1、第 31 讲 数据的分析及其应用1数据的代表考试内容考试要求算术平均数一组数据 x1，x 2，x n，它的平均数x_ 平均数加权平均数若 n 个数 x1，x 2，x n 的权分别是 f1，f 2，f n，则其加权平均数 x_.将一组数据按照由小到大(或由大到小 )的顺序排列，若数据的个数为奇数，则处于 的数就是这组数据的中位数；若数据的个数为偶数，则中间两个数据的 就是这组数据的中位数中位数确定中位数时，一定要注意先把整组数据按照大小顺序排列，再确定在一组数据中，出现 的数据就是这组数据的众数众数 (1)一组数据中众数不一定只有一个；(2) 当一组数据中出现异常值时，其平均数往往不能正确反映这
2、组数据的集中趋势，就应考虑用中位数或众数来考察bc2.数据的波动考试内容考试要求表示数据波动的量定义 意义方差设有 n 个数据 x1，x 2，x 3，x n，各数据与它们_的差的平方分别是(x 1x) 2，(x 2x)2，(x nx) 2，我们用它们的平均数，即用_来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，记作 S2.方差越大，数据的波动越 ，反之也成立标准差我们也用方差的算术平方根来描述一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差标准差越大，数据的波动越 ，反之也成立bc考试内容考试要求基本思想统计的基本思想：利用样本特征去估计总体的特征是统计的基本思想注意样本的选取要有足够的代
3、表性基本方法利用数据进行决策：利用数据进行决策时，要全面、多角度地去分析已有数据，比较它们的代表性和波动大小，发现它们的变化规律和发展趋势，从而作出正确决策c1(2017湖州)数据2，1 ，0，1，2，4 的中位数是( )A0 B0.5 C1 D22(2017温州)温州某企业车间有 50 名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下表：零件个数(个) 5 6 7 8人数(人) 3 15 22 10表中表示零件个数的数据中，众数是( )A5 个 B6 个 C7 个 D8 个3(2017绍兴)下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：甲 乙 丙 丁平均数(环) 9.1
4、4 9.15 9.14 9.15方差 6.6 6.8 6.7 6.6根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择( )A甲 B乙 C丙 D丁4(2017台州)有五名射击运动员，教练为了分析他们成绩的波动程度，应选择下列统计量中的( )A方差 B中位数 C众数 D平均数【问题】某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了 5 箭，他们的总成绩(单位：环)相同小宇根据他们的成绩绘制了如下不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差( 见小宇的作业) 甲、乙两人射箭成绩统计表第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次甲成绩 9 4 7 4
5、6乙成绩 7 5 7 a 7(1)a_，x 乙 _ ；(2)请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；(3)观察图，可看出_的成绩比较稳定( 填“甲”或“乙”)参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断；请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中；(4)通过(1)、(2) 、(3)解答体验，数据的分析应运用哪些统计量，这些统计量特点是什么？【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理统计量：平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差，以及它们的特征；对统计量进行合理地选择和恰当地运用，全面、多角度地去分析已有数据，利用数据进行决策类型一 平均数、众数和中位数的计算与应用(2017嘉兴模拟)为了解某社区居
6、民的用电情况，随机对该社区 10 户居民进行了例 1调查，下表是这 10 户居民 2017 年 4 月份用电量的调查结果：居民( 户) 1 3 2 4月用电量( 度/户) 40 50 55 60那么关于这 10 户居民月用电量(单位：度) ，下列说法错误的是 ( )A中位数是 55 B众数是 60 C方差是 29 D平均数是 54【解后感悟】此题主要运用了平均数、众数、中位数及方差的知识，解题时分别计算出众数、中位数、平均数及方差后找到正确的选项即可求中位数这类问题一般要把数据从小到大排列，设数据的总数为 n，若 n 为奇数，则中位数为第 个数；若 n 为偶数，n 12则中位数为第 个数与 1
