1、第 34 讲 归纳、猜想与说理型问题(建议该讲放第 11 讲后教学)内容特性所谓归纳、猜想，指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论解题策略解题中要求充分利用条件进行大胆而合理的猜想，得出结论有时借助图形、实物或实际操作打开思路解决这类题的基本思路是“观察归纳猜想证明(验证) ”，具体做法：(1)认真观察所给的一组数、式、图等，发现它们之间的关系；(2)根据它们之间的关系分析、概括，归纳它们的共性和蕴含的变化规律，猜想得出一个一般性的结论；(3)结合题目所给的材料情景证明或验证结
2、论的正确性.基本思想观察、分析、归纳、猜想一般，给出一组具有某种有规律的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，通过认真观察、分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论.类型一 通过数式变化产生规律(2016淄博)(1) 填空：(ab)(ab) ；例 1(ab)(a 2abb 2) ；(ab)(a 3a 2 bab 2b 3) ；(2)猜想：(ab)(a n1 a n2 b ab n2 b n1 ) (其中 n 为正整数，且 n2) ；(3)利用(2)猜想的结论计算：2 92 82 72 32 22.【解后感悟】此类问题要从整体上观察各个式子的特点
3、，猜想出式子的变化规律，并进行验证对于本题来说，关键是先计算，再观察各等式的结构，猜想结果并验证对于(3)根据结构特征进行设、列来构建等式求解1(1)(2016资阳模拟)设一列数中相邻的三个数依次为 m、n、p，且满足 pm 2n，若这列数为1，3，2，a，7，b，则 b .(2)(2016德州模拟)有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以 2，再除以它与 1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：输 入 x 第 1次 y1 2xx 1 第 2次 y2 2y1y1 1 第 3次 y3 2y2y2 1 则第 n 次运算的结果 yn (用含字母 x 和 n 的代数式表示) 类型二 通过图形变化产生
4、规律(2016达州)如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成 4 个小三角形，称为第一例 2次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成 4 个小三角形，共得到 7 个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成 4 个小三角形，共得到 10 个小三角形，称为第三次操作；根据以上操作，若要得到 100 个小三角形，则需要操作的次数是( )A25 B33 C34 D50【解后感悟】本题通过一次操作，得到下一个图形的三角形个数与上一个图形的三角形个数之间的数量关系是解题的关键解决这类问题的关键是仔细分析前后两个图形中基础图案的数量关系，从而发现其数字变化规律具体地说，先根据图形写
5、出数字规律，然后将每一个数字改写为等式，再比较各等式的相同点和不同点，分析不同点(数字) 与等式序号之间的关系，从而得到一般规律2(2017舟山)如图，把 n 个边长为 1 的正方形拼接成一排，求得tanBA 1C1 ，tanBA 2C ，tan BA 3C ，计算13 17tanBA 4C_，按此规律，写出tanBA nC_(用含 n 的代数式表示 )类型三 通过平移、折叠产生规律如图，直角三角形纸片 ABC 中，AB3，AC4，D 为斜边 BC 中点，第 1 次例 3将纸片折叠，使点 A 与点 D 重合，折痕与 AD 交于点 P1；设 P1D 的中点为 D1，第 2 次将纸片折叠，使点 A
6、 与点 D1 重合，折痕与 AD 交于点 P2；设 P2D1 的中点为 D2，第 3 次将纸片折叠，使点 A 与点 D2 重合，折痕与 AD 交于点 P3；设 Pn1 Dn2 的中点为 Dn1 ，第 n 次将纸片折叠，使点 A 与点 Dn1 重合，折痕与 AD 交于点 Pn(n2) ，则 AP6 的长为( )A. B. C. D.535212 36529 536214375211【解后感悟】此题是翻折变换的知识，解答本题关键是写出前面几个有关线段长度的表达式，从而得出一般规律，注意培养自己的归纳总结能力3如图，矩形 OABC 的两条边在坐标轴上，OA1，OC2，现将此矩形向右平移，每次平移 1
7、 个单位，若第 1 次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为 0.6，则第 n 次(n1) 平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为 (用含 n 的代数式表示) 类型四 通过旋转产生规律(2017衢州)如图，正 ABO 的边长为 2，O 为坐标原点，A 在 x 轴上，B 在第二例 4象限，ABO 沿 x 轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到A 1B1O，则翻滚 3 次后点 B 的对应点的坐标是_ ，翻滚 2017 次后 AB 中点 M 经过的路径长为_【解后感悟】解题的关键是尝试特殊情况，寻找循环规律，从特殊到一般的探究方法解决
8、问题4(2015东港模拟)如图，点 B1 是面积为 1 的等边OBA 的两条中线的交点，以 OB1为一边，构造等边OB 1A1(点 O，B 1，A 1 按逆时针方向排列 )，称为第一次构造；点 B2 是OB 1A1 的两条中线的交点，再以 OB2 为一边，构造等边OB 2A2(点 O，B 2，A 2 按逆时针方向排列) ，称为第二次构造；以此类推，当第 n 次构造出的等边OB nAn 的边 OAn 与等边OBA 的边 OB 第一次重合时，构造停止则构造出的最后一个三角形的面积是 .类型五 以数轴、平面直角坐标系为背景的规律问题(2016菏泽)如图，一段抛物线： yx(x2)(0x 2) 记为
