1、章末复习课网络构建核心归纳1集合的“三性”正确理解集合元素的三性，即确定性、互异性和无序性在集合运算中，常利用元素的互异性检验所得的结论是否正确，因互异性易被忽略，在解决含参集合问题时应格外注意2集合与集合之间的关系集合与集合之间的关系有包含、真包含和相等判断集合与集合之间的关系的本质是判断元素与集合的关系，包含关系的传递性是推理的重要依据空集比较特殊，它不包含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集解题时，已知条件中出现 AB 时，不要遗漏 A.3集合与集合之间的运算并、交、补是集合间的基本运算，Venn 图与数轴是集合运算的重要工具注意集合之间的运算与集合间的关系之间的转化，如
2、ABABAABB.4函数与映射的概念(1)已知 A，B 是两个非空集合，在对应关系 f 的作用下，对于 A 中的任意一个元素 x，在 B 中都有唯一的一个元素与之对应，这个对应叫做从 A 到 B 的映射，记作 f：AB.若f：AB 是从 A 到 B 的映射，且 B 中任一元素在 A 中有且只有一个元素与之对应，则这样的映射叫做从 A 到 B 的一一映射(2)函数是一个特殊的映射，其特殊点在于 A，B 都为非空数集，函数有三要素：定义域、值域、对应关系两个函数只有当定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一函数5函数的单调性(1)函数的单调性主要涉及求函数的单调区间，利用函数的单调性比较函数
3、值的大小，利用函数的单调性解不等式等相关问题深刻理解函数单调性的定义是解答此类问题的关键(2)函数单调性的证明根据增函数、减函数的定义分为四个步骤证明，步骤如下：取值：任取 x1，x 2D，且 x10；作差变形：yy 2y 1f(x 2)f(x 1)，向有利于判断差的符号的方向变形；判断符号：确定 y 的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；下结论：根据定义得出结论(3)证明函数单调性的等价变形：f(x)是单调递增函数任意 x10f(x 1)f(x 2)(x1x 2)fx1 fx2x1 x20；f(x)是单调递减函数任意 x1f(x2) a，若 AB，则实数 a 的取值范围是( )Aa1 B
4、a1 Ca0 Da0解析 (1)由 ABA 知 BA，所以 m3 或 m ，若 m3，A1,3， ，m 3B1,3，满足 ABA；若 m ，即 m1 或 0，当 m1 时， 1，不合题意，舍去，m m当 m0 时，A1,3,0，B 1,0，满足 ABA，故选 B(2)因为 AB ，所以 0B，且 1B，所以 a1.答案 (1)B (2)B【训练 3】 (1)已知集合 A xR|x|2，BxR| x1，则 AB 等于( )A xR| x2 BxR |1x2CxR|2x 2 D xR|2 x1(2)设集合 M x|3x 7，N x|2xk0，若 MN ，则实数 k 的取值范围为_解析 (1)Ax
5、R| x|2xR| 2x2 ，AB xR|2x2x R| x1xR |2x1(2)因为 Nx|2x k0x|x ，k2且 MN，所以 3k6.k2答案 (1)D (2)k 6要点四 求函数的定义域求函数定义域的类型与方法(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义(3)复合函数问题：若 f(x)的定义域为a，b，f (g(x)的定义域应由 ag( x) b 解出；若 f(g(x)的定义域为 a，b，则 f(x)的定义域为 g(x)在a，b上的值域注意：f(x) 中的 x 与 f(g(x)中的
6、g(x)地位相同；定义域所指永远是 x 的范围【例 4】 (1)函数 f(x) (2 x1) 0 的定义域为( )2x21 xA B( ，12) (12，1)C D ( 12，12) ( ，12) (12，1)(2)已知函数 yf(x 1)的定义域是1,2 ，则 yf (13x)的定义域为( )A B 13，0 13，3C0,1 D 13，1解析 (1)由题意知Error!解得 x0，(a 14) 782a24a32(a1) 210，由 f(2a2a1)2a 24a3，得 5a2，a .25a 的取值范围是 a .25要点七 函数的图象及应用作函数图象的方法(1)描点法求定义域；化简；列表、描
7、点、连线(2)变换法熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转平移：yf(x) yf (xh)； 左 加 右 减 yf(x) yf(x)k.(其中 h0，k0) 上 加 下 减 对称：yf(x) yf (x) ； 关 于 y轴 对 称 yf(x) yf(x) ； 关 于 x轴 对 称 yf(x) y f(x) 关 于 原 点 轴 对 称 特别提醒：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图【例 7】 已知函数 f(x)x 22| x|a，其中 x3,3(1)判断函数 f(x)的奇偶性(2)若 a1，试说明函数 f(x)的单调性，并求出函数 f(x)的值域解 (1)因为定义域3,3关于原点对称，f(x)(
8、x) 22| x|ax 22|x| af(x )，即 f(x )f(x) ，所以 f(x)是偶函数(2)当 0x3 时，f(x )x 22x1(x1) 22；当3x0 时，f(x )x 22x1(x1) 22.即 f(x)Error!根据二次函数的作图方法，可得函数的 图象，如 图所示函数 f(x)的单调区间为3，1 ，(1,0) ，0,1，(1,3f(x)在区间3，1，0,1上为减函数，在(1,0) ，(1,3上为增函数当 0x3 时，函数 f(x)( x1) 22 的最小值为 f(1)2，最大值为 f(3)2；当3x0 时，函数 f(x)(x1) 22 的最小值为 f(1) 2，最大值为 f(3) 2.故函数 f(x)的值域为2,2【训练 7】 对于任意 xR ，函数 f(x)表示x3， x ，x 24x3 中的较大者，则32 12f(x)的最小值是_解析 首先应理解题意， “函数 f(x)表示x 3， x ，x24x3 中的较大者”是指对某32 12个区间而言，函数 f(x)表示x 3， x ，x24x3 中最大的一个32 12如图，分别画出三个函数的图 象，得到三个交点 A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)从图象观察可得函数 f(x)的表达式：f(x)Error!f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点 B(1,2)，所以 f(x)的最小值是 2.答案 2
