1、第 20 讲 多边形与平行四边形1多边形考试内容考试要求多边形的定义在同一平面内，若干条不在同一直线上的线段 相接组成的图形叫做多边形a内角和 n 边形内角和为 外角和 任意多边形的外角和为 多边形的性质对角线n 边形从一个顶点出发可以画_条对角线，一共可以画_条对角线c定义各边_，各角也_的多边形叫做正多边形a正多边形性质正 n 边形的每一个内角的度数都是 ，每一个外角的度数都是 c2.平行四边形的性质、判定方法考试内容考试要求平行四边形的对边_.平行四边形的对角_.平行四边形的对角线 性质平行四边形是 对称图形，它的对称中心是两条对角线的 两组对边分别 的四边形是平行四边形(定义法 )两组
2、对边分别_的四边形是平行四边形.判定两组对角分别 的四边形是平行四边形c一组对边_的四边形是平行四边形.对角线 的四边形是平行四边形拓展若一条直线过平行四边形的对角线的交点，那么这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为对称中心，且这条直线等分平行四边形的面积、周长考试内容考试要求1.面积法，在三角形和平行四边形中，运用“等积法”进行求解，以不同的边为底，其高也不相同，但面积是定值，从而得到不同底和高的关系基本方法2.四种辅助线：(1)常用连对角线的方法把四边形问题转化为三角形的问题；(2)有平行线时，常作平行线构造平行四边形；(3)有中线时，常作加倍中线构造平行四边形；(4)图形具有等邻边
3、特征时(如：等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形等)，可以通过引辅助线把图形的某一部分绕等邻边的公共端点旋转到另一位置c1(2016舟山)已知一个正多边形的内角是 140，则这个正多边形的边数是( )A6 B7 C8 D92(2016绍兴)小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是( )A， B， C ， D，3(2016衢州)如图，在ABCD 中，M 是 BC 延长线上的一点，若A135，则MCD 的度数是( )A45 B55 C65 D754(2016丽水)如图，ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，已
4、知AD8，BD12，AC6，则OBC 的周长为( )A13 B17 C20 D265(2015衢州)如图，在ABCD 中，已知 AD12cm，AB8cm ，AE 平分BAD 交BC 边于点 E，则 CE 的长等于( )A8cm B6cm C4cm D2cm【问题】(1)如图，你能从多边形中得到哪些信息？(2)如图，四边形 ABCD 是平行四边形，你能从这个图形中获取哪些信息？(3)如图是一张平行四边形 ABCD 的纸片沿对角线撕下的一部分，请你用不同方法复原平行四边形 ABCD.【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理平行四边形的性质、判定方法类型一 多边形的性质(1)(2016乌鲁木齐)一个多边形
5、的内角和是外角和的 2 倍，则这个多边形的边数例 1为_(2)(2016河北)已知 n 边形的内角和 (n2) 180.甲同学说， 能取 360；而乙同学说， 也能取 630.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数 n.若不对，说明理由；若 n 边形变为(nx)边形，发现内角和增加了 360，用列方程的方法确定 x.【解后感悟】如果已知 n 边形的内角和，那么可以求出它的边数 n；对于多边形的外角和等于 360，应明确两点： (1)多边形的外角和与边数 n 无关；(2)多边形内角问题转化为外角问题常常有化难为易的效果此题需要结合多边形的内角和公式来寻求等量关系，构建方程即可求解1(1)(2015丽水
6、)一个多边形的每个内角均为 120，则这个多边形是( )A四边形 B五边形 C六边形 D七边形(2)一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为 720，那么原多边形的边数为( )A5 B5 或 6 C5 或 7 D5 或 6 或7类型二 平行四边形的判定(1)(2017荆门模拟)四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，给出下列四例 2个条件：ADBC ；AD BC ；OAOC ；OB OD.从中任选两个条件，能使四边形 ABCD 为平行四边形的选法是_(填序号)；(2)(2016衢州)已知直角坐标系内有四个点 O(0，0) ，A(3，0)，B(1，1) ，C(x，1)，
