1、专题限时集训(十五) 函数与方程(对应学生用书第 147 页)建议 A、B 组各用时：45 分钟A 组 高考达标一、选择题1函数 f(x)ln x x39 的零点所在的区间为( )A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)C 由于函数 f(x)ln x x39 在(0，)上是增函数， f(2)ln 210， f(3)ln 3180，故函数 f(x)ln x x39 在区间(2,3)上有唯一的零点2已知函数 f(x)e x x， g(x)ln x x， h(x) x 的零点依次为 a， b， c，则( )14xA c b a B a b cC c a b D b a cB 由 f(x)
2、0 得 ex x，由 g(x)0 得 ln x x.由 h(x)0 得 x1，即 c 1.在坐标系中，分别作出函数 ye x， y x， yln x 的图象，由图象可知 a0,0 b1，所以 a b c.3已知函数 f(x)Error!则函数 g(x) f(1 x)1 的零点个数为( )A1 B2 C3 D4C g(x) f(1 x)1Error!Error!当 x1 时，函数 g(x)有 1 个零点；当 x1 时，函数有 2 个零点，所以函数的零点个数为3，故选 C.4(2017浙江五校联考)已知函数 f(x)Error!( aR)，若函数 f(x)在 R 上有两个零点，则 a的取值范围是(
3、 )A(，1) B(，0)C(1,0) D1,0)D 当 x0 时， f(x)3 x1 有一个零点 x ，所以只需要当 x0 时，e x a0 有一个根13即可，即 ex a.当 x0 时，e x(0,1，所以 a(0,1，即 a1,0)，故选 D.5已知函数 f(x)Error!若函数 g(x) f(x) k 仅有一个零点，则 k 的取值范围是( )A.(43， 2B(，0) (43， )C(，0)D(，0) (43， 2)D 函数 f(x)Error!函数 g(x) f(x) k 仅有一个零点，即 f(x) k 只有一个解，在平面直角坐标系中画出y f(x)的图象，结合函数图象可知，方程只
4、有一个解时， k(，0) ，故选 D.(43， 2)二、填空题6已知f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x0,3)时， f(x).若|x2 2x12|函数 y f(x) a 在区间3,4上有 10 个零点(互不相同)，则实数 a 的取值范围是_当 x0,3)时， f(x) ，由 f(x)是周期为 3 的函数，(0，12) |x2 2x 12| | x 1 2 12|作出 f(x)在3,4上的图象，如图由题意知方程 a f(x)在3,4上有 10 个不同的根由图可知 a .(0，12)7函数 f(x) |x1| 2cos x(4 x6)的所有零点之和为_(12)10 问题可转化为
5、y |x1| 与 y2cos x 在4 x6 的交点的横坐标的和，因为两(12)个函数图象均关于 x1 对称，所以 x1 两侧的交点对称，那么两对应交点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象(图略)，易知 x1 两侧分别有 5 个交点，所以所求和为5210.8已知函数 f(x)Error!若 f(0)2， f(1)1，则函数 g(x) f(x) x 的零点个数为_【导学号：68334143】3 依题意得Error!解得Error!令 g(x)0，得 f(x) x0，该方程等价于Error!或Error! 解得 x2，解得 x1 或 x2，因此，函数 g(x) f(x) x 的零点个数为 3.
