1、突破点 2 解三角形(对应学生用书第 11 页)核心知识提炼提炼 1 常见解三角形的题型及解法(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解(4)已知三边，利用余弦定理求解.提炼 2 三角形形状的判断(1)从边出发，全部转化为边之间的关系进行判断(2)从角出发，全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形，再判断注意：要灵活选用正弦定理或余弦定理，且在变形的时候要注意方程的同解性，如方程两边同除以一个数时要注意该数是否为零，避免漏解.提炼 3 三角形的常用面积公式设 ABC 的内角 A， B，
2、 C 的对边分别为 a， b， c ，其面积为 S.(1)S aha bhb chc(ha， hb， hc分别表示 a， b， c 边上的高)12 12 12(2)S absin C bcsin A casin B.12 12 12(3)S r(a b c)(r 为三角形 ABC 内切圆的半径)12高考真题回访回访 1 正、余弦定理的应用1(2017浙江高考)已知 ABC， AB AC4， BC2.点 D 为 AB 延长线上一点， BD2，连接CD，则 BDC 的面积是_，cos BDC_.依题意作出图形，如图所示，152 104则 sin DBCsin ABC.由题意知 AB AC4， BC
3、 BD2，则 sin ABC ，cos ABC .154 14所以 S BDC BCBDsin DBC12 22 .12 154 152因为 cos DBCcos ABC 14 BD2 BC2 CD22BDBC ，所以 CD .8 CD28 10由余弦定理，得 cos BDC .4 10 42210 1042(2013浙江高考)在 ABC 中， C90， M 是 BC 的中点若 sin BAM ，则13sin BAC_.因为 sin BAM ，63 13所以 cos BAM .如图，在 ABM 中，利用正弦定理，得 223 BMsin BAM AMsin B，所以 .BMAM sin BAMs
4、in B 13sin B 13cos BAC在 Rt ACM 中，有 sin CAMsin( BAC BAM)由题意知 BM CM，所以CMAMsin( BAC BAM)13cos BAC化简，得 2 sin BACcos BACcos 2 BAC1.2所以 1，解得 tan BAC .22tan BAC 1tan2 BAC 1 2再结合 sin2 BACcos 2 BAC1， BAC 为锐角可解得 sin BAC .633(2016浙江高考)在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 b c2 acos B.(1)证明： A2 B；(2)若 ABC 的面积 S
5、 ，求角 A 的大小a24【导学号：68334039】解 (1)证明：由正弦定理得 sin Bsin C2sin Acos B，故 2sin Acos Bsin Bsin( A B)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是 sin Bsin( A B). 3 分又 A， B(0，)，故 00)asin A bsin B csin C则 a ksin A， b ksin B， c ksin C，代入 中，有cos Aa cos Bb sin Cc ， 2 分cos Aksin A cos Bksin B sin Cksin C即 sin Asin Bsin Acos Bcos A
6、sin Bsin( A B). 4 分在 ABC 中，由 A B C，有 sin(A B)sin( C)sin C，所以 sin Asin Bsin C 6 分(2)由已知， b2 c2 a2 bc，根据余弦定理，有65cos A ， 8 分b2 c2 a22bc 35所以 sin A . 9 分1 cos2A45由(1)知 sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以 sin B cos B sin B， 12 分45 45 35故 tan B 4. 14 分sin Bcos B方法指津关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见
7、的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一” ，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口变式训练 1 (1)(2017温州市普通高中高考模拟考试)在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边长分别为 a， b， c，记 S 为 ABC 的面积若 A60， b1， S ，则334c_，cos B_. 【导学号：68334041】3 因为 S bcsin A 1c ，所以 c3；由余弦定理，得5714 12 12 32 334a2 b2 c22 bccos A196 7，所以 cos B .12 a2 c2 b22ac 7 9 1273 5714(2)在 ABC 中， a