7、若以 O，A，B，C 为顶点的四边形是平行四边形，则 x_.【解后感悟】(1)探索平行四边形成立的条件，有多种方法判定平行四边形：若条件中涉及角，考虑用“两组对角分别相等”或“两组对边分别平行”来证明；若条件中涉及对角线，考虑用“对角线互相平分”来说明；若条件中涉及边，考虑用“两组对边分别平行”或“一组对边平行且相等”来证明，也可以巧添辅助线，构建平行四边形(2)注意：“以 O，A，B ，C 为顶点的四边形是平行四边形 ”与“四边形 OABC 是平行四边形”的区别2(1)(2017嘉兴模拟)如图，已知ABC，分别以 A，C 为圆心，BC，AB 长为半径画弧，两弧在直线 BC 上方交于点 D，连
8、结 AD，CD，则有 ( )AADC 与BAD 相等 BADC 与BAD 互补CADC 与ABC 互补 DADC 与ABC 互余(2)(2016吉林)图 1，图 2 都是 88 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为 1，在每个正方形网格中标注了 6 个格点，这 6 个格点简称为标注点请在图 1，图 2 中，以 4 个标注点为顶点，各画一个平行四边形(两个平行四边形不全等)；图 1 中所画的平行四边形的面积为 .3(2015遂宁)如图，ABCD 中，点 E，F 在对角线 BD 上，且 BEDF，求证：(1)AE CF；(2)四边形 AECF 是平行四边形类型三 平行四
9、边形的性质如图，在ABCD 中，例 3(1)若ABC232，则D _；(2)若AC240，则 B_；(3)若对角线 AC，BD 交于点 O，AC4，BD5，BC3，则BOC 的周长是_；(4)若A 的平分线交边 BC 于点 E.若 AB10cm ，AD14cm ，则BE_cm ，EC_cm ；(5)若BAD 与ADC 的角平分线分别交边 BC 于点 E，F，且 AB2EF2，则BC_ 【解后感悟】利用图形和平行四边形的性质是解题关键；对于(5)注意分类讨论4(1)(2017泸州模拟)平行四边形的两条对角线分别为 6 和 10，则其中一条边 x 的取值范围为( )A4x6 B2x8 C0x10
10、D0x6(2)(2017丽水)如图，在ABCD 中，连结 AC，ABCCAD45，AB2，则BC 的长是( )A. B2 C2 D42 2(3)(2015河南)如图，在ABCD 中，用直尺和圆规作BAD 的平分线 AG 交 BC 于点E.若 BF6，AB5，则 AE 的长为( )A4 B6 C8 D10(4)(2017黄岗模拟)在ABCD 中，BC 边上的高为 4，AB 5，AC 2 ，则ABCD 的5周长等于_类型四 平行四边形的应用如图 1 是某公共汽车前挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图 2，雨刷 EF 丄例 4AD，垂足为 A，ABCD，且 ADBC. 这样能使雨刷 EF 在运动时始终垂
11、直于玻璃窗下沿 BC.请证明这一结论【解后感悟】本题是实际问题，首先构建关于平行四边形的问题，再利用平行四边形的判定和性质来解决5(2017嘉兴模拟)将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形 ABCD 的形状，并使其面积为长方形面积的一半(木条宽度忽略不计) ，则这个平行四边形的最小内角为度类型五 平行四边形的综合运用(2017舟山模拟)如图，在平行四边形 ABCD 中，C 60，M，N 分别是例 5AD，BC 的中点， BC2CD.(1)求证：四边形 MNCD 是平行四边形；(2)求证：BD MN.3【解后感悟】利用平行四边形的性质，可以证角相等、线段相等，其关键是根据所需要的线段、角，选
12、择需要的边、角相等条件；也可以证明相关联的四边形是平行四边形6(1)(2016东营)如图，在 RtABC 中，B 90，AB4，BCAB，点 D 在 BC上，以 AC 为对角线的所有平行四边形 ADCE 中，DE 的最小值是 .(2)(2017温州模拟)如图，将ABCD 的 AD 边延长至点 E，使 DE AD，连结 CE，F12是 BC 边的中点，连结 FD.求证：四边形 CEDF 是平行四边形；若 AB3，AD4，A 60，求 CE 的长【作图探究题】如图，甲、乙两人想在正五边形 ABCDE 内部找一点 P，使得四边形 ABPE 为平行四边形，其作法如下：(甲)连结 BD、CE ，两线段相