7、 个数的平均数n2 n2(2016衢州)在某校“我的中国梦 ”演讲比赛中，有 7 名学生参加决赛，他们决赛例 2的最终成绩各不相同，其中一名学生想要知道自己能否进入前 3 名，他不仅要了解自己的成绩，还要了解这 7 名学生成绩的( )A众数 B方差 C平均数 D中位数【解后感悟】此题反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用；解决这类问题的关键是弄清概念，平均数的大小与一组数据里的每一个数据均有关系，其中任何一个数据的变动都会引起平均数的变动；众数着眼于各数据出现的频率，其大小只与这组数据中的部分数据有关，可以是一个或多个；中位数则与
8、数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，计算时要分清数据是奇数个，还是偶数个1(1)(2015宁波)在端午节到来之前，学校食堂推荐了 A，B，C 三家粽子专卖店，对全校师生爱吃哪家店的粽子作调查，以决定最终向哪家店采购，下面的统计量中最值得关注的是( )A方差 B平均数 C中位数 D众数(2)(2016台湾)图 1、图 2 分别为甲、乙两班学生参加投篮测验的投进球数直方图若甲、乙两班学生的投进球数的众数分别为 a、b；中位数分别为 c、d，则下列关于a、b、c、d 的大小关系，何者正确？( )Aa b，cd Bab，cd Cab，c d Dab，cd2甲、乙两人在 5 次打靶测试中
9、命中的环数如下：甲：8，8，7，8，9.乙：5，9，7，10，9.(1)填写下表：平均数 众数 中位数 方差甲 8 _ 8 0.4乙 _ 9 _ 3.2(2)教练根据这 5 次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？(3)如果乙再射击 1 次，命中 8 环，那么乙的射击成绩的方差_(填 “变大” 、 “变小”或“不变” )类型二 方差、标准差的计算与应用(2015吉林)要从甲、乙两名同学中选出一名，代表班级参加射击比赛，如图是两例 3人最近 10 次射击训练成绩的折线统计图(1)已求得甲的平均成绩为 8 环，求乙的平均成绩；(2)观察图形，直接写出甲，乙这 10 次射击成绩的方差 S ，S
10、 哪个大；2甲 2乙(3)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在 7 环左右，本班应该选_参赛更合适；如果其他班级参赛选手的射击成绩都在 9 环左右，本班应该选_参赛更合适【解后感悟】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，一般地设 n 个数据，x1，x 2，x n的平均数为 x，则方差 S2 (x1x) 2(x 2x) 2(x nx) 2，方差越大，1n表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定3(2017舟山)已知一组数据 a，b，c 的平均数为 5，方差为 4，那么数据a2，b2，c2 的平均数和方
11、差分别是( )A3，2 B3，4 C5，2 D5，44(2017郑州模拟)九(3)班为了参加学校举行的“五水共治”知识竞赛，在班里选取了若干名学生，分成人数相同的甲乙两组，进行了四次“五水共治”模拟竞赛，根据成绩优秀的人数和优秀率分别绘制成如下统计图根据统计图，解答下列问题：(1)第三次成绩的优秀率是多少？并将条形统计图补充完整；(2)已求得甲组成绩优秀人数的平均数 x 甲组 7，方差 S 1.5.请通过计算说明，哪2甲 组一组成绩优秀的人数较稳定？类型三 利用统计量解决实际问题(2016青岛)甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：例 4根据以上信息，整理分析数据如下：平均
12、成绩/环 中位数/环 众数/环 方差甲 a 7 7 1.2乙 7 b 8 c(1)写出表格中 a，b，c 的值；(2)分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？【解后感悟】本题考查的是条形统计图和方差、平均数、中位数、众数的综合运用；熟练掌握平均数的计算，理解方差的概念，能够根据计算的数据进行综合分析5八(1)班五位同学参加学校举办的数学素养竞赛试卷中共有 20 道题，规定每题答对得 5 分，答错扣 2 分，未答得 0 分赛后 A，B，C，D，E 五位同学对照评分标准回忆并记录了自己的答题情况(E 同学只记得有 7 道题未答)，具体如下表
13、参赛同学 答对题数 答错题数 未答题数A 19 0 1B 17 2 1C 15 2 3D 17 1 2E / / 7(1)根据以上信息，求 A，B ， C，D 四位同学成绩的平均分；(2)最后获知 A，B ，C，D， E 五位同学成绩分别是 95 分， 81 分，64 分，83 分，58分求 E 同学的答对题数和答错题数；经计算，A，B，C，D 四位同学实际成绩的平均分是 80.75 分，与(1)中算得的平均分不相符，发现是其中一位同学记错了自己的答题情况，请指出哪位同学记错了，并写出他的实际答题情况(直接写出答案即可 )【实际探究题】小亮和小红在公园放风筝，不小心让风筝挂在树梢上，风筝固定在
14、 A 处( 如图)，为测量此时风筝的高度，他俩按如下步骤操作：第一步：小亮在测点 D 处用测角仪测得仰角 ACE.第二步：小红量得测点 D 处到树底部 B 的水平距离 BDa.第三步：量出测角仪的高度 CDb.之后，他俩又将每个步骤都测量了三次，把三次测得的数据绘制成如下的条形统计图和折线统计图请你根据两个统计图提供的信息解答下列问题(1)把统计图中的相关数据填入相应的表格中：a b 第一次第二次第三次平均值(2)根据表中得到的样本平均值计算出风筝的高度 AB.(参考数据： 1.732， 1.414，结果保留 3 个有效数字) 3 2【方法与对策】本题是实践性应用题，通过社会实践活动来收集数据
