1、第 35 讲 方程、函数思想型问题(建议该讲放第 16 讲后教学)内容特性1.在解决问题时，把某一个未知量或几个未知量用字母来表示，根据已知的条件或有关的性质、定理或公式，建立起未知量和已知量之间的等量关系，列出方程或方程组，从而使问题获得解决的思想方法称为方程思想2函数思想是指用变量和函数来思考问题的一种方法，借助函数知识来探求变量之间关系的一种思维方式，以生产、生活和学科问题为背景，结合方程、几何图形等知识进行问题解决的一种解题策略，是刻画现实世界的一个有效的数学模型.解题策略(1)解决函数综合问题时，注意数形结合，在函数、方程、不等式之间灵活转化；(2)解决几何综合问题时，常从面积关系，
2、勾股定理、相似性质寻求关系列方程、函数求解；(3)解决生活中应用问题时，从一些常见数量关系模型入手，建立方程、函数求解；(4)对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质，运用函数基本性质和方法，从而更快更好地解决问题.基本思想利用方程思想解决问题时，经常涉及函数思想和数形结合思想；利用函数思想解决问题时，充分运用函数数学思想分析问题，经常涉及函数与方程、不等式，函数与图象.类型一 运用方程思想求解几何综合性问题如图，在ABC 中，BABC20 cm，AC30 cm，点 P 从点 A 出发，沿 AB例 1以每秒 4 cm 的速度向点 B 运动；同
3、时 Q 点从 C 点出发，沿 CA 以每秒 3 cm 的速度向点 A运动设运动的时间为 x 秒(1)当 x 为何值时，PQ BC?(2)APQ 能否与CQB 相似？若能求出 AP 的长；若不能请说明理由【解后感悟】由相似三角形的对应边成比例，可列出分式方程，从而求解；在已知一个角对应相等的前提下考虑两个三角形相似时，有两种情况，不可遗漏1(2016舟山)如图，矩形 ABCD 中，AD2，AB3，过点 A，C 作相距为 2 的平行线段 AE，CF ，分别交 CD， AB 于点 E，F ，则 DE 的长是( )A. B. C1 D.5136 56类型二 运用函数思想求解方程、不等式问题(2017杭
4、州)在平面直角坐标系中，设二次函数 y1(xa)(xa1)，其中 a0.例 2(1)若函数 y1 的图象经过点(1 ，2)，求函数 y1 的表达式；(2)若一次函数 y2axb 的图象与 y1 的图象经过 x 轴上同一点，探究实数 a，b 满足的关系式；(3)已知点 P(x0，m) 和 Q(1，n)在函数 y1 的图象上，若 mn，求 x0 的取值范围【解后感悟】二次函数关系式转化为方程，解(1)的关键是利用待定系数法；解 (2)的关键是把点的坐标代入函数解析式；解(3)的关键是利用二次函数的性质，解不等量关系，同时要分类讨论，以防遗漏2(1)已知函数 yx 和 y 的图象如图，则不等式 x
5、的解集为( )x 2 x 2A2x2(1)图 (2)图(2)如图，已知函数 y 与 yax 2bx(a0，b0)的图象交于点 P，点 P 的纵坐标为3x1，则关于 x 的方程 ax2bx 0 的解为 .3x类型三 运用方程、函数思想求解几何最值问题(2016黄冈模拟)如图，在 ABC 中，ACB90 ，ACBC6，现将一块边例 3长足够大的直角三角板的直角顶点置于 AB 的中点 O，两直角边分别经过点 B、C，然后将三角板绕点 O 按顺时针方向旋转一个角度 (00，当 x312 12 12 92 12时，函数 SOKH 有最小值 ，x3 满足条件 0x6，OKH 的面积存在最小值，此时92x
6、的值是 3.例 4 (1)当 x0 时，y3，B 点坐标(0，3) ；当 y0 时，有 0 x3，解得34x4，A 点坐标为(4，0)(2)过点 O 作 OCAB 于点 C，则 OC 长为原点 O 到直线 l 的距离，在 RtBOA 中，OA4，OB3，由勾股定理可得 AB5，S BOA OBOA ABOC，OC12 12 ，原点 O 到直线 l 的距离为 . (3)过 M 作 MDAB 交 AB 于点 D，当圆OBOAAB 125 125M 在直线 l 下方与直线相切时， MD2，在BOA 和BDM 中，OBA DBM，BOA BDM ，BOA BDM ， ，BMABMB OADM ，OMO