9、C1，它与 x 轴交于例 5两点 O，A 1；将 C1 绕 A1 旋转 180得到 C2，交 x 轴于 A2；将 C2 绕 A2 旋转 180得到C3，交 x 轴于 A3；如此进行下去，直至得到 C6，若点 P(11，m)在第 6 段抛物线 C6 上，则 m .【解后感悟】此题是抛物线其中一段的旋转规律，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标5(1)如图，在数轴上，A 1， P 两点表示的数分别是 1，2 ，A 1，A 2 关于点 O 对称，A2，A 3 关于点 P 对称，A 3， A4 关于点 O 对称，A 4，A 5 关于点 P 对称依此规律，则点A14 表示的数是 .(2) (2015达州 )
10、在直角坐标系中，直线 yx1 与 y 轴交于点 A1，按如图方式作正方形 A1B1C1O、A 2B2C2C1、A 3B3C3C2，A 1、A 2、A 3在直线 yx1 上，点C1、C 2、C 3、 在 x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S1，S 2，S 3， Sn，则 Sn 的值为_( 用含 n 的代数式表示，n 为正整数)【探索研究题】用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为 1 的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形设格点多边形的面积为 S，该多边形各边上的格点个数和为 a，内部的格点个数为 b，则 S ab1(史称“皮克公式”) 12小明
11、认真研究了“皮克公式” ，并受此启发对正三角形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三角形面积为 1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形：根据图中提供的信息填表：格点多边形各边上的格点的个数格点多边形内部的格点个数格点多边形的面积多边形 1 8 1多边形 2 7 3 一般格点多边形 a b S则 S 与 a、b 之间的关系为 S_(用含 a、b 的代数式表示) 【方法与对策】此题需要根据图中表格和自己所算得的数据，总结出规律寻找规律是一件比较困难的活动，需要仔细观察和大量的验算该题型采用特殊到一般探究问题的方法是中考命题的一
12、种方式【探求一般规律，注意序号与变量之间对应关系】如图，ABC 是斜边 AB 的长为 3 的等腰直角三角形，在ABC 内作第 1 个内接正方形 A1B1D1E1(D1、E 1 在 AB 上，A 1、B 1 分别在 AC、BC 上) ，再在A 1B1C 内按同样的方法作第 2 个内接正方形 A2B2D2E2，如此下去，操作 n 次，则第 n 个小正方形 AnBnDnEn 的边长是_第 34 讲 归纳、猜想与说理型问题【例题精析】例 1 (1)a 2b 2，a 3b 3，a 4b 4； (2)anb n； (3)令S2 92 82 7 2 32 22，S12 92 82 72 32 2212(1)
13、(292 8 272 32 22 1)3(2 101)3 (1024 1)3341，S342. 例 2 第一次操作后，三角形共有 4 个；第二次操作后，三角形共有 437 个；第三次操作后，三角形共有 43310 个；第 n 次操作后，三角形共有 43(n1)(3n 1)个；当 3n1100 时，解得：n33，故选：B . 例 3 由题意得，AD BC ，AD 1ADDD 1 ， AD2 ，AD 312 52 158 53225，AD n .故 AP1 ，AP 2 ，AP 3 APn .53327 53n22n 1 54 1516 53226 53n 122n当 n6 时，AP 6 .故选 A
14、.535212例 4 如图作 B3Ex 轴于 E，易知 OE5，B 3E ，B 3(5， )，观察图象可知三3 3次一个循环，一个循环点 M 的运动路径为 ，2017 36721，翻滚 2017 次后120 3180 120 1180 120 1180 (23 43 )AB 中点 M 经过的路径长为 672 .故答案为(5， )；(23 43 ) 233 (134633 896) 3 .(134633 896)例 5 yx(x2)(0 x 2)，配方可得 y(x1) 21(0x2)，顶点坐标为(1，1)，A 1 坐标为(2 ，0)，C 2 由 C1 旋转得到，OA 1A 1A2，即 C2 顶点
15、坐标为(3，1)，A 2(4，0)；照此类推可得，C 3 顶点坐标为(5， 1)，A 3(6，0) ；C 4 顶点坐标为(7，1)，A 4(8，0)；C 5 顶点坐标为(9，1)，A 5(10，0) ； C6 顶点坐标为(11 ，1)，A6(12， 0)； m1.故答案为：1.【变式拓展】1(1)128 (2) 2. 3. 或 4. 5.(1)2nx（2n 1）x 1 113 1n2 n 1 145n（n 1） 65n（n 1） 131025 (2)2 2n3【热点题型】【分析与解】根据 882(11) ，1172(31) 得到 Sa2(b 1)填表如下：格点多边形各边上的格点的个数格点多边形内部的格点个数格点多边形的面积多边形 1 8 1 8多边形 2 7 3 11 一般格点多边形 a b S【错误警示】AB45，AE 1A 1E1A 1B1 B1D1D 1B，第一个内接正方形的边长 AB1；同理可得：第二个内接正方形的边长 A1B1 AB ；第三个13 13 19 13内接正方形的边长 A2B2 AB ；故可推出第 n 个小正方形 AnBnDnEn 的边长13 127 19 AB ，故答案为： .13n 13n 1 13n 1
