率 P1 1 .C3C35 110 9102(2014浙江高考)在 3 张奖券中有一、二等奖各 1 张，另 1 张无奖甲、乙两人各抽取 1 张，两人都中奖的概率是_记“两人都中奖”为事件 A，13设中一、二等奖及不中奖分别记为 1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共 6 种其中甲、乙都中奖有(1,2)，(2,1)，2 种，所以 P(A) .26 133(2013浙江高考)从 3 男
4、 3 女共 6 名同学中任选 2 名(每名同学被选中的机会均等)，这 2 名都是女同学的概率等于_用 A， B， C 表示三名男同学，用 a， b， c 表示三名女同学，则从 6 名同学中选出 2 人的15所有选法为： AB， AC， Aa， Ab， Ac， BC， Ba， Bb， Bc， Ca， Cb， Cc， ab， ac， bc，共 15 种选法，其中都是女同学的选法有 3 种，即 ab， ac， bc，故所求概率为 .315 15(对应学生用书第 25 页)热点题型 1 古典概型题型分析：古典概型是高考考查概率的核心，问题背景大多是取球、选人、组数等，求解的关键是准确列举基本事件，难度
5、较小.【例 1】 (1)(2017浙东北教学联盟高三一模考试 7)袋子里有大小、形状相同的红球 m 个，黑球 n 个( m n2)从中任取 1 个球是红球的概率记为 p1.若将红球、黑球个数各增加 1 个，此时从中任取 1 个球是红球的概率记为 p2；若将红球、黑球个数各减少 1 个，此时从中任取1 个球是红球的概率记为 p3，则( )A p1 p2 p3 B p1 p3 p2C p3 p2 p1 D p3 p1 p2(2)已知 M1,2,3,4，若 a M， b M，则函数 f(x) ax3 bx2 x3 在 R 上为增函数的概率是( )【导学号：68334080】A. B.916 716C
6、. D.416 316(1)B (2)A (1)由题意得 p1 ， p2 ， p3 ，则mm n m 1m n 2 m 1m n 2 1 ， 1 ， 1 ，则 1p1 m nm nm 1p2 m n 2m 1 n 1m 1 1p3 m n 2m 1 n 1m 1 1p1 1p2 nm n 1m 10， 0，所以 ，所以 p3 p1 p2，故选n mm m 1 1p1 1p3 nm n 1m 1 m nm m 1 1p2 1p1 1p3D.(2)记事件 A 为“函数 f(x) ax3 bx2 x3 在 R 上为增函数” 因为 f(x) ax3 bx2 x3，所以 f( x)3 ax22 bx1.
7、因为函数 f(x)在 R 上为增函数，所以 f( x)0 在 R 上恒成立又 a0，所以 (2 b)243 a4 b212 a0 在 R 上恒成立，即 a .b23所以当 b1 时，有 a ，故 a 可取 1,2,3,4，共 4 个数；13当 b2 时，有 a ，故 a 可取 2,3,4，共 3 个数；43当 b3 时，有 a3，故 a 可取 3,4，共 2 个数；当 b4 时，有 a ，故 a 无可取值163综上，事件 A 包含的基本事件有 4329(种)又 a， b1,2,3,4，所以( a， b)共有 4416(种)故所求事件 A 的概率为 P(A) .故选 A.916方法指津利用古典概
8、型求事件概率的关键及注意点1关键：正确列举出基本事件的总数和待求事件包括的基本事件数2注意点：(1)对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不重不漏(2)当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率变式训练 1 (2016温州调研)若将甲、乙两个球随机放入编号为 1,2,3 的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在 1,2 号盒子中各有一个球的概率是_将甲、乙两个球随机放入编号为 1,2,3 的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则有29339 种不同放法，其中在 1,2 号盒子中各有一个球的结果有 2 种，故所求概率是 .29热点题型 2 互斥事件与对立事件的概率题型分析：互斥事
9、件与对立事件的概率常与古典概型等交汇命题，主要考查学生的分析转化能力，难度中等.【例 2】 现有甲、乙、丙、丁 4 个学生课余参加学校社团文学社与街舞社的活动，每人参加且只能参加一个社团的活动，且参加每个社团是等可能的(1)求文学社和街舞社都至少有 1 人参加的概率；(2)求甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的概率解 甲、乙、丙、丁 4 个学生课余参加学校社团文学社与街舞社的情况如下：文学社 街舞社1 甲乙丙丁2 甲乙丙 丁3 甲乙丁 丙4 甲丙丁 乙5 乙丙丁 甲6 甲乙 丙丁7 甲丙 乙丁8 乙丙 甲丁9 甲丁 乙丙10 乙丁 甲丙11 丙丁 甲乙12 甲 乙丙丁13 乙 甲丙丁1
10、4 丙 甲乙丁15 丁 甲乙丙16 甲乙丙丁共有 16 种情形，即有 16 个基本事件. 6 分(1)文学社或街舞社没有人参加的基本事件有 2 个，故所求概率为 . 9 分1416 78(2)甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的基本事件有 4 个，故所求概率为 .416 1412 分方法指津1直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算2间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式 P(A)1 P( )求解，即运用逆向思维(正难则A反)，特别是“至多” “至少”型题目，用间接求法会较简便提醒：应用互斥事件概率的加法公式的前提是确定各个事件是否彼此互斥变式训
11、练 2 (名师押题)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3.(1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率；(2)求该地 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率【导学号：68334081】解 记事件 A 为“该车主购买甲种保险” ，事件 B 为“该车主购买乙种保险但不购买甲种保险” ，事件 C 为“该车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种” ，事件 D 为“该车主甲、乙两种保险都不购买”. 4 分(1)由题意得 P(A)0.5， P(B)0.3， 6 分又 C A B，所以 P(C) P(A B) P(A) P(B)0.50.30.8. 12 分(2)因为 D 与 C 是对立事件，所以 P(D)1 P(C)10.80.2. 15 分