7、B BM ，当M 在直线 l 上方与直线相切时，同理可得ABDMOA 52 12OMOBBM ，点 M 的坐标为 M(0， )或 M(0， )112 12 112例 5 (1)z(x18)y(x18)(2x100) 2x 2136x1800，z 与 x 之间的函数解析式为 z2x 2136x1800. (2)由 z350，得 3502x 2136x1800，解这个方程得 x125，x 243.销售单价定为 25 元或 43 元时，厂商每月能获得 350 万元的利润z2x 2136x18002(x34) 2512，当销售单价为 34 元时，每月能获得最大利润，最大利润是 512 万元 (3)结合
8、(2)及函数 z2x 2136x1800 的图象( 如图所示)可知，当 25x43 时，z350.又由限价 32 元，得 25x32.根据一次函数的性质，得 y2x100 中 y 随 x 的增大而减小，当 x32 时，每月制造成本最低最低成本是 18(232100)648(万元 ) 所求每月最低制造成本为 648 万元【变式拓展】1D 2.(1)A (2)x3 3.15 4. (1)点 A(a，12)在直线 y2x 上，122a，解得：a 6，又点 A 是抛物线y x2bx 上的一点，将点 A(6，12) 代入 y x2bx，可得 b1，抛物线解析式为12 12y x2x. (2)点 C 是
9、OA 的中点，点 C 的坐标为(3 ，6) ，把 y6 代入 y x2x，12 12解得：x 11 ，x 21 (舍去)，故 BC1 3 2. (3)点 D 的坐标为13 13 13 13(m，n)，点 E 的坐标为( n，n)，点 C 的坐标为(m ，2m)，点 B 的坐标为( n，2m)，把12 12点 B( n，2m)代入 y x2x，可得 m n2 n，m 、 n 之间的关系式为 m n2 n. 12 12 116 14 116 145.(1)设购进甲种服装 x 件，由题意可知：80x60(100 x)7500，解得：x75.答：甲种服装最多购进 75 件 (2)设总利润为 W 元，因
10、为甲种服装不少于 65 件，所以65x75.W (40a)x 30(100x)(10a)x 3000.方案 1：当 0a10 时，10a0，W 随 x 的增大而增大，所以当 x75 时，W 有最大值，则购进甲种服装 75 件，乙种服装 25 件；方案 2：当 a10 时，所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以；方案 3：当 10a20 时，10a0，W 随 x 的增大而减小，所以当 x65 时，W 有最大值，则购进甲种服装 65 件，乙种服装 35 件【热点题型】【分析与解】(1)当 x 1 时，y200，喝酒后 1 时血液中的酒精含量达到b2a最大值，最大值为 200 毫克/ 百毫升 当
11、 x5 时， y45，且(5，45)在反比例函数y (k 0)图象上，把(5 ，45) 代入 y 得 45 ，解得 k225. (2)把 y20 代入反比kx kx k5例函数 y 得 x11.25.喝完酒经过 11.25 时为早上 7：15.第二天早上 7：15 以后才225x可以驾驶，7：00 时不能驾车去上班【错误警示】(1)由APE ADE 可得 APAD3，在 RtABP 中，运用勾股定理即可求得 BP 的长APEADE，APAD3.在 RtABP 中，AB2，BP . (2)由 APPE，得 RtABP RtPCE，根据相似三角形的AP2 AB2 32 22 5对应边成比例可列式得
12、 y 与 x 的函数关系式化为顶点式即可求得当 x 时，y 的值最大，32最大值是 .AP PE ，Rt ABP RtPCE. ，即98 ABPC BPCE ，y x2 x，y x2 x (x )2 ，当 x 时，y 的值最大，23 x xy 12 32 12 32 12 32 98 32最大值是 . (3)由 PEBD，得CPECBD，根据相似三角形的对应边成比例可列式98求得 BP 的长设 BPx，由 (2)得 CEy x2 x， PEBD，CPECBD. 12 32 ，即 ，化简得 3x213x120，解得 x1 或 x23(不合题意，CPCB CECD 3 x3 12x2 32x2 43舍去) ， 当 BP 时，PE BD.43