13、交于 P 点，则 P 即为所求(乙)先取 CD 的中点 M，再以 A 为圆心，AB 长为半径画弧，交 AM 于 P 点，则 P 即为所求对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确( )A两人皆正确 B两人皆错误 C甲正确，乙错误 D甲错误，乙正确【方法与对策】本题综合运用正五边形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行四边形的判定的应用，问题通过实验操作为条件进行分析、综合、对照平行四边形判定，说明甲正确、乙错误通过作图来计算、判断、证明是中考出题常用方法【各种判定方法易混淆不清】已知四边形 ABCD，有以下四个条件：AB CD； ABCD； BCAD；BCAD.从这四个条件中任选
14、两个，能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法种数共有( )A6 种 B5 种 C4 种 D3 种参考答案第 20 讲 多边形与平行四边形【考点概要】1首尾顺次 (n 2)180 360 (n 3) 相等 相等 n（n 3）22.相等 相等 互相平分 中心 交点 平行 相等 相等 （n 2）180n 360n平行且相等 互相平分【考题体验】1D 2.D 3.A 4.B 5.C【知识引擎】【解析】(1) n 边形的内角和(n 2)180，外角和 360； (2)从平行四边形的性质的角度说明； (3)从平行四边形的判定方法的角度说明(四个方面)【例题精析】例 1 (1)6； (2)3601802，
15、630180390 ，甲的说法对，乙的说法不对，3601802224.答：甲同学说的 n 边形的边数 n 是 4；依题意有(n x2)180(n 2) 180360 ，解得 x 2.故 x 的值是 2.例 2 (1)、；(2)根据题意画图如下：以 O，A，B，C 为顶点的四边形是平行四边形，则 C(4，1)或( 2，1)，则 x4 或2；故答案为：4 或2.例 3 (1)108 (2)60 (3)7.5 (4)10，4 (5)3 或 5例 4 ABCD、ADBC，四边形 ABCD 是平行四边形. AD BC.又EF AD，EFBC.例 5 (1)四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，AD
16、BC，M、N 分别是AD、BC 的中点， MD NC ，MDNC，四边形 MNCD 是平行四边形； (2)如图：连结 ND，四边形 MNCD 是平行四边形，MN DC.N 是 BC 的中点，BN CN， BC2CD，C 60，NCD 是等边三角形NDNC，DNC60 .DNC 是BND 的外角，NBD NDBDNC ，DNNCNB，DBNBDN DNC 30，12BDC90 .tan DBC ，DB DC MN.DCDB 33 3 3【变式拓展】1(1)C (2)D 2.(1)B (2)如图 1，如图 2；6 3. 证明：(1)四边形 ABCD 是平行四边形，AB CD，ABCD.ABE CD
17、F. 在ABE 和CDF 中， ，AB CD ABE CDFBE DF )ABECDF(SAS)AE CF. (2) ABECDF， AEBCFD ， AEFCFE，AECF，AECF，四边形 AECF是平行四边形 4. (1)B (2)C (3) C (4)12 或 20 5.30 6.(1)4 (2)证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，AD BC ，DE AD，F 是 BC 边的中点， DEFC ，DE FC ，四边12形 CEDF 是平行四边形；过点 D 作 DNBC 于点 N， 四边形 ABCD 是平行四边形，A60，BCD A60，AB3，AD4，FC 2，NC DC ，
18、DN 12 32， FN ，则 DFEC .332 12 DN2 FN2 7【热点题型】【分析与解】甲：如图 1，正五边形的每个内角的度数是 108，（5 2）1805ABBC CDDEAE ， DECDCE (180108) 36，同理12CBDCDB36， ABPAEP10836 72，BPE 3601087272108A ，四边形 ABPE 是平行四边形，即甲正确；乙：如图 2，BAE108，BAMEAM54，AB AEAP ，ABPAPB (18054) 63，AEPAPE63，12BPE360 1086363108，即ABP AEP，BAEBPE，四边形 ABPE 不是平行四边形，即乙错误；故选 C.【错误警示】利用判定方法可得、，这四种情况能判定四边形ABCD 是平行四边形故选 C.