8、， b， c 分别为内角 A， B， C 的对边，且 acos B bcos(B C)0.证明： ABC 为等腰三角形；若 2(b2 c2 a2) bc，求 cos Bcos C 的值解 证明： acos B bcos (B C)0，由正弦定理得 sin Acos Bsin Bcos( A)0，即 sin Acos Bsin Bcos A0， 3 分sin( A B)0， A B k， kZ. 4 分 A， B 是 ABC 的两内角， A B0，即 A B， 5 分 ABC 是等腰三角形. 6 分由 2(b2 c2 a2) bc，得 ， 7 分b2 c2 a22bc 14由余弦定理得 cos
9、A ， 8 分14cos Ccos(2 A)cos 2 A12cos 2 A . 10 分78 A B，cos Bcos A ， 12 分14cos Bcos C . 14 分14 78 98热点题型 2 三角形面积的求解问题题型分析：三角形面积的计算及与三角形面积有关的最值问题是解三角形的重要命题点之一，本质上还是考查利用正、余弦定理解三角形，难度中等.【例 2】 设 f(x)sin xcos xcos 2 .(x 4)(1)求 f(x)的单调区间；(2)在锐角 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若 f 0， a1，求 ABC 面积的(A2)最大值【解题指导】 (
10、1) f x 恒 等 变 换 化 归 思 想 f x Asin x k 求 f x 的 单 调 区 间(2)f(A2) 0 锐 角 三 角 形 求 A 余 弦 定 理 建 立 b， c的 等 量 关 系 基 本 不 等 式 求 bc的 最 大 值 正 弦 定 理 求 ABC的 面 积解 (1)由题意知f(x) sin 2x2 1 cos(2x 2)2 sin 2 x . 2 分sin 2x2 1 sin 2x2 12由 2 k2 x 2 k， kZ，可得 k x k， kZ.由 2 2 4 42 k2 x 2 k， kZ，可得 k x k， kZ. 4 分 2 32 4 34所以 f(x)的单
11、调递增区间是 k， k( kZ)；单调递减区间是 4 4(kZ). 6 分 4 k ， 34 k (2)由 f sin A 0，得 sin A ， 7 分(A2) 12 12由题意知 A 为锐角，所以 cos A . 8 分32由余弦定理 a2 b2 c22 bccos A，可得 1 bc b2 c22 bc， 12 分3即 bc2 ，当且仅当 b c 时等号成立3因此 bcsin A ，12 2 34所以 ABC 面积的最大值为 . 14 分2 34方法指津1在研究三角函数的图象与性质时常先将函数的解析式利用三角恒等变换转化为y Asin(x ) B(或 y Acos(x ) B， y At
12、an(x ) B)的形式，进而利用函数 ysin x(或 ycos x， ytan x)的图象与性质解决问题2在三角形中，正、余弦定理可以实现边角互化，尤其在余弦定理 a2 b2 c22 bccos A 中，有 a2 c2和 ac 两项，二者的关系 a2 c2( a c)22 ac 经常用到，有时还可利用基本不等式求最值变式训练 2 (名师押题)在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， a 4cos 1aC， b1.(1)若 sin C ，求 a， c；217(2)若 ABC 是直角三角形，求 ABC 的面积解 (1)sin C ，cos 2C1sin 2C ，cos
13、 C . 1 分217 47 274cos C a ，1a a ，解得 a 或 a . 3 分87 1a 7 77又 a4cos C4 4 ，1a a2 b2 c22ab a2 1 c22a a212( a21 c2)，即 2c2 a21. 5 分当 a 时， c2；7当 a 时， c . 6 分17 27(2)由(1)可知 2c2 a21.又 ABC 为直角三角形， C 不可能为直角若角 A 为直角，则 a2 b2 c2 c21，2 c21 c21， c ， a ， 8 分2 3 S bc 1 . 9 分12 12 2 22若角 B 为直角，则 b2 a2 c2， a2 c21.2 c2 a21(1 c2)1， c2 ， a2 ，即 c ， a ， 12 分23 13 63 33 S ac . 14 分12 12 63 33 26