15、、整理和分析数据，得出结论；同时该题利用统计图来结合直角三角形，在解直角三角形时，如果有直角三角形直接利用边角关系直接求出，如果没有直角三角形可以构造直角三角形再利用边角关系去解这类题型解直角三角形与统计结合是中考命题趋向【忽视选用合适的公式计算平均数】某市号召居民节约用水，为了解居民用水情况，随机抽查了 20 户家庭某月的用水量，结果如下表，则这 20 户家庭这个月的平均用水量是 吨.用水量(吨) 4 5 6 8户数 3 8 4 5参考答案第 31 讲 数据的分析及其应用【考点概要】1. 中间位置 平均数 次数最多 2.平均数 x1 x2 xnn x1f1 x2f2 xnfnf1 f2 fn
16、(x1x) 2( x2x) 2(x nx) 2 大 大1n【考题体验】1B 2.C 3.D 4.A【知识引擎】【解析】(1) 求乙射的总环数计算表中已知总环数求 a，x 乙 故答案 4，6. (2)观察乙表中成绩数在折线图上描点连线如图 (3)方差的概念计算乙的方差比较甲、乙方差大小结论乙，乙的方差 (76) 2 (56) 2( 76) 2(46) 2(76)1521.6. 由于甲的方差是 3.6，所以上述判断正确 因为两人成绩的平均水平( 平均数)相同，乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中(4) 平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数；反映数据的离
17、散程度的统计量有极差、方差、标准差【例题精析】例 1 C 例 2 因为 7 名学生进入前 3 名肯定是 7 名学生中最高成绩的 3 名，而且 7 个不同的分数按从小到大排序后，中位数之后的共有 3 个数，故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入前 3 名故选：D .例 3 (1)乙的平均成绩是：(8 988789887)108(环)； (2)根据图象可知：甲的波动大于乙的波动，则 S S ； (3)如果其他班级参赛选手的射击成绩都2甲 2乙在 7 环左右，本班应该选乙参赛更合适；如果其他班级参赛选手的射击成绩都在 9 环左右，本班应该选甲参赛更合适故答案为：乙，甲 例 4 (1)甲的平均
18、成绩 a 7( 环)，乙51 62 74 82 911 2 4 2 1射击的成绩从小到大重新排列为：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10，乙射击成绩的中位数 b 7.5(环)，其方差 c (37) 2(4 7) 2(6 7) 22(77) 23(8 7)7 82 1102(9 7)2(107) 2 (1691349) 4.2； (2) 从平均成绩看甲、乙二人的110成绩相等均为 7 环，从中位数看甲射中 7 环以上的次数小于乙，从众数看甲射中 7 环的次数最多而乙射中 8 环的次数最多，从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定；综合以上各因素，若选派一名学生参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分
19、的可能更大【变式拓展】1(1)D (2)A 2. (1)8 8 9 (2) 因为他们的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定，所以选择甲参加射击比赛 (3)变小 3. B 4.(1)第一次成绩优秀的人数是 11 人，优秀率为 55%，选取的学生总人数为20( 人) 第三次成绩的优秀率是 100%65%. 乙组第四次成绩优秀的人数为1155% 13202085%89(人) ，补图略 (2)乙组成绩优秀人数的平均数为 x 乙组 7，6 8 5 94方差 S (67) 2(8 7)2(57) 2(9 7) 22.5. 两组成绩优秀人数的平均数相同，2乙 组14甲组成绩优秀人数的方差小于乙组成绩优秀人
20、数的方差，甲组成绩优秀的人数较稳定5(1)x 82.5( 分) (2)设 E 同学（19 17 15 17）5 （2 2 1）（ 2）4答对 x 题，答错 y 题，由题意得 解得 E 同学答对 12 题，答错 15x 2y 58，x y 13， ) x 12，y 1， )题 C 同学，他实际答对 14 题，答错 3 题，未答 3 题【热点题型】【分析与解】(1)要根据题中所给的条形统计图和折线统计图完成下列表格 .a b 第一次 15.71 1.31 29.5第二次 15.83 1.33 30.8第三次 15.89 1.32 29.7平均值 15.81 1.32 30(2)利用解直角三角形的知识即可求出风筝的高度由题意得：四边形 BDCE 为矩形，ECBD 15.81m，BECD 1.32m，AEC90，在 RtAEC 中，AEC90，30，tan . AEECtan30AEEC15.81 15.810.577 9.122m.ABAE BE 9.122 1.3210.4( m)风筝的高33度 AB 约为 10.4m.【错误警示】平均用水量为 x 5.8(吨) ，故填 5.8.43 58 64 8520
