1、A 级1若函数 f(x)(x1)e x，则下列命题正确的是( )A对任意 m ，都存在 xR ，使得 f(x) ，方程 f(x)m 总有两个实根1e2解析： 因为 f(x )(x1)e x(x1)e xe x(x2)e x，故函数在区间(，2)，(2， ) 上分 别为减函数与增函数，故 f(x)minf (2) ，故当 m 时， 总存在 x 使1e2 1e2得 f(x)0，故 g(x)在1,1) 上是减函数，在(1，)上是增函数，故 g(x)min g(1)1 33 1 ，a1 ，实数 a 的最小值为 1 .1e 1e 1e 1e答案： C3已知 a，bR，直线 yaxb 与函数 f(x)ta
2、n x 的图象在 x 处相切，设2 4g(x)e xbx 2a，若在区间1,2上，不等式 mg(x)m 22 恒成立，则实数 m( )A有最小值e B有最小值 eC有最大值 e D有最大值 e1解析： f( x)tan x ，f(x) ，af 2，sin xcos x cos2x sin x sin xcos2x 1cos2x ( 4)又点 在直线 yaxb 上， 12 b ，得 b1， g(x)( 4， 1) 2 ( 4) 2e xx 22， g(x )e x2x，令 h(x)e x2x， 则 h( x) ex2，当 x1,2时，h(x)h(1)e20，g (x)在1,2 上单调递增， g(
3、x)g(1)e20，g(x) 在1,2 上单调递增，Error!解得 m e 或 eme 1，m 的最大值为 e1，无最小值，故 选 D.答案： D4已知函数 f(x)aln xax3( aR)若函数 yf(x)的图象在点(2，f(2)处切线的倾斜角为 ，且对于任意的 t1,2 ，函数 g(x)x 3x 2 在区间(t,3)上总不是单调函4 f x m2数，则实数 m 的取值范围是 ( )A(，5) B ( 373， 5)C(9，) D ( 373， 9)解析： 由函数 f(x)aln xax3(aR )，可得 f (x) a，f (2) 1，得ax a2a2.又对于任意的 t1,2，函数 g
4、(x)x 3x 2 x 3x 2 在区间( t,3)f x m2 ( 2x 2 m2)上总不是单调函数，只需 g(x)x 3 x22x 在(2,3)上不是 单调函数，故 g( x)(m2 2)3x 2( m4)x 2 在(2,3)上有零点，即方程 m3x4 在(2,3)上有解而2xy3x4 在(2,3)上单调递减，故其 值域为 ，所以实数 m 的取值范围是2x ( 373， 9).故选 D.( 373， 9)答案： D5已知函数 f(x)e x1，g( x) x ，其中 e 是自然对数的底数，e2.718 28.x(1)证明：函数 h(x)f( x)g(x)在区间(1,2) 上有零点；(2)求
5、方程 f(x) g(x)的根的个数，并说明理由解析： (1)证明：由 h(x)f( x)g(x)e x1 x 得，xh(1)e30，所以函数 h(x)在区间(1,2) 上有零点2(2)由(1)得 h(x)e x1 x.x由 g(x) x 知，x 0，)，而 h(0)0，则 x0 为 h(x)的一个零点，而 h(x)在(1,2)x内有零点，因此 h(x)在0，) 上至少有两个零点因 为 h( x)e x x 1，记 (x)12 12e x x 1，12 12则 (x)e x x .当 x(0， ) 时， (x)0，因此 (x)在(0，)上单调递增，则14 32(x)在(0，)内至多只有一个零点，
6、即 h(x)在0， ) 内至多有两个零点所以方程 f(x)g( x)的根的个数为 2.6(2017全国卷)设函数 f(x)(1x 2)ex.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 x0 时，f(x )ax1，求 a 的取值范围解析： (1)f( x)(1 2x x2)ex.令 f(x )0 得 x1 或 x1 .2 2当 x( ，1 )时，f( x)0；2当 x( 1 ， 1 )时，f(x)0；2 2当 x( 1 ， ) 时，f( x)0.2所以 f(x)在(，1 )，(1 ，)单调递减，在(1 ， 1 )单调递2 2 2 2增(2)f(x)(1 x)(1 x )ex.当 a1 时，设函数 h
7、(x)(1x)e x，则 h( x)xe x0(x0)，因此 h(x)在0，)单调递减而 h(0) 1，故 h(x)1，所以 f(x)( x1)h(x) x 1 ax1.当 0a1 时，设函数 g(x)e xx1， 则 g( x)e x10(x0) ，所以 g(x)在0，)单调递增而 g(0)0，故 ex x1.当 0x1 时，f( x)(1 x )(1x) 2，(1x)(1x) 2ax1x(1axx 2)，取 x0，则 x0(0,1)，(1 x0)(1x 0)2ax 010，故 f(x0)ax 01.5 4a 12当 a0 时，取 x0 ，则 x0(0,1)，f(x0)(1 x 0)(1x
8、0)21ax 01.5 12综上，a 的取值范围是1，) B 级1(2017全国卷)已知函数 f(x)ax 2axxln x，且 f(x)0.(1)求 a；(2)证明：f(x) 存在唯一的极大值点 x0，且 e2 1 时，g(x )0，g(x)单调递增所以 x1 是 g(x)的极小值点，故 g(x)g(1) 0.综上，a1.(2)证明：由(1)知 f(x)x 2xxln x，f( x)2x 2ln x.设 h(x)2x2 ln x ，则 h(x) 2 .1x当 x 时，h(x)0.(12， )所以 h(x)在 上单调递减，在 上单调递增(0，12) (12， )又 h(e 2)0，h (0，1
9、2) 12， )0；当 x(x0,1)时 ，h(x)0.因为 f(x) h(x)，所以 xx 0 是 f(x)的唯一极大值点由 f(x 0)0 得 ln x02( x01) ，故 f(x0)x 0(1x 0)由 x0 得 f(x0)f(e1 )e 2 .所以 e2 0)，若曲线 yf(x) 在点2a 1x x 2a 1x 1x(2，f(2)处切线的斜率小于 0，则 f(2)a ，所以 2a121，12 12则由 f(x)0 得 02a1；由 f(x )f(x2)， ，1x1 1x2所以原不等式为 f(x1)f(x 2) ，即 f(x1) f(x2) 对任意的(1x1 1x2) x1 x2a ，
10、x1，x21,2恒成立32，52令 g(x)f(x) ，所以对任意的 a ，x1，x21,2有 g(x1)g(x2)恒成立，x 32，52所以 g(x)f(x) 在闭区间1,2上为增函数，x所以 g(x) 0 对任意的 a ，x1,2恒成立32，52而 g(x) x (2a2) 0，2a 1x x2化简得 x3(2 a2)x 2(2 a1)x0，即(2x 2x2)a x32x 2x 0，其中 a .32，52因为 x1,2，所以 2x2x 20，所以只需 (2x2x 2)x 32x 2x 0，52即 x37x 26x 0 对任意 x1,2恒成立，令 h(x)x 37 x26x，x1,2，则 h(x) 3x 214x60 恒成立，所以 h(x)x 3 7x26x 在闭区间1,2 上为减函数，则 h(x)minh(2)8.由 h(x)minh(2)80，解得 8.故 的取值范围为 8，)