6、三、解答题9已知 f(x)|2 x1| ax5( a 是常数， aR)(1)当 a1 时，求不等式 f(x)0 的解集；(2)如果函数 y f(x)恰有两个不同的零点，求 a 的取值范围解 (1)当 a1 时，f(x)|2 x1| x5Error! 2 分由Error!解得 x2；由Error!解得 x4.所以 f(x)0 的解集为 x|x2 或 x4. 6 分(2)由 f(x)0，得|2 x1| ax5.作出 y|2 x1|和 y ax5 的图象， 10 分观察可以知道，当2 a2 时，这两个函数的图象有两个不同的交点，即函数 y f(x)有两个不同的零点故 a 的取值范围是(2,2). 1
7、5 分10(2017浙江省名校新高考研究联盟高三第三次联考)设函数 f(x) x2 axln x(aR)(1)若 a1 时，求函数 f(x)的单调区间；(2)设函数 f(x)在 有两个零点，求实数 a 的取值范围(其中 e 是自然对数的底数). 【导学号：68334144】1e， e解 (1)定义域 x(0，)，当 a1 时， f(x) x2 xln x， 3 分令 f( x)2 x1 0，1x 2x2 x 1x即 2x2 x10，即 0 x1. f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，). 7 分(2)f(x) x2 axln x0，即 a x ，ln xx令 g(x) x
8、，其中 x ， 9 分ln xx 1e， eg( x)1 0，即 x1，1xx ln xx2 x2 ln x 1x2 g(x)的单调递减区间为 ，1e， 1)单调递增区间为(1，e， g(x)min g(1)1， 13 分又 g e ， g(e)e ，(1e) 1e 1e因为函数 f(x)在 有两个零点，1e， e所以 a 的取值范围是 . 15 分(1， e1eB 组 名校冲刺一、选择题1若函数 f(x)满足 f(x)1 ，当 x0,1时， f(x) x.若在区间(1,1内， g(x)1f x 1 f(x) mx2 m 有两个零点，则实数 m 的取值范围是( )A0 m B0 m13 13C
9、. m1 D. m113 13B 当1 x0 时，0 x11，所以 f(x1) x1，从而 f(x) 1 1，1f x 1 1x 1于是 f(x)Error!f(x) mx2 m0 f(x) m(x2)，由图象可知 0 m kAB .132(2017诸暨期末考试)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x) f(x4)16，当 x(0,4时，f(x) x22 x，则函数 f(x)在4,2 016上的零点个数是( )A504 B505C1 008 D1 009B f(x) f(x4)16， f(x4) f(x8)16， f(x) f(x8)，函数 f(x)是 R 上周期为 8 的函数又 f(2)
10、 f(4)0,2 02082524， f(2) f(10) f(18) f(82512)， f(4) f(4) f(82514)，故函数 f(x)在4,2 016上的零点个数是 25112512505，故选 B.3函数 f(x)Error!若方程 f(x) x a 有且只有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围为( ) 【导学号：68334145】A(，0) B0,1)C(，1) D0，)C 函数 f(x)Error!的图象如图所示，作出直线 l： y a x，向左平移直线 l，观察可得函数 y f(x)的图象与直线 l： y x a有两个交点，则方程 f(x) x a 有且只有两个不相等
11、的实数根时， a1，故选 C.4(2017宁波镇海中学模拟)已知函数 f(x)Error!的图象上恰有三对点关于原点成中心对称，则 a 的取值范围是( )A. B.(178， 2) ( 178， 2C. D.1，1716) (1， 1716)D 由题意知当 x0 的图象必有三个公共点当 a0时的图象只有一个公共点，不满足条件；当 a0 时，作出当 x0)相切的直线的切点坐标为( x0， y0)，则由y2 x 得 2x03，即 x0 ，切点坐标为 ，切线方程为 y 3 ，即32 (32， 14) 14 (x 32)y3 x ，则由图象可知要使 g(x)3| x a| a 与函数 y x22( x
12、0)的图象有三个公共174点，则必须满足Error!解得 11 时，x1 kx2，即( k1) x3，当| x|1 上有解，( k1) x1 在| x|1 上无解，(k1) x1 在| x|0， b0.(1)若 a b1，求 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)恰有三个不同的零点，且这些零点之和为2，求 a， b 的值；(3)若函数 f(x)在2,2上有四个不同零点 x1， x2， x3， x4，求| x1| x2| x3| x4|的最大值解 (1) f(x) x2| x1|Error! 2 分由函数 f(x)的图象知单调递增区间为 ，单调递减区间为 . 4 分(12， ) ( ， 12
13、)(2)原函数有三个零点等价于 x2 a|x b|有三个不等实根分析函数 y x2， y a|x b|.由Error!得 x2 ax ab0， 0， x1 x2 a. 8 分由Error!得 x2 ax ab0， 0， b ， x3 .a4 a2 x1 x2 x32， a4， b1. 9 分(3)不妨设 x1x2x3x4，原命题等价于x2 ax ab0 有两根 x3， x4，满足 x3， x4(0,2，则 x3 x4 a，x2 ax ab0 有两根 x1， x2，满足 x1， x22,2，则 x1 x2 a， x1x2 ab，得 x2 x1 ，a2 4ab| x1| x2| x3| x4| x1 x2 x3 x4 a ，(*) 11 分a2 4ab由图象得Error! 12 分由可得 2a4 ab42 a，解得 a2，代入(*)得 a a a| a4|4. 14 分a2 4ab a2 16 8a当 ab42 a 时取等号，取 a ， b 即可满足所有要求74 27| x1| x2| x3| x4|的最大值为 4. 15 分
